MathematicsQ1–8 of 8 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
$0.4\overline{23} = ?$
A
$\frac{419}{990}$
B
$\frac{419}{999}$
C
$\frac{417}{990}$
D
$\frac{417}{999}$
Solution
(A) ધારો કે $x = 0.4232323...$ (સમીકરણ $1$)
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 4.232323...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 423.232323...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 4.232323...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 423.232323...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.
0 likesView Solution
2
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
$1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ શ્રેણીનો $20$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?
A
$188090$
B
$189080$
C
$199080$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n + 1)^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે.
$20$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
આ કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે.
$20$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
આ કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.
0 likesView Solution
3
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
$x = 0, y = 0, x + y = 1$ અને $6x + y = 3$ દ્વારા રચાયેલા ચતુષ્કોણના ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો વિકર્ણ કયો છે?
A
$3x - 2y = 0$
B
$2x - 3y = 0$
C
$3x + 2y = 0$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા રચાય છે:
$1$. $x=0$ અને $y=0$ એ $B(0,0)$ પર છેદે છે.
$2$. $x=0$ અને $6x+y=3$ એ $A(0,3)$ પર છેદે છે.
$3$. $y=0$ અને $x+y=1$ એ $C(1,0)$ પર છેદે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $6x+y=3$ એ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ પર છેદે છે.
ઉગમબિંદુ $B(0,0)$ માંથી પસાર થતો વિકર્ણ શિરોબિંદુ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ માંથી પણ પસાર થવો જોઈએ.
$(0,0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{y_1}{x_1}x$ છે.
$x_1 = \frac{2}{5}$ અને $y_1 = \frac{3}{5}$ મૂકતા:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.
$1$. $x=0$ અને $y=0$ એ $B(0,0)$ પર છેદે છે.
$2$. $x=0$ અને $6x+y=3$ એ $A(0,3)$ પર છેદે છે.
$3$. $y=0$ અને $x+y=1$ એ $C(1,0)$ પર છેદે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $6x+y=3$ એ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ પર છેદે છે.
ઉગમબિંદુ $B(0,0)$ માંથી પસાર થતો વિકર્ણ શિરોબિંદુ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ માંથી પણ પસાર થવો જોઈએ.
$(0,0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{y_1}{x_1}x$ છે.
$x_1 = \frac{2}{5}$ અને $y_1 = \frac{3}{5}$ મૂકતા:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.
0 likesView Solution
4
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
એક સમબાજુ ત્રિકોણના પાયાનું સમીકરણ $x + y = 2$ છે અને શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે. તો ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ કેટલી થાય?
A
$\sqrt{3/2}$
B
$\sqrt{2}$
C
$\sqrt{2/3}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) ધારો કે $p$ એ શિરોબિંદુ $(2, -1)$ થી પાયા $x + y - 2 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતરનું સૂત્ર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતરનું સૂત્ર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
0 likesView Solution
5
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1973
$ax \pm by \pm c = 0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
A
$\frac{c^2}{ab}$
B
$\frac{2c^2}{ab}$
C
$\frac{c^2}{2ab}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) આપેલ રેખાઓ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,અને $ax - by - c = 0$ છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,અને $D(0, -\frac{c}{b})$ છે.
આ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર આવેલા છે.
અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,વિકર્ણો પણ લંબ છે,તેથી આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$.
વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,અને $D(0, -\frac{c}{b})$ છે.
આ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર આવેલા છે.
અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,વિકર્ણો પણ લંબ છે,તેથી આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$.
વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$.
0 likesView Solution
6
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
વર્તુળો $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ અને $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$:
A
એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે
B
એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે
C
એકબીજાને બે બિંદુઓમાં છેદે છે
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - 0} = \sqrt{5}$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ છે.
કારણ કે $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,તેથી વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ છે.
કારણ કે $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,તેથી વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
0 likesView Solution
7
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1973
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x} = $
A
$2$
B
$1$
C
$-2$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x}$.
અહીં સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ મુકતા:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
અહીં સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ મુકતા:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
8
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1973
પાંચ સમાન દડાઓને દસ સમાન બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ બોક્સમાં એકથી વધુ દડા ન હોય?
A
$10!$
B
$\frac{10!}{5!}$
C
$\frac{10!}{(5!)^2}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) દડાઓ સમાન હોવાથી અને બોક્સ પણ સમાન હોવાથી,કોઈ પણ બોક્સમાં એકથી વધુ દડા ન હોય તે રીતે $5$ દડાઓને $10$ બોક્સમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $10$ માંથી $5$ બોક્સ પસંદ કરવા જેટલી છે.
આથી,કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ થાય.
આથી,કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ થાય.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 1973?
There are 8 Mathematics questions from the IIT JEE 1973 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 1973 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 1973 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 1973 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.