AP EAMCET 2007 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) वस्तु का प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta$ है। दिया गया है $\sin \theta = 3/5$,तो $\cos \theta = 4/5$। अतः,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2 \times 100^2 \times (3/5) \times (4/5)}{10} = 960 \ m$ है।
उच्चतम बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $R/2 = 480 \ m$ है।
उच्चतम बिंदु पर,संवेग संरक्षित रहता है। प्रारंभिक संवेग $P_i = (2m) u_x = (2m)(80) = 160m$ है।
विस्फोट के बाद,पहला टुकड़ा $(m)$ स्थिर हो जाता है $(v_1 = 0)$,इसलिए $P_f = m(0) + m(v_2) = m v_2$।
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर,हमें $160m = m v_2$ मिलता है,इसलिए $v_2 = 160 \ m/s$।
दूसरा टुकड़ा उच्चतम बिंदु से $160 \ m/s$ के क्षैतिज वेग के साथ शेष उड़ान समय $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{100 \times (3/5)}{10} = 6 \ s$ के लिए यात्रा करता है।
दूसरे टुकड़े द्वारा तय की गई अतिरिक्त क्षैतिज दूरी $d = v_2 \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से कुल दूरी $R/2 + d = 480 + 960 = 1440 \ m$ है।

(B) एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम त्वरण का परिमाण अधिकतम वेग का $\pi$ गुना है:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
दोनों पक्षों को $\omega A$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है:
$\frac{2\pi}{T} = \pi$
$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ s$
अतः,दोलक का आवर्तकाल $2 \ s$ है।

(C) मुक्त इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण धातुएं विद्युत की अच्छी सुचालक होती हैं।
तापमान में वृद्धि के साथ अर्धचालकों की विद्युत चालकता बढ़ती है।
बोरॉन (समूह $13$) के साथ डोप किया गया सिलिकॉन एक $p$-प्रकार का अर्धचालक है।
आर्सेनिक (समूह $15$) के साथ डोप किया गया सिलिकॉन एक $n$-प्रकार का अर्धचालक है।
अतः,विकल्प $C$ सही कथन है।

(A) प्रोड्यूसर गैस $CO$ और $N_2$ का मिश्रण है।
इसका कैलोरी मान कम होने का मुख्य कारण इसमें मौजूद नाइट्रोजन $(N_2)$ गैस का उच्च प्रतिशत है,जो दहनशील नहीं है।

(C) जब सिल्वर ब्रोमाइड $(AgBr)$ में सोडियम थायोसल्फेट का विलयन मिलाया जाता है,तो यह घुलकर सोडियम अर्जेंटोथायोसल्फेट नामक एक घुलनशील संकुल बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$AgBr(s) + 2Na_2S_2O_3(aq) \longrightarrow Na_3[Ag(S_2O_3)_2](aq) + NaBr(aq)$
अतः,बनने वाले उत्पाद का सूत्र $Na_3[Ag(S_2O_3)_2]$ है।

(D) एक पेरोक्सी अम्ल अपनी संरचना में $-O-O-$ लिंकेज रखता है।
$1$. परफॉस्फोरिक अम्ल $(H_3PO_5)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$2$. परनाइट्रिक अम्ल $(HNO_4)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$3$. परडाइसल्फ्यूरिक अम्ल $(H_2S_2O_8)$ में पेरोक्सी लिंकेज होता है।
$4$. परक्लोरिक अम्ल $(HClO_4)$ में पेरोक्सी लिंकेज नहीं होता है; यह क्लोरीन का एक ऑक्सोअम्ल है जिसमें क्लोरीन $+7$ ऑक्सीकरण अवस्था में होता है।

(D) $Krypton$ का उपयोग खनिकों की कैप लैंप में किया जाता है क्योंकि यह भूमिगत खनन स्थितियों के लिए उपयुक्त उच्च-तीव्रता वाला प्रकाश स्रोत प्रदान करता है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र: $\frac{n(n-3)}{2} = 275$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$n(n-3) = 550$ प्राप्त होता है।
$n^2 - 3n - 550 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 25n + 22n - 550 = 0$।
$n(n - 25) + 22(n - 25) = 0$।
$(n - 25)(n + 22) = 0$।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 25$ (क्योंकि $n = -22$ संभव नहीं है)।

(A) चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $c - b = b - a$।
दिया गया है कि $b-a, c-b, a$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग अंतिम पदों के गुणनफल के बराबर होगा: $(c-b)^2 = (b-a)a$।
$c-b = b-a$ को समीकरण में रखने पर,हमें $(b-a)^2 = (b-a)a$ प्राप्त होता है।
यदि $b \neq a$ है,तो $(b-a)$ से विभाजित करने पर $b-a = a$ मिलता है,जो $b = 2a$ में सरल हो जाता है।
$b = 2a$ को $2b = a + c$ में रखने पर,$2(2a) = a + c$ यानी $4a = a + c$ मिलता है,जिसका अर्थ है $c = 3a$।
अतः,अनुपात $a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$ है।

