AP EAMCET 2004 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक: $\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$
$\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ और $\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ का उपयोग करने पर:
$(\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ रखने पर:
$= \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} = \frac{16}{4} = 4$

(D) हम सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $S = \cos 132^{\circ} + \cos 12^{\circ} + \cos 156^{\circ} + \cos 84^{\circ}$.
युग्मों पर सूत्र लागू करने पर:
$S = 2 \cos 72^{\circ} \cos 60^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
ज्ञात मान $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,$\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ रखने पर:
$S = 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)$
$S = \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \leq \cos(4x - 5) \leq 1$.
असमिका को $3$ से गुणा करने पर:
$-3 \leq 3 \cos(4x - 5) \leq 3$.
असमिका के सभी पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$-3 + 4 \leq 3 \cos(4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
इसलिए,$1 \leq 3 \cos(4x - 5) + 4 \leq 7$.
अतः,यह व्यंजक $[1, 7]$ अंतराल में स्थित है।

(A) माना बिंदु $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ और $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ हैं।
दी गई दूरी $AB = 2a$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(1 + 1 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2a^2(1 - \cos(\theta - \phi)) = 4a^2$
$1 - \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
चूंकि $\cos(\theta - \phi) = -1$,इसलिए $\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,जहाँ $n \in Z$ है।
अतः,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$।

(A) मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। चूंकि $PA=PB$,त्रिभुज $PAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष $P$ से आधार $AB$ पर खींची गई माध्यिका,आधार $AB$ पर लंब भी होती है।
अतः,$PM \perp AB$ है।
रेखा $AB$ $(2x-y+3=0)$ की ढाल $m_1 = 2$ है।
चूंकि $PM \perp AB$,$PM$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ होगी।
रेखा $PM$ बिंदु $P(1,2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y-2 = -\frac{1}{2}(x-1)$ अर्थात $x+2y-5=0$ है।
मध्य-बिंदु $M$,रेखाओं $2x-y+3=0$ और $x+2y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$x = -\frac{1}{5}$ और $y = \frac{13}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB$ का मध्य-बिंदु $\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
यह द्वितीय घात का एक समघातीय समीकरण है,जिसकी तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर:
$a = \cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,$b = \sin^2 \theta$ और $2h = -\sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं यदि $a + b = 0$ हो।
$a + b$ की गणना करने पर:
$a + b = -\sin^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$।
चूंकि $a + b = 0$ है,इसलिए रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समघातीय समीकरण है।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = \cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$,
$b = \sin^2 \theta$,
$2h = -\sin^2 \theta \Rightarrow h = -\frac{1}{2} \sin^2 \theta$.
अब,लंबवत रेखाओं के लिए शर्त की जाँच करने पर:
$a + b = -\sin^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$.
चूँकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है $(a + b = 0)$,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिए गए वृत्त हैं:
$C_1: x^2+y^2+8x-6y=0$
$C_2: 4x^2+4y^2-4x-12y-186=0 \implies x^2+y^2-x-3y-46.5=0$
$C_3: x^2+y^2-6x+6y-9=0$
त्रिज्या $r_1, r_2, r_3$ की गणना:
$r_1 = \sqrt{(-4)^2 - (-3)^2 - 0} = 5$
$r_2 = \sqrt{(0.5)^2 + (1.5)^2 - (-46.5)} = 7$
$r_3 = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 - (-9)} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$
परिधि $P = 2\pi r$ की गणना:
$P_1 = 10\pi$
$P_2 = 14\pi$
$P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$
तुलना करने पर:
$P_1 < P_3 < P_2$.

(B) रेखा का समीकरण $3x - 2y + 6 = 0$ है।
$X$-अक्ष पर बिंदु $A$ के लिए $y = 0$ रखने पर: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. अतः,$A = (-2, 0)$.
$Y$-अक्ष पर बिंदु $B$ के लिए $x = 0$ रखने पर: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. अतः,$B = (0, 3)$.
त्रिज्या $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.
केंद्र $(-2, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{13}$ वाले वृत्त का समीकरण: $(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, a)$ और $(x_2, y_2) = (b, 2)$,और $r^2 = 25$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2b + 4a = 50$
अतः,$4a + 2b = 50$।

