MathematicsQ1–8 of 8 questions
Page 1 of 1 · Hindi
1
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
$0.4\overline{23} = ?$
A
$\frac{419}{990}$
B
$\frac{419}{999}$
C
$\frac{417}{990}$
D
$\frac{417}{999}$
Solution
(A) माना $x = 0.4232323...$ (समीकरण $1$)
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर: $10x = 4.232323...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करने पर: $1000x = 423.232323...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ घटाने पर:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर: $10x = 4.232323...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करने पर: $1000x = 423.232323...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ घटाने पर:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.
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2
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $20$ पदों तक का योगफल क्या है?
A
$188090$
B
$189080$
C
$199080$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$20$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ की गणना करें।
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$20$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ की गणना करें।
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.
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3
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
$x = 0, y = 0, x + y = 1$ और $6x + y = 3$ द्वारा निर्मित चतुर्भुज के मूल बिंदु (origin) से गुजरने वाला विकर्ण है
A
$3x - 2y = 0$
B
$2x - 3y = 0$
C
$3x + 2y = 0$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) चतुर्भुज के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित होते हैं:
$1$. $x=0$ और $y=0$ बिंदु $B(0,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $x=0$ और $6x+y=3$ बिंदु $A(0,3)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. $y=0$ और $x+y=1$ बिंदु $C(1,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4$. $x+y=1$ और $6x+y=3$ बिंदु $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मूल बिंदु $B(0,0)$ से गुजरने वाला विकर्ण शीर्ष $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ से भी गुजरना चाहिए।
$(0,0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{y_1}{x_1}x$ है।
$x_1 = \frac{2}{5}$ और $y_1 = \frac{3}{5}$ रखने पर:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.
$1$. $x=0$ और $y=0$ बिंदु $B(0,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $x=0$ और $6x+y=3$ बिंदु $A(0,3)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. $y=0$ और $x+y=1$ बिंदु $C(1,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4$. $x+y=1$ और $6x+y=3$ बिंदु $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मूल बिंदु $B(0,0)$ से गुजरने वाला विकर्ण शीर्ष $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ से भी गुजरना चाहिए।
$(0,0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{y_1}{x_1}x$ है।
$x_1 = \frac{2}{5}$ और $y_1 = \frac{3}{5}$ रखने पर:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.
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4
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
एक समबाहु त्रिभुज के आधार का समीकरण $x + y = 2$ है और शीर्ष $(2, -1)$ है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई है
A
$\sqrt{3/2}$
B
$\sqrt{2}$
C
$\sqrt{2/3}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) माना कि $p$ शीर्ष $(2, -1)$ से आधार $x + y - 2 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
हल करने पर,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
हल करने पर,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
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5
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1973
$ax \pm by \pm c = 0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है
A
$\frac{c^2}{ab}$
B
$\frac{2c^2}{ab}$
C
$\frac{c^2}{2ab}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) दी गई रेखाएँ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,और $ax - by - c = 0$ हैं।
इन्हें अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,और $D(0, -\frac{c}{b})$ हैं।
इस चतुर्भुज के विकर्ण $AC$ और $BD$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
चूंकि अक्ष परस्पर लंबवत हैं,इसलिए विकर्ण भी लंबवत हैं,जिससे यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज बन जाता है।
विकर्ण $AC$ की लंबाई $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$।
विकर्ण $BD$ की लंबाई $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$।
इन्हें अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,और $D(0, -\frac{c}{b})$ हैं।
इस चतुर्भुज के विकर्ण $AC$ और $BD$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
चूंकि अक्ष परस्पर लंबवत हैं,इसलिए विकर्ण भी लंबवत हैं,जिससे यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज बन जाता है।
विकर्ण $AC$ की लंबाई $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$।
विकर्ण $BD$ की लंबाई $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$।
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6
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ और $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$:
A
एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं
B
एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं
C
एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटते हैं
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - 0} = \sqrt{5}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 4)$ और त्रिज्या $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
हम देखते हैं कि $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 4)$ और त्रिज्या $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
हम देखते हैं कि $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
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7
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1973
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x} = $
A
$2$
B
$1$
C
$-2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दी गई सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ रखने पर:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ रखने पर:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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8
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
पाँच समान गेंदों को दस समान बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि किसी भी बक्से में एक से अधिक गेंद न हो?
A
$10!$
B
$\frac{10!}{5!}$
C
$\frac{10!}{(5!)^2}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) चूंकि $5$ गेंदें समान हैं और $10$ बक्से समान हैं,इसलिए गेंदों को इस प्रकार वितरित करना कि किसी भी बक्से में एक से अधिक गेंद न हो,$10$ में से $5$ बक्सों को चुनने के बराबर है।
अतः,तरीकों की कुल संख्या ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ है।
अतः,तरीकों की कुल संख्या ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ है।
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