AP EAMCET 2007 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और उपगमन के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_{\text{sep}}}{v_{\text{app}}}$
पहली टक्कर के लिए,हमें दिया गया है कि उपगमन का सापेक्ष वेग,पृथक्करण के सापेक्ष वेग का दोगुना है:
$v_{\text{app}, 1} = 2 v_{\text{sep}, 1} \implies e_1 = \frac{v_{\text{sep}, 1}}{v_{\text{app}, 1}} = \frac{1}{2}$
हमें प्रत्यावस्थान गुणांकों का अनुपात $e_1 : e_2 = 3 : 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है:
$e_2 = \frac{e_1}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $e_2 = \frac{v_{\text{sep}, 2}}{v_{\text{app}, 2}} = \frac{1}{6}$,इसलिए दूसरी टक्कर में उपगमन के सापेक्ष वेग और पृथक्करण के सापेक्ष वेग का अनुपात है:
$\frac{v_{\text{app}, 2}}{v_{\text{sep}, 2}} = \frac{1}{e_2} = 6 = 6: 1$

(D) गोलियों द्वारा राइफल पर लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
राइफल का द्रव्यमान $M = 20 \,kg$
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या $n = 4$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 35 \times 10^{-3} \,kg$
प्रत्येक गोली का वेग $v = 400 \,ms^{-1}$
राइफल को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल $F$,गोलियों द्वारा लगाए गए प्रतिक्षेप (recoil) बल के बराबर होता है।
प्रतिक्षेप बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$F = n \times (m \times v)$
$F = 4 \times (35 \times 10^{-3} \,kg) \times (400 \,ms^{-1})$
$F = 4 \times 35 \times 0.4$
$F = 140 \times 0.4 = 56 \,N$
राइफल को पीछे की ओर जाने से रोकने के लिए,गोली की गति की दिशा में $56 \,N$ का बाहरी बल लगाया जाना चाहिए।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_p = \frac{M_e}{2}$ और $R_p = \frac{R_e}{4}$।
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_e/2}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$।
अतः,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$।

(A) डाल्टन के आंशिक दाब के नियम के अनुसार,अक्रियाशील गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
गैस $A$ के लिए,जब यह $T$ ताप पर $V$ आयतन घेरती है,तो दाब $P$ होता है।
गैस $B$ के लिए,जब यह $T$ ताप पर $V$ आयतन घेरती है,तो दाब $P$ होता है।
जब दोनों गैसों को समान ताप $T$ पर समान आयतन $V$ में मिलाया जाता है,तो कुल दाब $P_{mix}$ व्यक्तिगत दाबों का योग होता है।
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(D) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और उपगमन के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}}$
पहली टक्कर के लिए,हमें दिया गया है कि उपगमन का सापेक्ष वेग,पृथक्करण के सापेक्ष वेग का दोगुना है:
$v_{app,1} = 2 v_{sep,1} \implies e_1 = \frac{v_{sep,1}}{v_{app,1}} = \frac{1}{2}$
हमें प्रत्यावस्थान गुणांकों का अनुपात $e_1 : e_2 = 3 : 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $e_2 = \frac{e_1}{3}$।
$e_1$ का मान रखने पर:
$e_2 = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $e_2 = \frac{v_{sep,2}}{v_{app,2}} = \frac{1}{6}$,इसलिए दूसरी टक्कर में उपगमन के सापेक्ष वेग और पृथक्करण के सापेक्ष वेग का अनुपात है:
$\frac{v_{app,2}}{v_{sep,2}} = \frac{1}{e_2} = \frac{6}{1}$

(C) दिया गया है,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ और $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\overrightarrow{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$