(C) ध्रुवीय रूप में वृत्त का दिया गया समीकरण: $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ $(i)$
हम जानते हैं कि $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,और $r^2=x^2+y^2$ होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
इसकी तुलना वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = -4 \Rightarrow f = -2$
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-(-2), -(-2)) = (2, 2)$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांक रूपांतरण $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ तथा $r^2 = x^2 + y^2$ का उपयोग करने पर,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 + y^2 = \sqrt{3} y + x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = -1 \Rightarrow g = -1/2$ और $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\sqrt{3}/2$,तथा $c = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $= \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 - 0} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-1=0$,$L_2: x-y-1=0$ और $L_3: y+1=0$ हैं।
ये तीनों रेखाएँ संगामी नहीं हैं और एक त्रिभुज बनाती हैं।
किसी भी त्रिभुज के लिए,एक अंतःवृत्त (incircle) होता है जो तीनों भुजाओं को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
इसके अतिरिक्त,तीन बाह्यवृत्त (excircles) होते हैं,जिनमें से प्रत्येक एक भुजा को बाहरी रूप से और अन्य दो भुजाओं के विस्तार को स्पर्श करता है।
अतः,तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्तों की कुल संख्या $1 + 3 = 4$ है।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $2y^2 = x + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$4y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \frac{1}{4y}$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{m_t} = -4y$ है।
अब,प्रत्येक दिए गए बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता ज्ञात करते हैं:
$A. (7, 2): m_n = -4(2) = -8$ ($2$ से मेल खाता है)।
$B. (0, 1/\sqrt{2}): m_n = -4(1/\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$ ($5$ से मेल खाता है)।
$C. (1, -1): m_n = -4(-1) = 4$ ($3$ से मेल खाता है)।
$D. (3, \sqrt{2}): m_n = -4(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$ ($1$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $A-2, B-5, C-3, D-1$ है।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ है।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
मानक रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$x + 7y = 1$.
यह दो चरों में एक रैखिक समीकरण का मानक रूप है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(A) सबसे पहले,हम व्यंजक को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$= -\left[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + \dots\right] + \frac{1}{3}\left[1 + \frac{x}{3} + (\frac{x}{3})^2 + (\frac{x}{3})^3 + \dots\right]$.
$x^3$ का गुणांक $-\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3$ है।
$= -\frac{1}{8} + \frac{1}{81} = \frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(B) हम जानते हैं कि $e^{-x}$ का विस्तार $e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + (-1)^n \frac{x^n}{n!} + \dots$ होता है।
अब,व्यंजक $(2+3x)e^{-x}$ पर विचार करें:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$1$. $2e^{-x}$ में,$x^{10}$ वाला पद $2 \times \frac{(-1)^{10} x^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ है।
$2$. $3xe^{-x}$ में,$x^{10}$ वाला पद $3x \times \frac{(-1)^9 x^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = \frac{-3}{9!} x^{10}$ है।
इन्हें जोड़ने के लिए,$\frac{-3}{9!}$ को $10!$ हर के साथ लिखें:
$\frac{-3}{9!} = \frac{-3 \times 10}{10!} = \frac{-30}{10!}$.
गुणांकों का योग:
$\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$.

(D) $n=15$ के लिए द्विपद गुणांक ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ हैं।
चूंकि ${ }^{15} C_r$ का मान $r$ के $0$ से $7$ तक बढ़ने पर बढ़ता है और $r$ के $8$ से $15$ तक बढ़ने पर घटता है,हम वह अनुक्रम देखते हैं जहाँ मान घट रहे हैं।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$A$: ${ }^{15} C_5 < { }^{15} C_6 < { }^{15} C_7$ (बढ़ता क्रम)
$B$: ${ }^{15} C_{10} < { }^{15} C_9 < { }^{15} C_8$ (बढ़ता क्रम)
$C$: ${ }^{15} C_6 < { }^{15} C_7 < { }^{15} C_8$ (बढ़ता क्रम)
$D$: ${ }^{15} C_7 > { }^{15} C_6 > { }^{15} C_5$ (घटता क्रम)
अतः,घटते क्रम में अनुक्रम ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ है। सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ प्राप्त होता है।
यह $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ में सरल हो जाता है।
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = \pi$.
व्यंजक पर विचार करें:
$\cos \left(\frac{B+2C+3A}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$A+B+C = \pi$ का उपयोग करके पहले कोसाइन पद के तर्क को फिर से लिखें:
$\frac{B+2C+3A}{2} = \frac{2A+2B+2C + A-B}{2} = \frac{2\pi + (A-B)}{2} = \pi + \frac{A-B}{2}$
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(\pi + \frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
सर्वसमिका $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$-\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और बहिःत्रिज्याएँ इस प्रकार हैं:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
दिया गया है $r_3 = r_1 + r_2 + r$,अतः:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
सरल करने पर:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$
अतः,$A+B = \pi - C = 90^{\circ}$.

