AIPMT 1999 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है।
दिया गया सदिश $\vec{A} = 0.5\hat i + 0.8\hat j + c\hat k$ है।
इसका परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
अतः,$c = \sqrt{0.11}$।

(D) रैखिक वेग $\vec v$,कोणीय वेग $\vec \omega$ और स्थिति सदिश $\vec r$ के बीच का संबंध क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है: $\vec v = \vec \omega \times \vec r$।
इसकी गणना करने के लिए,हम सारणिक (determinant) रूप का उपयोग करते हैं:
$\vec v = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec v = \hat i((-4)(6) - (1)(-6)) - \hat j((3)(6) - (1)(5)) + \hat k((3)(-6) - (-4)(5))$
$\vec v = \hat i(-24 + 6) - \hat j(18 - 5) + \hat k(-18 + 20)$
$\vec v = -18\hat i - 13\hat j + 2\hat k$.

(C) मान लीजिए $v_m$ आदमी का वेग है और $v_r$ नदी के प्रवाह का वेग है।
आदमी बिल्कुल विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए नदी के प्रवाह की दिशा के साथ $120^\circ$ के कोण पर तैरता है।
इसका मतलब है कि नदी के प्रवाह की दिशा में आदमी के वेग का घटक नदी के वेग को रद्द कर देना चाहिए।
आदमी के वेग सदिश और किनारे के लंबवत रेखा के बीच का कोण $120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ है।
अतः,आदमी के वेग का क्षैतिज घटक $v_m \sin(30^\circ)$ है।
आदमी के विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए,यह क्षैतिज घटक नदी के वेग के बराबर होना चाहिए:
$v_r = v_m \sin(30^\circ)$
दिया गया है कि $v_m = 0.5\, m/s$ और $\sin(30^\circ) = 0.5$,
$v_r = 0.5 \times 0.5 = 0.25\, m/s$।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की कोणीय गति $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ एक पूर्ण चक्कर का समय अंतराल है।
चूंकि दोनों कारें समान समय $T$ में अपना चक्कर पूरा करती हैं,इसलिए उनके आवर्तकाल समान हैं।
अतः,उनकी कोणीय गति का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / T}{2\pi / T} = 1:1$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 500 \, kg$
त्रिज्या $r = 50 \, m$
वेग $v = 36 \, km/hr$
सबसे पहले,वेग को $SI$ इकाइयों $(m/s)$ में बदलें:
$v = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50}$
$F = \frac{500 \times 100}{50}$
$F = 10 \times 100 = 1000 \, N$.
अतः,अभिकेंद्र बल $1000 \, N$ है।

(A) रॉकेट पर कार्य करने वाला थ्रस्ट बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = u \left( \frac{dm}{dt} \right)$
जहाँ $u$ निकास वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन के दहन की दर है।
दिया गया है:
$F = 210 \, N$
$u = 300 \, m/s$
$\frac{dm}{dt}$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{F}{u}$
मान रखने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{210}{300} = 0.7 \, kg/s$
अतः,ईंधन के दहन की दर $0.7 \, kg/s$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ रैखिक संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ को इस संबंध द्वारा दर्शाया जाता है: $E = \frac{p^2}{2m}$.
चूंकि दोनों पिंडों के लिए रैखिक संवेग $p$ समान है,इसलिए $E \propto \frac{1}{m}$,जिसका अर्थ है $m \propto \frac{1}{E}$.
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,उनके द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4}$ होगा।
इस प्रकार,उनके द्रव्यमान का अनुपात $1:4$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग $v_e$ वह न्यूनतम वेग है जो वस्तु को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक होता है।
इसे वस्तु की गतिज ऊर्जा को पृथ्वी की सतह पर उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर रखकर प्राप्त किया जाता है: $\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GM_em}{R_e}$.
$v_e$ के लिए हल करने पर,हमें $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि वस्तु का द्रव्यमान $m$ समीकरण से कट जाता है,जिसका अर्थ है कि पलायन वेग वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

