AP EAMCET 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) आदर्श गैस के $n$ मोल की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
$16 \ g$ मीथेन ($CH_4$,मोलर द्रव्यमान = $16 \ g/mol$) के लिए,मोल $n_1 = \frac{16}{16} = 1 \ mol$.
$32 \ g$ ऑक्सीजन ($O_2$,मोलर द्रव्यमान = $32 \ g/mol$) के लिए,मोल $n_2 = \frac{32}{32} = 1 \ mol$.
चूंकि दोनों के मोल समान हैं और तापमान $(300 \ K)$ भी समान है,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा समान है। अतः,$(A)$ सही है।
कारण $(R)$ बताता है कि स्थिर तापमान पर,सभी गैसों के एक मोल की गतिज ऊर्जा समान होती है,जो कि सही है $(KE = \frac{3}{2} RT)$।
इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार हैं:
$K$ $(Z=19)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6, 4s^1$. $M$ कोश $(n=3)$ में इलेक्ट्रॉन = $8$.
$Mn$ $(Z=25)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^5, 4s^2$. $M$ कोश $(n=3)$ में इलेक्ट्रॉन = $13$.
$Ni$ $(Z=28)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^8, 4s^2$. $M$ कोश $(n=3)$ में इलेक्ट्रॉन = $16$.
$Sc$ $(Z=21)$: $1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^1, 4s^2$. $M$ कोश $(n=3)$ में इलेक्ट्रॉन = $9$.
अतः,$K$ के $M$ कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या सबसे कम है.

(A) एक थर्मोकपल दो अलग-अलग धातु के तारों से बना होता है जो दो जंक्शनों पर जुड़े होते हैं।
जब एक जंक्शन को स्थिर तापमान पर रखा जाता है और दूसरे को बदलते तापमान के संपर्क में लाया जाता है,तो एक थर्मोइलेक्ट्रिक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ उत्पन्न होता है।
चूंकि थर्मोकपल का जंक्शन बहुत छोटा होता है,इसलिए इसकी ऊष्मीय क्षमता अत्यंत कम होती है।
ऊष्मीय क्षमता को द्रव्यमान और विशिष्ट ऊष्मा क्षमता के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(C = mc)$।
कम ऊष्मीय क्षमता का अर्थ है कि जंक्शन परिवेश के साथ तापीय संतुलन प्राप्त करने के लिए बहुत जल्दी गर्मी प्राप्त या खो सकता है।
इसलिए,यह तापमान में होने वाले परिवर्तनों के प्रति तेजी से प्रतिक्रिया कर सकता है,जिससे यह तेजी से बदलते तापमान को मापने के लिए उपयुक्त हो जाता है।
अतः,$(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) वस्तु के ठंडा होने की दर का सूत्र है: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
यहाँ,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,और $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$ है।
विशिष्ट ऊष्मा $s$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
मान रखने पर:
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
$s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{34.38 \times 10^{-3} \times 0.04}$.
$s = \frac{19249.92 \times 10^{-4}}{1.3752 \times 10^{-3}} \approx 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.

(D) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_V T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_V = \frac{3}{2} R$ है।
जब दो गैसों को एक रुद्धोष्म (adiabatic) पात्र में मिश्रित किया जाता है,तो कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_V T_{mix} = n_1 C_V T_1 + n_2 C_V T_2$.
चूंकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं,$C_V$ कट जाएगा:
$T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{mix} = \frac{4(400) + 2(700)}{4 + 2}$.
$T_{mix} = \frac{1600 + 1400}{6} = \frac{3000}{6} = 500 ~K$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और घनत्व $\rho$ के बीच का संबंध $P \propto \rho^{\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,हम अनुपात को $\frac{P^{\prime}}{P} = \left( \frac{d^{\prime}}{d} \right)^{\gamma}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$ होगा।
$2^7$ की गणना करने पर,हमें $2^7 = 128$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,दबाव $P = \frac{nRT}{V} = \frac{m}{M} \frac{RT}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस नियतांक है,और $T$ तापमान है।
प्रारंभ में,पात्र $A$ के लिए,$P_{A,i} = \frac{m_A RT}{MV}$। $2V$ आयतन तक समतापीय विस्तार के बाद,$P_{A,f} = \frac{m_A RT}{M(2V)}$।
पात्र $A$ के लिए दबाव में परिवर्तन $\Delta P = |P_{A,f} - P_{A,i}| = \frac{m_A RT}{2MV}$ है।
इसी प्रकार,पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $1.5 \Delta P = |P_{B,f} - P_{B,i}| = \frac{m_B RT}{2MV}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{1.5 \Delta P}{\Delta P} = \frac{\frac{m_B RT}{2MV}}{\frac{m_A RT}{2MV}}$
$1.5 = \frac{m_B}{m_A}$
$\frac{3}{2} = \frac{m_B}{m_A}$
$3 m_A = 2 m_B$.

