AP EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) आयनिक बंध विपरीत आवेशित आयनों के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण द्वारा बनता है,जबकि सहसंयोजक बंध परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रॉनों की साझेदारी से बनता है।
$K_2SO_4$ (पोटेशियम सल्फेट) में,यौगिक $K^+$ आयनों और $SO_4^{2-}$ बहुपरमाणुक आयनों से बना होता है,जो आयनिक बंध द्वारा जुड़े होते हैं।
सल्फेट आयन $(SO_4^{2-})$ के भीतर,सल्फर परमाणु चार ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ सहसंयोजक रूप से बंधा होता है।
इसलिए,$K_2SO_4$ में आयनिक बंध ($K^+$ और $SO_4^{2-}$ के बीच) और सहसंयोजक बंध ($SO_4^{2-}$ आयन के भीतर) दोनों मौजूद होते हैं।

(C) साम्यावस्था पर,अग्र अभिक्रिया की दर $=$ पश्च अभिक्रिया की दर।
अतः,साम्यावस्था पर पश्च अभिक्रिया की दर $0.02 \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ होगी।

(C) विद्युत ऋणात्मकता सामान्यतः आवर्त में बाएं से दाएं जाने पर बढ़ती है और समूह में ऊपर से नीचे जाने पर घटती है।
$N$ (नाइट्रोजन),$O$ (ऑक्सीजन) और $P$ (फास्फोरस) तत्वों की तुलना करने पर:
$1$. $N$ और $O$ दूसरे आवर्त में हैं,जबकि $P$ तीसरे आवर्त में है।
$2$. दूसरे आवर्त में,विद्युत ऋणात्मकता $N < O$ के अनुसार बढ़ती है।
$3$. $P$,$N$ के नीचे एक ही समूह ($15^{th}$ समूह) में है,इसलिए $N > P$ है।
$4$. इन्हें मिलाने पर,पॉलिंग स्केल पर विद्युत ऋणात्मकता के मान लगभग इस प्रकार हैं: $O (3.44) > N (3.04) > P (2.19)$।
अतः,सही क्रम $O > N > P$ है।

(C) डाउन्स प्रक्रिया में,पिघले हुए सोडियम क्लोराइड $(NaCl)$ का विद्युत अपघटन किया जाता है।
एनोड पर,क्लोराइड आयनों $(Cl^{-})$ का क्लोरीन गैस $(Cl_2)$ में ऑक्सीकरण होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$.

(A) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1-x+6x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x}$ है।
दोनों पक्षों को $x(1-x)(1+x)$ से गुणा करने पर:
$1-x+6x^2 = A(1-x^2) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$1 - 0 + 6(0)^2 = A(1 - 0^2) + B(0)(1+0) + C(0)(1-0)$.
$1 = A(1) + 0 + 0$.
अतः,$A = 1$।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,और $d = -1$ है।
अतः,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$ है।
हमें $(\Sigma \alpha \beta)^2$ का मान ज्ञात करना है।
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को संयोजित करने पर:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}$.
विएटा के सूत्रों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) माना $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$ है।
धनात्मक वास्तविक मूलों के लिए,हम $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$ में चिह्नों के परिवर्तन की जाँच करते हैं। चिह्न $(+, -, -, +)$ हैं। यहाँ $2$ बार चिह्न बदलते हैं।
ऋणात्मक वास्तविक मूलों के लिए,हम $f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ में चिह्नों के परिवर्तन की जाँच करते हैं। चिह्न $(-, -, +, +)$ हैं। यहाँ $1$ बार चिह्न बदलता है।
डेसकार्टेस के चिह्नों के नियम के अनुसार,धनात्मक वास्तविक मूलों की अधिकतम संख्या $2$ है और ऋणात्मक वास्तविक मूलों की अधिकतम संख्या $1$ है।
अतः,वास्तविक मूलों की अधिकतम संभावित संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ है।
दूसरे पद ($x^{n-1}$ वाला पद) को हटाने के लिए,हमें मूलों को $h$ से कम करना होगा,जहाँ $h = -\frac{a_1}{n a_0}$ है।
यहाँ,$n=4$,$a_0=1$,और $a_1=-8$ है।
अतः,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$।
इसलिए,मूलों को $2$ से कम करना चाहिए।