(C) एक गैर-रेखीय त्रि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के अनुदिश)।
$2$. घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के परितः)।
अतः,कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 3 = 6$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
सूत्र $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = 300 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
$T_2 = 300 \times \left( \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} \right)^2 = 300 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2$.
$T_2 = 300 \times \frac{9}{4} = 75 \times 9 = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \ K$ है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
माना प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 2 \, sec$ है।
माना नई लंबाई $l_2 = 4l$ है और नया आवर्तकाल $T_2$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{T_2} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$T_2 = 2 \times 2 = 4 \, sec$।

(A) तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वेग है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 50 \; cm = 0.50 \; m$ और $\lambda_2 = 51 \; cm = 0.51 \; m$ हैं।
आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{0.50}$ और $n_2 = \frac{v}{0.51}$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\Delta n = n_1 - n_2 = 12 \; Hz$.
मान रखने पर: $v \left( \frac{1}{0.50} - \frac{1}{0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.51 - 0.50}{0.50 \times 0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 12$.
$v = \frac{12 \times 0.255}{0.01} = 12 \times 25.5 = 306 \; m/s$.

(C) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर पीतल और स्टील की छड़ों की लंबाई क्रमशः $L_1$ और $L_2$ है।
तापमान में $\Delta T$ के परिवर्तन के बाद,नई लंबाईयाँ इस प्रकार हैं:
$L_1' = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$L_2' = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
यह दिया गया है कि अंतर $(L_2' - L_1')$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है और $(l_2 - l_1)$ के बराबर है:
$L_2' - L_1' = l_2 - l_1$
$l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T) = l_2 - l_1$
$l_2 + l_2 \alpha_2 \Delta T - l_1 - l_1 \alpha_1 \Delta T = l_2 - l_1$
$(l_2 - l_1) + \Delta T(l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) = l_2 - l_1$
किसी भी $\Delta T$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$\Delta T$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$
$\alpha_1 l_1 = \alpha_2 l_2$

(D) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
चूंकि तीनों गेंदें समान हैं और उनके केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए निकाय सममित है।
कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र व्यक्तिगत द्रव्यमान केंद्रों की स्थितियों का भारित औसत होता है।
एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन समान द्रव्यमानों के लिए,द्रव्यमान केंद्र त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) पर स्थित होता है।
समबाहु त्रिभुज का केंद्रक उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

(A) डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समांतर और रिम से गुजरने वाली अक्ष (तल में स्पर्शरेखा) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,व्यास और स्पर्शरेखा के बीच की दूरी $d = R$ है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ प्राप्त होता है।

(A) $0^{\circ}C$ पर $1\; g$ बर्फ को $100^{\circ}C$ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा की गणना करते हैं:
बर्फ को पिघलाने के लिए ऊष्मा: $Q_1 = m L_f = 1\; g \times 80\; cal/g = 80\; cal$.
पानी का तापमान $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा: $Q_2 = m c \Delta T = 1\; g \times 1\; cal/g^{\circ}C \times 100^{\circ}C = 100\; cal$.
बर्फ द्वारा आवश्यक कुल ऊष्मा: $Q_{total} = 80 + 100 = 180\; cal$.
अब,$100^{\circ}C$ पर $1\; g$ भाप द्वारा $100^{\circ}C$ पर पानी में संघनित होते समय मुक्त ऊष्मा की गणना करते हैं:
मुक्त ऊष्मा: $Q_{steam} = m L_v = 1\; g \times 540\; cal/g = 540\; cal$.
चूंकि भाप द्वारा मुक्त ऊष्मा $(540\; cal)$,बर्फ द्वारा आवश्यक ऊष्मा $(180\; cal)$ से अधिक है,इसलिए अंतिम मिश्रण $100^{\circ}C$ तापमान पर होगा।

