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Mix Examples - Constructions Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Constructions · Mix Examples - Constructions
60+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 60 questions in Hindi
1
MediumMCQ
एक रेखाखंड $AB$ को $p:q$ ($p, q$ धनात्मक पूर्णांक हैं) के अनुपात में विभाजित करने के लिए,एक किरण $AX$ खींचें ताकि $\angle BAX$ एक न्यून कोण हो और फिर किरण $AX$ पर समान दूरी पर बिंदु अंकित करें ताकि इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या हो
A
$p+q$
B
$p$ और $q$ में से जो बड़ा हो
C
$p+q-1$
D
$pq$
Solution
(A) एक रेखाखंड $AB$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम $AB$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचते हैं।
फिर हम किरण $AX$ पर समान दूरी पर $p+q$ बिंदु अंकित करते हैं,मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{p+q}$,ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{p+q-1}A_{p+q}$ हो।
हम अंतिम बिंदु $A_{p+q}$ को $B$ से मिलाते हैं।
फिर,हम बिंदु $A_p$ से $A_{p+q}B$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जो $AB$ को बिंदु $P$ पर काटती है।
यह बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,किरण $AX$ पर अंकित किए जाने वाले बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $p+q$ है।
फिर हम किरण $AX$ पर समान दूरी पर $p+q$ बिंदु अंकित करते हैं,मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{p+q}$,ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{p+q-1}A_{p+q}$ हो।
हम अंतिम बिंदु $A_{p+q}$ को $B$ से मिलाते हैं।
फिर,हम बिंदु $A_p$ से $A_{p+q}B$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं जो $AB$ को बिंदु $P$ पर काटती है।
यह बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,किरण $AX$ पर अंकित किए जाने वाले बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $p+q$ है।
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View Solution2
EasyMCQ
एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचने के लिए जो एक-दूसरे से $35^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई हैं,वृत्त की उन दो त्रिज्याओं के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं खींचना आवश्यक है,जिनके बीच का कोण है ($^{\circ}$ में)
A
$105$
B
$145$
C
$70$
D
$140$
Solution
(B) माना कि दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 35^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र,स्पर्श बिंदुओं और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा निर्मित चतुर्भुज में,स्पर्श बिंदुओं पर कोण $90^{\circ}$ होते हैं (क्योंकि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)।
इस प्रकार,चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि त्रिज्याओं के बीच का कोण $\alpha$ है।
तब,$\alpha + 90^{\circ} + \theta + 90^{\circ} = 360^{\circ}.$
$\alpha + \theta = 180^{\circ}.$
$\alpha = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}.$
वृत्त के केंद्र,स्पर्श बिंदुओं और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा निर्मित चतुर्भुज में,स्पर्श बिंदुओं पर कोण $90^{\circ}$ होते हैं (क्योंकि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)।
इस प्रकार,चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि त्रिज्याओं के बीच का कोण $\alpha$ है।
तब,$\alpha + 90^{\circ} + \theta + 90^{\circ} = 360^{\circ}.$
$\alpha + \theta = 180^{\circ}.$
$\alpha = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}.$
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View Solution3
MediumMCQ
एक रेखाखंड $AB$ को $5:7$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,पहले एक किरण $AX$ इस प्रकार खींची जाती है कि $\angle BAX$ एक न्यून कोण हो और फिर किरण $AX$ पर समान दूरी पर बिंदु अंकित किए जाते हैं,तो इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या है
A
$8$
B
$10$
C
$12$
D
$11$
Solution
(C) हम जानते हैं कि,एक रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,पहले एक किरण $AX$ खींचते हैं जो एक न्यून कोण $\angle BAX$ बनाती है,फिर समान दूरी पर $m+n$ बिंदु अंकित करते हैं।
यहाँ,$m=5$ और $n=7$ है।
अतः,इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $= m+n = 5+7 = 12$ है।
यहाँ,$m=5$ और $n=7$ है।
अतः,इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $= m+n = 5+7 = 12$ है।
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View Solution4
EasyMCQ
रेखाखंड $AB$ को $4:7$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,पहले एक किरण $AX$ इस प्रकार खींची जाती है कि $\angle BAX$ एक न्यून कोण हो और फिर किरण $AX$ पर समान दूरी पर बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots$ स्थित किए जाते हैं और बिंदु $B$ को किससे जोड़ा जाता है?
A
$A_{12}$
B
$A_{13}$
C
$A_9$
D
$A_{11}$
Solution
(D) एक रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम पहले रेखाखंड के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण खींचते हैं।
फिर,हम किरण पर समान दूरी पर $m+n$ बिंदु अंकित करते हैं।
यहाँ,अनुपात $4:7$ है,इसलिए आवश्यक बिंदुओं की कुल संख्या $4+7 = 11$ है।
इसलिए,हम किरण $AX$ पर $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ बिंदु अंकित करते हैं।
रचना को पूरा करने के लिए अंतिम बिंदु $A_{11}$ को बिंदु $B$ से जोड़ा जाता है।
फिर,हम किरण पर समान दूरी पर $m+n$ बिंदु अंकित करते हैं।
यहाँ,अनुपात $4:7$ है,इसलिए आवश्यक बिंदुओं की कुल संख्या $4+7 = 11$ है।
इसलिए,हम किरण $AX$ पर $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ बिंदु अंकित करते हैं।
रचना को पूरा करने के लिए अंतिम बिंदु $A_{11}$ को बिंदु $B$ से जोड़ा जाता है।
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View Solution5
DifficultMCQ
रेखाखंड $AB$ को $5: 6$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए,एक किरण $AX$ खींचें ताकि $\angle BAX$ एक न्यून कोण हो,फिर $AX$ के समानांतर एक किरण $BY$ खींचें और बिंदु $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ और $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots$ को क्रमशः किरण $AX$ और $BY$ पर समान दूरी पर स्थित करें। तो किन बिंदुओं को जोड़ा जाता है?
A
$A_{5}$ और $B_{6}$
B
$A_{6}$ और $B_{5}$
C
$A_{4}$ और $B_{5}$
D
$A_{5}$ और $B_{4}$
Solution
(A) रेखाखंड $AB$ को $m: n$ (यहाँ $5: 6$) के अनुपात में विभाजित करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. $AB$ के साथ एक न्यून कोण $\angle BAX$ बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचें।
$2$. $\angle ABY = \angle BAX$ बनाकर $AX$ के समानांतर एक किरण $BY$ खींचें।
$3$. $AX$ पर $m$ बिंदु $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{5})$ और $BY$ पर $n$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{6})$ इस प्रकार अंकित करें कि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{4}A_{5}$ और $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \ldots = B_{5}B_{6}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{m}$ (जो $A_{5}$ है) को बिंदु $B_{n}$ (जो $B_{6}$ है) से जोड़ें। रेखाखंड $A_{5}B_{6}$,$AB$ को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करता है,जो $AB$ को $5: 6$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$1$. $AB$ के साथ एक न्यून कोण $\angle BAX$ बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचें।
$2$. $\angle ABY = \angle BAX$ बनाकर $AX$ के समानांतर एक किरण $BY$ खींचें।
$3$. $AX$ पर $m$ बिंदु $(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{5})$ और $BY$ पर $n$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{6})$ इस प्रकार अंकित करें कि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{4}A_{5}$ और $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \ldots = B_{5}B_{6}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{m}$ (जो $A_{5}$ है) को बिंदु $B_{n}$ (जो $B_{6}$ है) से जोड़ें। रेखाखंड $A_{5}B_{6}$,$AB$ को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करता है,जो $AB$ को $5: 6$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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View Solution6
MediumMCQ
एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{7}$ हों,सबसे पहले एक किरण $BX$ इस प्रकार खींचें कि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो और $X$,$BC$ के सापेक्ष $A$ की विपरीत दिशा में स्थित हो। फिर $BX$ पर समान दूरी पर बिंदु $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \dots$ अंकित करें और अगला चरण किसे $C$ से जोड़ना है?
A
$B_{10}$ को $C$ से
B
$B_{7}$ को $C$ से
C
$B_{13}$ को $C$ से
D
$B_{4}$ को $C$ से
Solution
(B) एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप $\frac{3}{7}$ के स्केल फैक्टर वाले त्रिभुज की रचना करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचें।
$2$. $BX$ पर समान दूरी पर $7$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}, B_{7})$ अंकित करें,क्योंकि भिन्न $\frac{3}{7}$ का हर $7$ है।
$3$. अगला चरण अंतिम बिंदु $B_{7}$ को $C$ से जोड़ना है ताकि रचना के लिए आधार रेखा निर्धारित की जा सके।
$1$. $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचें।
$2$. $BX$ पर समान दूरी पर $7$ बिंदु $(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}, B_{7})$ अंकित करें,क्योंकि भिन्न $\frac{3}{7}$ का हर $7$ है।
$3$. अगला चरण अंतिम बिंदु $B_{7}$ को $C$ से जोड़ना है ताकि रचना के लिए आधार रेखा निर्धारित की जा सके।
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View Solution7
MediumMCQ
एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{8}{5}$ गुनी हों,एक किरण $BX$ इस प्रकार खींची जाती है कि $\angle CBX$ एक न्यूनकोण हो और $X$,$BC$ के सापेक्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो। किरण $BX$ पर समान दूरी पर स्थित बिंदुओं की न्यूनतम संख्या है
A
$5$
B
$13$
C
$8$
D
$3$
Solution
(C) किसी दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसका स्केल फैक्टर $\frac{m}{n}$ हो,जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं,किरण $BX$ पर अंकित किए जाने वाले बिंदुओं की संख्या $m$ और $n$ में से जो बड़ी संख्या होती है,उसके बराबर होती है।
इस प्रश्न में,स्केल फैक्टर $\frac{8}{5}$ है।
अंश $m = 8$ और हर $n = 5$ की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $8$ है।
अतः,किरण $BX$ पर समान दूरी पर स्थित बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $8$ है।
इस प्रश्न में,स्केल फैक्टर $\frac{8}{5}$ है।
अंश $m = 8$ और हर $n = 5$ की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $8$ है।
अतः,किरण $BX$ पर समान दूरी पर स्थित बिंदुओं की न्यूनतम संख्या $8$ है।
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View Solution8
EasyMCQ
एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचने के लिए जो एक-दूसरे से $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हों,वृत्त की उन दो त्रिज्याओं के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं खींचना आवश्यक है,जिनके बीच का कोण कितना होना चाहिए ($^{\circ}$ में)?
