Demo Questions in Hindi

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(A) हमें व्यंजक $2^{m} \cdot 5^{n}$ दिया गया है,जहाँ $m, n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) हैं।
हम व्यंजक को $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n}$ (यदि $m \ge n$) या $2^{m} \cdot 5^{m} \cdot 5^{n-m}$ (यदि $n > m$) के रूप में लिख सकते हैं।
स्थिति $1$: यदि $m = n$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{m} = (2 \cdot 5)^{m} = 10^{m}$। $10^{m}$ का अंतिम अंक $0$ है।
स्थिति $2$: यदि $m > n$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n} = 2^{m-n} \cdot 10^{n}$। चूँकि $2^{m-n}$ एक सम संख्या है और $10^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है,इसलिए गुणनफल का अंतिम अंक $0$ होगा।
स्थिति $3$: यदि $n > m$ है,तो $2^{m} \cdot 5^{n} = (2 \cdot 5)^{m} \cdot 5^{n-m} = 10^{m} \cdot 5^{n-m}$। $n > m$ के लिए $5^{n-m}$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है और $10^{m}$ का अंतिम अंक $0$ होता है,इसलिए गुणनफल का अंतिम अंक $0$ होगा।
सभी स्थितियों में,अंतिम अंक $0$ प्राप्त होता है।

(B) दो संख्याओं का $HCF$ हमेशा उनके $LCM$ को पूर्णतः विभाजित करता है।
दिया गया है कि $HCF(a, b) = 16$ है।
हम प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $16$ से विभाज्य है:
$A) 32 / 16 = 2$ (विभाज्य है)
$B) 72 / 16 = 4.5$ (विभाज्य नहीं है)
$C) 64 / 16 = 4$ (विभाज्य है)
$D) 96 / 16 = 6$ (विभाज्य है)
चूँकि $72$,$16$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह $a$ और $b$ का $LCM$ नहीं हो सकता है।

(C) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ हो,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(n, m)$ द्वारा निर्धारित होती है।
दिए गए व्यंजक $\frac{18}{5^3}$ में,हर को $2^0 \cdot 5^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$n = 0$ और $m = 3$ है।
अतः,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(0, 3) = 3$ होगी।
वैकल्पिक रूप से,$\frac{18}{5^3} = \frac{18 \cdot 2^3}{5^3 \cdot 2^3} = \frac{18 \cdot 8}{10^3} = \frac{144}{1000} = 0.144$ है।
चूँकि दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंक हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(C) भिन्न अभाज्य संख्याओं $a, b, c$ के लिए,महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) $1$ है,क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
भिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) उन संख्याओं का गुणनफल होता है,जो $a \times b \times c = abc$ है।
अतः,म.स.प. और ल.स.प. का अनुपात $\frac{\text{म.स.प.}}{\text{ल.स.प.}} = \frac{1}{abc}$ होगा।
इसे $1: abc$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(A) दो संख्याओं $a$ और $b$ के बीच संबंध यह है कि: $LCM(a, b)$ को $HCF(a, b)$ से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए।
यहाँ $HCF(a, b) = 12$ दिया गया है।
हम प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $12$ से विभाज्य है:
$(A)$ $90 / 12 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
$(B)$ $24 / 12 = 2$ (विभाज्य है)
$(C)$ $48 / 12 = 4$ (विभाज्य है)
$(D)$ $36 / 12 = 3$ (विभाज्य है)
चूंकि $90$,$12$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह $LCM$ नहीं हो सकता है।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए (जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$):
यदि $n = 1$ है,तो $5^1 = 5$ है।
यदि $n = 2$ है,तो $5^2 = 25$ है।
यदि $n = 3$ है,तो $5^3 = 125$ है।
यदि $n = 4$ है,तो $5^4 = 625$ है।
यह देखा जा सकता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है।

(B) सबसे पहले,$65$ और $117$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
$\text{HCF}(65, 117)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात है,जो $13$ है।
दिया गया समीकरण: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$
$\text{HCF}$ का मान रखने पर:
$13 = 65m - 117$
दोनों पक्षों में $117$ जोड़ने पर:
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$65$ से भाग देने पर:
$m = \frac{130}{65} = 2$
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(C) दो संख्याओं का $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल होता है।
इस प्रकार,$LCM(p, q) = p \times q = pq$।

