Mix Examples - Constructions Questions in Gujarati

(A) રેખાખંડ $AB$ ને $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરીએ છીએ.
ત્યારબાદ આપણે કિરણ $AX$ પર સમાન અંતરે $p+q$ બિંદુઓ અંકિત કરીએ છીએ,ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_{p+q}$,જેથી $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{p+q-1}A_{p+q}$ થાય.
આપણે છેલ્લા બિંદુ $A_{p+q}$ ને $B$ સાથે જોડીએ છીએ.
પછી,આપણે બિંદુ $A_p$ માંથી $A_{p+q}B$ ને સમાંતર રેખા દોરીએ છીએ જે $AB$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે છે.
આ બિંદુ $P$ રેખાખંડ $AB$ ને $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,કિરણ $AX$ પર અંકિત કરવાના બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $p+q$ છે.

(B) ધારો કે બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 35^{\circ}$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર,સ્પર્શ બિંદુઓ અને સ્પર્શકોના છેદબિંદુ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણમાં,સ્પર્શ બિંદુઓ પાસેના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોય છે (કારણ કે ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે).
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha + 90^{\circ} + \theta + 90^{\circ} = 360^{\circ}.$
$\alpha + \theta = 180^{\circ}.$
$\alpha = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે,રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,પ્રથમ એક કિરણ $AX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે છે,ત્યારબાદ સમાન અંતરે $m+n$ બિંદુઓ અંકિત કરો.
અહીં,$m=5$ અને $n=7$ છે.
તેથી,આ બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $= m+n = 5+7 = 12$ થાય.

(D) રેખાખંડને $m:n$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે પ્રથમ રેખાખંડ સાથે લઘુકોણ બનાવતું એક કિરણ દોરીએ છીએ.
ત્યારબાદ,આપણે કિરણ પર $m+n$ બિંદુઓ સમાન અંતરે અંકિત કરીએ છીએ.
અહીં,ગુણોત્તર $4:7$ છે,તેથી જરૂરી બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $4+7 = 11$ છે.
તેથી,આપણે કિરણ $AX$ પર $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ બિંદુઓ અંકિત કરીએ છીએ.
રચના પૂર્ણ કરવા માટે છેલ્લા બિંદુ $A_{11}$ ને બિંદુ $B$ સાથે જોડવામાં આવે છે.

(A) રેખાખંડ $AB$ ને $m: n$ (અહીં $5: 6$) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $AB$ સાથે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે તેવું કિરણ $AX$ દોરો.
$2$. $\angle ABY = \angle BAX$ થાય તે રીતે $AX$ ને સમાંતર કિરણ $BY$ દોરો.
$3$. $AX$ પર $m$ બિંદુઓ $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{5})$ અને $BY$ પર $n$ બિંદુઓ $(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{6})$ એવી રીતે લો કે જેથી $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{4}A_{5}$ અને $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \ldots = B_{5}B_{6}$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_{m}$ (જે $A_{5}$ છે) ને બિંદુ $B_{n}$ (જે $B_{6}$ છે) સાથે જોડો. રેખાખંડ $A_{5}B_{6}$ એ $AB$ ને બિંદુ $C$ માં છેદે છે,જે $AB$ નું $5: 6$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ $\triangle ABC$ ને $\frac{3}{7}$ ના ગુણોત્તરમાં સમરૂપ ત્રિકોણ રચવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $BC$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $BX$ દોરો.
$2$. $BX$ પર સમાન અંતરે $7$ બિંદુઓ $(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}, B_{7})$ અંકિત કરો,કારણ કે અપૂર્ણાંક $\frac{3}{7}$ નો છેદ $7$ છે.
$3$. ત્યારબાદનું પગલું છેલ્લા બિંદુ $B_{7}$ ને $C$ સાથે જોડવાનું છે,જેથી રચના માટેનો આધાર નક્કી કરી શકાય.

(C) જ્યારે કોઈ આપેલ ત્રિકોણને સમરૂપ ત્રિકોણની રચના કરવાની હોય,જેનો ગુણોત્તર $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ ધન પૂર્ણાંકો છે,ત્યારે કિરણ $BX$ પર અંકિત કરવાના બિંદુઓની સંખ્યા $m$ અને $n$ માંથી જે મોટી સંખ્યા હોય તેટલી લેવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,ગુણોત્તર $\frac{8}{5}$ છે.
અંશ $m = 8$ અને છેદ $n = 5$ ની સરખામણી કરતા,મોટી સંખ્યા $8$ છે.
તેથી,કિરણ $BX$ પર સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $8$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે અને બે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ છે. સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ છે.
ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં,સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ છે (કારણ કે સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે).
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\angle AOB + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB + 240^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(B) ખોટું.
ગુણોત્તર $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ નું સાદું રૂપ $1 : 1$ થાય છે.
જોકે,રેખાખંડને આપેલ $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવાની પ્રમાણિત ભૌમિતિક રચના પદ્ધતિમાં $m$ અને $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવા જરૂરી છે.
$2 \sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે અને તે ધન પૂર્ણાંક નથી,તેથી પ્રમાણિત માપપટ્ટી અને પરિકરની રચના પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણોત્તરમાં રેખાખંડનું વિભાજન કરવું શક્ય નથી.

(A) સાચું.
આપેલ ગુણોત્તર $= \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,બંને પદોને $\sqrt{3}$ વડે ગુણો:
$\sqrt{3} \times \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3 : 1$.
અહીં $3 : 1$ એ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણોત્તર હોવાથી,ફૂટપટ્ટી અને પરિકરનો ઉપયોગ કરીને એક સહાયક કિરણ પર $3 + 1 = 4$ સમાન ભાગો બનાવીને રેખાખંડને આ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવું શક્ય છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) ખોટું.
$\frac{7}{3}$ ના ગુણોત્તર સાથે $\triangle ABC$ ને સમાન ત્રિકોણ રચવા માટે,આપણે કિરણ $BX$ ને $7$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવું જોઈએ (કારણ કે $7 > 3$ છે).
રચનાના પગલાં:
$1.$ $BC$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $BX$ દોરો.
$2.$ $BX$ પર $7$ બિંદુઓ $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ એ રીતે લો કે જેથી $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ થાય.
$3.$ $B_{3}$ ને $C$ સાથે જોડો (કારણ કે છેદ $3$ છે).
$4.$ $B_{7}$ માંથી $B_{3}C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $BC$ ને $C'$ માં છેદે.
$5.$ $C'$ માંથી $AC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $BA$ ને $A'$ માં છેદે.
આપેલ વિધાન દાવો કરે છે કે $B_{6}C'$ એ $B_{3}C$ ને સમાંતર દોરવામાં આવે છે,જે ખોટું છે કારણ કે ગુણોત્તર $\frac{7}{3}$ છે,તેથી સમાંતર રેખા $B_{7}$ માંથી દોરવી જરૂરી છે,$B_{6}$ માંથી નહીં.