A
$135$
B
$90$
C
$60$
D
$120$
Solution
(D) माना वृत्त का केंद्र $O$ है और दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु $A$ और $B$ हैं।
चतुर्भुज $OAPB$ में,स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ पर कोण $90^{\circ}$ हैं (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $\angle AOB + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB + 240^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण $120^{\circ}$ होना चाहिए।
चतुर्भुज $OAPB$ में,स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ पर कोण $90^{\circ}$ हैं (क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$।
ज्ञात मान रखने पर: $\angle AOB + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB + 240^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle AOB = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण $120^{\circ}$ होना चाहिए।
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View Solution9
Easy
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
ज्यामितीय रचना द्वारा,एक रेखाखंड को $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ के अनुपात में विभाजित करना संभव है।
ज्यामितीय रचना द्वारा,एक रेखाखंड को $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ के अनुपात में विभाजित करना संभव है।
Solution
(B) असत्य।
अनुपात $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ को सरल करने पर यह $1 : 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,किसी रेखाखंड को दिए गए $m : n$ अनुपात में विभाजित करने की मानक ज्यामितीय रचना विधि के लिए $m$ और $n$ का धनात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है।
चूंकि $2 \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है और धनात्मक पूर्णांक नहीं है,इसलिए मानक रूलर और परकार (कंपास) रचना विधि का उपयोग करके इस अनुपात में रेखाखंड को विभाजित करना संभव नहीं है।
अनुपात $2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3}$ को सरल करने पर यह $1 : 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,किसी रेखाखंड को दिए गए $m : n$ अनुपात में विभाजित करने की मानक ज्यामितीय रचना विधि के लिए $m$ और $n$ का धनात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है।
चूंकि $2 \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है और धनात्मक पूर्णांक नहीं है,इसलिए मानक रूलर और परकार (कंपास) रचना विधि का उपयोग करके इस अनुपात में रेखाखंड को विभाजित करना संभव नहीं है।
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View Solution10
Easy
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
ज्यामितीय रचना द्वारा,एक रेखाखंड को $\sqrt{3}: \frac{1}{\sqrt{3}}$ के अनुपात में विभाजित करना संभव है।
ज्यामितीय रचना द्वारा,एक रेखाखंड को $\sqrt{3}: \frac{1}{\sqrt{3}}$ के अनुपात में विभाजित करना संभव है।
Solution
(A) सत्य।
दिया गया अनुपात $= \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,दोनों पदों को $\sqrt{3}$ से गुणा करें:
$\sqrt{3} \times \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3 : 1$।
चूंकि $3 : 1$ दो धनात्मक पूर्णांकों का अनुपात है,इसलिए एक सहायक किरण पर $3 + 1 = 4$ समान भाग बनाकर पटरी और परकार की सहायता से एक रेखाखंड को इस अनुपात में विभाजित करना संभव है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
दिया गया अनुपात $= \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,दोनों पदों को $\sqrt{3}$ से गुणा करें:
$\sqrt{3} \times \sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3 : 1$।
चूंकि $3 : 1$ दो धनात्मक पूर्णांकों का अनुपात है,इसलिए एक सहायक किरण पर $3 + 1 = 4$ समान भाग बनाकर पटरी और परकार की सहायता से एक रेखाखंड को इस अनुपात में विभाजित करना संभव है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
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View Solution11
Difficult
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का कारण दीजिए।
एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{7}{3}$ हों,$BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए और $X$,$BC$ के सापेक्ष $A$ की विपरीत दिशा में स्थित है। बिंदु $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ को $BX$ पर समान दूरी पर स्थित किया गया है,$B_{3}$ को $C$ से जोड़ा गया है और फिर एक रेखाखंड $B_{6}C'$ को $B_{3}C$ के समानांतर खींचा गया है जहाँ $C'$,$BC$ के बढ़ाए गए भाग पर स्थित है। अंत में,रेखाखंड $A'C'$ को $AC$ के समानांतर खींचा गया है।
एक दिए गए $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना करने के लिए,जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{7}{3}$ हों,$BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए और $X$,$BC$ के सापेक्ष $A$ की विपरीत दिशा में स्थित है। बिंदु $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ को $BX$ पर समान दूरी पर स्थित किया गया है,$B_{3}$ को $C$ से जोड़ा गया है और फिर एक रेखाखंड $B_{6}C'$ को $B_{3}C$ के समानांतर खींचा गया है जहाँ $C'$,$BC$ के बढ़ाए गए भाग पर स्थित है। अंत में,रेखाखंड $A'C'$ को $AC$ के समानांतर खींचा गया है।
Solution
(B) असत्य।
$\frac{7}{3}$ के अनुपात के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए,हमें किरण $BX$ को $7$ समान भागों में विभाजित करना होगा (क्योंकि $7 > 3$ है)।
रचना के चरण:
$1.$ $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$2.$ $BX$ पर $7$ बिंदु $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$3.$ $B_{3}$ को $C$ से मिलाइए (क्योंकि हर $3$ है)।
$4.$ $B_{7}$ से $B_{3}C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे।
दिया गया कथन दावा करता है कि $B_{6}C'$ को $B_{3}C$ के समानांतर खींचा गया है,जो गलत है क्योंकि अनुपात $\frac{7}{3}$ है,इसलिए समानांतर रेखा $B_{7}$ से खींची जानी चाहिए,न कि $B_{6}$ से।
$\frac{7}{3}$ के अनुपात के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज की रचना करने के लिए,हमें किरण $BX$ को $7$ समान भागों में विभाजित करना होगा (क्योंकि $7 > 3$ है)।
रचना के चरण:
$1.$ $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$2.$ $BX$ पर $7$ बिंदु $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{7}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$3.$ $B_{3}$ को $C$ से मिलाइए (क्योंकि हर $3$ है)।
$4.$ $B_{7}$ से $B_{3}C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाए गए रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे।
दिया गया कथन दावा करता है कि $B_{6}C'$ को $B_{3}C$ के समानांतर खींचा गया है,जो गलत है क्योंकि अनुपात $\frac{7}{3}$ है,इसलिए समानांतर रेखा $B_{7}$ से खींची जानी चाहिए,न कि $B_{6}$ से।
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Medium
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
केंद्र से $3 \, cm$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु $P$ से $3.5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जा सकता है।
केंद्र से $3 \, cm$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु $P$ से $3.5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जा सकता है।
Solution
(B) असत्य।
वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ है और केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $d = 3 \, cm$ है।
चूंकि $d < r$ $(3 \, cm < 3.5 \, cm)$ है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के भीतर स्थित है।
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। यदि कोई बिंदु वृत्त के भीतर स्थित है,तो उस बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5 \, cm$ है और केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $d = 3 \, cm$ है।
चूंकि $d < r$ $(3 \, cm < 3.5 \, cm)$ है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के भीतर स्थित है।
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। यदि कोई बिंदु वृत्त के भीतर स्थित है,तो उस बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।
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Easy
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का कारण दीजिए:
$170^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई वृत्त की स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जा सकता है।
$170^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई वृत्त की स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जा सकता है।
Solution
(A) सत्य।
एक वृत्त में,एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से जोड़ने वाले रेखाखंडों द्वारा केंद्र पर बना कोण संपूरक होते हैं (अर्थात,उनका योग $180^{\circ}$ होता है)।
मान लीजिए कि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है और केंद्र पर बना कोण $\phi$ है।
हम जानते हैं कि $\theta + \phi = 180^{\circ}$।
चूंकि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $170^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए केंद्र पर बना कोण $180^{\circ} - 170^{\circ} = 10^{\circ}$ होगा।
चूंकि $10^{\circ} > 0^{\circ}$ है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के ऐसे युग्म की रचना करना ज्यामितीय रूप से संभव है।
एक वृत्त में,एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से जोड़ने वाले रेखाखंडों द्वारा केंद्र पर बना कोण संपूरक होते हैं (अर्थात,उनका योग $180^{\circ}$ होता है)।
मान लीजिए कि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है और केंद्र पर बना कोण $\phi$ है।
हम जानते हैं कि $\theta + \phi = 180^{\circ}$।
चूंकि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $170^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए केंद्र पर बना कोण $180^{\circ} - 170^{\circ} = 10^{\circ}$ होगा।
चूंकि $10^{\circ} > 0^{\circ}$ है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के ऐसे युग्म की रचना करना ज्यामितीय रूप से संभव है।
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EasyMCQ
$4\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ खींचिए। इसके समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{5}$ हो। क्या नया त्रिभुज भी समबाहु है?
A
हाँ,यह समबाहु है।
B
नहीं,यह समद्विबाहु है।
C
नहीं,यह विषमबाहु है।
D
नहीं,यह एक समकोण त्रिभुज है।
Solution
(A) $1$. सबसे पहले,एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ खींचिए जहाँ $AB = BC = CA = 4\, cm$ हो।
$2$. शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए। $A_3$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $B'$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. त्रिभुज $AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\triangle ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{5}$ है।
$7$. चूँकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए कोण समान रहते हैं (प्रत्येक $60^{\circ}$)। अतः,नया त्रिभुज भी समबाहु है।
$2$. शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए। $A_3$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $B'$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. त्रिभुज $AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\triangle ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{5}$ है।
$7$. चूँकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए कोण समान रहते हैं (प्रत्येक $60^{\circ}$)। अतः,नया त्रिभुज भी समबाहु है।
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Medium
$7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड खींचिए। उस पर एक बिंदु $P$ ज्ञात कीजिए जो इसे $3: 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
Solution
(N/A) $1.$ $AB = 7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाती हो।
$3.$ $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4.$ $A_8B$ को मिलाइए।
$5.$ $A_3$ से,$A_3P \parallel A_8B$ खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे (इसके लिए $A_3$ पर $\angle BA_8A$ के बराबर कोण बनाइए)।
अतः,$P$ वह बिंदु है जो $AB$ को $3: 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
इस प्रकार,$AP: PB = 3: 5$ है।
औचित्य:
माना $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ है।
$\triangle ABA_8$ में,हमारे पास $A_3P \parallel A_8B$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$AP: PB = 3: 5$ सिद्ध होता है।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाती हो।
$3.$ $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4.$ $A_8B$ को मिलाइए।
$5.$ $A_3$ से,$A_3P \parallel A_8B$ खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे (इसके लिए $A_3$ पर $\angle BA_8A$ के बराबर कोण बनाइए)।
अतः,$P$ वह बिंदु है जो $AB$ को $3: 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
इस प्रकार,$AP: PB = 3: 5$ है।
औचित्य:
माना $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_7A_8 = x$ है।
$\triangle ABA_8$ में,हमारे पास $A_3P \parallel A_8B$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_8} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$AP: PB = 3: 5$ सिद्ध होता है।
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Difficult
एक समकोण त्रिभुज $ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $BC = 12 \, cm$,$AB = 5 \, cm$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है। इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक (scale factor) $\frac{2}{3}$ है। क्या नया त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है?