(A) $LCM(26, 91)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $m$ और $n$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है क्योंकि उनका एकमात्र उभयनिष्ठ भाजक $1$ है।
अतः,$m$ और $n$ का म.स.प. $1$ है।

(B) किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनका $LCM(a, b)$ हमेशा उनके $HCF(a, b)$ से पूर्णतः विभाज्य होता है।
यहाँ,$HCF(a, b) = 25$ दिया गया है।
अतः,$LCM(a, b)$ को $25$ का एक गुणज होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $50 = 25 \times 2$ (संभव है)
$(B)$ $105$ को $25$ से पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता है $(105 / 25 = 4.2)$ (असंभव है)
$(C)$ $100 = 25 \times 4$ (संभव है)
$(D)$ $25 = 25 \times 1$ (संभव है)
अतः,$105$ कभी भी $LCM$ नहीं हो सकता है।

(C) एक अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है।
$1$. $\sqrt{4} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
$2$. $0.010101...$ एक आवर्ती दशमलव है,जिसे $1/99$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$3$. $\pi$ (पाई) एक प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है।
$4$. $5$ को $5/1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,$a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$ संबंध सत्य होता है।
यहाँ दिया गया है कि $LCM(a, b) = a \times b$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a \times b$ से विभाजित करने पर,हमें $GCD(a, b) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $1$ है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने हेतु,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
प्रत्येक स्थिति में,अंतिम अंक (इकाई का अंक) $5$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(A) $12$,$15$ और $21$ का म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $3$ है और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,म.स.प. $(12, 15, 21) = 3$.

(A) $6$ और $20$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$6$ और $20$ का म.स.प. $2$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं $p$ और $q$ के लिए,चूंकि वे भिन्न हैं,$1$ के अलावा उनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
इसलिए,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल ही होता है।
$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(A) हमें व्यंजक $2^5 \cdot 5^5$ दिया गया है।
घातांक के नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100000$
$100000$ का अंतिम अंक $0$ है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है, जिसका अर्थ है कि इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए, $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(C) $7, 11$ और $17$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले देखते हैं कि ये तीनों संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।
चूंकि $7, 11$ और $17$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अभाज्य संख्याओं के समूह का ल.स.प. उन संख्याओं का गुणनफल ही होता है।
अतः,$LCM(7, 11, 17) = 7 \times 11 \times 17 = 1309$।

(D) एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$1$. $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
$2$. $3\pi$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\pi$ अपरिमेय है।
$3$. $0.101000...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है,जो इसे एक अपरिमेय संख्या बनाता है।
$4$. $0.25$ को $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है।
अतः,$0.25$ एक परिमेय संख्या है।

(D) $HCF(510, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
सबसे कम घात वाला उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2^1 = 2$ है।
अतः,$HCF(510, 92) = 2$।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके म.स.प. और ल.स.प. के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\text{म.स.प.}(a, b) \times \text{ल.स.प.}(a, b) = a \times b$
दिया गया है:
$\text{म.स.प.} = 9$
$\text{संख्याओं का गुणनफल} (a \times b) = 288$
सूत्र में मान रखने पर:
$9 \times \text{ल.स.प.} = 288$
$\text{ल.स.प.} = \frac{288}{9}$
$\text{ल.स.प.} = 32$
अतः,दोनों संख्याओं का ल.स.प. $32$ है।

(A) $6$ और $20$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
$LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$6$ और $20$ का $LCM$ $60$ है।

(C) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम को छोड़कर,यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है। इस प्रमेय को 'अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय' के रूप में भी जाना जाता है।

(B) $5^{25}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
यह देखा गया है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।
अतः,$5^{25}$ का अंतिम अंक $5$ है।

(B) किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$.

