AP EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए कि पिंड बिंदु $P$ पर अर्धगोले की सतह को छोड़ देता है। इस बिंदु पर,त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $P$ पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर) हैं।
केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक शुद्ध अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
जब पिंड सतह को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ शून्य हो जाती है।
इसलिए,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$.
दिए गए मानों $v = 5 \ m/s$,$r = 5 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.4 \text{ \AA} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$, गति $v = 10^6 \text{ m/s}$, आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
गतिमान इलेक्ट्रॉन एक विद्युत धारा $i = \frac{q}{T}$ बनाता है, जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
$T = \frac{2\pi r}{v}$, इसलिए $i = \frac{qv}{2\pi r}$.
मान रखने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$.
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (2 \times 10^{-3} / \pi)}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}}$.
$B = \frac{4 \times 2 \times 10^{-10}}{0.8 \times 10^{-10}} = \frac{8}{0.8} = 10 \text{ T}$.

(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि डोमेन सिद्धांत का उपयोग लौहचुंबकत्व (Ferromagnetism) को समझाने के लिए किया जाता है,न कि अनुचुंबकत्व को।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति तापमान से स्वतंत्र होती है,क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति से उत्पन्न होती है जो तापीय हलचल से महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं होती है।

(C) भौतिक राशि $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ के लिए सूत्र दिया गया है।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$X$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$.
अब,हम प्रतिशत त्रुटि में प्रत्येक पद का योगदान ज्ञात करते हैं:
$A$ का योगदान = $2 \times (2\%) = 4\%$.
$B$ का योगदान = $1 \times (2\%) = 2\%$.
$C$ का योगदान = $\frac{1}{3} \times (4\%) = 1.33\%$.
$D$ का योगदान = $3 \times (5\%) = 15\%$.
इन मानों की तुलना करने पर,$X$ की प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान $C$ $(1.33\%)$ द्वारा होता है।

(D) $\sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{7}, \sqrt[3]{8}$ संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम उन्हें घातांक रूप में बदलते हैं: $4^{1/3}, 5^{1/4}, 7^{1/4}, 8^{1/3}$।
हर $3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
प्रत्येक संख्या को $12$ की घात के रूप में लेते हैं:
$(4^{1/3})^{12} = 4^4 = 256$
$(5^{1/4})^{12} = 5^3 = 125$
$(7^{1/4})^{12} = 7^3 = 343$
$(8^{1/3})^{12} = 8^4 = 4096$
$256, 125, 343, 4096$ की तुलना करने पर,सबसे छोटा मान $125$ है,जो $\sqrt[4]{5}$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया समीकरण: $6^x = 7^{x+4}$
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log(6^x) = \log(7^{x+4})$
$x \log 6 = (x+4) \log 7$
$x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
$x(\log 2 + \log 3) - x \log 7 = 4 \log 7$
$x(\log 2 + \log 3 - \log 7) = 4 \log 7$
दिए गए मान $\log 2=a, \log 3=b, \log 7=c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(a+b-c) = 4c$
$x = \frac{4c}{a+b-c}$

(B) हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \ldots$ होता है।
मान लीजिए $u = x \log _e a$ है।
तब दी गई श्रेणी $1 + (x \log _e a) + \frac{(x \log _e a)^2}{2!} + \frac{(x \log _e a)^3}{3!} + \ldots$ बन जाती है।
यह $e^{x \log _e a}$ के बराबर है।
लघुगणक के गुण $n \log _e m = \log _e m^n$ का उपयोग करने पर,हमें $x \log _e a = \log _e a^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^{\log _e a^x} = a^x$ होगा।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !} = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ है।
हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$.
अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$.
इस प्रकार,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

(A) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ और $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$.
$(a-b)\alpha + (b-a) = 0$.
$(a-b)\alpha = (a-b)$.
चूँकि $a \neq b$,$(a-b)$ से भाग देने पर $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $1^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
अतः,$a + b = -1$.