(B) ખોટું.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3.5 \, cm$ છે અને કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $d = 3 \, cm$ છે.
અહીં $d < r$ $(3 \, cm < 3.5 \, cm)$ હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તુળની અંદરના ભાગમાં આવેલું છે.
વર્તુળનો સ્પર્શક એ એવી રેખા છે જે વર્તુળને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે. જો કોઈ બિંદુ વર્તુળની અંદરના ભાગમાં આવેલું હોય,તો તે બિંદુમાંથી વર્તુળ પર કોઈ સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી.

(A) ખરું.
વર્તુળમાં,બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો અને સ્પર્શબિંદુઓને કેન્દ્ર સાથે જોડતા રેખાખંડો દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો પૂરક હોય છે (એટલે કે,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\phi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\theta + \phi = 180^{\circ}$.
અહીં સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $170^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $180^{\circ} - 170^{\circ} = 10^{\circ}$ થશે.
$10^{\circ} > 0^{\circ}$ હોવાથી,આવા સ્પર્શકોની જોડીની રચના કરવી ભૌમિતિક રીતે શક્ય છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,એક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ દોરો જ્યાં $AB = BC = CA = 4\, cm$ હોય.
$2$. શિરોબિંદુ $C$ ની વિરુદ્ધ બાજુએ $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. $AX$ પર $5$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ થાય.
$4$. $A_5$ ને $B$ સાથે જોડો. $A_3$ માંથી $A_5B$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $B'$ માં છેદે.
$5$. $B'$ માંથી $BC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AC$ ને $C'$ માં છેદે.
$6$. ત્રિકોણ $AB'C'$ એ $\triangle ABC$ ને સમરૂપ $\frac{3}{5}$ સ્કેલ ફેક્ટર ધરાવતો જરૂરી ત્રિકોણ છે.
$7$. અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,ખૂણાઓ સમાન રહે છે (દરેક $60^{\circ}$). તેથી,નવો ત્રિકોણ પણ સમબાજુ છે.

(N/A) $1.$ $AB = 7 \, cm$ લંબાઈનો એક રેખાખંડ દોરો.
$2.$ એક કિરણ $AX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle BAX$ બનાવે.
$3.$ $AX$ પર $3 + 5 = 8$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ થાય.
$4.$ $A_8B$ ને જોડો.
$5.$ $A_3$ માંથી,$A_3P \parallel A_8B$ દોરો જે $AB$ ને $P$ માં મળે (જેથી $A_3$ પર $\angle BA_8A$ જેટલો ખૂણો બને).
આમ,$P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $3: 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$AP: PB = 3: 5$ થાય.
સમર્થન:
ધારો કે $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ છે.
$\triangle ABA_8$ માં,આપણી પાસે $A_3P \parallel A_8B$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ થાય.
આમ,$AP: PB = 3: 5$ સાબિત થાય છે.

(A) રચનાના પગલાં:
$1.$ $BC = 12 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2.$ બિંદુ $B$ માંથી,$BC$ ને લંબ $AB = 5 \, cm$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle B = 90^{\circ}$ થાય.
$3.$ $AC$ ને જોડો. આમ,$\triangle ABC$ એ આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$4.$ $B$ માંથી,નીચેની તરફ લઘુકોણ $\angle CBY$ દોરો.
$5.$ કિરણ $BY$ પર ત્રણ બિંદુઓ $B_1, B_2$ અને $B_3$ એવા લો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ થાય.
$6.$ $B_3C$ ને જોડો.
$7.$ બિંદુ $B_2$ માંથી $B_2N \parallel B_3C$ દોરો જે $BC$ ને $N$ માં છેદે.
$8.$ બિંદુ $N$ માંથી $NM \parallel CA$ દોરો જે $BA$ ને $M$ માં છેદે. આમ,$\triangle MBN$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
$9.$ કારણ કે $NM \parallel CA$ અને $BC$ એ છેદિકા છે,તેથી અનુકોણ સમાન થાય. તેથી,$\angle MNB = \angle ACB$. બંને ત્રિકોણમાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\triangle MBN$ પણ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) $1.$ $6 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2.$ $B$ અને $C$ ને કેન્દ્ર લઈને,અનુક્રમે $4 \, cm$ અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાના બે ચાપ દોરો જે એકબીજાને $A$ માં છેદે.
$3.$ $BA$ અને $CA$ ને જોડો. $\triangle ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
$4.$ $B$ માંથી,$BC$ સાથે લઘુકોણ બનાવે તેવું કોઈ પણ કિરણ $BX$ નીચેની તરફ દોરો.
$5.$ $BX$ પર પાંચ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4$ અને $B_5$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ થાય.
$6.$ $B_3C$ ને જોડો. $B_5$ માંથી $B_5M \parallel B_3C$ દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $BC$ ને $M$ માં છેદે.
$7.$ બિંદુ $M$ માંથી $MN \parallel CA$ દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $BA$ ને $N$ માં છેદે. આમ,$\triangle NBM$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $\triangle ABC$ ની અનુરૂપ બાજુઓના $\frac{5}{3}$ ગણી છે.