(A) लुढ़कने की गति को द्रव्यमान केंद्र $C$ के $V_C = R\omega$ वेग के साथ शुद्ध स्थानांतरण और केंद्र $C$ के परितः $\omega$ कोणीय वेग के साथ शुद्ध घूर्णन के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
केंद्र $C$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,घूर्णन के कारण वेग $v_{rot} = r\omega$ होता है।
किसी भी बिंदु का वेग,स्थानांतरण वेग $\vec{V}_C$ और घूर्णन वेग $\vec{v}_{rot}$ का सदिश योग होता है।
क्षैतिज व्यास पर स्थित बिंदुओं $P$ और $Q$ के लिए:
$1$. बिंदु $Q$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की दिशा में ही होता है। अतः,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$।
$2$. बिंदु $P$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की विपरीत दिशा में होता है। अतः,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$।
चूंकि $R > r$,इसलिए $V_Q > V_C > V_P$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र $B$ और क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\phi = B \cdot A$.
लोरेंत्ज़ बल के सूत्र $F = B I L$ से,हम लिख सकते हैं $B = \frac{F}{I L}$.
बल $[F] = [M L T^{-2}]$,धारा $[I] = [A]$,और लंबाई $[L] = [L]$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B$ की विमाएँ $[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ प्राप्त होती हैं।
अब,चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ की विमाएँ $[B] \times [A] = [M T^{-2} A^{-1}] \times [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ होंगी।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच हवा में बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्यम को $k$ स्थिरांक वाले परावैद्युत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,तो माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon = k \varepsilon_0$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{1}{4\pi \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi k \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$।
अतः,$F' = \frac{F}{k} = k^{-1} F$।
चूंकि किसी भी परावैद्युत माध्यम के लिए $k > 1$ होता है,इसलिए बल घट जाता है और मूल बल का $k^{-1}$ गुना हो जाता है।

(C) किसी आवेशित कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा का सूत्र $\Delta KE = qV$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,उसका आवेश $q = e$ होता है।
यहाँ दिया गया विभवांतर $V = 1\,V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$\Delta KE = e \times 1\,V = 1\,eV$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $1\,eV$ होगी।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दो इलेक्ट्रॉनों के लिए,$q_1 = -e$ और $q_2 = -e$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को दूसरे इलेक्ट्रॉन की ओर ले जाया जाता है,तो उनके बीच की दूरी $r$ कम हो जाती है।
चूंकि $U \propto \frac{1}{r}$,इसलिए जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।

(D) परावैद्युत माध्यम से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{medium} = \frac{K \epsilon_0 A}{d} = KC_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_0$ प्लेटों के बीच हवा/निर्वात होने पर धारिता है।
दिया गया है कि $C_{medium} = C$ और $K = 2$,इसलिए $C = 2C_0$ होगा।
अतः,हवा के साथ धारिता (जब तेल हटा दिया जाता है) $C_0 = \frac{C}{2}$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए परिपथ का विश्लेषण नोड्स की पहचान करके किया जा सकता है। सभी संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4$ का मान $6\,\mu F$ है।
परिपथ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि यह बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के बीच एक व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना बनाता है।
विशेष रूप से,धारिताओं का अनुपात $\frac{C_1}{C_3} = \frac{6}{6} = 1$ और $\frac{C_2}{C_4} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय संधारित्र $C_5$ के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसमें से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः,$C_5$ को परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और दूसरी में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की समतुल्य धारिता $(C_{upper})$ = $\frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$ है।
निचली शाखा की समतुल्य धारिता $(C_{lower})$ = $\frac{C_3 \times C_4}{C_3 + C_4} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_{upper} + C_{lower} = 3 + 3 = 6\,\mu F$ होगी।