(B) ऊष्माशोषी अभिक्रियाएँ वे होती हैं जिनमें ऊष्मा ऊर्जा का अवशोषण होता है।
विकल्प $B$ में,अभिकारकों में $180.8 \ kJ$ ऊष्मा जोड़ी जाती है,जो यह दर्शाता है कि उत्पादों के निर्माण के लिए ऊर्जा अवशोषित की जाती है।
अतः,अभिक्रिया $N_{2(g)} O_{2(g)} 180.8 \ kJ \longrightarrow 2 NO_{(g)}$ ऊष्माशोषी है।

(C) $CH_4$ अणु में चार $C-H$ बंध होते हैं।
एक मोल $CH_4$ को गैसीय कार्बन और हाइड्रोजन परमाणुओं में तोड़ने के लिए,सभी चार $C-H$ बंधों को तोड़ना आवश्यक है।
कुल आवश्यक ऊर्जा $4 \times 416 \ kJ \ mol^{-1} = 1664 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
अतः,सही थर्मोकेमिकल समीकरण $CH_{4(g)} + 1664 \ kJ \longrightarrow C_{(g)} + 4H_{(g)}$ है।

(D) समीकरण $x(t) = \frac{v_0}{A}(1 - e^{-At})$ में,घातांकीय फलन का घातांक विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$At$ की विमा $1$ होनी चाहिए।
$[A][T] = [M^0 L^0 T^0] \implies [A] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
चूंकि पद $(1 - e^{-At})$ विमाहीन है,इसलिए $x$ की विमा $\frac{v_0}{A}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[x] = \frac{[v_0]}{[A]} \implies [L] = \frac{[v_0]}{[T^{-1}]} \implies [v_0] = [L][T^{-1}] = [M^0 LT^{-1}]$.
अतः,$v_0$ की विमाएँ $[M^0 LT^{-1}]$ हैं और $A$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^{-1}]$ हैं।

(A) कथन $A$ सही है: फ्रेनेल विवर्तन की विशेषता यह है कि स्रोत और/या स्क्रीन विवर्तन करने वाले छिद्र या बाधा से सीमित दूरी पर होते हैं।
कथन $B$ सही है: एक्स-रे विवर्तन (विवर्तन का एक रूप) जटिल जैविक अणुओं की आणविक संरचना निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक मानक तकनीक है,जिसमें न्यूक्लिक एसिड ($DNA$/$RNA$) की हेलिकल संरचना भी शामिल है।