(A) डाल्टन के आंशिक दाब के नियम के अनुसार,अक्रियाशील गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
गैस $A$ के लिए,$V$ आयतन और $T$ ताप पर दाब $P$ है।
गैस $B$ के लिए,$V$ आयतन और $T$ ताप पर दाब $P$ है।
जब इन्हें $V$ आयतन के पात्र में $T$ ताप पर मिश्रित किया जाता है,तो कुल दाब $P_{mix}$ व्यक्तिगत दाबों के योग के बराबर होता है:
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(C) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है। व्यक्ति का भार $w = mg$ है। व्यक्ति पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर उसका भार $mg$ और ऊपर की ओर घर्षण बल $F$ हैं।
चूंकि व्यक्ति $a = g/4$ के त्वरण के साथ नीचे फिसल रहा है,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$mg - F = ma$
$a = g/4$ रखने पर:
$mg - F = m(g/4)$
$mg - F = mg/4$
$F = mg - mg/4$
$F = 3mg/4$
चूंकि $w = mg$,हमें प्राप्त होता है:
$F = 3w/4$

(C) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार (जहाँ ऊँचाई $h_1 = h_2$ है):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
दिया गया है:
$P_1 = 50 \ kPa = 50 \times 10^3 \ Pa$
$v_1 = 1 \ m/s$
$v_2 = 2 \ m/s$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg/m^3$
$P_2$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times (1^2 - 2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (1 - 4)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (-3)$
$P_2 = 50 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3$
$P_2 = 48.5 \times 10^3 \ Pa = 48.5 \ kPa$

(D) यदि संपर्क कोण अधिक कोण यानी $90^{\circ}$ से अधिक होता है,तो द्रव ठोस सतह को नहीं भिगोता है।
इस स्थिति में,द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बल (cohesive force),द्रव और ठोस सतह के बीच के आसंजक बल (adhesive force) से अधिक शक्तिशाली होता है।
परिणामस्वरूप,द्रव सतह के साथ संपर्क को कम करने की प्रवृत्ति रखता है,जिसके कारण द्रव ठोस सतह को नहीं भिगोता है।

(A) पॉइसन अनुपात $(\sigma) = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$.
दी गई पार्श्व विकृति $= 0.01 \times 10^{-3} \ m$.
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\Delta L / L} = 0.4$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.025 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-5}$.
यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$.
$Y = \frac{100 \ N}{0.025 \ m^2 \times (2.5 \times 10^{-5})} = \frac{100}{0.0625 \times 10^{-5}} = \frac{100}{6.25 \times 10^{-7}} = 16 \times 10^7 = 1.6 \times 10^8 \ N/m^2$.

(C) वस्तु का प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta$ है। दिया गया है $\sin \theta = 3/5$,इसलिए $\cos \theta = 4/5$। अतः,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$।
उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है और क्षैतिज वेग $80 \ m/s$ है। उच्चतम बिंदु पर निकाय का संवेग $P = (2m) \times 80 = 160m$ है।
विस्फोट के बाद,पहला टुकड़ा $(m)$ स्थिर हो जाता है,इसलिए उसका वेग $0$ है। मान लीजिए कि दूसरे टुकड़े $(m)$ का वेग $v$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $160m = m(0) + m(v)$,जिससे $v = 160 \ m/s$ प्राप्त होता है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ है। उच्चतम बिंदु तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ है।
दूसरा टुकड़ा उच्चतम बिंदु से जमीन तक $t = 6 \ s$ समय में $160 \ m/s$ के निरंतर क्षैतिज वेग के साथ यात्रा करता है। तय की गई अतिरिक्त क्षैतिज दूरी $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से कुल दूरी $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ है।

(B) एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम त्वरण का परिमाण अधिकतम वेग का $\pi$ गुना है:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
दोनों पक्षों को $\omega A$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
$\omega = \pi$ रखने पर:
$\pi = \frac{2\pi}{T}$
$T = 2 \text{ s}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$
मान लीजिए $T_1 = T$ तापमान पर $E_1 = E$ है।
मान लीजिए $T_2 = \frac{T}{2}$ तापमान पर नई विकिरण ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{E}{16}$