(B) $6, 72,$ और $120$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
ल.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
ल.स.प. $= 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
ल.स.प. $= 8 \times 9 \times 5$
ल.स.प. $= 72 \times 5 = 360$
अतः,$6, 72,$ और $120$ का ल.स.प. $360$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
यहाँ $HCF(a, b) = 8$ और $LCM(a, b) = 64$ दिया गया है,इसलिए:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
चूंकि $8$ $HCF$ है,इसलिए $a$ और $b$ दोनों $8$ के गुणज होने चाहिए। मान लीजिए $a = 8x$ और $b = 8y$,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ (क्योंकि $a > b$ है)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x$ और $y$ के लिए संभावित युग्म $(x, y)$ जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ है,$(8, 1)$ है।
यदि $x = 8$ और $y = 1$ है,तो $a = 8 \times 8 = 64$ और $b = 8 \times 1 = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > b$ है,इसलिए $a = 64$ सही मान है।

(D) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि हम देख सकते हैं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का परिणाम हमेशा $5$ अंक पर समाप्त होता है। अतः,अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(A) दी गई संख्या $0.01111...$ है,जिसे $0.0\bar{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.0111...$ (समीकरण $1$)।
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 0.1111...$ (समीकरण $2$)।
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 1.1111...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$।
$90x = 1$।
$x = \frac{1}{90}$।
चूंकि इस संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(C) $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने के लिए,हम इसे सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते हैं:
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
अतः,$30$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।

(A) $13, 23$ और $31$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
$13 = 13 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$31 = 31 \times 1$
चूंकि $13, 23$ और $31$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं और $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है,इसलिए इनका म.स.प. $1$ है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\pi$ एक गणितीय स्थिरांक है जिसे वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसका दशमलव निरूपण अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) होता है।
इसलिए, $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $2^1 = 2$ है।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स.प. $2$ है।

(A) जब $(5k+1)^2$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करते हैं।
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
अब,हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
चूंकि $5(5k^2 + 2k)$ स्पष्ट रूप से $5$ से विभाज्य है,इसलिए पूरे व्यंजक को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) दी गई व्यंजक $\sqrt{1+1}$ है。
वर्गमूल के अंदर का योग करने पर: $1+1 = 2$ प्राप्त होता है。
अतः,व्यंजक $\sqrt{2}$ हो जाता है。
चूंकि $2$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है,इसलिए $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है。
अतः,सही विकल्प $B$ है。

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए मूलभूत गुणधर्म यह है:
$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
यहाँ दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$ है।
अतः,$a \times b = 7 \times 385$ होगा।
गुणनफल की गणना करने पर: $7 \times 385 = 2695$।
इस प्रकार,दोनों पूर्णांकों का गुणनफल $2695$ है।

(A) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का ल.स.प. $4$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $3 + \sqrt{16}$ है।
हम जानते हैं कि $\sqrt{16} = 4$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $3 + 4 = 7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $7$ को $p/q$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p=7$ और $q=1$ (दोनों पूर्णांक हैं और $q \neq 0$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) $5^{25}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
चूंकि $5$ की किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है,इसलिए $5^{25}$ का अंतिम अंक $5$ है।

(B) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.

(B) $6$,$72$ और $120$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5$
$LCM = 72 \times 5 = 360$
अतः,$6$,$72$ और $120$ का $LCM$ $360$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
यहाँ $HCF(a, b) = 8$ और $LCM(a, b) = 64$ दिया गया है,इसलिए:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
चूँकि $HCF(a, b) = 8$ है,इसलिए $a$ और $b$ दोनों $8$ के गुणज होने चाहिए। मान लीजिए $a = 8x$ और $b = 8y$,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और $x > y$ ($a > b$ के कारण)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x > y$ और $gcd(x, y) = 1$ के लिए $(x, y)$ के संभावित जोड़े $(8, 1)$ हैं।
यदि $x = 8$ और $y = 1$ है,तो $a = 8 \times 8 = 64$ और $b = 8 \times 1 = 8$ प्राप्त होता है।
$LCM$ की जाँच करने पर: $LCM(64, 8) = 64$,जो दी गई शर्त को पूरा करता है।
अतः,$a = 64$।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$LCM(2, 4)$ ज्ञात करने के लिए:
$2$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1$ है।
$4$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2$ है।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$LCM$ का मान $4$ है।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने हेतु:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि देखा जा सकता है,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5$ को स्वयं से $n$ बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है। अतः,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।