(N/A) આપેલ છે કે,એક બિંદુ $M^{\prime}$ એ $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કેન્દ્રથી $6\, cm$ ના અંતરે આવેલું છે.
રચનાના પગલાં:
$1.$ $4\, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$2.$ $OM^{\prime}$ ને જોડો અને તેનો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M$ એ $OM^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$3.$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MO$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો જે આપેલ વર્તુળ $(O, 4\, cm)$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
$4.$ $PM^{\prime}$ અને $QM^{\prime}$ ને જોડો. $PM^{\prime}$ અને $QM^{\prime}$ એ $M^{\prime}$ માંથી વર્તુળ $C(O, 4\, cm)$ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $AB = 4 \, cm$ અને $\angle ABC = 60^{\circ}$ હોય તેવો સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ દોરો અને $AC$ ને જોડો.
ધોરણ $X$ ના ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં સૂચવ્યા મુજબ $\frac{2}{3}$ ના સ્કેલ ફેક્ટર સાથે $\triangle ABC$ ને સમરૂપ ત્રિકોણ $AB'C'$ ની રચના કરો.
અંતે,$CD$ ને સમાંતર રેખાખંડ $C'D'$ દોરો જેથી $D'$ એ $AD$ પર આવે.
ચૂંક $\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$,તેથી $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{2}{3}$ મળે.
ચૂંક $C'D' \parallel CD$,તેથી $\triangle AD'C' \sim \triangle ADC$. આમ,$\frac{AD'}{AD} = \frac{AC'}{AC} = \frac{C'D'}{CD} = \frac{2}{3}$ મળે.
ચૂંક $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $AB = BC = CD = AD$.
તેથી,$AB' = B'C' = C'D' = AD' = \frac{2}{3} AB$.
ચતુષ્કોણ $AB'C'D'$ ની ચારેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AB'C'D'$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) આપેલ છે: $AB = 5 \, cm$ અને $AC = 7 \, cm$.
વળી,$AP = \frac{3}{4} AB$ અને $AQ = \frac{1}{4} AC$.
લંબાઈની ગણતરી:
$AP = \frac{3}{4} \times 5 = 3.75 \, cm$.
$AQ = \frac{1}{4} \times 7 = 1.75 \, cm$.
રચનાના પગલાં:
$1$. $AB = 5 \, cm$ દોરો.
$2$. $AB$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતું કિરણ $AZ$ દોરો.
$3$. $AZ$ પર બિંદુ $C$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $AC = 7 \, cm$ થાય.
$4$. $AB$ પર $P$ બિંદુ મેળવવા માટે,રેખાખંડના વિભાજનની પ્રમાણિત રીતનો ઉપયોગ કરીને $AB$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરો.
$5$. $AC$ પર $Q$ બિંદુ મેળવવા માટે,રેખાખંડના વિભાજનની પ્રમાણિત રીતનો ઉપયોગ કરીને $AC$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરો.
$6$. $PQ$ ને જોડો.
$7$. માપન દ્વારા,$PQ$ ની લંબાઈ આશરે $3.25 \, cm$ મળે છે.