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
यहाँ $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$।
एक दिन में $(T = 86400 ~s)$ खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta T = T \times \frac{\Delta T}{T} = 86400 \times 1.2 \times 10^{-4} \approx 10.368 ~s$ है।
तापमान बढ़ने से लोलक की लंबाई बढ़ती है,जिससे आवर्तकाल बढ़ जाता है और घड़ी समय खो देती है।

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_p = \frac{5}{2}R$ होती है।
सिलिंडर $B$ में, पिस्टन स्थिर है, इसलिए प्रक्रिया सम-आयतनिक (isochoric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B$ है।
सिलिंडर $A$ में, पिस्टन स्वतंत्र है, इसलिए प्रक्रिया सम-दाबी (isobaric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में दी गई ऊष्मा समान है, इसलिए $n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$।
$\Delta T_A = 42 \,K$ दिया गया है, मान रखने पर: $\frac{3}{2} \Delta T_B = \frac{5}{2} \times 42$।
$3 \Delta T_B = 5 \times 42 = 210$।
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 \,K$।

(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं करता है,इसलिए $Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$।
चूंकि $Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -W$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रसार में,गैस परिवेश पर कार्य करती है,इसलिए $W > 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\Delta U < 0$,जिसका मतलब है कि निकाय की आंतरिक ऊर्जा घटती है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(U \propto T)$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी आने से निकाय का तापमान घट जाता है।

(D) $(1)$ प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$। यह (iii) से मेल खाता है।
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [F r^2] / [M^2] = [MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$। यह (iv) से मेल खाता है।
$(3)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$: $B = \text{प्रतिबल} / \text{विकृति} = [ML^{-1} T^{-2}] / [M^0 L^0 T^0] = [ML^{-1} T^{-2}]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(4)$ श्यानता गुणांक $(\eta)$: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [MLT^{-2}] / [L^2 T^{-1}] = [ML^{-1} T^{-1}]$। यह (ii) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) है। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) स्रोत का वेग $v_s = r \omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 2 m$ और $\omega = 15 rad/s$ दिया गया है,इसलिए $v_s = 2 \times 15 = 30 m/s$।
स्थिर श्रोता और गतिमान स्रोत के लिए डॉपलर प्रभाव का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ है।
उच्चतम आवृत्ति तब सुनी जाती है जब स्रोत सीधे श्रोता की ओर बढ़ रहा हो,जो $\theta = 0^\circ$ के अनुरूप है,इसलिए $\cos \theta = 1$।
मान रखने पर: $f' = 540 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 540 \left( \frac{330}{300} \right) = 540 \times 1.1 = 594 Hz$।

(A) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि एक ही तार के लिए $L$ और $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $f \propto \sqrt{T}$ है।
अतः, आवृत्तियों का अनुपात: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $f_1 = 450 \,Hz$, $T_1 = 9 \,kg-wt$, और $f_2 = 900 \,Hz$।
मान रखने पर: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$।
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{9}$।
$T_2 = 4 \times 9 = 36 \,kg-wt$।

(C)
बाल्टी से पानी बाहर न गिरे, इसके लिए बाल्टी को ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति पूरी करनी होगी।
सबसे ऊपरी बिंदु पर, आवश्यक न्यूनतम वेग:
$v_{top} = \sqrt{gR}$
सबसे निचले बिंदु (bottom) और सबसे ऊपरी बिंदु (top) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} m v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} m v_{top}^2 + mg(2R)$
$v_{bottom}^2 = v_{top}^2 + 4gR$
$v_{bottom}^2 = gR + 4gR = 5gR$
$v_{bottom} = \sqrt{5gR}$
यहाँ $g = 10 \,m/s^2$ और $R = 0.5 \,m$ दिया गया है:
$v_{bottom} = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$