(D) माना तीसरे स्वर की आवृत्ति $n$ है और ध्वनि का वेग $v$ है। स्वर की आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
पहले स्वर के लिए,आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$ है।
दूसरे स्वर के लिए,आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$ है।
चूंकि दोनों तीसरे स्वर के साथ प्रति सेकंड $10$ विस्पंद उत्पन्न करते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ...$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 20$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 ~m/s$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $f$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \sqrt{T}$ होगा।
अतः,$\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{T_{\text{water}}}}$.
हवा में तनाव $T_{\text{air}} = mg$ है। जब पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए $T_{\text{water}} = mg - F_B$.
विशिष्ट गुरुत्व $\sigma = 8$ दिया गया है,जिसका अर्थ है लोहे का घनत्व $\rho = 8 \rho_w$ है। उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_w g = \frac{m}{\rho} \rho_w g = \frac{m}{8 \rho_w} \rho_w g = \frac{mg}{8}$.
इस प्रकार,$T_{\text{water}} = mg - \frac{mg}{8} = \frac{7}{8} mg = \frac{7}{8} T_{\text{air}}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{\frac{7}{8} T_{\text{air}}}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$.
दिया गया है कि $l_{\text{air}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times 1 \ m$,इसलिए $l_{\text{water}} = l_{\text{air}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \ m$.

(C) ब्लॉक पर बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक $x = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए किसी भी स्थिति $x$ पर गतिज ऊर्जा $KE$,$x = 0$ से $x$ तक बल $F$ द्वारा किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
$KE = \int_{0}^{x} F dx = \int_{0}^{x} (9 - x^2) dx = 9x - \frac{x^3}{3}$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ बल शून्य हो जाता है:
$F = 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 ~m$.
$x = 3 ~m$ पर,गतिज ऊर्जा है:
$KE_{max} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - 0 = 27 - 9 = 18 ~J$.

(B) द्रव्यमान केंद्र का वेग $\overrightarrow{v}_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_1 = m_2 = m$,इसलिए $\overrightarrow{v}_{CM} = \frac{\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2}{2} = \frac{4 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\overrightarrow{a}_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{a}_1 + m_2 \overrightarrow{a}_2}{m_1 + m_2}$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a}_1 = (5 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$ और $\overrightarrow{a}_2 = 0$,अतः $\overrightarrow{a}_{CM} = \frac{\overrightarrow{a}_1 + 0}{2} = (2.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$.
चूंकि त्वरण $\overrightarrow{a}_{CM}$ स्थिर है और प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}_{CM}$ त्वरण $\overrightarrow{a}_{CM}$ के समानांतर नहीं है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का पथ एक परवलय होगा।

(A) दिए गए अणुओं में कार्बन परमाणुओं का संकरण इस प्रकार है:
$A$. एथेन $(CH_3-CH_3)$: दोनों कार्बन परमाणु $sp^3$ संकरित हैं। अतः,$A-3$.
$B$. एथिलीन $(CH_2=CH_2)$: दोनों कार्बन परमाणु $sp^2$ संकरित हैं। अतः,$B-4$.
$C$. एसिटिलीन $(CH \equiv CH)$: दोनों कार्बन परमाणु $sp$ संकरित हैं। अतः,$C-1$.
$D$. बेंजीन $(C_6H_6)$: वलय में सभी छह कार्बन परमाणु $sp^2$ संकरित हैं। अतः,$D-2$.
इसलिए,सही मिलान $A-3, B-4, C-1, D-2$ है।

(C) धनायन (cation) निर्माण में एक उदासीन परमाणु से इलेक्ट्रॉन का निष्कासन शामिल है। $M \rightarrow M^+ + e^-$.
इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा को आयनन ऊर्जा कहा जाता है।
इसलिए,कम आयनन विभव (या आयनन ऊर्जा) होने से परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन खोना और धनायन बनाना आसान हो जाता है।

(C) आयनिक यौगिक उन आयनों से बने होते हैं जो मजबूत स्थिर वैद्युत आकर्षण बलों द्वारा एक साथ जुड़े होते हैं।
ठोस अवस्था में,ये आयन एक जालक (lattice) में स्थिर होते हैं और गति नहीं कर सकते,जिससे वे विद्युत के कुचालक बन जाते हैं।
हालाँकि,पिघली हुई अवस्था में या पानी में घुलने पर,आयन गति करने के लिए स्वतंत्र हो जाते हैं,जिससे वे विद्युत का संचालन कर सकते हैं।
इसलिए,यह कथन कि आयनिक यौगिक पिघले हुए या जलीय विलयनों में विद्युत का संचालन नहीं करते हैं,गलत है।