(A) $1.$ $3 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$2.$ $\angle ABY = 60^{\circ}$ માપનો ખૂણો બનાવતું કિરણ $BY$ દોરો.
$3.$ $B$ ને કેન્દ્ર ગણી અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યા લઈ એક ચાપ દોરો જે કિરણ $BY$ ને બિંદુ $C$ માં છેદે.
$4.$ કિરણ $BY$ ને સમાંતર કિરણ $AZ$ દોરો જેથી $\angle BAZ = 120^{\circ}$ થાય (કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$).
$5.$ $A$ ને કેન્દ્ર ગણી અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યા લઈ એક ચાપ દોરો જે કિરણ $AZ$ ને બિંદુ $D$ માં છેદે.
$6.$ $CD$ ને જોડો જેથી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ પૂર્ણ થાય.
$7.$ $BD$ ને જોડો,જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ છે.
$8.$ $B$ માંથી નીચેની તરફ કોઈ પણ કિરણ $BX$ દોરો જે લઘુકોણ $\angle CBX$ બનાવે.
$9.$ $BX$ પર $4$ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ થાય.
$10.$ $B_3C$ ને જોડો અને $B_4$ માંથી $B_3C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BC$ ને $C'$ માં છેદે.
$11.$ બિંદુ $C'$ માંથી $C'D' \parallel CD$ દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BD$ ને $D'$ માં છેદે.
$12.$ રેખાખંડ $D'A'$ દોરો જે $DA$ ને સમાંતર હોય,જ્યાં $A'$ એ લંબાવેલી બાજુ $BA$ પર આવેલું છે.
$13.$ હા,$A'BCD'$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે રચના મુજબ,$A'D' \parallel BC$ અને $A'B \parallel D'C'$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $O$ કેન્દ્ર અને $3\, cm$ તથા $5\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા બે એકકેન્દ્રીય વર્તુળો. આપણે બહારના વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ માંથી અંદરના વર્તુળ પર સ્પર્શકોની જોડી દોરવાની છે.
રચનાના પગલાં:
$1.$ $O$ કેન્દ્ર અને $3\, cm$ તથા $5\, cm$ ત્રિજ્યાવાળા બે એકકેન્દ્રીય વર્તુળો દોરો.
$2.$ બહારના વર્તુળ પર કોઈ બિંદુ $P$ લો. $OP$ ને જોડો.
$3.$ $OP$ નો દ્વિભાજક દોરો. ધારો કે $M'$ એ $OP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$4.$ $M'$ ને કેન્દ્ર અને $OM'$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક તૂટક વર્તુળ દોરો જે અંદરના વર્તુળને $M$ અને $P'$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$5.$ $PM$ અને $PP'$ ને જોડો. આમ,$PM$ અને $PP'$ એ જરૂરી સ્પર્શકો છે.
$6.$ $PM$ અને $PP'$ માપતા,આપણને જણાય છે કે $PM = PP' = 4\, cm$.
વાસ્તવિક ગણતરી:
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMP$ માં,$\angle PMO = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $OP^2 = PM^2 + OM^2$
$PM^2 = OP^2 - OM^2$
$PM^2 = (5)^2 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$
$PM = \sqrt{16} = 4\, cm$.
આમ,બંને સ્પર્શકોની લંબાઈ $4\, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે $\triangle PQR$ અને $\triangle ABC$ સમરૂપ ત્રિકોણો છે. અનુરૂપ બાજુઓ વચ્ચેનો સ્કેલ ફેક્ટર $\frac{PQ}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ છે.
રચનાના પગલાં:
$1.$ $5 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2.$ $B$ અને $C$ ને કેન્દ્ર લઈને,$6 \, cm$ ત્રિજ્યાના બે ચાપ દોરો જે એકબીજાને $A$ માં છેદે.
$3.$ $BA$ અને $CA$ ને જોડો. આમ,$\triangle ABC$ એ માંગેલ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
$4.$ $B$ માંથી,લઘુકોણ $\angle CBX$ બનાવે તેવું કોઈ પણ કિરણ $BX$ દોરો.
$5.$ $BX$ પર ચાર બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3$ અને $B_4$ એવા લો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ થાય.
$6.$ $B_3C$ ને જોડો અને $B_4$ માંથી,$B_4R \parallel B_3C$ રેખા દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BC$ ને $R$ માં છેદે.
$7.$ $R$ બિંદુમાંથી,$RP \parallel CA$ દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BA$ ને $P$ માં મળે.
આમ,$\triangle PBR$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
સમર્થન:
$B_4R \parallel B_3C$ હોવાથી (રચના મુજબ),
$\therefore \frac{BC}{CR} = \frac{3}{1}$.
હવે,$\frac{BR}{BC} = \frac{BC + CR}{BC} = 1 + \frac{CR}{BC} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
વળી,$RP \parallel CA$ હોવાથી,$\triangle ABC \sim \triangle PBR$.
અને $\frac{PB}{AB} = \frac{RP}{CA} = \frac{BR}{BC} = \frac{4}{3}$.
આમ,નવો ત્રિકોણ આપેલ ત્રિકોણને સમરૂપ છે જેની બાજુઓ સમદ્વિબાજુ $\triangle ABC$ ની અનુરૂપ બાજુઓ કરતા $\frac{4}{3}$ ગણી છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1.$ $AB = 5 \, cm$ માપનો રેખાખંડ દોરો.
$2.$ બિંદુ $B$ આગળ,$\angle ABY = 60^{\circ}$ રચો અને $BY$ પર $BC = 6 \, cm$ માપ લો.
$3.$ $AC$ જોડો. આમ,$\triangle ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
$4.$ $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવે તેવું કિરણ $AX$ દોરો (જે શિરોબિંદુ $C$ ની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય).
$5.$ $AX$ પર $7$ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7$ એવા લો કે જેથી $AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = B_6B_7$ થાય.
$6.$ $B_7B$ જોડો. $B_5$ માંથી $B_7B$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $M$ માં છેદે.
$7.$ $M$ માંથી $BC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AC$ ને $N$ માં છેદે.
આમ,$\triangle AMN$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $\triangle ABC$ ની અનુરૂપ બાજુઓના $\frac{5}{7}$ ગણી છે.
યથાર્થતા:
$MN \parallel BC$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\triangle AMN \sim \triangle ABC$.
રચના મુજબ,$B_5M \parallel B_7B$. $\triangle ABB_7$ માં,થેલ્સના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AB_5}{AB_7} = \frac{5}{7}$.
$\triangle AMN \sim \triangle ABC$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{5}{7}$ થાય છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1.$ $O$ કેન્દ્ર અને $4 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
$2.$ એક ત્રિજ્યા $OA$ દોરો અને તેને $B$ સુધી લંબાવો જેથી $OA = AB = 4 \, cm$ થાય. આમ,$OB = 8 \, cm$ થશે.
$3.$ $A$ ને કેન્દ્ર ગણીને $AO = 4 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. ધારો કે આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$4.$ $BP$ અને $BQ$ ને જોડો. $BP$ અને $BQ$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
સમર્થન:
$\triangle OAP$ માં,$OA = OP = 4 \, cm$ (ત્રિજ્યાઓ) અને $AP = 4 \, cm$ ($A$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યા).
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\triangle OAP$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle OAP = 60^{\circ}$.
$OAB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BAP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\triangle BAP$ માં,$BA = AP = 4 \, cm$. તેથી,$\triangle BAP$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle ABP = \angle APB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle ABQ = 30^{\circ}$.
આમ,$\angle PBQ = \angle ABP + \angle ABQ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
માપન:
કેન્દ્ર $O$ અને છેદબિંદુ $B$ વચ્ચેનું અંતર $OB = OA + AB = 4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1.$ $6 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2.$ $B$ અને $C$ ને કેન્દ્ર લઈને,અનુક્રમે $4 \, cm$ અને $9 \, cm$ ત્રિજ્યાના બે ચાપ દોરો જે એકબીજાને $A$ માં છેદે.
$3.$ $BA$ અને $CA$ ને જોડો. $\triangle ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
$4.$ $B$ માંથી,નીચેની તરફ લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $BX$ દોરો.
$5.$ $BX$ પર ત્રણ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3$ એવા લો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ થાય.
$6.$ $B_2C$ ને જોડો અને $B_3$ માંથી $B_3M \parallel B_2C$ દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BC$ ને $M$ માં છેદે.
$7.$ $M$ માંથી,$MN \parallel CA$ દોરો જે લંબાવેલા રેખાખંડ $BA$ ને $N$ માં છેદે.
આમ,$\triangle NBM$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $\triangle ABC$ ની અનુરૂપ બાજુઓ કરતા $\frac{3}{2}$ ગણી છે.
આ બંને ત્રિકોણો એકરૂપ નથી કારણ કે એકરૂપ ત્રિકોણોનો આકાર અને માપ સમાન હોવા જોઈએ. અહીં,ત્રિકોણો સમરૂપ છે (સમાન આકાર),પરંતુ તેમના માપ અલગ છે.
યથાર્થતા:
કારણ કે $B_3M \parallel B_2C$,તેથી પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{BC}{CM} = \frac{BB_2}{B_2B_3} = \frac{2}{1}$.
હવે,$\frac{BM}{BC} = \frac{BC + CM}{BC} = 1 + \frac{CM}{BC} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
વળી,$MN \parallel CA$,તેથી $\triangle ABC \sim \triangle NBM$.
આમ,$\frac{NB}{AB} = \frac{NM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{2}$.