(C) दिया गया है,$S_n = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3$.
साथ ही,$T_n = 1 + 2 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k$.
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
$S_n$ के व्यंजक में $T_n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_n = (T_n)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = T_n^2$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
अतः,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ और $B = 10^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
अब,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
चूंकि $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,इसलिए $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(B) माना बिंदु $A(1, -2)$ और $B(3, 2)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) माना रेखा $AB$,$A(2,-1)$ और $B(6,5)$ से होकर गुजरती है। $AB$ की ढाल $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - (-1) = \frac{3}{2}(x - 2)$ है,जो $3x - 2y - 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
रेखा $PD$,$AB$ पर लंब है और $P(4,1)$ से गुजरती है। $PD$ की ढाल $-\frac{2}{3}$ है।
$PD$ का समीकरण $y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 4)$ है,जो $2x + 3y - 11 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $D$,$AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{6k+2}{k+1}, \frac{5k-1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $D$,$PD$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{6k+2}{k+1}\right) + 3\left(\frac{5k-1}{k+1}\right) - 11 = 0$ है।
$12k + 4 + 15k - 3 - 11k - 11 = 0$.
$16k - 10 = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{8}$.
अतः,अनुपात $5:8$ है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x+7y-6)(x-5y+2)=0$ प्राप्त होता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x+7y-6=0$ और $L_2: x-5y+2=0$।
तीसरी रेखा $L_3: 5x+\lambda y-8=0$ है।
तीनों रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 7 & -6 \\ 1 & -5 & 2 \\ 5 & \lambda & -8 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(40-2\lambda) - 7(-8-10) - 6(\lambda+25) = 0$
$40 - 2\lambda + 126 - 6\lambda - 150 = 0$
$16 - 8\lambda = 0$
$8\lambda = 16$
$\lambda = 2$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को उस बिंदु $(h', k')$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए जो आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु हो।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$x = 1-y$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$।
तब $x = 1-3 = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 7 = 0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, h = 2, b = 5, g = -2, f = -11, c = 7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0, 0)$ को उस बिंदु $(h_0, k_0)$ पर स्थानांतरित करना होगा जो $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
सूत्रों के अनुसार:
$h_0 = \frac{hf - bg}{ab - h^2} = \frac{-22 + 10}{10 - 4} = -2$
$k_0 = \frac{gh - af}{ab - h^2} = \frac{-4 + 22}{10 - 4} = 3$
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(D) दी गई रेखाओं का समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ का सूत्र:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
चूंकि रेखाएं संगामी हैं,बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$\lambda = 2$

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करने पर:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करने पर:
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$

(A) दिया है,त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों ($x=0$ और $y=0$) को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(3, -3)$ होगा।
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h=3$,$k=-3$,और $r=3$ रखने पर:
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$.

(C) वृत्त $S=0$ के सापेक्ष $P(x_1, y_1)$ का प्रतिलोम बिंदु,वृत्त के केंद्र से $P$ के ध्रुवीय (polar) पर डाले गए लंब का पाद होता है।
दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-4x-6y+9=0$. केंद्र $C = (2,3)$,त्रिज्या $r = 2$.
$P(1,2)$ का ध्रुवीय: $x(1)+y(2)-2(x+1)-3(y+2)+9=0$.
सरल करने पर: $x+y-1=0$.
रेखा $CP$ का समीकरण: $y=x+1$.
$x+y-1=0$ और $y=x+1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,1)$ है।

(D) वृत्तों की कोएक्सियल प्रणाली का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2\lambda x+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
लिमिटिंग पॉइंट्स प्रणाली में शून्य त्रिज्या वाले वृत्तों के केंद्र होते हैं।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = 0$ रखने पर,हमें $\sqrt{\lambda^2-c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda^2 = c$।
लिमिटिंग पॉइंट्स के अलग और वास्तविक होने के लिए,हमारे पास $\lambda^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $c > 0$।
अतः,प्रणाली के लिए अलग लिमिटिंग पॉइंट्स होने की शर्त $c > 0$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+6y-2x+5=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2=4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
यहाँ,$4a=2$,इसलिए $a=\frac{1}{2}$ है।
परवलय $(y-k)^2=4a(x-h)$ की नियता $x=h-a$ द्वारा दी जाती है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$.
$2x+5=0$. अतः,कथन $(II)$ असत्य है।
इसलिए,$I$ सत्य है और $II$ असत्य है।