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{bmatrix}$ है।
किसी अवयव $a_{ij}$ का सह-खंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
अवयव $-1$ (स्थान $a_{12}$ पर): $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = -1(0 - 6) = 6$. अतः,$A-4$.
अवयव $1$ (स्थान $a_{11}$ पर): $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} = 1(24 - (-8)) = 32$. अतः,$B-2$.
अवयव $3$ (स्थान $a_{31}$ पर): $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 0) = -2$. अतः,$C-1$.
अवयव $6$ (स्थान $a_{33}$ पर): $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$. अतः,$D-3$.
इस प्रकार,सही मिलान $A-4, B-2, C-1, D-3$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
चूँकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$
चूंकि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$,इसलिए:
$\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x - \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 2\sin ^{-1} x$
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$1-x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\sin ^{-1} x) = \cos(2\sin ^{-1} x)$
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \sin ^{-1} x$:
$1-x = 1 - 2(\sin(\sin ^{-1} x))^2$
$1-x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$।
मानों की जाँच करने पर:
$x=0$ के लिए: $\sin ^{-1} 0 + \sin ^{-1} 1 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ और $\cos ^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}$। (मान्य)
$x=\frac{1}{2}$ के लिए: $\sin ^{-1} \frac{1}{2} + \sin ^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ और $\cos ^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$। (मान्य)
इसलिए,$x \in \{0, \frac{1}{2}\}$।

(C) दी गई असमिका $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ है।
हम व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $(x - 1)^2 \geq 0$ है,इसलिए $(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ होगा।
अतः,$(x - 1)^2 + 4$ हमेशा धनात्मक है और यह कभी भी $0$ या उससे कम नहीं हो सकता।
इस प्रकार,$x$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई असमिका को संतुष्ट करे।
इसलिए हल समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $f(-x) = f(x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$। अतः,$f^{\prime}$ एक विषम फलन है।
पुनः अवकलन करने पर,$f^{\prime \prime}(-x) \cdot (-1) = -f^{\prime \prime}(x)$,जिसका अर्थ है $f^{\prime \prime}(-x) = f^{\prime \prime}(x)$। अतः,$f^{\prime \prime}$ एक सम फलन है।
एक बार और अवकलन करने पर,$f^{\prime \prime \prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime \prime \prime}(x)$,जिसका अर्थ है $f^{\prime \prime \prime}(-x) = -f^{\prime \prime \prime}(x)$। अतः,$f^{\prime \prime \prime}$ एक विषम फलन है।
दिए गए विकल्पों में से,$f^{\prime}$ एक विषम फलन है। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया फलन $f(n)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2 & \text{यदि } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{यदि } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{यदि } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$
हमें समुच्चय $\{n \in N: f(n) > 2\}$ ज्ञात करना है।
परिभाषा को देखने पर,$f(n) > 2$ केवल तब होता है जब $f(n) = 10$ हो,जो $n = 3k + 1$ के लिए होता है,जहाँ $k \in Z$ है।
चूँकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) है,हम $k \geq 0$ लेते हैं:
$k=0$ के लिए,$n = 3(0) + 1 = 1$ है।
$k=1$ के लिए,$n = 3(1) + 1 = 4$ है।
$k=2$ के लिए,$n = 3(2) + 1 = 7$ है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1, 4, 7, \dots\}$ है।