(B) डिस्चार्ज ट्यूब ओम के नियम का पालन नहीं करती है,जो यह बताता है कि स्थिर प्रतिरोध के लिए विद्युत धारा विभवांतर के सीधे आनुपातिक होती है। डिस्चार्ज ट्यूब में,ट्यूब के अंदर भरी गैस के कणों के द्वितीयक आयनीकरण की प्रक्रिया के कारण विद्युत धारा और वोल्टेज $(I-V)$ के बीच का संबंध रैखिक नहीं होता है। जैसे-जैसे विभवांतर बढ़ता है,आवेश वाहकों की संख्या में काफी वृद्धि होती है,जिससे प्रतिरोध बदल जाता है। इसलिए,इसे नॉन-ओमिक उपकरण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(D) परिपथ आरेख से,प्रतिरोध $R_B = 6 \, \Omega$ और $R_C = 6 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{BC} = 6 \, \Omega + 6 \, \Omega = 12 \, \Omega$ है।
यह संयोजन $R_{BC}$,प्रतिरोध $R_A = 3 \, \Omega$ के साथ समांतर क्रम में है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 1}{12} = \frac{5}{12} \, \Omega^{-1}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \Omega$।
परिपथ में कुल विद्युत धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4.8 \, V}{2.4 \, \Omega} = 2 \, A$ है।

(C) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ $2\, V$ है।
सेल का आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ $0.1\,\Omega$ है।
जुड़ा हुआ बाहरी प्रतिरोध $(R)$ $3.9\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 3.9\,\Omega + 0.1\,\Omega = 4.0\,\Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में बहने वाली धारा $(I)$: $I = \frac{E}{R + r} = \frac{2\, V}{4.0\,\Omega} = 0.5\, A$ है।
सेल के टर्मिनल पर वोल्टेज $(V)$ $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 0.5\, A \times 3.9\,\Omega = 1.95\, V$।

(A) विभवमापी के तार की पूरी लंबाई पर विभवांतर जुड़े हुए सेल के $e.m.f.$ के बराबर होता है,जो कि $2\, V$ है।
विभव प्रवणता (प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर) को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
विभव प्रवणता $= \frac{V}{L}$
जहाँ $V = 2\, V$ और $L = 4\, m$ है।
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर $= \frac{2\, V}{4\, m} = 0.5\, V/m$ होगा।

(D) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{X}{R} = \frac{l}{100 - l}$ है,जहाँ $X$ अज्ञात प्रतिरोध है,$R$ ज्ञात प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
दिया गया है: $R = 1 \, \Omega$ और $l = 20 \, cm$।
तार की कुल लंबाई $100 \, cm$ है,इसलिए शेष लंबाई $100 - 20 = 80 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{X}{1} = \frac{20}{80}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{X}{1} = \frac{1}{4}$।
अतः,$X = 0.25 \, \Omega$।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ होता है।
एक लंबी खोखली पाइप के लिए,विद्युत धारा $I$ केवल पाइप की सतह से प्रवाहित होती है।
पाइप के अंदर,कोई भी एम्पीरियन लूप शून्य धारा को घेरेगा $(I_{enclosed} = 0)$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B = 0$ होगा।
पाइप के बाहर,अक्ष से $r$ दूरी पर,एम्पीरियन लूप कुल धारा $I$ को घेरता है,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र केवल पाइप के बाहर ही उत्पन्न होता है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 Ni}{2r}$।
दी गई मान हैं:
फेरों की संख्या $N = 1000$
धारा $i = 0.1\, A$
त्रिज्या $r = 0.1\, m$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$।
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 0.1}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{0.2}$
$B = 2\pi \times 10^{-4}\, T$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$B = 2 \times 3.14 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-4}\, T$।

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ होता है।
यहाँ,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है,$i$ तार में बहने वाली धारा है,और $r$ तार से लंबवत दूरी है।
सूत्र के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल धारा $i$ और तार से दूरी $r$ पर निर्भर करता है।
यह तार की त्रिज्या या व्यास से स्वतंत्र है।
चूंकि धारा $i$ समान रहती है और दूरी $r$ को दूर स्थित बिंदु माना गया है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता अपरिवर्तित रहती है।

