x in R માટે,ધારો કે વિધેય y(x) એ વિકલ સમીકરણ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 12$ અને $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ છે.સંકલ્યકારક

Vedclass · Accepted Answer

એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $\beta$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદે છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 12$ અને $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} xight)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) dx + C$ છે.સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C$.સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C e^{-12x}$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$,તેથી $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.આમ,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight) - 12 e^{-12x}ight)$.જેમ $x 	o \infty$,તેમ $e^{-12x} 	o 0$,તેથી $y(x)$ એ આવર્તી વિધેય $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phiight)$ ની નજીક પહોંચે છે.કારણ કે $y(x)$ આવર્તી વિધેયની નજીક પહોંચે છે,તેથી આ આવર્તી વિધેયના વિસ્તારમાં રહેલી કોઈ કિંમત $\beta$ માટે,રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદશે. તેથી,વિધાન $C$ $TRUE$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$,જ્યાં $y(0) = 1$ હોય,તેનો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ નો ઉકેલ છે; $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, y(0)=0$. તો,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત ..... છે.

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module