(A) जब ब्लॉक स्प्रिंग से टकराता है,तो ब्लॉक की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2$
जहाँ $x$ स्प्रिंग में अधिकतम संपीड़न है।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = \sqrt{\frac{25 \times (3)^2}{100}} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \sqrt{2.25} = 1.5 \ m$
जब ब्लॉक अपनी मूल स्थिति में वापस आता है,तो स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से वापस ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। चूंकि सतह चिकनी है (घर्षण रहित),ऊर्जा संरक्षित रहती है। वेग का परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा विपरीत हो जाती है क्योंकि ब्लॉक स्प्रिंग से दूर जा रहा है।
अतः,ब्लॉक का वेग $v = -3 \ ms^{-1}$ होगा।

(D) कंपन करते हुए छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ के लिए हल करने पर:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
दिए गए मान:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$
$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$
$T = 8.8 \,s$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$

(C) एक राम्सडेन नेत्रिका में,दोनों समतलोत्तल लेंसों की फोकस दूरी समान $f$ होती है और वे $d = \frac{2f}{3}$ की दूरी पर स्थित होते हैं।
दी गई दूरी $d = 12 \ cm$ का उपयोग करके,हम $f$ ज्ञात कर सकते हैं:
$d = \frac{2f}{3} \implies 12 = \frac{2f}{3} \implies f = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \ cm$.
$f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो लेंसों के संयोजन की तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,का सूत्र है:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$.
राम्सडेन नेत्रिका के लिए,$f_1 = f_2 = f$ और $d = \frac{2f}{3}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} - \frac{2f/3}{f^2} = \frac{2}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{6-2}{3f} = \frac{4}{3f}$.
अतः,$f_{eq} = \frac{3f}{4}$.
$f = 18 \ cm$ रखने पर:
$f_{eq} = \frac{3 \times 18}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \ cm$.

(C) $L-C$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$।
जब संधारित्र $C$ को $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत माध्यम के संधारित्र $C'$ से बदला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $f' = f - 25 \text{ kHz} = 125 \text{ kHz} - 25 \text{ kHz} = 100 \text{ kHz}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{C}{C'}} = \sqrt{\frac{C}{KC}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान रखने पर:
$\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$।
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \implies \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$।
अतः,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$।

(D) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$1$. जलती हुई मोमबत्ती प्रकाश को व्यापक तरंग दैर्ध्य सीमा में उत्सर्जित करती है,जिसके परिणामस्वरूप सतत स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।
$2$. सोडियम वाष्प,जब उत्तेजित होती है,तो विशिष्ट तरंग दैर्ध्य पर प्रकाश उत्सर्जित करती है,जिसके परिणामस्वरूप रेखीय स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।
$3$. बुनसेन ज्वाला (जिसमें अक्सर आणविक प्रजातियां होती हैं) बैंड स्पेक्ट्रम उत्पन्न करती है।
$4$. सौर स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं (फ्राउनहोफर रेखाएं) सौर वातावरण में गैसों द्वारा विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अवशोषण के कारण होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप अवशोषण स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।
अतः,सही मिलान $1-(ii), 2-(i), 3-(iii), 4-(iv)$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $l$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
दिया गया है: $R = 4 \Omega$, $\rho = 2.2 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$, और व्यास $d = 1.4 \text{ mm} = 1.4 \times 10^{-3} \text{ m}$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.7 \times 10^{-3} \text{ m}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.7 \times 10^{-3})^2 \text{ m}^2$.
लंबाई $l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $l = \frac{R A}{\rho}$.
मान रखने पर: $l = \frac{4 \times \pi \times (0.7 \times 10^{-3})^2}{2.2 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4 \times 3.14159 \times 0.49 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} = \frac{6.1575 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} \approx 280 \text{ m}$.