(B) एक सामान्य अभिक्रिया के लिए,साम्य स्थिरांक को $K_c = \frac{[\text{उत्पाद}]}{[\text{अभिकारक}]}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $[\text{उत्पाद}] > [\text{अभिकारक}]$ है,तो अनुपात $K_c$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।
दिए गए मानों की तुलना करने पर:
$A: K = 0.001 < 1$
$B: K = 10 > 1$
$C: K = 0.005 < 1$
$D: K = 0.01 < 1$
अतः,अभिक्रिया $B$ में,उत्पाद की सांद्रता अभिकारक की सांद्रता से अधिक है।

(D) चूंकि $(x-2)$ व्यंजकों $x^2+ax+b$ और $x^2+cx+d$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,इसलिए हमारे पास है:
$2^2 + 2a + b = 0 \Rightarrow 4 + 2a + b = 0$ ... $(i)$
$2^2 + 2c + d = 0 \Rightarrow 4 + 2c + d = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से घटाने पर:
$(4 + 2a + b) - (4 + 2c + d) = 0$
$2a + b - 2c - d = 0$
$b - d = 2c - 2a$
$b - d = 2(c - a)$
अतः,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(A) माना $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$.
चूंकि व्यंजक अनंत है,हम लिख सकते हैं:
$y = \sqrt{42+y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 = 42 + y$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$y^2 - y - 42 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(y - 7)(y + 6) = 0$.
इससे $y$ के दो संभावित मान मिलते हैं: $y = 7$ या $y = -6$.
चूंकि एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $y = -6$ संभव नहीं है।
अतः,सही मान $y = 7$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला एक बहुपद है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या $a+bi$ मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-bi$ भी मूल होगा।
अतः,$1+2i$ और $1-2i$ मूल हैं।
यदि एक करणी $a+\sqrt{b}$ मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ भी मूल होगा।
अतः,$2-\sqrt{3}$ और $2+\sqrt{3}$ मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,$5$ भी एक मूल है।
इस प्रकार,कुल मूल $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ और $5$ हैं।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(A) दिया गया है कि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
हमें अनंत गुणनफल $\prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ का मूल्यांकन करना है।
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.
घातांक एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.
अतः,गुणनफल $e^{i \pi}$ है।
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2i}{3}$ है।
चूंकि $|r| = |\frac{2i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$,योग $S$ का सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ है।
$S = \frac{1}{1 - \frac{2i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2i}{3}} = \frac{3}{3-2i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को संयुग्मी $(3+2i)$ से गुणा करें:
$S = \frac{3(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{9+6i}{3^2 - (2i)^2} = \frac{9+6i}{9 - (-4)} = \frac{9+6i}{13}$.

(D) कुल $10$ वक्ता हैं। शर्त यह है कि $S_1$ को $S_2$ के बाद ही बोलना है।
$10$ वक्ताओं के किसी भी क्रमविन्यास (arrangement) में,$S_1$ और $S_2$ के सापेक्ष क्रम के लिए केवल दो संभावनाएं हैं: या तो $S_1$,$S_2$ से पहले बोलेगा या $S_2$,$S_1$ से पहले बोलेगा।
चूंकि ये दोनों स्थितियां समान रूप से संभावित हैं,इसलिए कुल क्रमचयों $(10!)$ में से आधे तरीके उस शर्त को पूरा करेंगे कि $S_2$,$S_1$ से पहले बोले (जो $S_1$ के $S_2$ के बाद बोलने के बराबर है)।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{10!}{2}$ है।

(C) हमें दिया गया सीमा मान है: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$.
चूंकि $x$,$k$ से स्वतंत्र है,हम इसे योगफल से बाहर ले सकते हैं: $x \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(t) dt$.
यहाँ $f(t) = t^2$ है,इसलिए व्यंजक होगा: $x \int_0^1 t^2 dt$.
समाकलन करने पर: $x \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = x \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{x}{3}$.