(N/A) માહિતી: $5.9\,cm$ લંબાઈનો $\overline{ AB }$ આપેલ છે.
રચના: $\overline{ AB }$ ને $A$ થી $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવાનો છે.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ ના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં $\overline{ AB }$ ને સમાવતા,$\overrightarrow{ AX }$ અને $\overrightarrow{ BY }$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle XAB$ અને $\angle YBA$ એકરૂપ લઘુકોણ બને.
$(2)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A$ લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો એક ચાપ $A_{1}$ પર દોરો. તેવી જ રીતે,કેન્દ્ર $A_{1}$ અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{2}$ પર દોરો જેથી $A-A_{1}-A_{2}$ થાય. તેવી જ રીતે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A_{k}$ લઈને $\overrightarrow{ AX }$ ને છેદતો ચાપ $A_{k+1}$ પર દોરો જેથી $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ થાય,જ્યાં $k=2, 3, 4$. આમ,આપણને $\overrightarrow{ AX }$ પર પાંચ બિંદુઓ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ અને $A_{5}$ મળે છે જેથી $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ થાય.
$(3)$ હવે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ થી શરૂ કરીને,$\overrightarrow{ BY }$ પર સાત બિંદુઓ $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ અને $B_{7}$ મેળવો જેથી $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ થાય.
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ દોરો જે $\overline{ AB }$ ને $M$ માં છેદે છે.
આમ,$M \in \overline{ AB }$ એ બિંદુ છે જે $\overline{ AB }$ ને $5: 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
સમર્થન: અહીં $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$. કારણ કે $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ અને $\Delta BB_{7}M$ વચ્ચેની સંગતતા $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ એ સમરૂપતા છે.
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.

(N/A) માહિતી: $\overline{AB}$ આપેલ છે.
રચના: $\overline{AB}$ ને $A$ થી શરૂ કરીને $2: 3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરવાનું છે.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overline{AB}$ ને સમાવતા $\overleftrightarrow{AB}$ ના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં,$\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{BY}$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $\angle XAB$ અને $\angle YBA$ સમાન લઘુકોણ બને.
$(2)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $A$ લઈને,$\overrightarrow{AX}$ ને છેદતો ચાપ દોરીને $A_1$ મેળવો. તેવી જ રીતે,$A_1$ ને કેન્દ્ર અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{AX}$ ને છેદતો ચાપ દોરીને $A_2$ મેળવો જેથી $A-A_1-A_2$ થાય. આ રીતે,$k=2, 3, 4, \dots, 8$ માટે $A_k$ ને કેન્દ્ર અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને $\overrightarrow{AX}$ પર $A_{k+1}$ મેળવો. આમ,$\overrightarrow{AX}$ પર નવ બિંદુઓ $A_1, A_2, \dots, A_9$ મળે છે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$ થાય.
$(3)$ હવે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ લઈને,$\overrightarrow{BY}$ પર નવ બિંદુઓ $B_1, B_2, \dots, B_9$ મેળવો જેથી $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_8B_9$ થાય.
$(4)$ $\overline{A_2B_7}$ અને $\overline{A_5B_4}$ દોરો,જેથી $\overline{A_2B_7}$ એ $\overline{AB}$ ને $M$ માં અને $\overline{A_5B_4}$ એ $\overline{AB}$ ને $N$ માં છેદે.
આમ,આપણને બિંદુઓ $M$ અને $N$ મળે છે જે $\overline{AB}$ ને $A$ થી $2: 3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $AM : MN : NB = 2: 3: 4$.
સમર્થન: અહીં,$\overleftrightarrow{AX}$,$\overleftrightarrow{AB}$ અને $\overleftrightarrow{BY}$ છેદિકાઓ પર $\overline{A_2B_7} \parallel \overline{A_5B_4}$ દ્વારા બનતા અંતઃખંડો પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$AM : MN : NB = AA_2 : A_2A_5 : A_5A_9 = B_9B_7 : B_7B_4 : B_4B = 2: 3: 4$.

(N/A) માહિતી: $\Delta ABC$ રચો જેમાં $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ અને $AC = 5 \, cm$ છે.
રચના: $\Delta ABC$ ને સમરૂપ $\Delta BPQ$ રચો જેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $2:3$ થાય.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\Delta ABC$ રચો જેમાં $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ અને $AC = 5 \, cm$ છે.
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ ના જે અર્ધતલમાં $A$ નથી,તે અર્ધતલમાં $\overrightarrow{BX}$ કિરણ દોરો જેથી $\angle CBX$ લઘુકોણ બને.
$(3)$ યોગ્ય ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B$ લઈને,$\overrightarrow{BX}$ ને છેદતો ચાપ દોરો જે $B_1$ માં છેદે. તેવી જ રીતે,કેન્દ્ર $B_1$ અને તે જ ત્રિજ્યા લઈને,$\overrightarrow{BX}$ ને છેદતો ચાપ દોરો જે $B_2$ માં છેદે,જેથી $B-B_1-B_2$ થાય. ફરીથી,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $B_2$ લઈને,$\overrightarrow{BX}$ ને છેદતો ચાપ દોરો જે $B_3$ માં છેદે,જેથી $B_1-B_2-B_3$ થાય.
$(4)$ રેખાખંડ $\overline{B_3C}$ દોરો.
$(5)$ $B_2$ માંથી $\overline{B_3C}$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{BC}$ ને $P$ માં છેદે.
$(6)$ $P$ માંથી $\overline{CA}$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{AB}$ ને $Q$ માં છેદે.
આમ,$\Delta BPQ$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
સમર્થન: $\overleftrightarrow{BX}$ અને $\overleftrightarrow{BC}$ એ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ ની છેદિકાઓ છે.
તેથી,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$.
તે જ રીતે,$\overleftrightarrow{BC}$ અને $\overleftrightarrow{BA}$ એ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ ની છેદિકાઓ છે.
તેથી,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$.