(D) मीटर ब्रिज में,सिद्धांत $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ बाएं गैप का प्रतिरोध है और $S$ दाएं गैप का प्रतिरोध है।
दिया गया अनुपात $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन लंबाई $40 \,cm$ है।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन बिंदु के लिए शर्त इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,जहाँ $P$ बाएं गैप का प्रतिरोध है,$Q$ दाएं गैप का प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
दिया गया अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन बिंदु $40 \ cm$ की दूरी पर है।

(A) सूर्य में,ऊर्जा का प्राथमिक स्रोत प्रोटॉन-प्रोटॉन चक्र है।
इस चक्र में,हाइड्रोजन के नाभिक हीलियम के नाभिक बनाने के लिए परमाणु संलयन (nuclear fusion) की एक श्रृंखला से गुजरते हैं।
इस संलयन प्रक्रिया के दौरान,आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार द्रव्यमान की एक महत्वपूर्ण मात्रा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार: $e V_0 = h \nu - h \nu_0$,जहाँ $V_0$ स्टॉपिंग पोटेंशियल है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
देहली आवृत्ति $\nu_0$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\nu_0 = \nu - \frac{e V_0}{h}$.
चूंकि $\nu = \frac{c}{\lambda}$,इसलिए $\nu_0 = \frac{c}{\lambda} - \frac{e V_0}{h}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $c = 3 \times 10^8 \,m/s$,$\lambda = 2 \times 10^{-7} \,m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,$V_0 = 2.5 \,V$,और $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J-s$.
$\nu_0 = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} - \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = 1.5 \times 10^{15} - 0.606 \times 10^{15} \approx 0.894 \times 10^{15} \,Hz$.
अतः,$\nu_0 \approx 9.0 \times 10^{14} \,Hz$ प्राप्त होता है।

(C) स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $e V_0 = K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दिया है:
कार्य फलन $\phi = 5 \text{ eV} = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-19} \text{ J}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2000 \text{ Å} = 2 \times 10^{-7} \text{ m}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.67 \times 10^{-34} \text{ J-s}$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.67 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
अब,समीकरण में मान रखने पर:
$e V_0 = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J} - 8 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{2.005 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 1.25 \text{ V}$.

(A) मान लीजिए कि दो इकाई ऋण आवेश $q_1 = q_2 = -1 \text{ C}$ हैं जो $d$ दूरी पर स्थित हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु पर रखा गया है। निकाय के संतुलन में होने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
बिंदु $A$ पर आवेश $q_1$ पर $B$ पर स्थित $q$ और $C$ पर स्थित $q_2$ के कारण बल पर विचार करें:
$F_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q}{(d/2)^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q_1$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{q}{(d/2)^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$\frac{4q}{d^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$4q = -q_2$
चूंकि $q_2 = -1 \text{ C}$,इसलिए $4q = -(-1) = 1$ है।
अतः,$q = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ C}$।

(B) आवेश $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,और $x=2a$ $(q/2)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$,$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश से $r$ दूरी पर है। अतः $P$ का निर्देशांक $x = a + r$ होगा।
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
पदों को संयोजित करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
अंश का सरलीकरण करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
चूंकि $r \gg a$,हम $r^2 - a^2 \approx r^2$ मान सकते हैं:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग होता है।
मान लीजिए बिंदु $P$,$x = a + r$ पर स्थित है। $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$x=0$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश के लिए: दूरी $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (चूंकि $r >> a$)
कुल विभव $V_P$ है:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
चूंकि $r >> a$,इसलिए $r^2 - a^2 \approx r^2$.
अतः,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(A) जब चुंबक को बहुत छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है,तो चुंबक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -M B_H \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
ऋणात्मक चिह्न बल आघूर्ण की प्रत्यानयन प्रकृति को दर्शाता है।
चूंकि $\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,इसलिए $I \alpha = -M B_H \sin \theta$ होता है।
छोटे कोणीय विस्थापन के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ होता है।
अतः,$I \alpha = -M B_H \theta$।
कोणीय त्वरण का परिमाण $\alpha = \frac{M B_H \theta}{I}$ है।

