1+frac{1+2}{2 !}+frac{1+2+2^2}{3 !}+ldots का | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !} = \fr

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$e^2-e$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !} = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ प्राप्त होता है।श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ है।हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$.अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$.इस प्रकार,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

$1+\frac{1+2}{2 !}+\frac{1+2+2^2}{3 !}+\ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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