Solution
(A) रचना के चरण:
$1.$ एक रेखाखंड $BC = 12 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ से,$BC$ पर लंबवत $AB = 5 \, cm$ की रेखा खींचिए ताकि $\angle B = 90^{\circ}$ हो।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण $\angle CBY$ बनाइए।
$5.$ किरण $BY$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2$ और $B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए।
$7.$ बिंदु $B_2$ से $B_2N \parallel B_3C$ खींचिए जो $BC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8.$ बिंदु $N$ से $NM \parallel CA$ खींचिए जो $BA$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार,$\triangle MBN$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$9.$ चूँकि $NM \parallel CA$ और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,संगत कोण बराबर होंगे। अतः,$\angle MNB = \angle ACB$। दोनों त्रिभुजों में $\angle B = 90^{\circ}$ होने के कारण,$\triangle MBN$ भी $B$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
$1.$ एक रेखाखंड $BC = 12 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ से,$BC$ पर लंबवत $AB = 5 \, cm$ की रेखा खींचिए ताकि $\angle B = 90^{\circ}$ हो।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण $\angle CBY$ बनाइए।
$5.$ किरण $BY$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2$ और $B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए।
$7.$ बिंदु $B_2$ से $B_2N \parallel B_3C$ खींचिए जो $BC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8.$ बिंदु $N$ से $NM \parallel CA$ खींचिए जो $BA$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार,$\triangle MBN$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$9.$ चूँकि $NM \parallel CA$ और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,संगत कोण बराबर होंगे। अतः,$\angle MNB = \angle ACB$। दोनों त्रिभुजों में $\angle B = 90^{\circ}$ होने के कारण,$\triangle MBN$ भी $B$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
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एक त्रिभुज $ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $BC = 6 \, cm$,$CA = 5 \, cm$ और $AB = 4 \, cm$ है। इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक (scale factor) $\frac{5}{3}$ हो।
Solution
(A) $1.$ $6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $5 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,$BC$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $BX$ नीचे की ओर खींचिए।
$5.$ $BX$ पर पाँच बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ और $B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_5M \parallel B_3C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$7.$ बिंदु $M$ से $MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करती है। अतः,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हैं।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $5 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,$BC$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $BX$ नीचे की ओर खींचिए।
$5.$ $BX$ पर पाँच बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ और $B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_5M \parallel B_3C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$7.$ बिंदु $M$ से $MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करती है। अतः,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हैं।
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$4\, cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त पर उसके केंद्र से $6\, cm$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु से स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Solution
(N/A) दिया गया है कि एक बिंदु $M^{\prime}$,$4\, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से $6\, cm$ की दूरी पर स्थित है।
रचना के चरण:
$1.$ $4\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए इस वृत्त का केंद्र $O$ है।
$2.$ $OM^{\prime}$ को मिलाइए और इसका समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$OM^{\prime}$ का मध्य-बिंदु है।
$3.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त $(O, 4\, cm)$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$4.$ $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ को मिलाइए। $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ बिंदु $M^{\prime}$ से वृत्त $C(O, 4\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना के चरण:
$1.$ $4\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए इस वृत्त का केंद्र $O$ है।
$2.$ $OM^{\prime}$ को मिलाइए और इसका समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$OM^{\prime}$ का मध्य-बिंदु है।
$3.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो दिए गए वृत्त $(O, 4\, cm)$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$4.$ $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ को मिलाइए। $PM^{\prime}$ और $QM^{\prime}$ बिंदु $M^{\prime}$ से वृत्त $C(O, 4\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
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एक समचतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है जिसमें $AB = 4 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ है,इसे दो त्रिभुजों $ABC$ और $ADC$ में विभाजित करें। $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज $AB'C'$ की रचना करें जिसका स्केल फैक्टर $\frac{2}{3}$ है। $CD$ के समांतर एक रेखाखंड $C'D'$ खींचें,जहाँ $D'$,$AD$ पर स्थित है। क्या $AB'C'D'$ एक समचतुर्भुज है? कारण दें।
Solution
(N/A) सबसे पहले,आकृति में दिखाए अनुसार $AB = 4 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला समचतुर्भुज $ABCD$ खींचें और $AC$ को मिलाएं।
कक्षा $X$ की गणित की पाठ्यपुस्तक में दिए गए निर्देशों के अनुसार $\frac{2}{3}$ के स्केल फैक्टर के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज $AB'C'$ की रचना करें।
अंत में,$CD$ के समांतर रेखाखंड $C'D'$ खींचें ताकि $D'$,$AD$ पर स्थित हो।
चूंकि $\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$,इसलिए $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $C'D' \parallel CD$,इसलिए $\triangle AD'C' \sim \triangle ADC$ है। अतः,$\frac{AD'}{AD} = \frac{AC'}{AC} = \frac{C'D'}{CD} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए $AB = BC = CD = AD$ है।
अतः,$AB' = B'C' = C'D' = AD' = \frac{2}{3} AB$ है।
चूंकि चतुर्भुज $AB'C'D'$ की चारों भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $AB'C'D'$ एक समचतुर्भुज है।
कक्षा $X$ की गणित की पाठ्यपुस्तक में दिए गए निर्देशों के अनुसार $\frac{2}{3}$ के स्केल फैक्टर के साथ $\triangle ABC$ के समरूप त्रिभुज $AB'C'$ की रचना करें।
अंत में,$CD$ के समांतर रेखाखंड $C'D'$ खींचें ताकि $D'$,$AD$ पर स्थित हो।
चूंकि $\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$,इसलिए $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $C'D' \parallel CD$,इसलिए $\triangle AD'C' \sim \triangle ADC$ है। अतः,$\frac{AD'}{AD} = \frac{AC'}{AC} = \frac{C'D'}{CD} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए $AB = BC = CD = AD$ है।
अतः,$AB' = B'C' = C'D' = AD' = \frac{2}{3} AB$ है।
चूंकि चतुर्भुज $AB'C'D'$ की चारों भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $AB'C'D'$ एक समचतुर्भुज है।
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Difficult
दो रेखाखंड $AB$ और $AC$ के बीच $60^{\circ}$ का कोण है,जहाँ $AB = 5 \, cm$ और $AC = 7 \, cm$ है। $AB$ और $AC$ पर क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि $AP = \frac{3}{4} AB$ और $AQ = \frac{1}{4} AC$ हो। $P$ और $Q$ को मिलाइए और $PQ$ की लंबाई मापिए।
Solution
(D) दिया है: $AB = 5 \, cm$ और $AC = 7 \, cm$.
साथ ही,$AP = \frac{3}{4} AB$ और $AQ = \frac{1}{4} AC$.
लंबाई की गणना:
$AP = \frac{3}{4} \times 5 = 3.75 \, cm$.
$AQ = \frac{1}{4} \times 7 = 1.75 \, cm$.
रचना के चरण:
$1$. $AB = 5 \, cm$ खींचिए।
$2$. $AB$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हुई एक किरण $AZ$ खींचिए।
$3$. $AZ$ पर बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AC = 7 \, cm$ हो।
$4$. $AB$ पर बिंदु $P$ प्राप्त करने के लिए,रेखाखंड विभाजन की मानक विधि का उपयोग करके $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।
$5$. $AC$ पर बिंदु $Q$ प्राप्त करने के लिए,रेखाखंड विभाजन की मानक विधि का उपयोग करके $AC$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।
$6$. $PQ$ को मिलाइए।
$7$. मापन द्वारा,$PQ$ की लंबाई लगभग $3.25 \, cm$ प्राप्त होती है।
साथ ही,$AP = \frac{3}{4} AB$ और $AQ = \frac{1}{4} AC$.
लंबाई की गणना:
$AP = \frac{3}{4} \times 5 = 3.75 \, cm$.
$AQ = \frac{1}{4} \times 7 = 1.75 \, cm$.
रचना के चरण:
$1$. $AB = 5 \, cm$ खींचिए।
$2$. $AB$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हुई एक किरण $AZ$ खींचिए।
$3$. $AZ$ पर बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AC = 7 \, cm$ हो।
$4$. $AB$ पर बिंदु $P$ प्राप्त करने के लिए,रेखाखंड विभाजन की मानक विधि का उपयोग करके $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।
$5$. $AC$ पर बिंदु $Q$ प्राप्त करने के लिए,रेखाखंड विभाजन की मानक विधि का उपयोग करके $AC$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।
$6$. $PQ$ को मिलाइए।
$7$. मापन द्वारा,$PQ$ की लंबाई लगभग $3.25 \, cm$ प्राप्त होती है।
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Difficult
एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की रचना कीजिए जिसमें $BC = 5 \, cm$,$AB = 3 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ हो। विकर्ण $BD$ द्वारा इसे त्रिभुज $BCD$ और $ABD$ में विभाजित कीजिए। $\triangle BDC$ के समरूप एक त्रिभुज $BD'C'$ की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{3}$ हो। रेखाखंड $D'A'$ खींचिए जो $DA$ के समांतर हो,जहाँ $A'$,बढ़ाई गई भुजा $BA$ पर स्थित है। क्या $A'BCD'$ एक समांतर चतुर्भुज है?
