IIT JEE 1976 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $z = \frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 2i\sin \theta)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(3 + 2i\sin \theta)(1 + 2i\sin \theta)}{(1 - 2i\sin \theta)(1 + 2i\sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{3 - 4\sin^2 \theta + 8i\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = \left( \frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} \right) + i\left( \frac{8\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} \right)$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\text{Im}(z) = \frac{8\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$.
$\sin \theta = 0$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है.

(C) एक सम्मिश्र संख्या शुद्ध काल्पनिक होती है यदि उसका वास्तविक भाग $0$ हो।
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta} \times \frac{1 + 2i\sin \theta}{1 + 2i\sin \theta} = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1^2 + (2\sin \theta)^2} = \frac{(3 - 4\sin^2 \theta) + i(8\sin \theta)}{1 + 4\sin^2 \theta}$.
व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए:
$\frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4\sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left( \pm \frac{\pi}{3} \right)$
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) माना कि उभयनिष्ठ मूल $y$ है।
अतः,$y^2 + py + q = 0$ और $y^2 + \alpha y + \beta = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
वैकल्पिक रूप से,वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$।
दूसरे और तीसरे पद से,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
पहले और दूसरे पद से,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ या $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ है।

(B) ये संख्याएँ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
चूँकि संख्या $1000$ से बड़ी और $4000$ से छोटी या उसके बराबर होनी चाहिए,इसलिए पहला अंक $1, 2, 3,$ या $4$ हो सकता है।
स्थिति $1$: पहला अंक $1, 2,$ या $3$ है।
इन $3$ विकल्पों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ स्थानों को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0, 1, 2, 3, 4$)।
इन स्थितियों के लिए कुल संख्या $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$।
हालाँकि,हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जहाँ संख्या $1000$ है (क्योंकि यह $1000$ से बड़ी होनी चाहिए)।
अतः,$375 - 1 = 374$ संख्याएँ।
स्थिति $2$: पहला अंक $4$ है।
$4$ से शुरू होने वाली $4000$ से छोटी या उसके बराबर एकमात्र संख्या $4000$ है।
इसे हमारी गणना में जोड़ने पर: $374 + 1 = 375$।
इस प्रकार,कुल संख्या $375$ है।

(A) माना झील के स्तर से बादल की ऊँचाई $H$ है और अवलोकन बिंदु की ऊँचाई $h = 2500 \, m$ है।
उन्नयन कोण से,$\tan(15^\circ) = \frac{H - h}{x}$,इसलिए $x = (H - h) \cot(15^\circ)$.
प्रतिबिंब के अवनमन कोण से,$\tan(45^\circ) = \frac{H + h}{x}$,इसलिए $x = (H + h) \cot(45^\circ)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $(H - h) \cot(15^\circ) = (H + h) \cot(45^\circ)$.
$\cot(45^\circ) = 1$ और $\cot(15^\circ) = 2 + \sqrt{3}$ का मान रखने पर:
$(H - 2500)(2 + \sqrt{3}) = H + 2500$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 2500(3 + \sqrt{3}) = 2500 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
अतः,$H = 2500 \sqrt{3} \, m$.

(A) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।
रेखाओं की प्रवणता (slopes) की जाँच करने पर:
$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$ है,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$4x - 7y = -10$ और $7x + 4y = 15$ को हल करने पर:
$x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।

(A) रेखा $BC$ की प्रवणता $m = \frac{-3 - (-1)}{-1 - (-3)} = -1$ है।
$BC$ के समांतर रेखा का समीकरण $x + y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की दूरी $\frac{|\lambda|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$|\lambda| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
रेखा के $OB$ और $OC$ को काटने के लिए,इसे मूल बिंदु और $BC$ के बीच स्थित होना चाहिए,इसलिए $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ लेने पर,समीकरण $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x + 2y + \sqrt{2} = 0$ है।

