यदि बिंदु $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(a, 2)$ और $D(-4, -3)$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,तो $a$ का मान और $AB$ को आधार मानकर समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि $AC$ का मध्य-बिंदु $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर है।
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
अतः,$a$ का मान $-3$ है।
$AB$ को आधार मानते हुए,मान लीजिए $DP$ ऊँचाई है जहाँ $P$,$D$ से $AB$ पर डाला गया लंब है।
$(1, -2)$ और $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ की ढाल $m_1 = 5$ है। चूँकि $DP \perp AB$,इसलिए $DP$ की ढाल $m_2 = -1/5$ होगी।
$D(-4, -3)$ से गुजरने वाली और $-1/5$ ढाल वाली रेखा $DP$ का समीकरण:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$। ऊँचाई $DP$,$D(-4, -3)$ और $P(8/13, -51/13)$ के बीच की दूरी है:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ इकाई।