Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(A) वृत्त के भागों की परिभाषा के अनुसार:
$1.$ $\overline{OA} \cup \overline{OB} \cup \widehat{APB}$ दो त्रिज्याओं और लघु चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र दर्शाता है,जो $\text{लघु }\ \text{त्रिज्यखंड}$ $(c)$ है।
$2.$ $\overline{AB} \cup \widehat{AQB}$ एक जीवा और दीर्घ चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र दर्शाता है,जो $\text{दीर्घ }\ \text{वृत्तखंड}$ $(d)$ है।
$3.$ $\overline{AB} \cup \widehat{APB}$ एक जीवा और लघु चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र दर्शाता है,जो $\text{लघु }\ \text{वृत्तखंड}$ $(b)$ है।
$4.$ $\overline{OA} \cup \overline{OB} \cup \widehat{AQB}$ दो त्रिज्याओं और दीर्घ चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र दर्शाता है,जो $\text{दीर्घ }\ \text{त्रिज्यखंड}$ $(a)$ है।
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$ है।

(A) वृत्त $\odot(O, r)$ का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ दिया गया है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
यहाँ $\theta = 45^\circ$ और $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ दिया गया है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{45}{360} \times 240$
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times 240 = 30 \, cm^2$.
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $30 \, cm^2$ है।

(D) यहाँ, वृत्त की त्रिज्या $r = 12 \text{ cm}$ है और लघुचाप $\widehat{ACB}$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r = 2 \times \pi \times 12 = 24\pi \text{ cm}$ है।
लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई का सूत्र $L_{\text{minor}} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है।
$L_{\text{minor}} = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times 24\pi = \frac{1}{12} \times 24\pi = 2\pi \text{ cm}$।
दीर्घचाप $\widehat{ADB}$ की लंबाई कुल परिधि में से लघुचाप की लंबाई को घटाकर प्राप्त की जाती है।
$L_{\text{major}} = 24\pi - 2\pi = 22\pi \text{ cm}$।

(D) यहाँ,त्रिज्या $r = 6.3\, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 40^{\circ}$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$ है।
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times (6.3)^{2} \times \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times \frac{1}{9}$
$\text{Area} = 22 \times 0.9 \times 0.7$
$\text{Area} = 13.86\, cm^{2}$.

(A) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} r l$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
दिया गया है: $r = 10 \, cm$ और $A = 75 \, cm^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$75 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$75 = 5 \times l$
$l = \frac{75}{5}$
$l = 15 \, cm$।
अतः,चाप की लंबाई $15 \, cm$ है।

(B) चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$ है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है,$r$ त्रिज्या है,और $\theta$ डिग्री में केंद्रीय कोण है।
दिया गया है: $l = 110 \,cm$ और $\theta = 150^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 150}{180}$
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 5}{6}$
$110 = \frac{110 \times r}{42}$
$r = \frac{110 \times 42}{110}$
$r = 42 \,cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $42 \,cm$ है।

(A) चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ होता है।
यहाँ, त्रिज्या $r = 8 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 45^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 8$
$L = \frac{1}{8} \times 16\pi$
$L = 2\pi \, cm$.
अतः, लघु चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $2\pi \, cm$ है।

(B) वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,चाप की लंबाई परिधि का आठवां भाग है:
$L = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
$L$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{1}{8}$.
$\theta$ का मान ज्ञात करने पर:
$\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
अतः,केंद्र पर अंतरित कोण का माप $45^\circ$ है।

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $r = OA = OB = 4 \, cm$ है।
जीवा $\overline{AB}$ की लंबाई $4 \, cm$ है।
$\triangle AOB$ में,$OA = OB = AB = 4 \, cm$ है।
चूंकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं।
इसलिए,$m \angle AOB = 60^\circ$.

(C) मान लीजिए कि वृत्त की मूल त्रिज्या $r$ है।
वृत्त का मूल क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
यदि त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई त्रिज्या $r'$ होगी:
$r' = r + 0.10r = 1.1r$.
नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2$ इस प्रकार होगा:
$A_2 = \pi (r')^2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$.
अतः,नए वृत्त का क्षेत्रफल $1.21 \pi r^2$ होगा।

(C) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है।
अर्धवृत्त में बने त्रिभुज के लिए,त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त का व्यास होता है,जो $d = 2r = 2 \times 10 = 20 \, cm$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई व्यास से परिधि तक की लंबवत दूरी है,जो तब अधिकतम होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर स्थित हो,जिससे ऊँचाई त्रिज्या $r = 10 \, cm$ के बराबर हो जाती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 \, cm^2$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $100 \, cm^2$ है।

(A) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 14 \, cm$।
जब मिनट की सुई $1$ से $10$ तक चलती है,तो यह घड़ी के डायल पर $12$ में से $9$ भाग तय करती है।
मिनट की सुई द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $\theta = \frac{9}{12} \times 360^\circ = \frac{3}{4} \times 360^\circ = 270^\circ$ है।
मिनट की सुई द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल $\theta = 270^\circ$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
क्षेत्रफल $= \frac{270}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
क्षेत्रफल $= \frac{3}{4} \times 22 \times 2 \times 14$।
क्षेत्रफल $= 3 \times 11 \times 14 = 462 \, cm^2$।

(C) चाप की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर अंतरित कोण है और $2\pi r$ वृत्त की परिधि है।
दिया गया है कि लघु चाप $\widehat{AB}$ की लंबाई परिधि की $\frac{1}{4}$ है,इसलिए:
$L = \frac{1}{4} \times (2\pi r)$
$L$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{4} \times 2\pi r$
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
अतः,लघु चाप $\widehat{AB}$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का माप $90^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 38.5\, m^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{269.5}{22} = 12.25$
$r = \sqrt{12.25} = 3.5\, m$.
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5$
$C = 2 \times 22 \times 0.5 = 22\, m$.
अतः,वृत्त की परिधि $22\, m$ है।

(A) सही मिलान इस प्रकार है:
$1.$ लघु चाप की लंबाई $(l)$ ज्ञात करने का सूत्र $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ है। अतः,$1$ का मिलान $c$ से होता है।
$2.$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $(A)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ है। अतः,$2$ का मिलान $d$ से होता है।
$3.$ वृत्त का क्षेत्रफल $(A)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है। अतः,$3$ का मिलान $b$ से होता है।
$4.$ वृत्त की परिधि $(C)$ ज्ञात करने का सूत्र $C = 2\pi r$ है। अतः,$4$ का मिलान $a$ से होता है।
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$ है।