GUJCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \tan^{-1} 2$ અને $B = \tan^{-1} 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$.
અહીં $A$ અને $B$ ત્રિકોણના ખૂણા છે અને $\tan A = 2, \tan B = 3$ (બંને ધન) હોવાથી,$A$ અને $B$ લઘુકોણ છે.
તેથી,$A + B$ બીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ કારણ કે $\tan(A + B) = -1$.
માટે,$A + B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$135^{\circ} + C = 180^{\circ}$.
આમ,$C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
તેથી,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $y(5x-3) = 3x+1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $5xy - 3y = 3x + 1$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા: $5xy - 3x = 3y + 1$.
$x$ સામાન્ય લેતા: $x(5y - 3) = 3y + 1$.
આમ,$x = \frac{3y+1}{5y-3}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+1}{5y-3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ મળે છે.
કારણ કે $f^{-1}(x) = f(x)$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + 2$. ધારો કે $y = 3x + 2$,તેથી $x = \frac{y - 2}{3}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y - 2}{3}$,અથવા $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}$.
આપણે $(g \circ f^{-1})(10) = g(f^{-1}(10))$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$f^{-1}(10) = \frac{10 - 2}{3} = \frac{8}{3}$ ગણો.
હવે,આ કિંમતને $g(x) = 6x + 5$ માં મૂકો:
$g\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right) + 5 = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1, 1) \notin S$ છે,તેથી $S$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ સંમિત કહેવાય. અહીં,$(1, 2) \in S$ અને $(2, 1) \in S$ છે,પરંતુ $(2, 3) \in S$ હોવા છતાં $(3, 2) \notin S$ છે. તેથી,સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ હોય,તો સંબંધ $S$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,$(1, 2) \in S$ અને $(2, 3) \in S$ છે,પરંતુ $(1, 3) \notin S$ છે. તેથી,સંબંધ પરંપરિત નથી.
$4$. નિષ્કર્ષ: $S$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cos \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} 5\right)\right)$ છે.
અહીં $5 > 0$ હોવાથી,$\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} 5 = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left(2 \times \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi) = -1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ અને $\tan x = \cot(\frac{\pi}{2} - x)$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x))$
$= (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)$
$= \pi - 2x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2(1)+3(2)+4(3)) & (2(x)+3(4)+4(2)) & (2(3)+3(5)+4(x)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix}$.
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરો: $\begin{bmatrix} 20 & 2x+20 & 21+4x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 20(x) + (2x+20)(2) + (21+4x)(0) = 0$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા: $20x + 4x + 40 = 0$.
$24x = -40$.
$x = -\frac{40}{24} = -\frac{5}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix}$.
હવે,$6A$ ની ગણતરી કરો:
$6A = 6 \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2 - 6A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 33 & 24 & 24 \\ 24 & 33 & 24 \\ 24 & 24 & 33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 24 & 24 \\ 24 & 6 & 24 \\ 24 & 24 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{bmatrix} = 27 I_3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} k+p+q+r & p & q \\ k+p+q+r & k+p & q \\ k+p+q+r & p & k+q \end{array}\right|$.
કારણ કે $k = p+q+r$,તેથી $k+p+q+r = 2k$ થાય.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2k & p & q \\ 2k & k+p & q \\ 2k & p & k+q \end{array}\right| = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 1 & k+p & q \\ 1 & p & k+q \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2k \left|\begin{array}{ccc} 1 & p & q \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2k \times (1 \times (k^2 - 0)) = 2k \times k^2 = 2k^3$.

(B) ધારો કે $y = \sqrt{3} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right)$.
આ પદને $2$ વડે ગુણી અને ભાગીને ફરીથી લખતા:
$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ છે:
$y = 2 \left( \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left(\frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right)$.
$y = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$,તેથી $y = 2 \cos(2x)$ મળે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos 2x) = 2 \times (- \sin 2x) \times 2 = -4 \sin 2x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a > b$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $ae = \sqrt{a^2 - b^2}$.
નાભિલંબની રેખા $x = ae$ છે.
ઉપવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{ae}^{a} y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \frac{b}{a} \int_{ae}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ થાય.
સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,$ae$ થી $a$ સુધીની સીમાઓ માટે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2b}{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{ae}^{a}$.
આ ગણતરી કરતા સાચો વિકલ્પ $b(be + a \sin^{-1} e)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}\right)$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \pi/4$ અને $B = x$:
$y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right) = \frac{\pi}{4} + x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0 + 1 = 1$.