(C) दिया गया है कि $3$,समीकरण $x^2+kx-24=0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$।
अब,$k=5$ और $x=3$ रखकर विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $C$ के लिए: $x^2-kx+6=0$
$x=3$ और $k=5$ रखने पर:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$।
अतः,$3$,$x^2-kx+6=0$ का भी मूल है।

(D) दिया गया समीकरण $x^4-x^2+x-1=0$ है।
माना $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ एक मूल है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $\alpha+\beta = 1$ और गुणनफल $\alpha\beta = 1$ है।
अतः द्विघात गुणनखंड $x^2-x+1=0$ प्राप्त होता है।
$x^4-x^2+x-1$ को $x^2-x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $(x^2+x-1)$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूल $x^2+x-1=0$ से प्राप्त होते हैं,जो $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।

(A) माना $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$ है।
$z$ को वास्तविक संख्या होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin \theta = 0$ है।
चूँकि $0 < \theta < 2\pi$ दिया गया है,एकमात्र हल $\theta = \pi$ है।

(A) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
अतः,$\sinh(ix) = i \sin x$.

(C) उपलब्ध विषम अंकों का समूह $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ है।
इन $5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके बनाई गई $5$-अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
यदि संख्या का अंतिम अंक $5$ है,तो वह संख्या $5$ से विभाज्य होती है।
यदि अंतिम अंक $5$ निश्चित है,तो शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5$ से विभाज्य $5$-अंकों की संख्याएँ $= 4! = 24$।
अतः,$5$ से विभाज्य न होने वाली $5$-अंकों की संख्याएँ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$।

(C) तली में बने छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग (वेग ऑफ इफ्लक्स) टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gd}$।
वह ऊर्ध्वाधर ऊँचाई जिससे पानी नीचे गिरता है,$h$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास (Horizontal range) $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t$
$R = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$R = \sqrt{2gd \times \frac{2h}{g}}$
$R = \sqrt{4dh}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 4dh$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = \frac{R^2}{4h}$।

(D) दिया गया है:
आंतरिक व्यास $d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$.
त्रिज्या $r = d/2 = 0.14 \times 10^{-3} \ m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.07 \ N/m$.
पानी के लिए संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$,इसलिए $\cos \theta = 1$.
पृष्ठ तनाव के कारण,केशिका में पानी की ऊंचाई $h = \frac{2T}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
मेनिस्कस के आर-पार दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{2T}{r}$ है।
नली में पानी के स्तर को बर्तन के स्तर के समान बनाए रखने के लिए,हमें केशिका दबाव अंतर के बराबर बाहरी दबाव लागू करना होगा।
$\Delta P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
चूंकि नली में पानी की सतह वायुमंडलीय दबाव के सापेक्ष इस दबाव से नीचे दब जाती है,इसलिए स्तर बनाए रखने के लिए आवश्यक कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव और केशिका दबाव का योग है:
$P_{total} = P_{atm} + \Delta P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(D) क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t = 36t$ द्वारा दिया गया है,इसलिए वेग का क्षैतिज घटक $u_x = 36 \ m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 48t - 4.9t^2$ द्वारा दिया गया है,इसलिए वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 48 \ m/s$ है।
प्रारंभिक वेग $u$ वेग सदिश के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$।
मान रखने पर: $u = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60 \ m/s$।

(A) दिया गया है: न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_n = 1.00893 \ amu$,प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p = 1.00813 \ amu$,और ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m_d = 2.01473 \ amu$।
ड्यूटेरॉन नाभिक $(^2_1H)$ एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473$
$\Delta m = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \ amu$।
पैकिंग फ्रैक्शन द्रव्यमान क्षति और द्रव्यमान संख्या $(A)$ का अनुपात है।
ड्यूटेरॉन के लिए,$A = 2$।
$\text{पैकिंग फ्रैक्शन} = \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$।

(C) प्रोटॉन-न्यूट्रॉन $(p-n)$,प्रोटॉन-प्रोटॉन $(p-p)$ और न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन $(n-n)$ के बीच कार्य करने वाला नाभिकीय बल लगभग समान और आवेश से स्वतंत्र होता है। इसलिए,कथन $A$ गलत है।
न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक $k$ एक पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या और पिछली पीढ़ी के न्यूट्रॉन की संख्या का अनुपात दर्शाता है। यदि $k > 1$ है,तो श्रृंखला अभिक्रिया सुपरक्रिटिकल हो जाती है और विखंडन की दर बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि अभिक्रिया त्वरित अवस्था में है। इसलिए,कथन $B$ सही है.