(D) दिया गया है $z = 3 + 5i$.
अतः,संयुग्मी $\bar{z} = 3 - 5i$ है।
अब,$z^3$ की गणना करते हैं:
$z^2 = (3 + 5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
अंत में,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198 + 3) + (10i - 5i) = 3 + 5i$.

(A) दिया गया है $x_n = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
गुणनफल $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
घातांक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ $a = \frac{1}{4}$ और $r = \frac{1}{4}$ है।
इसका योग $S = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$P = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(A) हमारे पास है,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|x+i(y+\frac{1}{2})\right|^2 = \left|x+i(y-\frac{1}{2})\right|^2$.
गुणधर्म $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ का उपयोग करने पर:
$x^2+(y+\frac{1}{2})^2 = x^2+(y-\frac{1}{2})^2$.
$x^2+y^2+y+\frac{1}{4} = x^2+y^2-y+\frac{1}{4}$.
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y=0$.
अतः,$z$ का बिंदुपथ $x$-अक्ष है।

(B) सर्वसमिका $C(n, r) + C(n, r-1) = C(n+1, r)$ का उपयोग करने पर,हमें $C(n, 5) + C(n, 6) = C(n+1, 6)$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका $C(n+1, 6) > C(n+1, 5)$ है।
क्रमचय-संचय का विस्तार करने पर: $\frac{(n+1)!}{6!(n+1-6)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n+1-5)!}$।
सरल करने पर: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$।
$\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$।
$\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$।
$n-4 > 6$।
$n > 10$।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $11$ है।

(B) माना $\triangle ABC$ में $a, b, c$ भुजाएँ हैं और $p_1, p_2, p_3$ संगत शीर्षलंब हैं।
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
इससे $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p_1, p_2, p_3$ $AP$ में हैं,इसलिए $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ $AP$ में हैं।
$2\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं।
परिभाषा के अनुसार,यदि पदों के व्युत्क्रम $AP$ में हैं,तो वे पद $HP$ में होते हैं।
अतः,$a, b, c$ $HP$ में हैं।

(A) माना $T_n$ $n$ वें समुच्चय का प्रथम पद है। प्रथम पद $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ हैं।
यह एक अनुक्रम है जिसमें अंतर $1, 2, 3, 4, \ldots$ है।
$n$ वां पद $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$50$ वें समुच्चय के लिए,$n=50$,अतः $T_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$ है।
$50$ वें समुच्चय में $1226$ से शुरू होने वाले $50$ क्रमागत पूर्णांक हैं।
इन $50$ पदों का योग $S = \frac{50}{2} [2(1226) + (50-1)(1)] = 25 [2452 + 49] = 25 \times 2501 = 62525$ है।

(A) फ्लोरोसिस शरीर में फ्लोराइड के अत्यधिक संचय के कारण होता है। यह अतिरिक्त फ्लोराइड हड्डियों और दांतों में मौजूद कैल्शियम $(Ca)$ के साथ अभिक्रिया करके कैल्शियम फ्लोराइड $(CaF_2)$ बनाता है,जिससे फ्लोरोसिस नामक रोग होता है।
अभिक्रिया है: $Ca + F_2 \rightarrow CaF_2$ (फ्लोरोसिस रोग)।