Solution
(A) $1.$ $3 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2.$ एक किरण $BY$ खींचिए जो $\angle ABY = 60^{\circ}$ का कोण बनाए।
$3.$ $B$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $BY$ को बिंदु $C$ पर काटे।
$4.$ किरण $BY$ के समांतर एक किरण $AZ$ खींचिए ताकि $\angle BAZ = 120^{\circ}$ हो (चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$)।
$5.$ $A$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $AZ$ को बिंदु $D$ पर काटे।
$6.$ $CD$ को मिलाइए ताकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पूर्ण हो जाए।
$7.$ $BD$ को मिलाइए,जो समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का एक विकर्ण है।
$8.$ $B$ से नीचे की ओर एक किरण $BX$ खींचिए जो एक न्यून कोण $\angle CBX$ बनाए।
$9.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$10.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से $B_3C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर काटे।
$11.$ बिंदु $C'$ से $C'D' \parallel CD$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BD$ को $D'$ पर काटे।
$12.$ रेखाखंड $D'A'$ खींचिए जो $DA$ के समांतर हो,जहाँ $A'$,बढ़ाई गई भुजा $BA$ पर स्थित है।
$13.$ हाँ,$A'BCD'$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि रचना के अनुसार,$A'D' \parallel BC$ और $A'B \parallel D'C'$ है।
$2.$ एक किरण $BY$ खींचिए जो $\angle ABY = 60^{\circ}$ का कोण बनाए।
$3.$ $B$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $BY$ को बिंदु $C$ पर काटे।
$4.$ किरण $BY$ के समांतर एक किरण $AZ$ खींचिए ताकि $\angle BAZ = 120^{\circ}$ हो (चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$)।
$5.$ $A$ को केंद्र मानकर और $5 \, cm$ की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण $AZ$ को बिंदु $D$ पर काटे।
$6.$ $CD$ को मिलाइए ताकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पूर्ण हो जाए।
$7.$ $BD$ को मिलाइए,जो समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का एक विकर्ण है।
$8.$ $B$ से नीचे की ओर एक किरण $BX$ खींचिए जो एक न्यून कोण $\angle CBX$ बनाए।
$9.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$10.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से $B_3C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $C'$ पर काटे।
$11.$ बिंदु $C'$ से $C'D' \parallel CD$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BD$ को $D'$ पर काटे।
$12.$ रेखाखंड $D'A'$ खींचिए जो $DA$ के समांतर हो,जहाँ $A'$,बढ़ाई गई भुजा $BA$ पर स्थित है।
$13.$ हाँ,$A'BCD'$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि रचना के अनुसार,$A'D' \parallel BC$ और $A'B \parallel D'C'$ है।
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Difficult
$3\, cm$ और $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए। बाहरी वृत्त पर एक बिंदु लेकर,दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म बनाइए। स्पर्श रेखा की लंबाई मापिए और वास्तविक गणना द्वारा इसकी पुष्टि कीजिए।
Solution
(N/A) दिया है: $O$ केंद्र और $3\, cm$ तथा $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त। हमें बाहरी वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ से आंतरिक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचना है।
रचना के चरण:
$1.$ $O$ केंद्र और $3\, cm$ तथा $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए।
$2.$ बाहरी वृत्त पर कोई बिंदु $P$ लीजिए। $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M'$ रेखा $OP$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M'$ को केंद्र और $OM'$ को त्रिज्या मानकर,एक बिंदुंकित वृत्त खींचिए जो आंतरिक वृत्त को $M$ और $P'$ बिंदुओं पर काटता है।
$5.$ $PM$ और $PP'$ को मिलाइए। इस प्रकार,$PM$ और $PP'$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$6.$ $PM$ और $PP'$ को मापने पर,हम पाते हैं कि $PM = PP' = 4\, cm$ है।
वास्तविक गणना:
समकोण त्रिभुज $\triangle OMP$ में,$\angle PMO = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $OP^2 = PM^2 + OM^2$
$PM^2 = OP^2 - OM^2$
$PM^2 = (5)^2 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$
$PM = \sqrt{16} = 4\, cm$।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई $4\, cm$ है।
रचना के चरण:
$1.$ $O$ केंद्र और $3\, cm$ तथा $5\, cm$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए।
$2.$ बाहरी वृत्त पर कोई बिंदु $P$ लीजिए। $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M'$ रेखा $OP$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M'$ को केंद्र और $OM'$ को त्रिज्या मानकर,एक बिंदुंकित वृत्त खींचिए जो आंतरिक वृत्त को $M$ और $P'$ बिंदुओं पर काटता है।
$5.$ $PM$ और $PP'$ को मिलाइए। इस प्रकार,$PM$ और $PP'$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$6.$ $PM$ और $PP'$ को मापने पर,हम पाते हैं कि $PM = PP' = 4\, cm$ है।
वास्तविक गणना:
समकोण त्रिभुज $\triangle OMP$ में,$\angle PMO = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $OP^2 = PM^2 + OM^2$
$PM^2 = OP^2 - OM^2$
$PM^2 = (5)^2 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$
$PM = \sqrt{16} = 4\, cm$।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई $4\, cm$ है।
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Difficult
एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ खींचिए जिसमें $AB = AC = 6 \, cm$ और $BC = 5 \, cm$ हो। एक त्रिभुज $PQR$ की रचना कीजिए जो $ABC$ के समरूप हो और जिसमें $PQ = 8 \, cm$ हो। रचना का औचित्य भी दीजिए।
Solution
(N/A) माना $\triangle PQR$ और $\triangle ABC$ समरूप त्रिभुज हैं। संगत भुजाओं के बीच का स्केल गुणक $\frac{PQ}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
रचना के चरण:
$1.$ $5 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,$6 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हों।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,कोई किरण $BX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाती हो।
$5.$ $BX$ पर चार बिंदु $B_1, B_2, B_3$ और $B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से,$B_4R \parallel B_3C$ एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $R$ पर काटती हो।
$7.$ बिंदु $R$ से,$RP \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $P$ पर मिलती हो।
तब,$\triangle PBR$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
चूँकि $B_4R \parallel B_3C$ (रचना से),
$\therefore \frac{BC}{CR} = \frac{3}{1}$।
अब,$\frac{BR}{BC} = \frac{BC + CR}{BC} = 1 + \frac{CR}{BC} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
साथ ही,$RP \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle PBR$।
और $\frac{PB}{AB} = \frac{RP}{CA} = \frac{BR}{BC} = \frac{4}{3}$।
अतः,नया त्रिभुज दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हैं।
रचना के चरण:
$1.$ $5 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,$6 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हों।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,कोई किरण $BX$ खींचिए जो न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाती हो।
$5.$ $BX$ पर चार बिंदु $B_1, B_2, B_3$ और $B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6.$ $B_3C$ को मिलाइए और $B_4$ से,$B_4R \parallel B_3C$ एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $R$ पर काटती हो।
$7.$ बिंदु $R$ से,$RP \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $P$ पर मिलती हो।
तब,$\triangle PBR$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
चूँकि $B_4R \parallel B_3C$ (रचना से),
$\therefore \frac{BC}{CR} = \frac{3}{1}$।
अब,$\frac{BR}{BC} = \frac{BC + CR}{BC} = 1 + \frac{CR}{BC} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
साथ ही,$RP \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle PBR$।
और $\frac{PB}{AB} = \frac{RP}{CA} = \frac{BR}{BC} = \frac{4}{3}$।
अतः,नया त्रिभुज दिए गए त्रिभुज के समरूप है जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हैं।
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एक त्रिभुज $ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 5 \, cm$,$BC = 6 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ हो। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जो $\triangle ABC$ के समरूप हो और जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{7}$ गुनी हों। रचना का औचित्य दीजिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1.$ एक रेखाखंड $AB = 5 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ पर,$\angle ABY = 60^{\circ}$ की रचना कीजिए और $BY$ पर $BC = 6 \, cm$ काटिए।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए (जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो)।
$5.$ $AX$ पर $7$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = B_6B_7$ हो।
$6.$ $B_7B$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_7B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7.$ $M$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\triangle AMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{7}$ गुनी हैं।
औचित्य:
चूँकि $MN \parallel BC$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\triangle AMN \sim \triangle ABC$ है।
रचना से,$B_5M \parallel B_7B$ है। $\triangle ABB_7$ में,थेल्स प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AB_5}{AB_7} = \frac{5}{7}$ है।
चूँकि $\triangle AMN \sim \triangle ABC$,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{5}{7}$ है।
$1.$ एक रेखाखंड $AB = 5 \, cm$ खींचिए।
$2.$ बिंदु $B$ पर,$\angle ABY = 60^{\circ}$ की रचना कीजिए और $BY$ पर $BC = 6 \, cm$ काटिए।
$3.$ $AC$ को मिलाइए। इस प्रकार,$\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए (जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो)।
$5.$ $AX$ पर $7$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = B_6B_7$ हो।
$6.$ $B_7B$ को मिलाइए। $B_5$ से $B_7B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7.$ $M$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\triangle AMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{7}$ गुनी हैं।
औचित्य:
चूँकि $MN \parallel BC$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\triangle AMN \sim \triangle ABC$ है।
रचना से,$B_5M \parallel B_7B$ है। $\triangle ABB_7$ में,थेल्स प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AB_5}{AB_7} = \frac{5}{7}$ है।
चूँकि $\triangle AMN \sim \triangle ABC$,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{5}{7}$ है।
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Difficult
$4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। उस पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म बनाइए,जिनके बीच का कोण $60^{\circ}$ हो। रचना का औचित्य भी दीजिए। वृत्त के केंद्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी मापिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1.$ $O$ केंद्र और $4 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2.$ एक त्रिज्या $OA$ खींचिए और इसे $B$ तक बढ़ाइए ताकि $OA = AB = 4 \, cm$ हो। अतः,$OB = 8 \, cm$ होगा।
$3.$ $A$ को केंद्र मानकर $AO = 4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर काटता है।
$4.$ $BP$ और $BQ$ को मिलाइए। $BP$ और $BQ$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$\triangle OAP$ में,$OA = OP = 4 \, cm$ (त्रिज्याएँ) और $AP = 4 \, cm$ ($A$ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या)।
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle OAP$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle OAP = 60^{\circ}$।
चूँकि $OAB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle BAP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
$\triangle BAP$ में,$BA = AP = 4 \, cm$। अतः,$\triangle BAP$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle ABP = \angle APB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle ABQ = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle PBQ = \angle ABP + \angle ABQ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
मापन:
केंद्र $O$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के बीच की दूरी $OB = OA + AB = 4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ है।
$1.$ $O$ केंद्र और $4 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
$2.$ एक त्रिज्या $OA$ खींचिए और इसे $B$ तक बढ़ाइए ताकि $OA = AB = 4 \, cm$ हो। अतः,$OB = 8 \, cm$ होगा।
$3.$ $A$ को केंद्र मानकर $AO = 4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर काटता है।
$4.$ $BP$ और $BQ$ को मिलाइए। $BP$ और $BQ$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$\triangle OAP$ में,$OA = OP = 4 \, cm$ (त्रिज्याएँ) और $AP = 4 \, cm$ ($A$ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या)।
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle OAP$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle OAP = 60^{\circ}$।
चूँकि $OAB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle BAP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
$\triangle BAP$ में,$BA = AP = 4 \, cm$। अतः,$\triangle BAP$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle ABP = \angle APB = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle ABQ = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle PBQ = \angle ABP + \angle ABQ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
मापन:
केंद्र $O$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के बीच की दूरी $OB = OA + AB = 4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ है।
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Difficult
एक त्रिभुज $ABC$ खींचिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 6 \, cm$ और $AC = 9 \, cm$ हो। $\triangle ABC$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{2}$ हो। रचना का औचित्य दीजिए। क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं? ध्यान दें कि दोनों त्रिभुजों के तीनों कोण समान हैं,लेकिन भुजाएँ समान नहीं हैं।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1.$ $6 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $9 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5.$ $BX$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_2C$ को मिलाइए और $B_3$ से $B_3M \parallel B_2C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर काटती है।
$7.$ बिंदु $M$ से,$MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर काटती है।
तब,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं।
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार और माप समान होना चाहिए। यहाँ,त्रिभुज समरूप हैं (समान आकार),लेकिन उनके माप अलग हैं।
औचित्य:
चूँकि $B_3M \parallel B_2C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BC}{CM} = \frac{BB_2}{B_2B_3} = \frac{2}{1}$.
