GUJCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है $A = \tan^{-1} 2$ और $B = \tan^{-1} 3$।
हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$।
मान रखने पर,$\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$।
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं और $\tan A = 2, \tan B = 3$ (दोनों धनात्मक) हैं,इसलिए $A$ और $B$ न्यून कोण हैं।
अतः,$A + B$ दूसरे चतुर्थांश में होना चाहिए क्योंकि $\tan(A + B) = -1$ है।
इसलिए,$A + B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $135^{\circ} + C = 180^{\circ}$।
अतः,$C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$।

(B) फलन $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।
अतः,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $y(5x-3) = 3x+1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5xy - 3y = 3x + 1$ मिलता है।
$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $5xy - 3x = 3y + 1$ प्राप्त होता है।
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(5y - 3) = 3y + 1$ मिलता है।
इस प्रकार,$x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{-1}(x) = f(x)$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + 2$. मान लीजिए $y = 3x + 2$,तो $x = \frac{y - 2}{3}$ होगा।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}$,या $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}$ है।
हमें $(g \circ f^{-1})(10) = g(f^{-1}(10))$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f^{-1}(10) = \frac{10 - 2}{3} = \frac{8}{3}$ की गणना करें।
अब,इस मान को $g(x) = 6x + 5$ में प्रतिस्थापित करें:
$g\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right) + 5 = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in S$ हो,तो संबंध $S$ स्वतुल्य कहलाता है। यहाँ,$(1, 1) \notin S$ है,इसलिए $S$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ हो,तो संबंध $S$ सममित कहलाता है। यहाँ,$(1, 2) \in S$ और $(2, 1) \in S$ है,लेकिन $(2, 3) \in S$ होने के बावजूद $(3, 2) \notin S$ है। इसलिए,संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ हो,तो संबंध $S$ संक्रामक कहलाता है। यहाँ,$(1, 2) \in S$ और $(2, 3) \in S$ है,लेकिन $(1, 3) \notin S$ है। इसलिए,संबंध संक्रामक नहीं है।
$4$. निष्कर्ष: $S$ न तो स्वतुल्य है,न सममित है,और न ही संक्रामक है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\cos \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} 5\right)\right)$ है।
चूंकि $5 > 0$,इसलिए $\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} 5 = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(2 \times \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi)$।
हम जानते हैं कि $\cos(\pi) = -1$ होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot x = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ और $\tan x = \cot(\frac{\pi}{2} - x)$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x))$
$= (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)$
$= \pi - 2x$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करें: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2(1)+3(2)+4(3)) & (2(x)+3(4)+4(2)) & (2(3)+3(5)+4(x)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix}$.
अब,इस परिणाम को तीसरे आव्यूह से गुणा करें: $\begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 20(x) + (2x+20)(2) + (21+4x)(0) = 0$.
इसे सरल करने पर: $20x + 4x + 40 = 0$.
$24x = -40$.
$x = -\frac{40}{24} = -\frac{5}{3}$.

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix}$।
अब,$6A$ की गणना करें:
$6A = 6 \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^2 - 6A$ की गणना करें:
$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} = 27 I_3$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$ है।
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+p+q+r & p & q \\ k+p+q+r & k+p & q \\ k+p+q+r & p & k+q \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = p+q+r$,इसलिए $k+p+q+r = 2k$ है।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2k & p & q \\ 2k & k+p & q \\ 2k & p & k+q \end{array}\right| = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 1 & k+p & q \\ 1 & p & k+q \end{array}\right|$।
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2k \times (1 \times (k^2 - 0)) = 2k \times k^2 = 2k^3$।

(B) माना $y = \sqrt{3} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right)$ है।
इस व्यंजक को $2$ से गुणा और भाग करके पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \right)$।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ है:
$y = 2 \left( \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left(\frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right)$।
$y = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2} \right)$।
चूँकि $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$,इसलिए $y = 2 \cos(2x)$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos 2x) = 2 \times (- \sin 2x) \times 2 = -4 \sin 2x$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a > b$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ से प्राप्त होता है,जिससे $ae = \sqrt{a^2 - b^2}$ मिलता है।
नाभिलंब की रेखा $x = ae$ है।
दीर्घवृत्त और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $2 \int_{ae}^{a} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$,क्षेत्रफल $2 \frac{b}{a} \int_{ae}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ होगा।
समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,$ae$ से $a$ तक सीमाएं लगाने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{2b}{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{ae}^{a}$।
इसे हल करने पर सही विकल्प $b(be + a \sin^{-1} e)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}\right)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \pi/4$ और $B = x$:
$y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right) = \frac{\pi}{4} + x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0 + 1 = 1$.