(D) दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
जब छड़ को तीन बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = \frac{M}{3}$ हो जाता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{I}{9}$ हो जाता है।
इसलिए,नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3) H}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
अतः,$T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.

(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जब $F = -kx$ बल के अंतर्गत $SHM$ करता है,तो आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
चूंकि $k = m\omega^2 = m(\frac{2\pi}{T})^2$ है,इसलिए बल नियतांक $k$,$\frac{1}{T^2}$ के समानुपाती होता है।
अतः,$k_1 \propto \frac{1}{T_1^2}$ और $k_2 \propto \frac{1}{T_2^2}$।
जब दोनों बल एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{T^2} = (\frac{5}{4})^2 + (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{16} + \frac{25}{9}$।
$\frac{1}{T^2} = 25 \times (\frac{9+16}{144}) = 25 \times \frac{25}{144} = \frac{625}{144}$।
वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{T} = \frac{25}{12}$,जिससे $T = \frac{12}{25} \ s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $4 v^2 = 25 - x^2$.
$4$ से भाग देने पर: $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$.
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $v^2 = \frac{1}{4} (25 - x^2)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi \text{ s}$.

(A) थर्मिट अभिक्रिया में एल्युमीनियम $(Al)$ पाउडर द्वारा फेरिक ऑक्साइड $(Fe_2O_3)$ का अपचयन होता है। संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$Fe_2O_3 + 2Al \rightarrow 2Fe + Al_2O_3$
अभिक्रिया के स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$1$ मोल $Fe_2O_3$,$2$ मोल $Al$ के साथ अभिक्रिया करता है।
हालाँकि,वेल्डिंग के लिए उपयोग किए जाने वाले थर्मिट मिश्रण में,द्रव्यमान के अनुसार अनुपात आमतौर पर $3$ भाग फेरिक ऑक्साइड और $1$ भाग एल्युमीनियम पाउडर होता है।
इसलिए,$X = 3$ और $Y = 1$।

(A) बॉक्साइट $(Al_2O_3)$ की कोक $(C)$ और नाइट्रोजन $(N_2)$ के साथ $2075 \ K$ पर अभिक्रिया इस प्रकार है:
$Al_2O_3 + 3C + N_2 \xrightarrow{2075 \ K} 2AlN + 3CO$
यहाँ,$X$ एल्युमिनियम नाइट्राइड $(AlN)$ है।
जब $AlN$ जल के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह अमोनिया गैस $(NH_3)$ उत्पन्न करता है:
$AlN + 3H_2O \longrightarrow Al(OH)_3 + NH_3 \uparrow$

(B) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ बनते हैं।
संतुलित रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$NH_3 + 3Cl_2 \text{ (excess)} \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$

(D) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$NH_3 + 3Cl_2 \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$
अतः,प्राप्त उत्पाद नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ हैं।

(A) फ्लोरीन की गर्म सांद्र $KOH$ के साथ अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$2 F_2 + 4 KOH \longrightarrow 4 KF + 2 H_2O + O_2$
अभिक्रिया की रससमीकरणमिति (stoichiometry) से,$KF : H_2O : O_2$ का मोलर अनुपात $4 : 2 : 1$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $2 : 1 : 0.5$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(A) $n$ विभिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
हार के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ होती है।
यहाँ,$n = 8$ है।
तरीकों की संख्या = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.