(C) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$ है जहाँ $f(x) = 3^{-x}$ है।
$I$. एकैकी फलन के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$3^{-x_1} = 3^{-x_2} \Rightarrow -x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ है।
अतः,फलन एकैकी है।
$II$. आच्छादक फलन के लिए: $f(x) = 3^{-x}$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है। चूँकि परिसर $\neq$ सह-प्रांत है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
$III$. ह्रासमान फलन के लिए: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3^{-x}) = -3^{-x} \ln 3$ है। चूँकि $3^{-x} > 0$ और $\ln 3 > 0$ है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) < 0$ है। अतः,$f$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सत्य हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x-y}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$
$y \ln x = x - y$
$y$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \ln x + y = x$
$y(1 + \ln x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \ln x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(1 + \ln x) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $y=x^2+2x$ है।
चूँकि $x$ और $y$ निर्देशांक समान दर से बदलते हैं,इसलिए $\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ है।
समीकरण $y=x^2+2x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (2x+2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dx}{dt} = (2x+2) \frac{dx}{dt}$.
यदि $\frac{dx}{dt} \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2x+2$.
$2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
अब,$x = -\frac{1}{2}$ का मान वक्र के समीकरण में रखकर $y$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
अतः,वक्र पर स्थित बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ है।

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $y = 4 - 2x^2$ है।
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
चूंकि $x$-निर्देशांक $5 \text{ units/s}$ की दर से घट रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$ है।
बिंदु $(1, 2)$ पर,$x = 1$ और $\frac{dx}{dt} = -5$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$.
अतः,$y$-निर्देशांक $20 \text{ units/s}$ की दर से बढ़ रहा है।

(C) माना हवाई जहाज की ऊंचाई $h = 1 \ km$ है। माना हवाई जहाज के दो अलग-अलग समय पर स्थान $D$ और $E$ हैं। $A$ जमीन पर अवलोकन बिंदु है। माना $P$ और $Q$ जमीन पर वे बिंदु हैं जो क्रमशः $D$ और $E$ के ठीक नीचे हैं। अतः,$DP = EQ = 1 \ km$.
$\Delta DAP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{AP + PQ}$ $\Rightarrow AP + PQ = \sqrt{3}$.
$AP = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
दूरी $PQ$ को $10 \ s$ में तय किया जाता है। इसलिए,गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \ km/s$.
$km/h$ में बदलने के लिए,$3600$ से गुणा करें: $\text{गति} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 = \frac{720}{\sqrt{3}} = \frac{720\sqrt{3}}{3} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
$x^2$ से गुणा करने पर,$x^2 f(x) = \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x f(x) + x^2 f'(x) = 2x - 3f'(x)$.
$x = 3$ रखने पर,$2(3) f(3) + 3^2 f'(3) = 2(3) - 3f'(3)$.
मूल समाकलन से,$f(3) = \frac{1}{3^2} \int_3^3 (2t - 3f'(t)) dt = 0$.
$f(3) = 0$ का मान रखने पर:
$2(3)(0) + 9f'(3) = 6 - 3f'(3)$.
$9f'(3) + 3f'(3) = 6$.
$12f'(3) = 6$.
$f'(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

(C) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष,और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल समाकलन $\int_{a}^{b} y \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = x^2 + 2$,$a = 1$,और $b = 2$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{2}$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग आधुनिक संचार नेटवर्क में व्यापक रूप से किया जाता है क्योंकि वे उच्च बैंडविड्थ और कम सिग्नल क्षीणन प्रदान करते हैं।
ऑप्टिकल फाइबर में,प्रकाश संकेतों का संचरण 'पूर्ण आंतरिक परावर्तन' (Total Internal Reflection) के सिद्धांत द्वारा होता है।
चूंकि सिग्नल फाइबर के भीतर सीमित रहता है और विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप (interference) से प्रभावित नहीं होता है,इसलिए संचरण अत्यधिक सुरक्षित और स्पष्ट होता है।
इसके अतिरिक्त,ऑप्टिकल फाइबर आकार में छोटे,वजन में हल्के और लचीले होते हैं,जो उन्हें स्थापना के लिए आदर्श बनाते हैं।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(B) माना प्रिज्म का कोण $A$ है। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है $(AB=AC)$,आधार के कोण $\angle B = \angle C = (180^{\circ}-A)/2 = 90^{\circ} - A/2$ होंगे।
$1$. किरण सतह $AB$ पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
$2$. सतह $AC$ पर (जिस पर चांदी की परत है),आपतन कोण $i_1$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर होता है।
$3$. $AC$ पर परावर्तन के बाद,परावर्तन कोण भी $i_1 = A$ होता है। परावर्तित किरण सतह $AC$ के साथ $90^{\circ}-A$ का कोण बनाती है।
$4$. किरण और प्रिज्म की भुजाओं द्वारा बने त्रिभुज में,सतह $AB$ पर कोण $90^{\circ}-2A$ है।
$5$. सतह $AB$ पर दूसरे परावर्तन के समय,आपतन कोण $i_2 = 90^{\circ}-(90^{\circ}-2A) = 2A$ होता है।
$6$. इसके बाद किरण आधार $BC$ पर लंबवत टकराती है। किरण और आधार $BC$ द्वारा बने त्रिभुज में,$B$ पर कोण $90^{\circ}-2A$ है। चूंकि किरण $BC$ के लंबवत है,इसलिए $90^{\circ}-2A + (90^{\circ}-A/2) = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$7$. $A$ के लिए हल करने पर: $90^{\circ} - 2.5A = 0$,जिसका अर्थ है $A = 36^{\circ}$।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र,अपवर्तक कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दिया गया है कि $\mu = \cot(A / 2) = \frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)}$,अतः:
$\frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)} = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A / 2)$ को हटाने पर:
$\cos(A / 2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\pi/2 - A/2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$\pi/2 - A/2 = (A + \delta_m) / 2$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\pi - A = A + \delta_m$
$\delta_m = \pi - 2A$