(C) माना $y = x \log _e a$ है। दी गई श्रेणी $y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ है।
हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक साइन फलन का टेलर श्रेणी विस्तार $\sinh(y) = y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ होता है।
$y = x \log _e a$ को श्रेणी में वापस रखने पर,हमें $\sinh(x \log _e a)$ प्राप्त होता है।
अतः,श्रेणी का मान $\sinh(x \log _e a)$ है।

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $k$ घनों का योग $\sum_{i=1}^k i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ है और प्रथम $k$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{i=1}^k (2i-1) = k^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$.
$k=1$ से $5$ तक योग करने पर:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$.

(B) वायुमंडल को पृथ्वी की सतह से ऊंचाई के आधार पर परतों में विभाजित किया गया है:
$1$. क्षोभमंडल: $0-10 \ km$
$2$. समतापमंडल: $10-50 \ km$
$3$. मध्यमंडल: $50-85 \ km$
$4$. तापमंडल: $85-500 \ km$
ऊंचाई की तुलना करने पर,क्रम तापमंडल $(85-500 \ km)$ > मध्यमंडल $(50-85 \ km)$ > क्षोभमंडल $(0-10 \ km)$ है।
अतः,ऊंचाई का घटता क्रम $III, II, I$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
चूंकि $\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$-\sin^2 \theta x^2 - \sin^2 \theta xy + \sin^2 \theta y^2 = 0$।
$-\sin^2 \theta$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\sin \theta \neq 0$),हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + xy - y^2 = 0$।
इसे सामान्य समघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$2h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $a + b = 0$ है।
यहाँ,$a + b = 1 + (-1) = 0$ है।
अतः,रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, a)$ और $(x_2, y_2) = (b, 2)$,और $r^2 = 25$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $b + 2a = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
अतः,$4a + 2b = 50$.

(B) $4$-bromo-$3$-methylbut-$1$-ene की संरचना निर्धारित करने के लिए,हम $IUPAC$ नाम का विश्लेषण करते हैं:
$1$. मुख्य श्रृंखला 'but$-1-$ene' है,जिसका अर्थ है कि पहले कार्बन पर द्वि-आबंध वाली चार कार्बन की श्रृंखला: $CH_2=CH-CH_2-CH_3$।
$2$. '$3$-methyl' प्रतिस्थापी इंगित करता है कि तीसरे कार्बन परमाणु पर एक मिथाइल समूह $(-CH_3)$ जुड़ा हुआ है।
$3$. '$4$-bromo' प्रतिस्थापी इंगित करता है कि चौथे कार्बन परमाणु पर एक ब्रोमीन परमाणु $(-Br)$ जुड़ा हुआ है।
$4$. इन सबको जोड़ने पर,संरचना $CH_2=CH-CH(CH_3)-CH_2Br$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $1, 2$-डाइब्रोमोएथेन जैसे विसिनल डाइहैलाइड का डी-ब्रोमिनेशन अल्कोहल की उपस्थिति में जिंक $(Zn)$ डस्ट का उपयोग करके गर्म करने पर किया जाता है।
यह अभिक्रिया एक प्रकार की विलोपन अभिक्रिया है जिसमें एल्कीन बनाने के लिए दो ब्रोमीन परमाणु हटा दिए जाते हैं।
रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$BrCH_2-CH_2Br + Zn \xrightarrow{\text{alcohol}, \Delta} CH_2=CH_2 + ZnBr_2$
अतः,सही धातु $Zn$ है।

(B) दी गई अभिक्रिया एथिलीन डाइब्रोमाइड की अल्कोहलिक $KOH$ के साथ अभिक्रिया है जिससे एसिटिलीन बनता है।
इस अभिक्रिया में,विसिनल डाइहेलाइड से $HBr$ के दो अणु हटा दिए जाते हैं,जिसे डीहाइड्रोब्रोमिनेशन (डीहाइड्रोहैलोजिनेशन का एक प्रकार) कहा जाता है।