अब,$\frac{BM}{BC} = \frac{BC + CM}{BC} = 1 + \frac{CM}{BC} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
साथ ही,$MN \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle NBM$.
अतः,$\frac{NB}{AB} = \frac{NM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{2}$.
$1.$ $6 \, cm$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2.$ $B$ और $C$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $4 \, cm$ और $9 \, cm$ त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक-दूसरे को $A$ पर काटते हैं।
$3.$ $BA$ और $CA$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$4.$ $B$ से,नीचे की ओर एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5.$ $BX$ पर तीन बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6.$ $B_2C$ को मिलाइए और $B_3$ से $B_3M \parallel B_2C$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $M$ पर काटती है।
$7.$ बिंदु $M$ से,$MN \parallel CA$ खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $N$ पर काटती है।
तब,$\triangle NBM$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं।
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का आकार और माप समान होना चाहिए। यहाँ,त्रिभुज समरूप हैं (समान आकार),लेकिन उनके माप अलग हैं।
औचित्य:
चूँकि $B_3M \parallel B_2C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BC}{CM} = \frac{BB_2}{B_2B_3} = \frac{2}{1}$.
अब,$\frac{BM}{BC} = \frac{BC + CM}{BC} = 1 + \frac{CM}{BC} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
साथ ही,$MN \parallel CA$,इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle NBM$.
अतः,$\frac{NB}{AB} = \frac{NM}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{2}$.
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Medium
$5.9\,cm$ लंबाई का $\overline{ AB }$ खींचिए और इसे $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।
Solution
(N/A) डेटा: $5.9\,cm$ लंबाई का $\overline{ AB }$ दिया गया है।
रचना: $\overline{ AB }$ को $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ के विभिन्न अर्धतलों में $\overline{ AB }$ को समाहित करते हुए,$\overrightarrow{ AX }$ और $\overrightarrow{ BY }$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ सर्वांगसम न्यून कोण हों।
$(2)$ उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए। इसी प्रकार,केंद्र $A_{1}$ और समान त्रिज्या लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{2}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए ताकि $A-A_{1}-A_{2}$ हो। इसी प्रकार,समान त्रिज्या और केंद्र $A_{k}$ लेकर $\overrightarrow{ AX }$ को $A_{k+1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए चाप खींचिए ताकि $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{ AX }$ पर पाँच बिंदु $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ और $A_{5}$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ हो।
$(3)$ अब,समान त्रिज्या और केंद्र $B$ से शुरू करके,$\overrightarrow{ BY }$ पर सात बिंदु $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ और $B_{7}$ प्राप्त कीजिए ताकि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ खींचिए जो $\overline{ AB }$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$M \in \overline{ AB }$ वह बिंदु है जो $\overline{ AB }$ को $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
औचित्य: यहाँ $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$ है। चूँकि $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ और $\Delta BB_{7}M$ के बीच पत्राचार $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ एक समरूपता है।
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.
रचना: $\overline{ AB }$ को $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ के विभिन्न अर्धतलों में $\overline{ AB }$ को समाहित करते हुए,$\overrightarrow{ AX }$ और $\overrightarrow{ BY }$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ सर्वांगसम न्यून कोण हों।
$(2)$ उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए। इसी प्रकार,केंद्र $A_{1}$ और समान त्रिज्या लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{2}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए ताकि $A-A_{1}-A_{2}$ हो। इसी प्रकार,समान त्रिज्या और केंद्र $A_{k}$ लेकर $\overrightarrow{ AX }$ को $A_{k+1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए चाप खींचिए ताकि $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{ AX }$ पर पाँच बिंदु $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ और $A_{5}$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ हो।
$(3)$ अब,समान त्रिज्या और केंद्र $B$ से शुरू करके,$\overrightarrow{ BY }$ पर सात बिंदु $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ और $B_{7}$ प्राप्त कीजिए ताकि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ खींचिए जो $\overline{ AB }$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$M \in \overline{ AB }$ वह बिंदु है जो $\overline{ AB }$ को $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
औचित्य: यहाँ $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$ है। चूँकि $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ और $\Delta BB_{7}M$ के बीच पत्राचार $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ एक समरूपता है।
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.
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Difficult
एक रेखाखंड को $2: 3: 4$ के अनुपात में उसी क्रम में तीन भागों में विभाजित कीजिए।
Solution
(N/A) डेटा: $\overline{AB}$ दिया गया है।
रचना: $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में तीन भागों में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ को समाहित करने वाले $\overleftrightarrow{AB}$ के विपरीत अर्धतलों में,$\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{BY}$ इस प्रकार खींचें कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ समान न्यूनकोण हों।
$(2)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला एक चाप खींचकर $A_1$ प्राप्त करें। इसी प्रकार,$A_1$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला चाप खींचकर $A_2$ प्राप्त करें ताकि $A-A_1-A_2$ हो। इसी तरह,$k=2, 3, 4, \dots, 8$ के लिए $A_k$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ $\overrightarrow{AX}$ पर $A_{k+1}$ प्राप्त करें। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{AX}$ पर नौ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_9$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$ हो।
$(3)$ अब,उसी त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BY}$ पर नौ बिंदु $B_1, B_2, \dots, B_9$ प्राप्त करें ताकि $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_8B_9$ हो।
$(4)$ $\overline{A_2B_7}$ और $\overline{A_5B_4}$ खींचें,ताकि $\overline{A_2B_7}$,$\overline{AB}$ को $M$ पर और $\overline{A_5B_4}$,$\overline{AB}$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,हमें बिंदु $M$ और $N$ प्राप्त होते हैं जो $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में विभाजित करते हैं,अर्थात $AM : MN : NB = 2: 3: 4$।
औचित्य: यहाँ,$\overleftrightarrow{AX}$,$\overleftrightarrow{AB}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ तिर्यक रेखाओं पर $\overline{A_2B_7} \parallel \overline{A_5B_4}$ द्वारा बनाए गए अंतःखंड समानुपाती हैं।
अतः,$AM : MN : NB = AA_2 : A_2A_5 : A_5A_9 = B_9B_7 : B_7B_4 : B_4B = 2: 3: 4$।
रचना: $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में तीन भागों में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ को समाहित करने वाले $\overleftrightarrow{AB}$ के विपरीत अर्धतलों में,$\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{BY}$ इस प्रकार खींचें कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ समान न्यूनकोण हों।
$(2)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला एक चाप खींचकर $A_1$ प्राप्त करें। इसी प्रकार,$A_1$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{AX}$ को काटने वाला चाप खींचकर $A_2$ प्राप्त करें ताकि $A-A_1-A_2$ हो। इसी तरह,$k=2, 3, 4, \dots, 8$ के लिए $A_k$ को केंद्र और उसी त्रिज्या के साथ $\overrightarrow{AX}$ पर $A_{k+1}$ प्राप्त करें। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{AX}$ पर नौ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_9$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_8A_9$ हो।
$(3)$ अब,उसी त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BY}$ पर नौ बिंदु $B_1, B_2, \dots, B_9$ प्राप्त करें ताकि $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_8B_9$ हो।
$(4)$ $\overline{A_2B_7}$ और $\overline{A_5B_4}$ खींचें,ताकि $\overline{A_2B_7}$,$\overline{AB}$ को $M$ पर और $\overline{A_5B_4}$,$\overline{AB}$ को $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,हमें बिंदु $M$ और $N$ प्राप्त होते हैं जो $\overline{AB}$ को $A$ से $2: 3: 4$ के अनुपात में विभाजित करते हैं,अर्थात $AM : MN : NB = 2: 3: 4$।
औचित्य: यहाँ,$\overleftrightarrow{AX}$,$\overleftrightarrow{AB}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ तिर्यक रेखाओं पर $\overline{A_2B_7} \parallel \overline{A_5B_4}$ द्वारा बनाए गए अंतःखंड समानुपाती हैं।
अतः,$AM : MN : NB = AA_2 : A_2A_5 : A_5A_9 = B_9B_7 : B_7B_4 : B_4B = 2: 3: 4$।
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Medium
$4 \, cm$,$5 \, cm$ और $7 \, cm$ भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाइए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की $2:3$ के अनुपात में हों।
Solution
(N/A) डेटा: $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
रचना: $\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ के उस अर्धतल में जो $A$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{BX}$ खींचिए ताकि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,केंद्र $B_1$ और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B-B_1-B_2$ हो। पुनः,उसी त्रिज्या और केंद्र $B_2$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_3$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B_1-B_2-B_3$ हो।