(D) $(1+x)^n$ के विस्तार में,सामान्य पद यानी $(r+1)$-वां पद $T_{r+1} = { }^n C_r x^r$ है।
$p$-वें पद का गुणांक ${ }^n C_{p-1}$ है। दिया गया है कि यह गुणांक $p$ है,इसलिए $p = { }^n C_{p-1}$ है।
$(p+1)$-वें पद का गुणांक ${ }^n C_p$ है। दिया गया है कि यह गुणांक $q$ है,इसलिए $q = { }^n C_p$ है।
अब,अनुपात $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{q}{p} = \frac{n-p+1}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः $q = n-p+1$,जिसे सरल करने पर $p+q = n+1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि,$x = \tan \theta + \sin \theta$ और $y = \tan \theta - \sin \theta$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ और $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
अब,$x^2 - y^2$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
अतः,$(x^2 - y^2)^2 = (4 \tan \theta \sin \theta)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta = 16xy$.

(A) दिया गया है कि $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$. चूँकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$.
दिया गया है कि $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$. अतः,$\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$.
अब,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)]$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ और $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$ है।
तब $A+B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$ होगा।
और $A-B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left( \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} \right) = x$ होगा।
अतः,$f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$ है।
$\sin(x)$ का आवर्तकाल $2\pi$ होता है।
इसलिए,$f(x)$ का आवर्तकाल $2\pi$ है।

(C) माना बिंदु $D(4, 2)$ और $C(-2, 6)$ हैं। रेखा $L$,रेखाखंड $CD$ का लंब समद्विभाजक है।
रेखा $CD$ की ढाल $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ है।
चूंकि $L$,$CD$ के लंबवत है,इसलिए $L$ की ढाल $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ होगी।
$CD$ का मध्य-बिंदु $O$,$\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ है।
बिंदु $(1, 4)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है,जहाँ $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,और $B = \cos \theta + \sin \theta$ है।
रेखाओं के बीच के न्यूनकोण $\alpha$ का सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ है।
मान रखने पर:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$.
$A + B = 2 \cos \theta$.
अतः,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
इसलिए,$\alpha = \theta$।

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोणों के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ है।
यदि निर्देशांक अक्ष समद्विभाजक हैं,तो उनका समीकरण $xy = 0$ है।
इसकी तुलना करने पर,हमें $a + b = 0$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेपण वेग $v = \frac{3}{4} v_e$ है,जहाँ $v_e = \sqrt{2gR}$ पलायन वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m (\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) \implies 16R = 7R + 7h$
$9R = 7h \implies h = \frac{9R}{7}$

(B) क्षेत्रीय वेग $A$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$M A = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$M A = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
इसलिए,$M A = \frac{1}{2} L$.
$L$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = 2 M A$.

(D) एथेन के निर्माण के लिए वुर्ट्ज़ अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2CH_3I + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} C_2H_6 + 2NaI$
अभिक्रिया के स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$1 \text{ मोल}$ एथेन $(C_2H_6)$ बनाने के लिए $2 \text{ मोल}$ मिथाइल आयोडाइड $(CH_3I)$ की आवश्यकता होती है।
$CH_3I$ का मोलर द्रव्यमान $= 12 + (3 \times 1) + 127 = 142 \text{ g/mol}$।
अतः,$2 \text{ मोल}$ $CH_3I$ का द्रव्यमान $= 2 \times 142 \text{ g} = 284 \text{ g}$।

(A) दी गई अभिक्रिया अनुक्रम $A$ $\xrightarrow{HBr} C_2H_5Br$ $\xrightarrow{B} A$ है।
चरण $1$: $A$,$HBr$ के साथ अभिक्रिया करके $C_2H_5Br$ (एथिल ब्रोमाइड) बनाता है। यह इंगित करता है कि $A$ एथीन $(C_2H_4)$ है।
अभिक्रिया: $CH_2=CH_2 HBr \rightarrow CH_3-CH_2Br$.
चरण $2$: $C_2H_5Br$,अभिकर्मक $B$ के साथ अभिक्रिया करके $A$ $(C_2H_4)$ को पुनर्जीवित करता है।
यह एक डीहाइड्रोहैलोजनीकरण अभिक्रिया है,जिसके लिए $KOH$ का अल्कोहलिक विलयन और ऊष्मा $(\Delta)$ की आवश्यकता होती है।
अभिक्रिया: $CH_3-CH_2Br \text{alc. } KOH \xrightarrow{\Delta} CH_2=CH_2 KBr H_2O$.
अतः,$A$ का मान $C_2H_4$ है और $B$ का मान अल्कोहलिक $KOH / \Delta$ है।