(N/A) માહિતી: $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 45^{\circ}$ અને $PQ = 6 \text{ cm}$ હોય તેવો $\Delta PQR$ રચો.
રચના: $\Delta PQR$ ને સમરૂપ $\Delta PBC$ રચો જેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $5:3$ થાય.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $m \angle P=60^{\circ}, m \angle Q=45^{\circ}$ અને $PQ = 6 \text{ cm}$ હોય તેવો $\Delta PQR$ રચો.
$(2)$ $\overleftrightarrow{PQ}$ ના જે અર્ધતલમાં $R$ ન હોય,તે અર્ધતલમાં $\overrightarrow{PZ}$ કિરણ દોરો જેથી $\angle QPZ$ લઘુકોણ થાય.
$(3)$ અનુકૂળ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $P$ લઈને,$\overrightarrow{PZ}$ ને $P_1$ માં છેદતું ચાપ દોરો. તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $P_1$ લઈને,$\overrightarrow{PZ}$ ને $P_2$ માં છેદતું ચાપ દોરો જેથી $P-P_1-P_2$ થાય. તેવી જ રીતે,તે જ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $P_k$ લઈને,$\overrightarrow{PZ}$ ને $P_{k+1}$ માં છેદતું ચાપ દોરો જેથી $P_{k-1}-P_k-P_{k+1}$ થાય,જ્યાં $k=2, 3, 4$.
$(4)$ $\overline{P_3Q}$ દોરો.
$(5)$ $P_5$ માંથી $\overline{P_3Q}$ ને સમાંતર કિરણ દોરો જે $\overrightarrow{PQ}$ ના લંબાવેલા ભાગને $B$ માં છેદે.
$(6)$ $B$ માંથી $\overline{QR}$ ને સમાંતર કિરણ દોરો જે $\overrightarrow{PR}$ ના લંબાવેલા ભાગને $C$ માં છેદે.
આમ,$\Delta PBC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
સમર્થન: $\Delta PP_5B$ માં,$P-P_3-P_5$,$P-Q-B$ અને $\overline{P_3Q} \parallel \overline{P_5B}$.
$\therefore \frac{PB}{PQ} = \frac{PP_5}{PP_3} = \frac{5}{3}$.
તે જ રીતે,$\Delta PBC$ માં,$P-Q-B$,$P-R-C$ અને $\overline{QR} \parallel \overline{BC}$.
$\therefore \frac{PC}{PR} = \frac{PB}{PQ} = \frac{5}{3}$.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8.2 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ દોરો.
$2$. રેખાખંડ $\overline{PQ}$ ની નીચે બિંદુ $P$ આગળ લઘુકોણ $\angle QPX$ રચો.
$3$. બિંદુ $P$ થી શરૂ કરીને,કિરણ $PX$ પર $3 + 7 = 10$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_{10}$ ને $Q$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_{10}Q$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{PQ}$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે.
$6$. બિંદુ $R$ એ $\overline{PQ}$ નું $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જેથી $PR:RQ = 3:7$ થાય.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $10 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
$2$. $\overline{AB}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. કિરણ $AX$ પર $3 + 8 = 11$ બિંદુઓ $A_1, A_2, ..., A_{11}$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = ... = A_{10}A_{11}$ થાય.
$4$. $B$ ને $A_{11}$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_{11}B$ ને સમાંતર રેખા દોરો ($\angle AA_{11}B$ જેટલો ખૂણો બનાવીને) જે $\overline{AB}$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે.
$6$. આમ,$P$ એ બિંદુ છે જે $\overline{AB}$ નું $3:8$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $9\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{XY}$ દોરો.
$2$. બિંદુ $X$ આગળ $\overline{XY}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $XP$ દોરો.
$3$. કિરણ $XP$ પર $2 + 5 = 7$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $XA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ થાય.
$4$. $A_7$ ને $Y$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_2$ માંથી $A_7Y$ ને સમાંતર રેખા દોરો (અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન બનાવીને) જે $\overline{XY}$ ને બિંદુ $Z$ માં છેદે.
$6$. આમ,બિંદુ $Z$ એ $\overline{XY}$ નું $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$2$. $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. કિરણ $AX$ પર $3 + 5 = 8$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ થાય.
$4$. બિંદુ $A_8$ ને $B$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_3$ માંથી $A_8B$ ને સમાંતર રેખા દોરો (અનુકોણ સમાન બનાવીને) જે $AB$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે.
$6$. આમ,$M$ એ $AB$ પરનું એવું બિંદુ છે જે તેને $3 : 5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7.5\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{XY}$ દોરો.
$2$. બિંદુ $X$ આગળ રેખાખંડ $\overline{XY}$ ની નીચે એક લઘુકોણ $\angle YXA$ બનાવો.
$3$. $X$ થી શરૂ કરીને,કિરણ $XA$ પર $3 + 4 + 5 = 12$ બિંદુઓ $X_1, X_2, ..., X_{12}$ એ રીતે અંકિત કરો કે જેથી $XX_1 = X_1X_2 = ... = X_{11}X_{12}$ થાય.
$4$. બિંદુ $X_{12}$ ને $Y$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $X_3$ અને $X_7$ માંથી (કારણ કે $3$ અને $3+4=7$),$X_{12}Y$ ને સમાંતર રેખાઓ દોરો જે $\overline{XY}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે.
$6$. આમ,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $\overline{XY}$ નું $3:4:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8.5 \text{ cm}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ દોરો.
$2$. $\overline{PQ}$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કોઈ પણ કિરણ $PY$ દોરો.
$3$. કિરણ $PY$ પર $4 + 7 = 11$ બિંદુઓ $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{10}A_{11}$ થાય.
$4$. $A_{11}$ ને $Q$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_4$ માંથી (ગુણોત્તર $4:7$ હોવાથી),$A_{11}Q$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{PQ}$ ને બિંદુ $X$ માં છેદે.
$6$. આમ,$X$ એ $\overline{PQ}$ પરનું એવું બિંદુ છે જે તેને $4 : 7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $7 \,cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{ AB }$ દોરો.
$2$. બિંદુ $A$ આગળ રેખાખંડ $\overline{ AB }$ સાથે લઘુકોણ બનાવતો કિરણ $AX$ દોરો.
$3$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને કિરણ $AX$ પર $5$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ એવા લો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ થાય.
$4$. $A_5$ ને $B$ સાથે જોડો.
$5$. બિંદુ $A_2$ માંથી $A_5B$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $\overline{ AB }$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે.
$6$. આમ,$M$ એ $\overline{ AB }$ પરનું માંગેલું બિંદુ છે જેથી $AM : AB = 2 : 5$ થાય.