$(4)$ रेखाखंड $\overline{B_3C}$ खींचिए।
$(5)$ $B_2$ से होकर $\overline{B_3C}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{BC}$ को $P$ पर काटे।
$(6)$ $P$ से होकर $\overline{CA}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{AB}$ को $Q$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BC}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$ है।
इसी प्रकार,$\overleftrightarrow{BC}$ और $\overleftrightarrow{BA}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$ है।
रचना: $\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ के उस अर्धतल में जो $A$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{BX}$ खींचिए ताकि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,केंद्र $B_1$ और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B-B_1-B_2$ हो। पुनः,उसी त्रिज्या और केंद्र $B_2$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_3$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B_1-B_2-B_3$ हो।
$(4)$ रेखाखंड $\overline{B_3C}$ खींचिए।
$(5)$ $B_2$ से होकर $\overline{B_3C}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{BC}$ को $P$ पर काटे।
$(6)$ $P$ से होकर $\overline{CA}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{AB}$ को $Q$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BC}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$ है।
इसी प्रकार,$\overleftrightarrow{BC}$ और $\overleftrightarrow{BA}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$ है।
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Medium
$\Delta PQR$ की रचना कीजिए जिसमें $m \angle P=60^{\circ}, m \angle Q=45^{\circ}$ और $PQ =6 \text{ cm}$ हो। फिर $\Delta PQR$ के समरूप $\Delta PBC$ की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ $\Delta PQR$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हों।
Solution
(N/A) जानकारी: $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 45^{\circ}$ और $PQ = 6 \text{ cm}$ वाला $\Delta PQR$ बनाइए।
रचना: $\Delta PQR$ के समरूप $\Delta PBC$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $5:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $m \angle P=60^{\circ}, m \angle Q=45^{\circ}$ और $PQ = 6 \text{ cm}$ वाला $\Delta PQR$ बनाइए।
$(2)$ $\overleftrightarrow{PQ}$ के उस अर्धतल में जो $R$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{PZ}$ खींचिए ताकि $\angle QPZ$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ किसी उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $P$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। उसी त्रिज्या और केंद्र $P_1$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P-P_1-P_2$ हो। इसी प्रकार,उसी त्रिज्या और केंद्र $P_k$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_{k+1}$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P_{k-1}-P_k-P_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है।
$(4)$ $\overline{P_3Q}$ को मिलाइए।
$(5)$ $P_5$ से होकर $\overline{P_3Q}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PQ}$ के बढ़ाए गए भाग को $B$ पर काटे।
$(6)$ $B$ से होकर $\overline{QR}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PR}$ के बढ़ाए गए भाग को $C$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta PBC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\Delta PP_5B$ में,$P-P_3-P_5$,$P-Q-B$ और $\overline{P_3Q} \parallel \overline{P_5B}$ है।
$\therefore \frac{PB}{PQ} = \frac{PP_5}{PP_3} = \frac{5}{3}$।
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ में,$P-Q-B$,$P-R-C$ और $\overline{QR} \parallel \overline{BC}$ है।
$\therefore \frac{PC}{PR} = \frac{PB}{PQ} = \frac{5}{3}$।
रचना: $\Delta PQR$ के समरूप $\Delta PBC$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $5:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $m \angle P=60^{\circ}, m \angle Q=45^{\circ}$ और $PQ = 6 \text{ cm}$ वाला $\Delta PQR$ बनाइए।
$(2)$ $\overleftrightarrow{PQ}$ के उस अर्धतल में जो $R$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{PZ}$ खींचिए ताकि $\angle QPZ$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ किसी उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $P$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। उसी त्रिज्या और केंद्र $P_1$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P-P_1-P_2$ हो। इसी प्रकार,उसी त्रिज्या और केंद्र $P_k$ के साथ,$\overrightarrow{PZ}$ को $P_{k+1}$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $P_{k-1}-P_k-P_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है।
$(4)$ $\overline{P_3Q}$ को मिलाइए।
$(5)$ $P_5$ से होकर $\overline{P_3Q}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PQ}$ के बढ़ाए गए भाग को $B$ पर काटे।
$(6)$ $B$ से होकर $\overline{QR}$ के समांतर एक किरण खींचिए जो $\overrightarrow{PR}$ के बढ़ाए गए भाग को $C$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta PBC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\Delta PP_5B$ में,$P-P_3-P_5$,$P-Q-B$ और $\overline{P_3Q} \parallel \overline{P_5B}$ है।
$\therefore \frac{PB}{PQ} = \frac{PP_5}{PP_3} = \frac{5}{3}$।
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ में,$P-Q-B$,$P-R-C$ और $\overline{QR} \parallel \overline{BC}$ है।
$\therefore \frac{PC}{PR} = \frac{PB}{PQ} = \frac{5}{3}$।
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Difficult
$8.2 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए और इसे बिंदु $P$ से $3:7$ के अनुपात में विभाजित कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.2 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. रेखाखंड $\overline{PQ}$ के नीचे बिंदु $P$ पर एक न्यूनकोण $\angle QPX$ बनाइए।
$3$. बिंदु $P$ से शुरू करते हुए,किरण $PX$ पर $3 + 7 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{10}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{10}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. बिंदु $R$,$\overline{PQ}$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $PR:RQ = 3:7$ प्राप्त होता है।
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.2 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. रेखाखंड $\overline{PQ}$ के नीचे बिंदु $P$ पर एक न्यूनकोण $\angle QPX$ बनाइए।
$3$. बिंदु $P$ से शुरू करते हुए,किरण $PX$ पर $3 + 7 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
$4$. बिंदु $A_{10}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{10}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. बिंदु $R$,$\overline{PQ}$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $PR:RQ = 3:7$ प्राप्त होता है।
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Difficult
$10 \,cm$ लंबाई का $\overline{AB}$ खींचिए और इसे $A$ से $3:8$ के अनुपात में विभाजित कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल का उपयोग करके $10 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$2$. $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 8 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, ..., A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = ... = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $B$ को $A_{11}$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{11}B$ के समांतर एक रेखा खींचिए ($\angle AA_{11}B$ के बराबर कोण बनाकर) जो $\overline{AB}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$P$ वह बिंदु है जो $\overline{AB}$ को $3:8$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$1$. स्केल का उपयोग करके $10 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$2$. $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 8 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, ..., A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = ... = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $B$ को $A_{11}$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से $A_{11}B$ के समांतर एक रेखा खींचिए ($\angle AA_{11}B$ के बराबर कोण बनाकर) जो $\overline{AB}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$P$ वह बिंदु है जो $\overline{AB}$ को $3:8$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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Difficult
$9\, cm$ लंबाई का $\overline{XY}$ खींचिए और इसे $X$ से $2:5$ के अनुपात में विभाजित कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $9\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर $\overline{XY}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $XP$ खींचिए।
$3$. किरण $XP$ पर $2 + 5 = 7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4$. $A_7$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_7Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $\overline{XY}$ को बिंदु $Z$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $Z$,$\overline{XY}$ को $2:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $9\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर $\overline{XY}$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $XP$ खींचिए।
$3$. किरण $XP$ पर $2 + 5 = 7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4$. $A_7$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_7Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $\overline{XY}$ को बिंदु $Z$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $Z$,$\overline{XY}$ को $2:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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MediumMCQ
$7 \,cm$ लंबाई का रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए और उस पर एक बिंदु $M$ इस प्रकार प्राप्त कीजिए कि $AM : MB = 3 : 5$ हो। रचना के चरण लिखिए।
A
Step $1$: Draw a line segment $AB = 7 \,cm$.
B
Step $2$: Draw an acute angle $\angle BAX$ at point $A$.
C
Step $3$: Mark $3 + 5 = 8$ points on $AX$ at equal distances.
D
Step $4$: Join $A_8$ to $B$ and draw a line through $A_3$ parallel to $A_8B$ to intersect $AB$ at $M$.