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।
$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$।
$x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$1$. $\sum \frac{x^n}{n!}$ से,गुणांक $\frac{1}{k!}$ है।
$2$. $-2 \sum \frac{x^{n+1}}{n!}$ में,$n+1=k \implies n=k-1$ रखने पर,गुणांक $-\frac{2}{(k-1)!}$ है।
$3$. $-\sum \frac{x^{n+2}}{n!}$ में,$n+2=k \implies n=k-2$ रखने पर,गुणांक $-\frac{1}{(k-2)!}$ है।
कुल गुणांक: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-2k-k(k-1)}{k!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$।

(D) हमारे पास है,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$.
अब,$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
अतः,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $lx + my = 1$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{a \cos \theta}{a^2 + b^2} x + \frac{b \cot \theta}{a^2 + b^2} y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \frac{a \cos \theta}{a^2 + b^2}$ और $m = \frac{b \cot \theta}{a^2 + b^2}$।
अब,$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{a^2 (a^2 + b^2)^2}{a^2 \cos^2 \theta} - \frac{b^2 (a^2 + b^2)^2}{b^2 \cot^2 \theta}$।
$= (a^2 + b^2)^2 (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)$।
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = (a^2 + b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(B) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(1+[x])}{[x]}, & [x] \neq 0 \\ 0, & [x] = 0 \end{cases}$ दिया गया है।
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से थोड़ी कम $x$ के मानों पर विचार करते हैं।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = -1$ होता है।
इसलिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(1+[x])}{[x]}$.
$[x] = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin(1-1)}{-1} = \frac{\sin(0)}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x-5 & \text{for } x \leq 1 \\ 4x^2-9 & \text{for } 1 < x < 2 \\ 3x+4 & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$
दायां अवकलज $f^{\prime}(2^{+})$ ज्ञात करने के लिए,हम परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
$x \geq 2$ के लिए,$f(x) = 3x+4$ है।
अतः,$f(2) = 3(2) + 4 = 10$ है।
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{3(2+h) + 4 - 10}{h}$
$= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{6 + 3h + 4 - 10}{h}$
$= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{3h}{h}$
$= 3$

(C) Polyhydroxy butyrate-$co$-$\beta$-hydroxy valerate $(PHBV)$ एक जैव-निम्नीकरणीय बहुलक है।

(A) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ और $C = 75^{\circ}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $a$ ($45^{\circ}$ के सम्मुख) और सबसे बड़ी भुजा $c$ ($75^{\circ}$ के सम्मुख) है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $a+b+c = 2s$,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
$\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
चूँकि $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$,इसे हल करने पर परिणाम $2c \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के गुणों के अनुसार $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3$ होता है।
और $s^2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ भी एक मानक सर्वसमिका है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,$|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $|A|^3 = 64$ है।
अतः,$|A| = 4$ है।
अंत में,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$ है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय समघात (homogeneous) है,जिसे आव्यूह रूप $AX = O$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
एक समघात निकाय $AX = O$ के लिए,अशून्य हल तभी मौजूद होते हैं जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
आइए सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
चूंकि $|A| = 9 \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
एक समघात निकाय जिसका गुणांक आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो,उसका केवल शून्य हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही होता है।
अतः,अशून्य हलों की संख्या $0$ है।

(C) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$

(D) माना $y = \operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta)$.
तब,$\operatorname{sech} y = \sin \theta$.
चूंकि $\operatorname{sech} y = \frac{1}{\cosh y}$,इसलिए $\cosh y = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हुए,$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$.
$x = \operatorname{cosec} \theta$ रखने पर:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1})$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$,इसलिए:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \cot(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \log(\cot(\theta/2))$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$.
सबसे पहले,बाएँ पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\theta = \sec^{-1}(\frac{1}{x})$,तो $\sec \theta = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = x$। चूँकि $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$,हमें $\tan \theta = \sqrt{(\frac{1}{x})^2 - 1} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,दाएँ पक्ष को सरल करें: मान लीजिए $\phi = \tan^{-1}(2)$,तो $\tan \phi = 2$। सर्वसमिका $\sin(\tan^{-1} y) = \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}$ का उपयोग करते हुए,$\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1-x^2}{x^2} = \frac{4}{5}$.
$5(1-x^2) = 4x^2 \Rightarrow 5 - 5x^2 = 4x^2 \Rightarrow 9x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = \frac{5}{9}$.
चूँकि $x>0$,इसलिए $x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ से गुणा करने पर,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,जो सरल होकर $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका के चिह्न बदल जाते हैं: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
इसलिए,$f$ का परिसर $[1/3, 1]$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x - [x]$ और $g(x) = [x]$ जहाँ $x \in R$ है।
हमें $f(g(x))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(g(x)) = f([x])$.
चूँकि $f(x) = x - [x]$,$x$ के स्थान पर $[x]$ रखने पर:
$f([x]) = [x] - [[x]]$.
चूँकि $[x]$ एक पूर्णांक है,और किसी पूर्णांक का महत्तम पूर्णांक फलन वह पूर्णांक स्वयं होता है,अर्थात $[[x]] = [x]$।
अतः,$f([x]) = [x] - [x] = 0$.
इस प्रकार,प्रत्येक $x \in R$ के लिए,$f(g(x)) = 0$।