(N/A) સોપાન $1$: ફૂટપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $8\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
સોપાન $2$: બિંદુ $A$ આગળ રેખાખંડ $\overline{AB}$ સાથે લઘુકોણ $\angle BAX$ રચો.
સોપાન $3$: કિરણ $AX$ પર પરિકરની મદદથી $2 + 3 + 5 = 10$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ એવા મેળવો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ થાય.
સોપાન $4$: છેલ્લા બિંદુ $A_{10}$ ને બિંદુ $B$ સાથે જોડો.
સોપાન $5$: બિંદુ $A_2$ અને $A_5$ માંથી (કારણ કે $2$ અને $2+3=5$),$A_{10}B$ ને સમાંતર રેખાઓ દોરો જે $\overline{AB}$ ને અનુક્રમે બિંદુ $P$ અને $Q$ માં છેદે.
સોપાન $6$: બિંદુ $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $2:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. $6 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2$. $B$ ને કેન્દ્ર લઈ $3 \, cm$ ત્રિજ્યા વડે એક ચાપ દોરો. $C$ ને કેન્દ્ર લઈ $5 \, cm$ ત્રિજ્યા વડે બીજો ચાપ દોરો જે પ્રથમ ચાપને $A$ માં છેદે.
$3$. $AB$ અને $AC$ ને જોડીને $\Delta ABC$ મેળવો.
$4$. $BC$ ની જે બાજુએ શિરોબિંદુ $A$ નથી તે બાજુએ $BC$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $BX$ દોરો.
$5$. કિરણ $BX$ પર $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ થાય તેવા $4$ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4$ મેળવો.
$6$. $B_4C$ ને જોડો.
$7$. $B_3$ માંથી $B_4C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $BC$ ને $Q$ માં છેદે.
$8$. $Q$ માંથી $AC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $P$ માં છેદે.
$9$. $\Delta BPQ$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $7 \text{ cm}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2$. $B$ ને કેન્દ્ર લઈ $6 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા વડે એક ચાપ દોરો. $C$ ને કેન્દ્ર લઈ $5 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા વડે બીજો ચાપ દોરો જે પ્રથમ ચાપને $A$ માં છેદે.
$3$. $AB$ અને $AC$ ને જોડીને $\Delta ABC$ પૂર્ણ કરો.
$4$. $BC$ ની નીચેની તરફ બિંદુ $B$ આગળ લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $BX$ દોરો.
$5$. કિરણ $BX$ પર $5$ સમાન અંતરે બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ મેળવો જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ થાય.
$6$. $B_5$ અને $C$ ને જોડો.
$7$. $B_4$ માંથી $B_5C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $BC$ ને $Y$ માં છેદે.
$8$. $Y$ માંથી $CA$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $X$ માં છેદે. આમ,$\Delta BXY$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $7 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $QR$ દોરો.
$2$. બિંદુ $Q$ પર કોણમાપક અથવા પરિકરની મદદથી $45^{\circ}$ નો ખૂણો રચો.
$3$. બિંદુ $R$ પર પરિકરની મદદથી $60^{\circ}$ નો ખૂણો રચો.
$4$. આ બંને કિરણો જ્યાં છેદે તેને બિંદુ $P$ નામ આપો. આમ,$\Delta PQR$ તૈયાર થશે.
$5$. પાયા $QR$ ની નીચેના ભાગમાં લઘુકોણ $\angle RQX$ રચો.
$6$. કિરણ $QX$ પર $QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4$ થાય તેવા $4$ બિંદુઓ $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ મેળવો.
$7$. $Q_3$ ને $R$ સાથે જોડો. $Q_4$ માંથી $Q_3R$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $QR$ ને $R'$ માં છેદે.
$8$. $R'$ માંથી $RP$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $QP$ ને $P'$ માં છેદે.
$9$. $\Delta P'QR'$ એ $\Delta PQR$ ને સમરૂપ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓનું પ્રમાણ $\frac{4}{3}$ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $6\, cm$ બાજુ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta XYZ$ દોરો.
$2$. શિરોબિંદુ $X$ આગળ $XY$ સાથે લઘુકોણ બનાવતું કિરણ $XS$ દોરો (જે $Z$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય).
$3$. કિરણ $XS$ પર $5$ બિંદુઓ $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $XX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 = X_4X_5$ થાય.
$4$. $X_4$ ને $Y$ સાથે જોડો. $X_5$ માંથી $X_4Y$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $XY$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે.
$5$. $M$ માંથી $YZ$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ રેખાખંડ $XZ$ ને બિંદુ $N$ માં છેદે.
$6$. આમ,$\Delta XMN$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે જે $\Delta XYZ$ ને સમરૂપ છે અને જેની બાજુઓનું પ્રમાણ $\frac{5}{4}$ છે.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $6 \text{ cm}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ પર કોણમાપક અથવા પરિકરની મદદથી $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવો.
$3$. $B$ માંથી નીકળતા કિરણ પર $5 \text{ cm}$ નો ચાપ મારીને બિંદુ $A$ મેળવો. $AC$ ને જોડીને $\Delta ABC$ પૂર્ણ કરો.
$4$. $BC$ ની નીચે એક લઘુકોણ $\angle CBX$ દોરો.
$5$. $BX$ પર $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ થાય તેવા $3$ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3$ અંકિત કરો.
$6$. $B_2$ ને $C$ સાથે જોડો. $B_3$ માંથી $B_2C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $BC$ ને $Q$ માં છેદે.
$7$. $Q$ માંથી $AC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $BA$ ને $P$ માં છેદે.
$8$. $\Delta BPQ$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. $8 \, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $BC$ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ આગળ પરિકર અને માપપટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવો.
$3$. બિંદુ $B$ થી $60^\circ$ ના ખૂણે આવેલા કિરણ પર $6 \, cm$ નો ચાપ મારીને બિંદુ $A$ મેળવો. $AC$ ને જોડીને $\Delta ABC$ પૂર્ણ કરો.
$4$. રેખાખંડ $BC$ ની નીચે એક લઘુકોણ $\angle CBZ$ દોરો.
$5$. કિરણ $BZ$ પર $5$ બિંદુઓ $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ એ રીતે મેળવો કે જેથી $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ થાય.
$6$. $B_5$ ને $C$ સાથે જોડો.
$7$. $B_4$ માંથી $B_5C$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $BC$ ને $Y$ માં છેદે.
$8$. $Y$ માંથી $AC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $X$ માં છેદે.
$9$. $\Delta BXY$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે જે $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે અને તેની બાજુઓનું પ્રમાણ $\frac{4}{5}$ છે.