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2$. $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4$. बिंदु $A_8$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से होकर $A_8B$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $AB$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $3 : 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2$. $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. किरण $AX$ पर $3 + 5 = 8$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = A_7A_8$ हो।
$4$. बिंदु $A_8$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_3$ से होकर $A_8B$ के समांतर एक रेखा खींचिए (संगत कोणों को बराबर बनाकर) जो $AB$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $3 : 5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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Medium
$7.5\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए और इसे $X$ से प्रारंभ करते हुए $3:4:5$ के अनुपात में विभाजित कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7.5\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर रेखाखंड $\overline{XY}$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle YXA$ बनाइए।
$3$. $X$ से प्रारंभ करते हुए,किरण $XA$ पर $3 + 4 + 5 = 12$ बिंदु $X_1, X_2, ..., X_{12}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = ... = X_{11}X_{12}$ हो।
$4$. बिंदु $X_{12}$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $X_3$ और $X_7$ से (क्योंकि $3$ और $3+4=7$),$X_{12}Y$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{XY}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{XY}$ को $3:4:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $7.5\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{XY}$ खींचिए।
$2$. बिंदु $X$ पर रेखाखंड $\overline{XY}$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle YXA$ बनाइए।
$3$. $X$ से प्रारंभ करते हुए,किरण $XA$ पर $3 + 4 + 5 = 12$ बिंदु $X_1, X_2, ..., X_{12}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = ... = X_{11}X_{12}$ हो।
$4$. बिंदु $X_{12}$ को $Y$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $X_3$ और $X_7$ से (क्योंकि $3$ और $3+4=7$),$X_{12}Y$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{XY}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें।
$6$. इस प्रकार,बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{XY}$ को $3:4:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
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Difficult
$8.5 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए और उस पर एक बिंदु $X$ इस प्रकार प्राप्त कीजिए कि $PX : XQ = 4 : 7$ हो। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.5 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. $\overline{PQ}$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण $PY$ खींचिए।
$3$. किरण $PY$ पर $4 + 7 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $A_{11}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_4$ से होकर (चूंकि अनुपात $4:7$ है),$A_{11}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$X$,$\overline{PQ}$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $4 : 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$1$. एक रूलर (मापनी) का उपयोग करके $8.5 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{PQ}$ खींचिए।
$2$. $\overline{PQ}$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण $PY$ खींचिए।
$3$. किरण $PY$ पर $4 + 7 = 11$ बिंदु $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $PA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{10}A_{11}$ हो।
$4$. $A_{11}$ को $Q$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_4$ से होकर (चूंकि अनुपात $4:7$ है),$A_{11}Q$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{PQ}$ को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$X$,$\overline{PQ}$ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $4 : 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
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Medium
$7 \,cm$ लंबाई का रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए और $\overline{ AB }$ पर एक बिंदु $M$ इस प्रकार प्राप्त कीजिए कि $AM : AB = 2 : 5$ हो। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए।
$2$. बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{ AB }$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. परकार का उपयोग करके किरण $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{ AB }$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $\overline{ AB }$ पर स्थित वह अभीष्ट बिंदु है जिसके लिए $AM : AB = 2 : 5$ है।
$1$. स्केल (रूलर) का उपयोग करके $7 \,cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ खींचिए।
$2$. बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{ AB }$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$3$. परकार का उपयोग करके किरण $AX$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$4$. $A_5$ को $B$ से मिलाइए।
$5$. बिंदु $A_2$ से $A_5B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{ AB }$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$M$ रेखाखंड $\overline{ AB }$ पर स्थित वह अभीष्ट बिंदु है जिसके लिए $AM : AB = 2 : 5$ है।
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Difficult
$8\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए और इसे बिंदु $A$ से प्रारंभ करते हुए $2:3:5$ के अनुपात में विभाजित कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) चरण $1$: एक रूलर का उपयोग करके $8\, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
चरण $2$: बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाइए।
चरण $3$: किरण $AX$ पर परकार की सहायता से $2 + 3 + 5 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
चरण $4$: अंतिम बिंदु $A_{10}$ को बिंदु $B$ से मिलाइए।
चरण $5$: बिंदु $A_2$ और $A_5$ से (क्योंकि $2$ और $2+3=5$),$A_{10}B$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{AB}$ को क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चरण $6$: बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{AB}$ को $2:3:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
चरण $2$: बिंदु $A$ पर रेखाखंड $\overline{AB}$ के साथ एक न्यूनकोण $\angle BAX$ बनाइए।
चरण $3$: किरण $AX$ पर परकार की सहायता से $2 + 3 + 5 = 10$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{10}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_9A_{10}$ हो।
चरण $4$: अंतिम बिंदु $A_{10}$ को बिंदु $B$ से मिलाइए।
चरण $5$: बिंदु $A_2$ और $A_5$ से (क्योंकि $2$ और $2+3=5$),$A_{10}B$ के समांतर रेखाएँ खींचिए जो $\overline{AB}$ को क्रमशः बिंदु $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चरण $6$: बिंदु $P$ और $Q$ रेखाखंड $\overline{AB}$ को $2:3:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
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View Solution39
Medium
$AB = 3 \, cm$,$BC = 6 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ के साथ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए। फिर,$\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ गुनी हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर प्रतिच्छेद करे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $BC$ के उस ओर,जहाँ शीर्ष $A$ नहीं है,$BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6$. $B_4C$ को मिलाइए।
$7$. $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Q$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$1$. $6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर प्रतिच्छेद करे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $BC$ के उस ओर,जहाँ शीर्ष $A$ नहीं है,$BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$6$. $B_4C$ को मिलाइए।
$7$. $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Q$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
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View Solution40
Difficult
$AB = 6 \text{ cm}$,$BC = 7 \text{ cm}$ और $AC = 5 \text{ cm}$ वाला एक $\Delta ABC$ बनाइए। फिर,एक $\Delta BXY$ की रचना कीजिए जो $\Delta ABC$ के समरूप हो और जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{5}$ हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $7 \text{ cm}$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $6 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \text{ cm}$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर काटे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ बनाइए।
$4$. $BC$ के नीचे की ओर $B$ पर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $5$ समान बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ अंकित कीजिए ताकि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर काटे।
$8$. $Y$ से $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर काटे। इस प्रकार,$\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$1$. $7 \text{ cm}$ का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. $B$ को केंद्र मानकर $6 \text{ cm}$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। $C$ को केंद्र मानकर $5 \text{ cm}$ त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को $A$ पर काटे।
$3$. $AB$ और $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ बनाइए।
$4$. $BC$ के नीचे की ओर $B$ पर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$5$. किरण $BX$ पर $5$ समान बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ अंकित कीजिए ताकि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर काटे।
$8$. $Y$ से $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर काटे। इस प्रकार,$\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है।
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Difficult
$QR = 7 \, cm$,$m\angle Q = 45^{\circ}$ और $m\angle R = 60^{\circ}$ वाला $\Delta PQR$ खींचिए। फिर एक $\Delta P'QR'$ की रचना कीजिए जो $\Delta PQR$ के समरूप हो और जिसकी भुजाएँ $\Delta PQR$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $QR$ खींचिए।
$2$. बिंदु $Q$ पर चांदे या परकार की सहायता से $45^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $R$ पर परकार की सहायता से $60^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$4$. इन दोनों किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु को $P$ नाम दीजिए। इस प्रकार $\Delta PQR$ प्राप्त होगा।
$5$. आधार $QR$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle RQX$ बनाइए।
$6$. किरण $QX$ पर $4$ बिंदु $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4$ हो।
$7$. $Q_3$ को $R$ से मिलाइए। $Q_4$ से $Q_3R$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QR$ को $R'$ पर काटे।
$8$. $R'$ से $RP$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QP$ को $P'$ पर काटे।
$9$. $\Delta P'QR'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta PQR$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{3}$ है।
$1$. $7 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $QR$ खींचिए।
$2$. बिंदु $Q$ पर चांदे या परकार की सहायता से $45^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $R$ पर परकार की सहायता से $60^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$4$. इन दोनों किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु को $P$ नाम दीजिए। इस प्रकार $\Delta PQR$ प्राप्त होगा।
$5$. आधार $QR$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle RQX$ बनाइए।
$6$. किरण $QX$ पर $4$ बिंदु $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_3Q_4$ हो।
$7$. $Q_3$ को $R$ से मिलाइए। $Q_4$ से $Q_3R$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QR$ को $R'$ पर काटे।
$8$. $R'$ से $RP$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $QP$ को $P'$ पर काटे।
$9$. $\Delta P'QR'$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta PQR$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{3}$ है।
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Difficult
$XY = YZ = ZX = 6\, cm$ वाला एक $\Delta XYZ$ खींचिए। फिर एक $\Delta XMN$ की रचना कीजिए जो $\Delta XYZ$ के समरूप हो और जिसकी भुजाएँ $\Delta XYZ$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{4}$ गुनी हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $\Delta XYZ$ खींचिए।
$2$. शीर्ष $X$ पर $XY$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $XS$ खींचिए (जो $Z$ के विपरीत दिशा में हो)।
$3$. किरण $XS$ पर $5$ बिंदु $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 = X_4X_5$ हो।
$4$. $X_4$ को $Y$ से मिलाइए। $X_5$ से होकर $X_4Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XY$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $M$ से होकर $YZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XZ$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$\Delta XMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta XYZ$ के समरूप है और जिसकी भुजाओं का अनुपात $\frac{5}{4}$ है।
$1$. $6\, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $\Delta XYZ$ खींचिए।
$2$. शीर्ष $X$ पर $XY$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $XS$ खींचिए (जो $Z$ के विपरीत दिशा में हो)।
$3$. किरण $XS$ पर $5$ बिंदु $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $XX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 = X_4X_5$ हो।
$4$. $X_4$ को $Y$ से मिलाइए। $X_5$ से होकर $X_4Y$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XY$ को बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. $M$ से होकर $YZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $XZ$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6$. इस प्रकार,$\Delta XMN$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta XYZ$ के समरूप है और जिसकी भुजाओं का अनुपात $\frac{5}{4}$ है।
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Medium
$AB = 5 \text{ cm}$,$BC = 6 \text{ cm}$ और $m\angle B = 90^{\circ}$ वाला एक $\Delta ABC$ खींचिए। फिर एक $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए जो $\Delta ABC$ के समरूप हो और जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर चांदे या परकार की सहायता से $90^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. $B$ से निकलने वाली किरण पर $5 \text{ cm}$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाइए।
