Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) माना कि दो वर्ष पहले माता,पिता और दो पुत्रियों की आयु का योग $S_{-2} = 40$ वर्ष था।
कुल $4$ व्यक्ति हैं।
आज (वर्तमान आयु) उनकी आयु का योग ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $4$ व्यक्ति के लिए $2$ वर्ष जोड़ेंगे:
$S_{present} = 40 + (4 \times 2) = 40 + 8 = 48$ वर्ष।
अब से $3$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक $4$ व्यक्ति के लिए $3$ वर्ष जोड़ेंगे:
$S_{+3} = 48 + (4 \times 3) = 48 + 12 = 60$ वर्ष।
अतः,तीन वर्ष बाद उनकी आयु का योग $60$ वर्ष होगा।

(A) $1$. मान लीजिए कि $x$ वर्ष पहले माता,पिता और दो बच्चों की आयु का योग $y$ था।
$2$. कुल व्यक्तियों की संख्या $4$ है (माता,पिता और दो बच्चे)।
$3$. उस समय से $x$ वर्ष बीत चुके हैं,इसलिए प्रत्येक व्यक्ति की आयु में $x$ वर्ष की वृद्धि हुई है। अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $y + (4 \times x) = y + 4x$ होगा।
$4$. हमें वर्तमान समय से $z$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग ज्ञात करना है।
$5$. $z$ वर्षों में,$4$ व्यक्तियों में से प्रत्येक की आयु $z$ वर्ष बढ़ेगी। इस प्रकार,उनकी आयु के योग में कुल वृद्धि $4 \times z = 4z$ होगी।
$6$. $z$ वर्ष बाद उनकी आयु का योग $(y + 4x) + 4z = y + 4x + 4z$ होगा।

(D) माना कि सफेद छड़ की लंबाई $W$ है और काली छड़ की लंबाई $B$ है।
चित्र के पहले भाग से,दोनों छड़ों की कुल लंबाई $22 \ cm$ है,इसलिए $W + B = 22$ है।
चित्र के दूसरे भाग से,सफेद छड़ काली छड़ से $5 \ cm$ लंबी है,इसलिए $W - B = 5$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(W + B) + (W - B) = 22 + 5$,जिससे $2W = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$W = 27 / 2 = 13.5 \ cm$ है।
सफेद छड़ की लंबाई $13.5 \ cm$ है।

(B) प्रत्येक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने पर:
$1.$ $2x - y = 4$ और $3x - 2y = 5$. पहले समीकरण से,$y = 2x - 4$. दूसरे में मान रखने पर: $3x - 2(2x - 4) = 5 \implies 3x - 4x + 8 = 5 \implies -x = -3 \implies x = 3$. अतः $y = 2(3) - 4 = 2$. इसलिए,$(1-b)$.
$2.$ $5x - y = 14$ और $4x - 3y = 9$. पहले से,$y = 5x - 14$. दूसरे में मान रखने पर: $4x - 3(5x - 14) = 9 \implies 4x - 15x + 42 = 9 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. अतः $y = 5(3) - 14 = 1$. इसलिए,$(2-c)$.
$3.$ $4x - 3y = 5$ और $3x - y = 5$. दूसरे से,$y = 3x - 5$. पहले में मान रखने पर: $4x - 3(3x - 5) = 5 \implies 4x - 9x + 15 = 5 \implies -5x = -10 \implies x = 2$. अतः $y = 3(2) - 5 = 1$. इसलिए,$(3-d)$.
$4.$ $3x - 2y = -1$ और $2x - 5y = -8$. पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $2$ से गुणा करने पर: $15x - 10y = -5$ और $4x - 10y = -16$. घटाने पर: $11x = 11 \implies x = 1$. अतः $3(1) - 2y = -1 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. इसलिए,$(4-a)$.
सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ है।

(C) दिए गए ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं।
समानांतर रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
चूंकि रैखिक समीकरणों के युग्म का हल रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है,और ये रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,इसलिए उनके बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः,इन रेखाओं द्वारा निरूपित समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।

(A) माना कि एक वृत्त का वजन $x$ है और एक वर्ग का वजन $y$ है।
पहले तराजू से,बाईं ओर $3$ वृत्त हैं और दाईं ओर $4$ वर्ग हैं,जो संतुलन में हैं। इसलिए,$3x = 4y$।
दूसरे तराजू से,बाईं ओर $1$ वृत्त और $2$ वर्ग हैं,और दाईं ओर $10$ इकाई का वजन है। इसलिए,$x + 2y = 10$।
अतः,समीकरणों का युग्म $3x = 4y$ और $x + 2y = 10$ है।

(A) मान लीजिए कि नरेश के पास $x$ रुपये हैं और योगेश के पास $y$ रुपये हैं।
पहली शर्त के अनुसार,नरेश के पास योगेश से दोगुनी राशि है,इसलिए $x = 2y$ है।
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि नरेश योगेश को ₹ $20$ देता है,तो नरेश की राशि $(x - 20)$ हो जाएगी और योगेश की राशि $(y + 20)$ हो जाएगी।
चूंकि अब दोनों के पास बराबर राशि है,इसलिए समीकरण $x - 20 = y + 20$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरणों का युग्म $x = 2y$ और $x - 20 = y + 20$ है।

(A) दी गई आकृति में,दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों की ज्यामितीय व्याख्या के अनुसार,यदि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल (केवल एक हल) होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब दो रेखाएँ संपाती होती हैं,तो रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों का एक सामान्य हल होता है।
चूँकि एक रेखा अनंत बिंदुओं से बनी होती है,इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म के अनंत हल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) रैखिक समीकरणों के युग्म $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए:
$1$. यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है (रिक्त समुच्चय)।
$2$. यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,तो समीकरण युग्म के अनंत हल हैं (अनंत समुच्चय)।
$3$. यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है,तो समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है (एकल समुच्चय)।
विश्लेषण:
$1. x+2y=3, 2x+4y=5$: यहाँ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{3}{5}$ है। यह $b$ (रिक्त समुच्चय) से मेल खाता है।
$2. 2x+3y=6, x+\frac{3}{2}y=3$: यहाँ $\frac{2}{1} = \frac{3}{1.5} = \frac{6}{3} = 2$ है। यह $c$ (अनंत समुच्चय) से मेल खाता है।
$3. 3x-y=0, x-y+6=0$: यहाँ $\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-1}$ है। यह $a$ (एकल समुच्चय) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a)$ है।