(A) लुईस अम्ल (जैसे $AlCl_3$) की उपस्थिति में,बेंजीन एल्किल हैलाइड के साथ इलेक्ट्रोफिलिक प्रतिस्थापन अभिक्रिया देता है। इस अभिक्रिया को फ्रीडल-क्राफ्ट्स एल्काइलेशन कहा जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_6H_6 + C_2H_5Cl \xrightarrow{AlCl_3} C_6H_5-C_2H_5 + HCl$
बनने वाला उत्पाद एथिलबेंजीन है,जिसका आणविक सूत्र $C_8H_{10}$ है।

(A) परम्यूटिट,जिसे जिओलाइट भी कहा जाता है,सोडियम का एक जलयोजित एल्युमिनोसिलिकेट है जिसका सामान्य सूत्र $Na_2Al_2Si_2O_8 \cdot xH_2O$ है।
इसका उपयोग जल की कठोरता को दूर करने के लिए किया जाता है।
इस प्रक्रिया के दौरान,जिओलाइट में मौजूद $Na^{+}$ आयन कठोर जल में उपस्थित $Ca^{2+}$ और $Mg^{2+}$ आयनों द्वारा प्रतिस्थापित हो जाते हैं,जिससे जल मृदु हो जाता है।
जब सभी $Na^{+}$ आयन $Ca^{2+}$ या $Mg^{2+}$ आयनों द्वारा प्रतिस्थापित हो जाते हैं,तो परम्यूटिट अवशोषित (exhausted) हो जाता है।
अतः,अवशोषित परम्यूटिट में $Na^{+}$ आयन नहीं होते हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ है।
सबसे पहले,हम आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} [2(x-y)^2 - x^4 - y^4] = 4(x-y) - 4x^3$.
$f_y = \frac{\partial}{\partial y} [2(x-y)^2 - x^4 - y^4] = -4(x-y) - 4y^3$.
अब,हम द्वितीय क्रम के आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [4(x-y) - 4x^3] = 4 - 12x^2$.
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [-4(x-y) - 4y^3] = 4 - 12y^2$.
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} [4(x-y) - 4x^3] = -4$.
बिंदु $(0,0)$ पर इनका मान ज्ञात करने पर:
$f_{xx}(0,0) = 4 - 12(0)^2 = 4$.
$f_{yy}(0,0) = 4 - 12(0)^2 = 4$.
$f_{xy}(0,0) = -4$.
अंत में,व्यंजक की गणना करते हैं:
$f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(C) दिया गया है कि,$\frac{x+1}{(2x-1)(3x+1)}=\frac{A}{(2x-1)}+\frac{B}{(3x+1)}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(3x+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+1 = A(3x+1) + B(2x-1)$
$x+1 = x(3A+2B) + (A-B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3A+2B = 1$ ...$(i)$
$A-B = 1$ ...$(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$A = B+1$. इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B+3+2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
अब,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
हमें $16A+9B$ का मान ज्ञात करना है:
$16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(D) कथन $A$ गलत है। जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,जमीन व्यक्ति पर आगे की दिशा में समान और विपरीत बल लगाती है। इस प्रकार,घर्षण बल गति की दिशा में कार्य करता है।
कथन $B$ सही है। साइकिल के लिए,पिछला पहिया चेन द्वारा संचालित होता है,इसलिए जमीन उस पर आगे की ओर घर्षण बल लगाती है। हालाँकि,सामने वाला पहिया एक लुढ़कने वाला पहिया है जो संचालित नहीं होता है; यह अपनी गति और घूर्णन का विरोध करने के लिए जमीन से पीछे की दिशा में घर्षण बल का अनुभव करता है।

(C) दिया गया है $y = \sin^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{1}{1 - x^2}$।
$(1 - x^2) \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = 1$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1 - x^2) \cdot 2 \left(\frac{d y}{d x}\right) \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \cdot (-2x) = 0$।
$2 \frac{d y}{d x}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{d y}{d x} \neq 0$):
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} = 0$।
अतः,$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} = x \frac{d y}{d x}$।

