IIT JEE 1976 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $z = \frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + 2i\sin \theta)$ વડે ગુણો:
$z = \frac{(3 + 2i\sin \theta)(1 + 2i\sin \theta)}{(1 - 2i\sin \theta)(1 + 2i\sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$z = \frac{3 - 4\sin^2 \theta + 8i\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = \left( \frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} \right) + i\left( \frac{8\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} \right)$
$z$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\text{Im}(z) = \frac{8\sin \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = 0$.
$\sin \theta = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.

(C) એક સંકર સંખ્યા શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય જો તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોય.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta} \times \frac{1 + 2i\sin \theta}{1 + 2i\sin \theta} = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1^2 + (2\sin \theta)^2} = \frac{(3 - 4\sin^2 \theta) + i(8\sin \theta)}{1 + 4\sin^2 \theta}$.
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક બને તે માટે,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4\sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left( \pm \frac{\pi}{3} \right)$
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $y$ છે.
તેથી,$y^2 + py + q = 0$ અને $y^2 + \alpha y + \beta = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
પ્રથમ અને બીજા પદ પરથી,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ અથવા $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ છે.

(B) આ સંખ્યાઓ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી $4$-અંકની સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યા $1000$ થી મોટી અને $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ,તેથી પ્રથમ અંક $1, 2, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $1, 2,$ અથવા $3$ છે.
આ $3$ વિકલ્પોમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ સ્થાનો $5$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0, 1, 2, 3, 4$).
આ કિસ્સાઓ માટે કુલ સંખ્યા $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$.
જો કે,આપણે $1000$ વાળી સંખ્યાને બાદ કરવી પડશે (કારણ કે તે $1000$ થી મોટી હોવી જોઈએ).
તેથી,$375 - 1 = 374$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $4$ છે.
$4$ થી શરૂ થતી $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી એકમાત્ર સંખ્યા $4000$ છે.
આને આપણી ગણતરીમાં ઉમેરતા: $374 + 1 = 375$.
આમ,કુલ સંખ્યા $375$ છે.

(A) ધારો કે સરોવરની સપાટીથી વાદળની ઊંચાઈ $H$ છે અને અવલોકન બિંદુની ઊંચાઈ $h = 2500 \, m$ છે.
ઉત્સેધકોણ પરથી,$\tan(15^\circ) = \frac{H - h}{x}$,તેથી $x = (H - h) \cot(15^\circ)$.
પ્રતિબિંબના અવસેધકોણ પરથી,$\tan(45^\circ) = \frac{H + h}{x}$,તેથી $x = (H + h) \cot(45^\circ)$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(H - h) \cot(15^\circ) = (H + h) \cot(45^\circ)$.
$\cot(45^\circ) = 1$ અને $\cot(15^\circ) = 2 + \sqrt{3}$ કિંમતો મૂકતા:
$(H - 2500)(2 + \sqrt{3}) = H + 2500$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 2500(3 + \sqrt{3}) = 2500 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
તેથી,$H = 2500 \sqrt{3} \, m$.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,અને $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસતા:
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ નો ઢાળ $(m_3)$ = $-7/4$.
અહીં $m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં કાટખૂણો $L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ પર બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
$4x - 7y = -10$ અને $7x + 4y = 15$ ને ઉકેલતા:
$x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.

(A) $BC$ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-3 - (-1)}{-1 - (-3)} = -1$ છે.
$BC$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x + y + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું અંતર $\frac{|\lambda|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$|\lambda| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
રેખા $OB$ અને $OC$ ને છેદે તે માટે,તે ઉગમબિંદુ અને $BC$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,સમીકરણ $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ મળે,જે $2x + 2y + \sqrt{2} = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે. તે રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,$h + k = 4$ અથવા $k = 4 - h$ $(i)$.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $4x + 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4h + 3k - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$ છે.
તેથી,$|4h + 3k - 10| = 5$,જેનો અર્થ છે કે $4h + 3k - 10 = 5$ અથવા $4h + 3k - 10 = -5$.
કિસ્સો $1$: $4h + 3k = 15$. $k = 4 - h$ મૂકતા,$4h + 3(4 - h) = 15 \Rightarrow h = 3$. તેથી $k = 1$. બિંદુ $(3, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $4h + 3k = 5$. $k = 4 - h$ મૂકતા,$4h + 3(4 - h) = 5 \Rightarrow h = -7$. તેથી $k = 11$. બિંદુ $(-7, 11)$ મળે છે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ છે.

(C) રેખા $2x + 3y = 12$ એ $y$-અક્ષને $B$ પર મળે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $B = (0, 4)$.
રેખા $2x + 3y = 12$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
$AB$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ છે.
$(5, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{3}{2}(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2y = 5$ થાય છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $C$ પર મળે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $3x = 5 \implies C = (\frac{5}{3}, 0)$.
$E$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$2x + 3y = 12$ $(i)$
$3x - 2y = 5$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $4x + 6y = 24$ અને $9x - 6y = 15$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $13x = 39 \implies x = 3$ મળે છે. $(i)$ માં $x=3$ મૂકતા,$6 + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. તેથી $E = (3, 2)$.
ચતુષ્કોણ $OCEB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta OCE$ અને $\Delta OEB$ માં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
$\Delta OCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_C - y_E) + x_C(y_E - y_O) + x_E(y_O - y_C)| = \frac{1}{2} |0 + \frac{5}{3}(2 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{5}{3}$.
$\Delta OEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_E - y_B) + x_E(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_E)| = \frac{1}{2} |0 + 3(4 - 0) + 0| = 6$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{5}{3} + 6 = \frac{23}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(2x - 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2x - 5}$.
$x = 1$ મૂકતા: $\frac{1}{2(1) - 5} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x - 1)}{\frac{d}{dx}(2x^2 - 7x + 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{4x - 7} = \frac{1}{4(1) - 7} = -\frac{1}{3}$.

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta )$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)$.
જ્યારે $\theta \to \pi /2$,ત્યારે આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ અને $\cos \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)} = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે. ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
તેમના વર્ગોના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ મળે.
આપેલ શરત મુજબ,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,તેથી $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ થાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ મળે.
આ $2(ca^2) = bc^2 + ab^2$ એ $bc^2, ca^2, ab^2$ ના $A.P.$ માં હોવાની શરત છે.

(C) $3000$ થી મોટી સંખ્યાઓ શોધવા માટે આપણે $4, 5$ અને $6$ અંકની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈશું.
$1$. $3000$ થી મોટી $4$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $3, 4$ અથવા $5$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $^5P_3 = 60$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $^5P_4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $5$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $5! = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $6$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 180 + 600 + 600 = 1380$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,$E_2$ એ થેલી $B$ માંથી દડો કાઢવાની ઘટના છે,અને $E$ એ કાઢેલો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
આપણે $P(E_2|E)$ શોધવાનું છે.
બંને થેલીઓ પસંદ થવાની સંભાવના સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ મળે.
થેલી $A$ માંથી લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ છે,અને થેલી $B$ માંથી $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(D) ધારો કે $I = \int \sqrt{2 + \sin 3x} \cdot \cos 3x \, dx$.
$t = 2 + \sin 3x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $dt = 3 \cos 3x \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos 3x \, dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{1/2} dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ વાપરતા:
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c = \frac{2}{9} t^{3/2} + c$.
$t = 2 + \sin 3x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{2}{9}(2 + \sin 3x)^{3/2} + c$.