(A) $1, 2$-डाइब्रोमोएथेन $(BrCH_2-CH_2Br)$ का एथिलीन $(H_2C=CH_2)$ में रूपांतरण एक विहैलोजनीकरण (dehalogenation) अभिक्रिया है।
इस अभिक्रिया में अल्कोहल की उपस्थिति में गर्म $(\Delta)$ करके जिंक डस्ट का उपयोग करके आसन्न कार्बन परमाणुओं से दो ब्रोमीन परमाणुओं को हटाया जाता है।
रासायनिक समीकरण है: $BrCH_2-CH_2Br + Zn \xrightarrow{\text{alcohol}, \Delta} H_2C=CH_2 + ZnBr_2$.
अतः,सही अभिक्रिया शर्तें $Zn$,अल्कोहल,$\Delta$ हैं।

(D) जब भारी जल $(D_2O)$ मैग्नीशियम नाइट्राइड $(Mg_3N_2)$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो ड्यूटेरियम परमाणु उत्पादों में हाइड्रोजन परमाणुओं को प्रतिस्थापित कर देते हैं।
इस अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$Mg_3N_2 + 6D_2O \longrightarrow 3Mg(OD)_2 + 2ND_3$
अतः,बनने वाले उत्पाद मैग्नीशियम ड्यूटेरॉक्साइड $(Mg(OD)_2)$ और ड्यूटेरोअमोनिया $(ND_3)$ हैं।

(A) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसका सारणिक $|A| \neq 0$ है,जिसका अर्थ है कि प्रतिलोम आव्यूह $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
समीकरण $AB = O$ दिया गया है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
अतः,$B$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) दिया गया है $f(x) = 3x - 4$। मान लीजिए $f(x) = y$,तो $y = 3x - 4$। $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{y + 4}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$।
दिया गया है $g(x) = 2 + 3x$। मान लीजिए $g(x) = z$,तो $z = 2 + 3x$। $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{z - 2}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$।
सबसे पहले,$f^{-1}(5)$ की गणना करें:
$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$।
अब,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3)$ की गणना करें:
$g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$।
अतः,सही मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ और $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ होता है।
अंश और हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x (\sin^2 x)}{\sin^2 x + \cos^2 x (\cos^2 x)}$
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 x)}$
$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \cos^2 x \sin^2 x} = 1$.
अतः,$f(2002) = 1$।

(A) प्रश्न की शर्तों के अनुसार:
$2Fe_2S_3 + 9O_2 \rightarrow 2Fe_2O_3 + 6SO_2$ $(A)$
$SO_2 + H_2O \rightarrow H_2SO_3$
प्राप्त अम्ल सल्फ्यूरस अम्ल $(H_2SO_3)$ है।
चूंकि $H_2SO_3$ में दो प्रतिस्थापनीय हाइड्रोजन परमाणु होते हैं,इसलिए इसकी क्षारकता $2$ है।