(A) माना बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $h + k = 4$ या $k = 4 - h$ $(i)$.
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $4x + 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4h + 3k - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$ है।
अतः,$|4h + 3k - 10| = 5$,जिसका अर्थ है $4h + 3k - 10 = 5$ या $4h + 3k - 10 = -5$.
स्थिति $1$: $4h + 3k = 15$. $k = 4 - h$ प्रतिस्थापित करने पर,$4h + 3(4 - h) = 15 \Rightarrow h = 3$. तब $k = 1$. बिंदु $(3, 1)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $4h + 3k = 5$. $k = 4 - h$ प्रतिस्थापित करने पर,$4h + 3(4 - h) = 5 \Rightarrow h = -7$. तब $k = 11$. बिंदु $(-7, 11)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ हैं।

(C) रेखा $2x + 3y = 12$,$y$-अक्ष को $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $B = (0, 4)$ है।
रेखा $2x + 3y = 12$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
$AB$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
$(5, 5)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 5 = \frac{3}{2}(x - 5)$ है,जो $3x - 2y = 5$ में सरल हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $C$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $3x = 5 \implies C = (\frac{5}{3}, 0)$ है।
$E$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$2x + 3y = 12$ $(i)$
$3x - 2y = 5$ (ii)
$(i)$ को $2$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $4x + 6y = 24$ और $9x - 6y = 15$ प्राप्त होता है।
जोड़ने पर $13x = 39 \implies x = 3$ मिलता है। $(i)$ में $x=3$ रखने पर,$6 + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2$ मिलता है। अतः $E = (3, 2)$ है।
चतुर्भुज $OCEB$ का क्षेत्रफल $\Delta OCE$ और $\Delta OEB$ में विभाजित करके निकाला जा सकता है।
$\Delta OCE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_C - y_E) + x_C(y_E - y_O) + x_E(y_O - y_C)| = \frac{1}{2} |0 + \frac{5}{3}(2 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{5}{3}$ है।
$\Delta OEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_E - y_B) + x_E(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_E)| = \frac{1}{2} |0 + 3(4 - 0) + 0| = 6$ है।
कुल क्षेत्रफल $= \frac{5}{3} + 6 = \frac{23}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5}$.
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है।
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(2x - 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2x - 5}$.
$x = 1$ रखने पर: $\frac{1}{2(1) - 5} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x - 1)}{\frac{d}{dx}(2x^2 - 7x + 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{4x - 7} = \frac{1}{4(1) - 7} = -\frac{1}{3}$.

(A) हमें $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta )$ का मान ज्ञात करना है।
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)$.
जब $\theta \to \pi /2$,तो यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
सर्वसमिका $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ और $\cos \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)} = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,इसलिए $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ है।
वज्र-गुणन करने पर $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ मिलता है।
यह $2(ca^2) = bc^2 + ab^2$ के रूप में है,जो $bc^2, ca^2, ab^2$ के $A.P.$ में होने की शर्त है।

(C) $3000$ से बड़ी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए हम $4, 5$ और $6$ अंकों की संख्याओं पर विचार करेंगे।
$1$. $3000$ से बड़ी $4$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $3, 4$ या $5$ हो सकता है ($3$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3 \times 60 = 180$।
$2$. $5$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $5$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
$3$. $6$ अंकों की संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प: $1, 2, 3, 4, 5$)।
शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $5! = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $6$ अंकों की संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
कुल संख्याएँ $= 180 + 600 + 600 = 1380$।

(D) माना $E_1$ थैली $A$ से गेंद निकालने की घटना है,$E_2$ थैली $B$ से गेंद निकालने की घटना है,और $E$ निकाली गई गेंद के लाल होने की घटना है।
हमें $P(E_2|E)$ ज्ञात करना है।
चूंकि दोनों थैलियों के चुने जाने की प्रायिकता समान है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ है,और थैली $B$ से $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(D) माना $I = \int \sqrt{2 + \sin 3x} \cdot \cos 3x \, dx$.
$t = 2 + \sin 3x$ प्रतिस्थापन करने पर।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dt = 3 \cos 3x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x \, dx = \frac{1}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{1/2} dt$।
घात नियम $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c = \frac{2}{9} t^{3/2} + c$।
$t = 2 + \sin 3x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{9}(2 + \sin 3x)^{3/2} + c$.