$5$. $BX$ पर $3$ बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6$. $B_2$ को $C$ से मिलाइए। $B_3$ से $B_2C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7$. $Q$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BA$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$1$. $6 \text{ cm}$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर चांदे या परकार की सहायता से $90^{\circ}$ का कोण बनाइए।
$3$. $B$ से निकलने वाली किरण पर $5 \text{ cm}$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBX$ बनाइए।
$5$. $BX$ पर $3$ बिंदु $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$ हो।
$6$. $B_2$ को $C$ से मिलाइए। $B_3$ से $B_2C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करे।
$7$. $Q$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $BA$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
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Medium
$AB = 6 \, cm$,$BC = 8 \, cm$ और $m\angle B = 60^\circ$ वाला एक $\Delta ABC$ खींचिए। फिर,$\Delta ABC$ के समरूप एक $\Delta BXY$ की रचना कीजिए,जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{5}$ गुनी हों। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $8 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर परकार और पैमाने का उपयोग करके $60^\circ$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $B$ से $60^\circ$ वाले किरण पर $6 \, cm$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. रेखाखंड $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBZ$ बनाइए।
$5$. किरण $BZ$ पर $5$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Y$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{5}$ है।
$1$. $8 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $BC$ खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ पर परकार और पैमाने का उपयोग करके $60^\circ$ का कोण बनाइए।
$3$. बिंदु $B$ से $60^\circ$ वाले किरण पर $6 \, cm$ का चाप लगाकर बिंदु $A$ अंकित कीजिए। $AC$ को मिलाकर $\Delta ABC$ पूर्ण कीजिए।
$4$. रेखाखंड $BC$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle CBZ$ बनाइए।
$5$. किरण $BZ$ पर $5$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5$ हो।
$6$. $B_5$ को $C$ से मिलाइए।
$7$. $B_4$ से $B_5C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$8$. $Y$ से $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $X$ पर प्रतिच्छेद करे।
$9$. $\Delta BXY$ अभीष्ट त्रिभुज है जो $\Delta ABC$ के समरूप है और जिसका स्केल गुणक $\frac{4}{5}$ है।
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View Solution45
Difficult
$XY = 4\, cm$,$YZ = 6\, cm$ और $XZ = 7\, cm$ के साथ $\Delta XYZ$ खींचिए। फिर,$\frac{4}{3}$ के स्केल फैक्टर के साथ $\Delta XYZ$ के समरूप $\Delta YMN$ की रचना कीजिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $6\, cm$ का रेखाखंड $YZ$ खींचिए।
$2$. $Y$ को केंद्र मानकर $4\, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
$3$. $Z$ को केंद्र मानकर $7\, cm$ त्रिज्या का एक अन्य चाप लगाइए जो पहले चाप को बिंदु $X$ पर काटे।
$4$. $XY$ और $XZ$ को मिलाकर $\Delta XYZ$ बनाइए।
$5$. $Y$ पर रेखा $YZ$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle ZYA$ बनाइए।
$6$. किरण $YA$ पर $4$ बिंदु $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $YY_1 = Y_1Y_2 = Y_2Y_3 = Y_3Y_4$ हो।
$7$. $Y_3$ को $Z$ से मिलाइए।
$8$. $Y_4$ से $Y_3Z$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YZ$ को $N$ पर काटे।
$9$. $N$ से $XZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YX$ को $M$ पर काटे।
$10$. $\Delta YMN$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$1$. $6\, cm$ का रेखाखंड $YZ$ खींचिए।
$2$. $Y$ को केंद्र मानकर $4\, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
$3$. $Z$ को केंद्र मानकर $7\, cm$ त्रिज्या का एक अन्य चाप लगाइए जो पहले चाप को बिंदु $X$ पर काटे।
$4$. $XY$ और $XZ$ को मिलाकर $\Delta XYZ$ बनाइए।
$5$. $Y$ पर रेखा $YZ$ के नीचे एक न्यूनकोण $\angle ZYA$ बनाइए।
$6$. किरण $YA$ पर $4$ बिंदु $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $YY_1 = Y_1Y_2 = Y_2Y_3 = Y_3Y_4$ हो।
$7$. $Y_3$ को $Z$ से मिलाइए।
$8$. $Y_4$ से $Y_3Z$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YZ$ को $N$ पर काटे।
$9$. $N$ से $XZ$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखा $YX$ को $M$ पर काटे।
$10$. $\Delta YMN$ अभीष्ट त्रिभुज है।
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Medium
$5 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके केंद्र से $8 \, cm$ दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। उनकी लंबाई मापिए।
Solution
(N/A) डेटा: $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। इसके बाहरी भाग में एक बिंदु $B$ इस प्रकार लीजिए कि $AB = 8 \, cm$ हो।
रचना: बिंदु $B$ से $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींचिए।
रचना के चरण:
$1$. $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $B$ इस प्रकार लीजिए कि $AB = 8 \, cm$ हो।
$2$. रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$3$. $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो मूल वृत्त को $X$ और $Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. किरणें $\overrightarrow{BX}$ और $\overrightarrow{BY}$ खींचिए।
अतः,$\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं।
गणना: $\triangle AXB$ में,$\angle AXB = 90^\circ$ (अर्धवृत्त का कोण)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AX^2 + BX^2$।
$8^2 = 5^2 + BX^2 \implies 64 = 25 + BX^2 \implies BX^2 = 39 \implies BX = \sqrt{39} \approx 6.24 \, cm$।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई लगभग $6.24 \, cm$ है।
रचना: बिंदु $B$ से $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींचिए।
रचना के चरण:
$1$. $A$ केंद्र और $5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $B$ इस प्रकार लीजिए कि $AB = 8 \, cm$ हो।
$2$. रेखाखंड $\overline{AB}$ खींचिए।
$3$. $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो मूल वृत्त को $X$ और $Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे।
$5$. किरणें $\overrightarrow{BX}$ और $\overrightarrow{BY}$ खींचिए।
अतः,$\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं।
गणना: $\triangle AXB$ में,$\angle AXB = 90^\circ$ (अर्धवृत्त का कोण)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AX^2 + BX^2$।
$8^2 = 5^2 + BX^2 \implies 64 = 25 + BX^2 \implies BX^2 = 39 \implies BX = \sqrt{39} \approx 6.24 \, cm$।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई लगभग $6.24 \, cm$ है।
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Difficult
चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Solution
(N/A) दत्त: चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए।
रचना: $A$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
$(1)$ चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए।
$(2)$ इस वृत्त में दो असमांतर जीवाएँ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ खींचिए।
$(3)$ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ के लंब समद्विभाजक खींचिए जो एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यहाँ,$O$ चूड़ी की सहायता से खींचे गए वृत्त का केंद्र है।
$(4)$ $\overline{OA}$ खींचिए।
$(5)$ $\overline{OA}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर $\overline{OA}$ का मध्य-बिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(6)$ $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो पहले वृत्त को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(7)$ किरणें $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना: $A$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
$(1)$ चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए और वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए।
$(2)$ इस वृत्त में दो असमांतर जीवाएँ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ खींचिए।
$(3)$ $\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ के लंब समद्विभाजक खींचिए जो एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यहाँ,$O$ चूड़ी की सहायता से खींचे गए वृत्त का केंद्र है।
$(4)$ $\overline{OA}$ खींचिए।
$(5)$ $\overline{OA}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर $\overline{OA}$ का मध्य-बिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(6)$ $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए जो पहले वृत्त को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(7)$ किरणें $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
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Medium
$\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3)$ और $\odot(B, 4)$ खींचिए। प्रत्येक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Solution
(N/A) डेटा: $\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3 \, cm)$ और $\odot(B, 4 \, cm)$ खींचिए।
रचना: प्रत्येक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3 \, cm)$ और $\odot(B, 4 \, cm)$ खींचिए।
$(2)$ $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(3)$ $\odot(M, MA)$ खींचिए जो $\odot(A, 3 \, cm)$ को $S$ और $T$ पर तथा $\odot(B, 4 \, cm)$ को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(4)$ $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ तथा $\overrightarrow{BS}$ और $\overrightarrow{BT}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ बिंदु $A$ से $\odot(B, 4 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं और $\overleftrightarrow{BS}$ और $\overleftrightarrow{BT}$ बिंदु $B$ से $\odot(A, 3 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना: प्रत्येक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overline{AB}$ खींचिए ताकि $AB = 10 \, cm$ हो। $\odot(A, 3 \, cm)$ और $\odot(B, 4 \, cm)$ खींचिए।
$(2)$ $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त कीजिए।
$(3)$ $\odot(M, MA)$ खींचिए जो $\odot(A, 3 \, cm)$ को $S$ और $T$ पर तथा $\odot(B, 4 \, cm)$ को $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(4)$ $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AY}$ तथा $\overrightarrow{BS}$ और $\overrightarrow{BT}$ खींचिए।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AX}$ और $\overleftrightarrow{AY}$ बिंदु $A$ से $\odot(B, 4 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं और $\overleftrightarrow{BS}$ और $\overleftrightarrow{BT}$ बिंदु $B$ से $\odot(A, 3 \, cm)$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
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Medium
एक वृत्त $\odot(P, 4)$ दिया गया है। स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार खींचिए कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का माप $60^\circ$ हो।
Solution
(N/A) डेटा: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ खींचिए।
रचना: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार खींचिए कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का माप $60^\circ$ हो।
$(1)$ $\odot(P, 4 \text{ cm})$ खींचिए और दो त्रिज्याएँ $\overline{PR}$ और $\overline{PQ}$ इस प्रकार खींचिए कि $m\angle RPQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ हो।
$(2)$ $R$ से होकर,$\overline{PR}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(3)$ $Q$ से होकर,$\overline{PQ}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(4)$ मान लीजिए कि चरण $(2)$ और चरण $(3)$ में खींची गई रेखाएँ $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AR}$ और $\overleftrightarrow{AQ}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच के कोण का माप $60^\circ$ है।
रचना: $\odot(P, 4 \text{ cm})$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार खींचिए कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का माप $60^\circ$ हो।
$(1)$ $\odot(P, 4 \text{ cm})$ खींचिए और दो त्रिज्याएँ $\overline{PR}$ और $\overline{PQ}$ इस प्रकार खींचिए कि $m\angle RPQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ हो।
$(2)$ $R$ से होकर,$\overline{PR}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(3)$ $Q$ से होकर,$\overline{PQ}$ पर लंबवत एक रेखा खींचिए।
$(4)$ मान लीजिए कि चरण $(2)$ और चरण $(3)$ में खींची गई रेखाएँ $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इस प्रकार,$\overleftrightarrow{AR}$ और $\overleftrightarrow{AQ}$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच के कोण का माप $60^\circ$ है।
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Difficult
केंद्र $P$ और त्रिज्या $3\, cm$ वाला एक वृत्त $\odot(P, 3\, cm)$ खींचिए और इसके बाहर एक बिंदु $R$ इस प्रकार लीजिए कि $PR = 6\, cm$ हो। बिंदु $R$ से वृत्त $\odot(P, 3\, cm)$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए। रचना के चरण लिखिए।
Solution
(N/A) रचना के चरण:
$1$. $P$ को केंद्र मानकर $3\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $R$ इस प्रकार लीजिए कि $PR = 6\, cm$ हो।
$3$. रेखाखंड $PR$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र मानकर और $MP$ (या $MR$) को त्रिज्या लेकर एक दूसरा वृत्त खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$6$. $RA$ और $RB$ को मिलाइए। $RA$ और $RB$ बिंदु $R$ से वृत्त $\odot(P, 3\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
$1$. $P$ को केंद्र मानकर $3\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $R$ इस प्रकार लीजिए कि $PR = 6\, cm$ हो।
$3$. रेखाखंड $PR$ का लंब समद्विभाजक खींचकर उसका मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए।
$4$. $M$ को केंद्र मानकर और $MP$ (या $MR$) को त्रिज्या लेकर एक दूसरा वृत्त खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$6$. $RA$ और $RB$ को मिलाइए। $RA$ और $RB$ बिंदु $R$ से वृत्त $\odot(P, 3\, cm)$ पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
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View SolutionConstructions — Mix Examples - Constructions · Frequently Asked Questions
1Are these Constructions questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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3How do I generate a question paper from this subtopic?
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