(A) $1$. विकल्प $A$: ब्रोंस्टेड-लोरी सिद्धांत अम्लों को प्रोटॉन दाता के रूप में परिभाषित करता है। $BCl_3$ एक लुईस अम्ल है क्योंकि यह इलेक्ट्रॉन युग्म स्वीकार करता है,लेकिन इसमें दान करने के लिए कोई प्रोटॉन नहीं होता है। अतः,यह सिद्धांत इसकी अम्लता की व्याख्या नहीं कर सकता। यह कथन सही है।
$2$. विकल्प $B$: $0.01 \ M \ NaOH$ के लिए,$[OH^-] = 10^{-2} \ M$ है। अतः,$pOH = -\log(10^{-2}) = 2$। इसलिए,$pH = 14 - 2 = 12$। यह कथन गलत है।
$3$. विकल्प $C$: $25^{\circ}C$ पर जल का आयनिक गुणनफल $(K_w)$ $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ होता है,$10^{-10}$ नहीं। यह कथन गलत है।
$4$. विकल्प $D$: सही समीकरण $pH = -\log [H^+]$ है। यह कथन गलत है।

(A) चरण $1$: मिश्रण में $HCl$ के कुल मोल की गणना करें।
$n_1 = M_1 \times V_1 = 0.2 \ M \times 75 \ mL = 15 \ mmol$
$n_2 = M_2 \times V_2 = 1 \ M \times 25 \ mL = 25 \ mmol$
$HCl$ के कुल मोल = $n_1 + n_2 = 15 + 25 = 40 \ mmol$.
चरण $2$: अंतिम विलयन के कुल आयतन की गणना करें।
$V_{total} = V_1 + V_2 + V_{water} = 75 \ mL + 25 \ mL + 300 \ mL = 400 \ mL$.
चरण $3$: $HCl$ की अंतिम मोलरता $(M_{final})$ की गणना करें।
$M_{final} = \frac{\text{कुल मोल}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{40 \ mmol}{400 \ mL} = 0.1 \ M$.
चरण $4$: विलयन के $pH$ की गणना करें।
चूंकि $HCl$ एक प्रबल अम्ल है,$[H^+] = [HCl] = 0.1 \ M = 10^{-1} \ M$.
$pH = -\log_{10}[H^+] = -\log_{10}(10^{-1}) = 1$.

(B) दिए गए वक्र $x=y^2$ $(i)$ और $xy=a^3$ (ii) हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
वक्र (ii) के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x=y^2$ को $xy=a^3$ में रखने पर: $y^2(y) = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
अतः $x = a^2$। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(a^2, a)$ है।
$(a^2, a)$ पर ढाल $m_1 = \frac{1}{2a}$ और $m_2 = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$ है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$।
अतः,$(\frac{1}{2a})(-\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow -\frac{1}{2a^2} = -1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) माना $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - (2x)(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x \neq -2$ के लिए,यह व्यंजक तब धनात्मक होता है जब $1+x > 0$ और $x \neq 0$ हो।
अतः,$x > -1$ और $x \neq 0$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
चरम मान के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} \neq 0$ होता है,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,चरम मान की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $x = 1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(A) माना $I = \int \frac{3^x dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.
$3^x = z$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $3^x \log 3 dx = dz$ प्राप्त होता है,जिससे $3^x dx = \frac{dz}{\log 3}$ मिलता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} = \log |u + \sqrt{u^2-a^2}| + c$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$ प्राप्त होता है।
अंत में,$z = 3^x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{d x}{7+5 \cos x}$ है।
सर्वसमिकाओं $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{d x}{7(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) + 5(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$
$I = \int \frac{d x}{12 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin^2 \frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos^2 \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{12 + 2 \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{6 + \tan^2 \frac{x}{2}}$
माना $\tan \frac{x}{2} = z$,तब $\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dz$ होगा।
$I = \int \frac{dz}{6 + z^2} = \int \frac{dz}{(\sqrt{6})^2 + z^2}$
सूत्र $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{u}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{z}{\sqrt{6}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{6}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(C) हमारे पास है,$I = \int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} - \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}$
$I = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{1+\tan^2(x/2) - 1 + \tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{2\tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{\tan(x/2)(\tan(x/2)-1)}$.
माना $z = \tan(x/2)$,तब $dz = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,अर्थात $\sec^2(x/2) dx = 2 dz$.
$I = \int \frac{2 dz}{2z(z-1)} = \int \frac{dz}{z(z-1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}$.
$I = \int (\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}) dz = \log|z-1| - \log|z| + C = \log|\frac{z-1}{z}| + C$.
$z = \tan(x/2)$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log|\frac{\tan(x/2)-1}{\tan(x/2)}| + C = \log|1 - \cot(x/2)| + C$.