(N/A) રચનાના સોપાન:
$1$. $6\, cm$ લંબાઈનો રેખાખંડ $YZ$ દોરો.
$2$. $Y$ ને કેન્દ્ર ગણી $4\, cm$ ત્રિજ્યા લઈ એક ચાપ દોરો.
$3$. $Z$ ને કેન્દ્ર ગણી $7\, cm$ ત્રિજ્યા લઈ અગાઉના ચાપને છેદતો બીજો ચાપ દોરો,જે છેદબિંદુ $X$ છે.
$4$. $XY$ અને $XZ$ જોડીને $\Delta XYZ$ પૂર્ણ કરો.
$5$. $Y$ આગળ રેખા $YZ$ ની નીચેની તરફ લઘુકોણ $\angle ZYA$ રચો.
$6$. કિરણ $YA$ પર $YY_1 = Y_1Y_2 = Y_2Y_3 = Y_3Y_4$ થાય તેવા $4$ બિંદુઓ $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ અંકિત કરો.
$7$. $Y_3$ અને $Z$ ને જોડો.
$8$. $Y_4$ માંથી $Y_3Z$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $YZ$ ને $N$ માં છેદે.
$9$. $N$ માંથી $XZ$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $YX$ ને $M$ માં છેદે.
$10$. $\Delta YMN$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.

(N/A) માહિતી: $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના બહારના ભાગમાં બિંદુ $B$ એ રીતે લો કે જેથી $AB = 8 \, cm$ થાય.
રચના: બિંદુ $B$ માંથી $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને બે સ્પર્શકો દોરો.
રચનાના પગલાં:
$1$. $A$ કેન્દ્ર અને $5 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહાર બિંદુ $B$ એ રીતે લો કે જેથી $AB = 8 \, cm$ થાય.
$2$. રેખાખંડ $\overline{AB}$ દોરો.
$3$. $\overline{AB}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો જે મૂળ વર્તુળને $X$ અને $Y$ બિંદુમાં છેદે.
$5$. કિરણો $\overrightarrow{BX}$ અને $\overrightarrow{BY}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{BX}$ અને $\overleftrightarrow{BY}$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.
ગણતરી: $\triangle AXB$ માં,$\angle AXB = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળનો ખૂણો). પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AX^2 + BX^2$.
$8^2 = 5^2 + BX^2 \implies 64 = 25 + BX^2 \implies BX^2 = 39 \implies BX = \sqrt{39} \approx 6.24 \, cm$.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈ આશરે $6.24 \, cm$ છે.

(N/A) માહિતી: બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહારના ભાગમાં બિંદુ $A$ લો.
રચના: $A$ માંથી વર્તુળને સ્પર્શકો દોરવાના છે.
$(1)$ બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને વર્તુળની બહારના ભાગમાં બિંદુ $A$ લો.
$(2)$ આ વર્તુળમાં બે સમાંતર ન હોય તેવી જીવાઓ $\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ દોરો.
$(3)$ $\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો જે એકબીજાને $O$ માં છેદે. અહીં,$O$ એ બંગડીની મદદથી દોરેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$(4)$ $\overline{OA}$ દોરો.
$(5)$ $\overline{OA}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને $\overline{OA}$ નું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$(6)$ $M$ ને કેન્દ્ર અને $MA$ ને ત્રિજ્યા લઈ એક વર્તુળ દોરો જે પ્રથમ વર્તુળને $X$ અને $Y$ માં છેદે.
$(7)$ કિરણો $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AY}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{AX}$ અને $\overleftrightarrow{AY}$ એ માંગેલા સ્પર્શકો છે.

(N/A) માહિતી: $\overline{AB}$ દોરો જેથી $AB = 10 \, cm$ થાય. $\odot(A, 3 \, cm)$ અને $\odot(B, 4 \, cm)$ દોરો.
રચના: દરેક વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી બીજા વર્તુળ પર સ્પર્શકો દોરવા.
રચનાના પગલાં:
$(1)$ $\overline{AB}$ દોરો જેથી $AB = 10 \, cm$ થાય. $\odot(A, 3 \, cm)$ અને $\odot(B, 4 \, cm)$ દોરો.
$(2)$ $\overline{AB}$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$(3)$ $\odot(M, MA)$ દોરો જે $\odot(A, 3 \, cm)$ ને $S$ અને $T$ માં અને $\odot(B, 4 \, cm)$ ને $X$ અને $Y$ માં છેદે.
$(4)$ $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AY}$ તેમજ $\overrightarrow{BS}$ અને $\overrightarrow{BT}$ દોરો.
આમ,$\overleftrightarrow{AX}$ અને $\overleftrightarrow{AY}$ એ $A$ માંથી $\odot(B, 4 \, cm)$ પરના સ્પર્શકો છે અને $\overleftrightarrow{BS}$ અને $\overleftrightarrow{BT}$ એ $B$ માંથી $\odot(A, 3 \, cm)$ પરના સ્પર્શકો છે.

(N/A) માહિતી: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ દોરો.
રચના: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ ને સ્પર્શકોની એવી જોડ દોરો કે જેથી તેમના છેદબિંદુ $A$ આગળ સ્પર્શકો વચ્ચેના ખૂણાનું માપ $60^\circ$ થાય.
$(1)$ $\odot(P, 4 \text{ cm})$ દોરો અને બે ત્રિજ્યાઓ $\overline{PR}$ અને $\overline{PQ}$ એવી રીતે દોરો કે જેથી $m\angle RPQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થાય.
$(2)$ $R$ માંથી,$\overline{PR}$ ને લંબ રેખા દોરો.
$(3)$ $Q$ માંથી,$\overline{PQ}$ ને લંબ રેખા દોરો.
$(4)$ ધારો કે સ્ટેપ $(2)$ અને સ્ટેપ $(3)$ માં દોરેલી રેખાઓ $A$ માં છેદે છે.
આમ,$\overleftrightarrow{AR}$ અને $\overleftrightarrow{AQ}$ એ જરૂરી સ્પર્શકો છે કે જેથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ $60^\circ$ થાય.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$1$. $P$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈ $3\, cm$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરો.
$2$. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ $R$ એ રીતે લો કે જેથી $PR = 6\, cm$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $PR$ નો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ $M$ મેળવો.
$4$. $M$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $MP$ (અથવા $MR$) જેટલી ત્રિજ્યા લઈને બીજું વર્તુળ દોરો.
$5$. આ વર્તુળ મૂળ વર્તુળને જે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેમને $A$ અને $B$ નામ આપો.
$6$. $RA$ અને $RB$ જોડો. આમ,$RA$ અને $RB$ એ બિંદુ $R$ માંથી વર્તુળ $\odot(P, 3\, cm)$ પરના માંગેલા સ્પર્શકો છે.