(A) माना पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। $\theta$ कोण पर अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,और $y' = 4$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = 1 + 2\sqrt{2}$
अतः,पुरानी प्रणाली में निर्देशांक $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ हैं।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
चूंकि यह $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $2^2 + 0^2 + 2g(2) + 2f(0) + 0 = 0$,जिससे $4 + 4g = 0$ प्राप्त होता है,अतः $g = -1$ है।
चूंकि यह $(0,-2)$ से गुजरता है,इसलिए $0^2 + (-2)^2 + 2g(0) + 2f(-2) + 0 = 0$,जिससे $4 - 4f = 0$ प्राप्त होता है,अतः $f = 1$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(k,-2)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $x = k$ और $y = -2$ रखने पर:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k^2 - 2k = 0$
$k(k - 2) = 0$।
चूंकि बिंदु भिन्न होने चाहिए,इसलिए $k$ का मान $0$ नहीं हो सकता।
अतः,$k = 2$।

(B) दी गई रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ है।
दी गई रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $3x + 2y + k = 0$ के रूप में होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $3x = -k$,जिससे $x = -k/3$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ रखने पर $2y = -k$,जिससे $y = -k/2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x| |y| = 3$ है।
$\frac{1}{2} |-\frac{k}{3}| |-\frac{k}{2}| = 3$.
$\frac{k^2}{12} = 3$ $\Rightarrow k^2 = 36$ $\Rightarrow k = \pm 6$.
$k$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $3x + 2y = \pm 6$ प्राप्त होता है।

(C) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है।
चूँकि निर्देशांक अक्ष समद्विभाजक हैं,उनका समीकरण $xy = 0$ है।
अतः,निर्देशांक अक्षों के समद्विभाजक होने के लिए शर्त $a + b = 0$ और $h \neq 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2(\cos \theta - \sin \theta) + 2xy \cos \theta + y^2(\cos \theta + \sin \theta) = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \cos \theta - \sin \theta$,$h = \cos \theta$,और $b = \cos \theta + \sin \theta$.
रेखाओं के युग्म के बीच न्यूनकोण $\alpha$ का सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर:
$h^2 - ab = \cos^2 \theta - (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) = \sin^2 \theta$.
$a + b = 2 \cos \theta$.
अतः,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
चूंकि $2 \theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\alpha = \theta$ होगा।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $xy-x-y+1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x(y-1)-1(y-1)=0$,जो $(x-1)(y-1)=0$ देता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x=1$ और $y=1$।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूंकि रेखाएं $ax+2y-3a=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ को रेखा $ax+2y-3a=0$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$x=1$ और $y=1$ को समीकरण में रखने पर: $a(1)+2(1)-3a=0$।
$a+2-3a=0$।
$-2a+2=0$।
$2a=2$।
$a=1$।

(B) रेखाओं का दिया गया युग्म $xy-x-y+1=0$ है।
इसे $x(y-1)-1(y-1)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो $(x-1)(y-1)=0$ देता है।
दो रेखाएँ $x-1=0$ और $y-1=0$ हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ $ax+2y-3a=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ को रेखा $ax+2y-3a=0$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
समीकरण में $x=1$ और $y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(1)+2(1)-3a=0$
$a+2-3a=0$
$-2a+2=0$
$2a=2$
$a=1$

(B) चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र दोनों अक्षों से $5$ इकाई की दूरी पर होना चाहिए।
तीसरे चतुर्थांश में,$x$ और $y$ दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।
इसलिए,वृत्त का केंद्र $(-5, -5)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h = -5$,$k = -5$,और $r = 5$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
वृत्त रेखा $4x + 3y - 12 = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
$|7r - 12| = 5r$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
प्रश्न में बड़े वृत्त की त्रिज्या पूछी गई है,जो $r = 6$ है।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। मूल बिंदु से दूरी $c$ होने के कारण,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$ है। वृत्त का केंद्र $(a/2, b/2) = (x, y)$ है। अतः $a=2x, b=2y$। इन मानों को रखने पर,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि नाभि $ S(3,0) $ है और नियता $ x+3=0 $ है। मान लीजिए $ P(x, y) $ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$ P $ से नाभि $ S $ की दूरी,$ P $ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$ SP^2 = PM^2 $
$ (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2 $
$ y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2 $
सर्वसमिका $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $ का उपयोग करने पर:
$ y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3) $
$ y^2 = (2x)(6) $
$ y^2 = 12x $