(D) दिया गया है,$\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$ है।
यदि हम $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ लें,तो $p=1$ और $q=2$ होगा।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1^2 - 2^2} = \sqrt{1 - 4} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$।
चूंकि $\sqrt{-3}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए कथन $I$ गलत है।
इसी प्रकार,यदि हम $\frac{p}{q} = \frac{2}{1}$ लें,तो $f(2) = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जो एक वास्तविक संख्या है। अतः कथन $II$ भी प्रत्येक स्थिति के लिए सही नहीं है।
इस प्रकार,दोनों कथन गलत हैं।

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x-1$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
अब,लंबाइयों की गणना करें:
$1$. स्पर्शरेखा की लंबाई $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \cdot \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.05$.
$2$. उपस्पर्शरेखा की लंबाई $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.33$.
$3$. अभिलंब की लंबाई $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \cdot \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.16$.
$4$. उपअभिलंब की लंबाई $D = |y_1 m| = |1 \cdot 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $B = 0.33$,$A \approx 1.05$,$D = 3$,$C \approx 3.16$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $B, A, D, C$ है।

(A) एक फलन $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं होता यदि उसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ अपना चिह्न न बदले,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक हो या हमेशा गैर-धनात्मक हो।
दिया गया है $f(x) = x^3 + p x^2 + q x + r$।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$ है।
यदि $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं है,तो $f^{\prime}(x)$ के भिन्न वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q$ के लिए विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$ है।
$D \le 0$ रखने पर:
$4p^2 - 12q \le 0$
$4p^2 \le 12q$
$p^2 \le 3q$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही शर्त $p^2 < 3q$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।
सबसे पहले,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें $1-x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
इसके बाद,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$.
$x=1$ पर मान रखने पर: $f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और तर्क $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{x+d}$,जिसका अर्थ है $x+d = h \cot \alpha$ $(i)$।
$\triangle ABD$ में,$\tan \beta = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $x = h \cot \beta$ (ii)।
(ii) से $x$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h \cot \beta + d = h \cot \alpha$
$d = h \cot \alpha - h \cot \beta$
$d = h(\cot \alpha - \cot \beta)$
$h = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} d x$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{2e^x - (e^x+1)}{e^x+1} = \frac{2e^x}{e^x+1} - 1$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{2e^x}{e^x+1} d x - \int 1 d x$.
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = e^x+1$,तो $du = e^x d x$.
अतः,$\int \frac{2e^x}{e^x+1} d x = 2 \log |e^x+1|$.
इसलिए,$I = 2 \log (e^x+1) - x + c$.
इसकी तुलना $f(x)+c$ से करने पर,हमें $f(x) = 2 \log (e^x+1) - x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
इस प्रकार,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = -2 \left[ \theta \left( -\frac{\cos 2\theta}{2} \right) - \int 1 \cdot \left( -\frac{\cos 2\theta}{2} \right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} x \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} \left( x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} \right) + c$.

(A) दिया गया है $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$.
चूंकि समाकल्य $\frac{e^{-|x|}}{2}$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$f(t) = 2 \int_0^t \frac{e^{-x}}{2} dx = \int_0^t e^{-x} dx$.
समाकलन करने पर:
$f(t) = [-e^{-x}]_0^t = -e^{-t} - (-e^0) = 1 - e^{-t}$.
अब,$t \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$.

(C) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
यहाँ,$f(x) = \sin^6 x \cos^5 x$.
$f(2 \pi - x) = \sin^6(2 \pi - x) \cos^5(2 \pi - x) = (-\sin x)^6 (\cos x)^5 = \sin^6 x \cos^5 x = f(x)$.
अतः,$I = 2 \int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$.
अब,गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करने पर यदि $f(a-x) = -f(x)$ हो:
माना $g(x) = \sin^6 x \cos^5 x$.
$g(\pi - x) = \sin^6(\pi - x) \cos^5(\pi - x) = (\sin x)^6 (-\cos x)^5 = -\sin^6 x \cos^5 x = -g(x)$.
चूंकि $g(\pi - x) = -g(x)$,इसलिए समाकलन $\int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx = 0$ होगा।
अतः,$I = 2 \times 0 = 0$.

(A) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=x^3$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x^3$ रखें,जिसका अर्थ है $x^2(1-x) = 0$।
अतः,वक्र $x=0$ और $x=1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.