(B) गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(x)$ एक सम फलन है:
चूंकि $\sin^4(-x)\cos^6(-x) = \sin^4 x \cos^6 x$,फलन सम है।
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)...][(n-1)(n-3)...]}{(m+n)(m+n-2)...} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m$ और $n$ दोनों सम हैं)।
यहाँ $m=4, n=6$ है:
$I = 2 \times \left[ \frac{(3 \cdot 1) \times (5 \cdot 3 \cdot 1)}{(10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \times \frac{\pi}{2} \right]$
$I = 2 \times \left[ \frac{3 \times 15}{3840} \times \frac{\pi}{2} \right] = \frac{45 \pi}{3840} = \frac{3 \pi}{256}$.

(B) हमारे पास है,
$\int_2^3 \frac{dx}{x^2-x} = \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} dx$
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$।
$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int_2^3 \left[ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right] dx$
$= [\log|x-1| - \log|x|]_2^3$
$= [\log|\frac{x-1}{x}|]_2^3$
$= \log(\frac{3-1}{3}) - \log(\frac{2-1}{2})$
$= \log(\frac{2}{3}) - \log(\frac{1}{2})$
$= \log(\frac{2/3}{1/2}) = \log(\frac{4}{3})$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$ है।
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^{1/3} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $y^{-1/3} dy = x^{-1/3} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$।
घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C_1$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर:
$y^{2/3} = x^{2/3} + \frac{2}{3}C_1$ प्राप्त होता है।
माना $c = \frac{2}{3}C_1$,तो $y^{2/3} - x^{2/3} = c$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास है,$\frac{dy}{dx} - y = x^2$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x^2$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}$ होता है।
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$।
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यापक हल $y \times (IF) = \int (Q \times IF) dx + c$ है।
मान रखने पर,$y \times e^{x/3} = \int (1 \times e^{x/3}) dx + c$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का समाकलन करने पर,$y \times e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $e^{x/3}$ से विभाजित करने पर,$y = 3 + ce^{-x/3}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
सबसे पहले,हम भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं:
$|\vec{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\vec{CA}|^2 = (-1)^2 + (3)^2 + (5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
चूंकि $|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ $(41 = 6 + 35)$,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करता है।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$
$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$
$C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$
सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ की गणना करने पर:
$\vec{AB} = B - A = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{BC} = C - B = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,इसलिए किसी अदिश $t$ के लिए $\vec{AB} = t\vec{BC}$ होगा:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t((y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k})$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \ 4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$
$2) \ 4 - x = -6t \Rightarrow 4 - x = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$
$3) \ 2 = t(y-3) \Rightarrow 2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$
अतः,$(x, y) = (2, -3)$.

(B) हमें अदिश त्रिक गुणनफल $(a+b) \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करें: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),और $c \times b = -(b \times c)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
अब,$(a+b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,$a \cdot (b \times a) = 0$,$a \cdot (c \times a) = 0$,और $b \cdot (b \times a) = 0$.
इससे हमारे पास $b \cdot (c \times a) = [b c a]$ बचता है।
चूंकि $[b c a] = [a b c]$,इसलिए अंतिम उत्तर $[a b c]$ है।

(A) माना कि $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ से,हमें प्राप्त होता है $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{j} = 0$ है। अतः,$y = 0$ है।
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ से,हमें प्राप्त होता है $a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + a \cdot \hat{k}$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot \hat{k} = 0$ है। अतः,$z = 0$ है।
इस प्रकार,$a = x\hat{i}$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,$a = \hat{i}$ शर्तों को संतुष्ट करता है।