(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$.
यहाँ हर $2x-x^2 = x(2-x)$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर शून्य हो जाता है,इसलिए यह एक अनुचित समाकल (improper integral) है।
हम इसे सीमा के रूप में हल करते हैं: $I = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$.
माना $f(x) = 2x-x^2$,तो $f'(x) = 2-2x = -(2x-2)$.
अतः,$\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = -\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\ln|2x-x^2| + C$.
निश्चित समाकल का मान रखने पर:
$I = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| - (-\ln|2\epsilon-\epsilon^2|)]$.
$I = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|4-2\epsilon-(4-4\epsilon+\epsilon^2)|] = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$.
अतः,समाकल का मान $0$ है।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$.
$f(\theta) = \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)$ लीजिए।
अब,फलन की समता की जाँच करने पर:
$f(-\theta) = \log \left(\frac{2-\sin(-\theta)}{2+\sin(-\theta)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin \theta}{2-\sin \theta}\right)$.
गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = -\log(\frac{b}{a})$ का उपयोग करने पर:
$f(-\theta) = -\log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) = -f(\theta)$.
चूँकि $f(-\theta) = -f(\theta)$,अतः $f(\theta)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(A) दिया गया है,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime} = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x}$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime \prime} = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x}$ ... (iii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime \prime \prime} = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x}$ ... (iv)
दिया गया समीकरण $e^x, e^{2x}, e^{3x}$ का एक रैखिक संयोजन है। अभिलक्षणिक समीकरण $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(m^2 - 3m + 2)(m - 3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ को $y^{(k)}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$y^{\prime \prime \prime} - 6y^{\prime \prime} + 11y^{\prime} - 6y = 0$.

(C) दिया गया है कि $d(n)$,$n$ के धनात्मक भाजकों की संख्या को दर्शाता है।
एक अभाज्य संख्या $P$ के लिए,$P^7$ के भाजकों की संख्या $7+1 = 8$ है।
अतः,$d(P^7) = 8$.
अब,हम $d(d(P^7)) = d(8)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $8 = 2^3$,भाजकों की संख्या $3+1 = 4$ है।
अतः,$d(d(P^7)) = 4$.
अंत में,हम $d(d(d(P^7))) = d(4)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $4 = 2^2$,भाजकों की संख्या $2+1 = 3$ है।
इसलिए,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(D) दिया गया है,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
लघुगणक की परिभाषा $\log _a b = c \implies b = a^c$ का उपयोग करने पर:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
चूंकि $27 = 3^3$,इसलिए $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
अतः,$\log _3 x = 3$.
पुनः,लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$x = 3^3$.
इसलिए,$x = 27$.

(A) माना $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$ है।
चूंकि ये सदिश समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
चूंकि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$।

(A) माना समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ की गणना करने पर।
$\vec{d_1}$ के समांतर इकाई सदिश $\frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{16+16+16}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{48}} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$\vec{d_2} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) - (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{i} + 2\hat{k}$ की गणना करने पर।
$\vec{d_2}$ के समांतर इकाई सदिश $\frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2}} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{\sqrt{8}} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $3x - 2y - z = 18$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में बदलने के लिए $18$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ और $C(0, 0, -18)$ पर मिलता है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(G)$ जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ है।
$G = (\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}) = (2, -3, -6)$.

(B) माना मूल बिंदु $O(0,0,0)$ है और मूल बिंदु से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(2,-1,3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ समतल का अभिलंब (normal) सदिश है।
अभिलंब सदिश $\vec{OP}$ के दिक अनुपात $(2-0, -1-0, 3-0) = (2, -1, 3)$ हैं।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(2, -1, 3)$ और अभिलंब सदिश $(2, -1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2(x-2) - 1(y-(-1)) + 3(z-3) = 0$
$2(x-2) - 1(y+1) + 3(z-3) = 0$
$2x - 4 - y - 1 + 3z - 9 = 0$
$2x - y + 3z - 14 = 0$
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।