(A) तार $A$ के लिए,वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ है।
तार $A$ की लंबाई $40 \ cm$ दी गई है,इसलिए परिधि $2\pi r = 40 \ cm$,जिससे $r = \frac{40}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
तार $B$ के लिए,$r$ त्रिज्या के चाप द्वारा केंद्र पर बनने वाला कोण $\theta$ हो तो चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$ है।
तार $B$ की लंबाई $30 \ cm$ है,इसलिए चाप की लंबाई $s = r\theta = 30 \ cm$ है।
अतः,$\theta = \frac{30}{r} = \frac{30}{40/2\pi} = \frac{3}{2}\pi$ है।
$B_1 = B_2$ रखने पर:
$\frac{\mu_0 i_1}{2r} = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$
$\frac{i_1}{2} = \frac{i_2 \theta}{4\pi} = \frac{i_2 (3\pi/2)}{4\pi} = \frac{3i_2}{8}$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$i_1: i_2$ का अनुपात $3: 4$ है।

(C) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
दिए गए मान:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \ T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$r = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}}$
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$

(C) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। वृत्ताकार पथ पर,वेग सदिश हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है और त्वरण सदिश (अभिकेंद्र त्वरण) हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसलिए,किसी भी क्षण पर वेग और त्वरण सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
दिया गया है,$\overrightarrow{v}=2 \hat{i}+c \hat{j}$ और $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$।
चूंकि $\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{a}$,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a} = 0$
$(2 \hat{i} + c \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 0$
$(2)(3) + (c)(4) = 0$
$6 + 4c = 0$
$4c = -6$
$c = -1.5$

(D) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$,$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$,$T = 8.8 \,s$,और $\pi \approx 3.14$:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$.

(C) राम्सडेन नेत्रिका के लिए,दो समतल-उत्तल लेंसों के बीच की दूरी $d = \frac{2f}{3}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $d = 12 \ cm$,इसलिए प्रत्येक लेंस की फोकस दूरी $f$ इस प्रकार होगी:
$12 = \frac{2f}{3} \implies f = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \ cm$.
राम्सडेन नेत्रिका की तुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र है:
$f_{eq} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - d}$.
$f_1 = f_2 = f$ और $d = \frac{2f}{3}$ रखने पर:
$f_{eq} = \frac{f^2}{2f - \frac{2f}{3}} = \frac{f^2}{\frac{4f}{3}} = \frac{3f}{4}$.
$f = 18 \ cm$ रखने पर:
$f_{eq} = \frac{3 \times 18}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \ cm$.

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए, वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होती हैं।
दिया गया है $\mu = 1.5$ और $f = 5 \,cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{5} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{5} = \frac{1}{R}$
अतः, $R = 5 \,cm$।

(A) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,दाता अशुद्धि परमाणुओं को मिलाने से चालन बैंड के ठीक नीचे असतत ऊर्जा स्तर बन जाते हैं।
चूंकि इन दाता स्तरों के कारण चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की सांद्रता बढ़ जाती है,इसलिए फर्मी ऊर्जा स्तर वर्जित अंतराल के मध्य से ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
अतः,$n$-प्रकार के अर्धचालक में,फर्मी ऊर्जा स्तर वर्जित ऊर्जा अंतराल में चालन बैंड के निकट स्थित होता है।

(B) व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$,उदासीन तापमान $(T_n)$ और कोल्ड जंक्शन के तापमान $(T_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$T_n = \frac{T_i + T_0}{2}$
$T_i$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_i = 2T_n - T_0$
दिए गए मान $T_0 = 10^{\circ} C$ और $T_n = 270^{\circ} C$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$T_i = 2 \times 270^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 540^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 530^{\circ} C$
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $530^{\circ} C$ है।

(B) ह्यूजेन्स आईपीस को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि दो समतल-उत्तल (plano-convex) लेंसों के बीच की दूरी उनकी फोकल लंबाई के योग की आधी हो। यह विशिष्ट विन्यास एक्रोमेटिज्म (वर्ण विपथन का उन्मूलन) के लिए शर्त को पूरा करता है और गोलीय विपथन को भी कम करता है।