(D) सोडियम के निष्कर्षण के लिए डाउन की प्रक्रिया में,पिघले हुए $NaCl$ का विद्युत अपघटन किया जाता है।
इस सेल में,कैथोड $Iron$ $(Fe)$ का बना होता है और एनोड $Graphite$ $(C)$ का बना होता है।
इसलिए,कैथोड और एनोड क्रमशः $Iron$ और $Graphite$ हैं।

(D) प्लास्टर ऑफ पेरिस पानी को अवशोषित करके मोनोक्लिनिक जिप्सम बनाता है,जो एक कठोर पदार्थ है।
रासायनिक अभिक्रिया:
$CaSO_4 \cdot \frac{1}{2} H_2 O + \frac{3}{2} H_2 O \rightarrow CaSO_4 \cdot 2 H_2 O$
(मोनोक्लिनिक जिप्सम)

(A) No Solution Available

(C) कथन $A$ के लिए: दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ है। इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P(x) = 1$ प्राप्त होता है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है। अतः,कथन $A$ सही है।
कथन $R$ के लिए: रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है और इसका समाकलन गुणक $e^{\int P(x) dx}$ के रूप में परिभाषित है। अतः,कथन $R$ सही है।
चूंकि कथन $A$ सीधे कथन $R$ में दी गई परिभाषा से प्राप्त होता है,इसलिए $R \Rightarrow A$ सही है।

(A) हमें व्यंजक $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ का मूल्यांकन करना है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुण का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$.
अब,$c$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b) = c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट गुण $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= [c, b, a] + [c, b, c] + [c, c, a] + [c, c, b]$.
चूंकि किसी भी स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट में दो समान सदिश होने पर उसका मान शून्य होता है,इसलिए:
$[c, b, c] = 0$,$[c, c, a] = 0$,और $[c, c, b] = 0$.
अतः,व्यंजक सरल होकर $[c, b, a] = c \cdot (b \times a)$ हो जाता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$l = -(m+n)$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ से भाग देने पर,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है। माना मूल $\frac{n_1}{m_1}$ और $\frac{n_2}{m_2}$ हैं।
तब $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
इसी प्रकार,$(i)$ से,$m = -(l+n)$। $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ से भाग देने पर,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ प्राप्त होता है। माना मूल $\frac{l_1}{n_1}$ और $\frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ से,$l_1 l_2 = n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2$।
अतः,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = l_1 l_2 - 2l_1 l_2 + l_1 l_2 = 0$।
चूंकि $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$,रेखाएं परस्पर लंबवत हैं। इसलिए,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना मूल बिंदु $O(0,0,0)$ है और लंब का पाद $P(2,-1,3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब के दिक-अनुपात रेखा $OP$ के दिक-अनुपात के समान होंगे।
$OP$ के दिक-अनुपात $(2-0, -1-0, 3-0) = (2, -1, 3)$ हैं।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(2, -1, 3)$ और अभिलंब सदिश $(2, -1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2(x-2) - 1(y-(-1)) + 3(z-3) = 0$
$2(x-2) - 1(y+1) + 3(z-3) = 0$
$2x - 4 - y - 1 + 3z - 9 = 0$
$2x - y + 3z - 14 = 0$
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(A) पासे पर अंकित संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ हैं।
यहाँ $1$ सम संख्या $(2)$ और $5$ विषम संख्याएँ $(3, 5, 7, 11, 13)$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(Even) = \frac{1}{6}$ है।
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(Odd) = \frac{5}{6}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(Even) \times P(Odd) + P(Odd) \times P(Even)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(C) दिया गया है कि,$P(E) = 1/5$ और $P(F|E) = 1/10$.
हमें घटनाओं $E$ और $F$ में से कम से कम एक के घटित न होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P((E \cap F)^c) = 1 - P(E \cap F)$ है।
प्रायिकता के गुणन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(E \cap F) = P(E) \times P(F|E)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(E \cap F) = (1/5) \times (1/10) = 1/50$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - P(E \cap F) = 1 - 1/50 = 49/50$ है।