(C) माना नाभीय जीवा नाभि $S(a, 0)$ से गुजरती है और परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदुओं $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ को जोड़ती है।
जीवा $PQ$ का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ है।
चूंकि यह $(a, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = 2a + 2at_1t_2$,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।
माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष इस जीवा का ध्रुव है।
$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,या $yy_1 - 2ax = 2ax_1$।
इसे जीवा के समीकरण $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ के साथ तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{t_1 + t_2}{y_1} = \frac{-2}{-2a} = \frac{2at_1t_2}{2ax_1}$
$\frac{-2}{-2a} = \frac{2at_1t_2}{2ax_1}$ से,हमें $x_1 = at_1t_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t_1t_2 = -1$,इसलिए $x_1 = -a$।
अतः,ध्रुव का बिंदुपथ $x = -a$ है,जो परवलय की नियता है।

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ के विस्तार में व्यापक पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ के गुणांक के लिए,घात को $1$ के बराबर रखने पर:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \implies r = 3$
अब,$r=3$ रखने पर:
$x$ का गुणांक $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
दिया गया है कि गुणांक $270$ है:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $p$ वां पद $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $p = { }^n C_{p-1}$ है।
$(p+1)$ वां पद $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ है,इसलिए इसका गुणांक $q = { }^n C_p$ है।
हम द्विपद गुणांकों का गुण जानते हैं: $\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$।
यहाँ,$\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$।
अतः,$q = \frac{p(n-p+1)}{p} = n-p+1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $p+q = n+1$ प्राप्त होता है।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया व्यंजक $(1+x+x^2)^n$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
अतः,गुणांकों का योग $3^n$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $5x^2 + 9y^2 = 45$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $5x^2 - 4y^2 = 45$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{45}{4}$ है।
उत्केंद्रता $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$।

(A) रेखा का समीकरण $x+4y-4=0$ है,जो $lx+my+n=0$ के रूप में है,जहाँ $l=1, m=4, n=-4$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=4$ और $b^2=1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष रेखा $lx+my+n=0$ के ध्रुव $(x_1, y_1)$ का सूत्र है:
$x_1 = \frac{-a^2l}{n}$ और $y_1 = \frac{-b^2m}{n}$।
मान रखने पर:
$x_1 = \frac{-(4)(1)}{-4} = 1$
$y_1 = \frac{-(1)(4)}{-4} = 1$
अतः,ध्रुव $(1,1)$ है।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$
$8r$ से गुणा करने पर:
$8 = r + 3r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,हमारे पास है:
$r = 8 - 3x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 - 48x + 9x^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$
यह $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ के रूप का है जहाँ $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत हैं ($8$ और $-1$)।
अतः,यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$.
चूँकि $x \rightarrow 0$ पर यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(4^x-9^x)}{\frac{d}{dx}(x(4^x+9^x))}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x \ln 4 - 9^x \ln 9}{(4^x+9^x) + x(4^x \ln 4 + 9^x \ln 9)}$
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{\ln 4 - \ln 9}{1 + 1} = \frac{\ln(4/9)}{2}$
$L = \frac{1}{2} \ln \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = \ln \frac{2}{3}$.

(A) त्रिभुज $ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_1, r_2, r_3$ और अंतः त्रिज्या $r$ हैं।
$\angle A = 90^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $r_2+r_3 = r_1-r$ संबंध सत्य है।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करेंगे:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A) = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$\det(A) = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$\det(A) = 1(1) + 1(1)$
$\det(A) = 1 + 1 = 2$

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
चूंकि $x^2 + y^2 + z^2 \neq 0$,इसलिए निकाय का एक अशून्य हल है। अतः,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ca + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$