જેની ધાર $-12i + \alpha k$,$3j - k$ અને $2i + j - 15k$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે તેવા સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $546$ છે. તો $\alpha = $

ધારો કે $a=p(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$,$b=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,અને $c=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. જો $[abc]$ નું મૂલ્ય $15$ થી વધુ ન હોય અને $-5$ થી ઓછું ન હોય,તો $p$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

ધારો કે $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ અને $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (જ્યાં $x + y + z \neq 0$),તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ શું થાય?

ધારો કે $a = i - j$,$b = j - k$,$c = k - i$. જો $\hat{d}$ એ એકમ સદિશ હોય કે જેથી $a \cdot \hat{d} = 0$ અને $[b, c, \hat{d}] = 0$ થાય,તો $\hat{d}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{PR}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{SQ}=\hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો છે અને $\overrightarrow{PT}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ એ અન્ય સદિશ છે. તો સદિશો $\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.

જો ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેના શિરોબિંદુઓ $A \equiv (1, -6, 10)$,$B \equiv (-1, -3, 7)$,$C \equiv (5, -1, k)$ અને $D \equiv (7, -4, 7)$ હોય,તે $11$ ઘન એકમ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.