(C) मान लीजिए $H$ चित को दर्शाता है और $T$ पट को दर्शाता है। चित के लिए $+2$ अंक और पट के लिए $-1$ अंक मिलता है। जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो चित $(H)$ और पट $(T)$ की संख्या के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. तीन पट $(0H, 3T)$: स्कोर $= 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. दो पट और एक चित $(1H, 2T)$: स्कोर $= 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. एक पट और दो चित $(2H, 1T)$: स्कोर $= 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. तीन चित $(3H, 0T)$: स्कोर $= 3(2) + 0(-1) = 6$.
अतः,कुल स्कोर $X$ का परिसर $\{-3, 0, 3, 6\}$ है।

(A) मान लीजिए $H$ चित को और $T$ पट को दर्शाता है। अंक $H$ के लिए $2$ और $T$ के लिए $1$ हैं।
तीन सिक्कों को उछालने पर,मान लीजिए $n_H$ चितों की संख्या है और $n_T$ पटों की संख्या है।
कुल अंक $S = 2n_H + 1n_T$ हैं।
चूंकि $n_H + n_T = 3$,इसलिए $n_T = 3 - n_H$ है।
अतः,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$।
$S$ के विषम होने के लिए $n_H + 3$ का विषम होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि $n_H$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$n_H$ के संभावित मान $0$ या $2$ हैं।
स्थिति $1$: $n_H = 0$ (सभी पट,$TTT$)।
प्रायिकता $P(n_H = 0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।
स्थिति $2$: $n_H = 2$ (दो चित,एक पट,जैसे $HHT, HTH, THH$)।
प्रायिकता $P(n_H = 2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$।
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(A) की प्रतिशत मात्रा $92.3 \%$ है। अतः,$H$ की प्रतिशत मात्रा $100 - 92.3 = 7.7 \%$ है।

तत्व	परमाणुओं की सापेक्ष संख्या (प्रतिशत / परमाणु द्रव्यमान)	सरल अनुपात
$C$	$92.3 / 12 = 7.69$	$7.69 / 7.69 = 1$
$H$	$7.7 / 1 = 7.70$	$7.70 / 7.69 \approx 1$

$C:H$ का अनुपात $1:1$ है।
अतः,मूलानुपाती सूत्र $CH$ है।

(D) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$,मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया है,$V_{He} = 500 \ mL$,$t_{He} = 30 \ min$,अतः $r_{He} = \frac{500}{30} \ mL/min$.
$SO_2$ के लिए,$V_{SO_2} = 1000 \ mL$,$t_{SO_2} = t$,अतः $r_{SO_2} = \frac{1000}{t} \ mL/min$.
मोलर द्रव्यमान $M_{He} = 4 \ g/mol$ और $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ हैं।
मान रखने पर: $\frac{500/30}{1000/t} = \sqrt{\frac{64}{4}}$.
$\frac{500}{30} \times \frac{t}{1000} = \sqrt{16} = 4$.
$\frac{t}{60} = 4 \Rightarrow t = 240 \ minutes$.
घंटों में बदलने पर: $t = \frac{240}{60} = 4 \ hours$.