(C) $2l$ लंबाई वाले एक छड़ चुंबक को एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में क्षेत्र की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर रखा गया है।
चुंबक के प्रत्येक ध्रुव पर लगने वाला बल $F = mB$ है, जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
ये दो समान और विपरीत बल एक बल-युग्म बनाते हैं जो चुंबक पर टॉर्क $\tau$ लगाता है।
टॉर्क का सूत्र है: $\tau = \text{बल} \times \text{लंबवत दूरी } (d)$।
ज्यामिति से, बलों के बीच की लंबवत दूरी $d = 2l \sin \theta$ है।
इसलिए, $\tau = (mB) \times (2l \sin \theta) = (m \times 2l) B \sin \theta$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times 2l$ है, इसलिए हमें $\tau = MB \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में, इसे $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{B}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(B) प्रतिचुंबकीय पदार्थ वे पदार्थ होते हैं जो लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक कमजोर चुंबकत्व विकसित करते हैं। जब किसी प्रतिचुंबकीय पदार्थ को असमान चुंबकीय क्षेत्र में (जैसे कि छड़ चुंबक के ध्रुवों के पास) रखा जाता है,तो यह एक ऐसे बल का अनुभव करता है जो इसे क्षेत्र के मजबूत हिस्से से कमजोर हिस्से की ओर धकेलता है। चूंकि छड़ चुंबक के ध्रुवों पर चुंबकीय क्षेत्र सबसे मजबूत होता है,इसलिए प्रतिचुंबकीय पदार्थ उत्तरी और दक्षिणी दोनों ध्रुवों द्वारा प्रतिकर्षित होता है।

(C) कार्य फलन $\Phi_0$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{\Phi_0 \ (eV)} \ \mathring{A}$.
यहाँ $\Phi_0 = 4.125 \ eV$ दिया गया है,इसलिए:
$\lambda_0 = \frac{12375}{4.125} \ \mathring{A} = 3000 \ \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आपतित प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
चूंकि प्रत्येक फोटॉन एक प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है (यदि आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक हो),तो तीव्रता में वृद्धि से प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाती है।
इसलिए,प्रकाश-विद्युत धारा बढ़ जाती है।
उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करती है,न कि उसकी तीव्रता पर।

(B) $\alpha$ क्षय में हीलियम नाभिक $(_{2}^{4}He)$ का उत्सर्जन होता है,जिससे द्रव्यमान संख्या $(A)$ में $4$ की कमी आती है और परमाणु क्रमांक $(Z)$ में $2$ की कमी आती है।
$\beta$ क्षय में इलेक्ट्रॉन $(_{-1}^{0}e)$ का उत्सर्जन होता है,जिससे द्रव्यमान संख्या $(A)$ अपरिवर्तित रहती है और परमाणु क्रमांक $(Z)$ में $1$ की वृद्धि होती है।
यदि प्रारंभिक नाभिक $_{Z}^{A}X$ है:
$1$. एक $\alpha$ उत्सर्जन के बाद: $_{Z-2}^{A-4}Y$.
$2$. दो $\beta$ उत्सर्जन के बाद: $_{Z-2+2}^{A-4}X = _{Z}^{A-4}X$.
अतः,द्रव्यमान संख्या $4$ से कम हो जाती है और परमाणु क्रमांक अपरिवर्तित रहता है।

(C) $p-$प्रकार के अर्धचालक में,पदार्थ को त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे बोरॉन,एल्युमीनियम,आदि) के साथ डोप किया जाता है।
ये त्रिसंयोजी परमाणु अर्धचालक क्रिस्टल जालक के संयोजी बैंड में रिक्तियां बनाते हैं।
इन रिक्तियों को होल (विवर) के रूप में जाना जाता है।
चूंकि डोपिंग प्रक्रिया द्वारा निर्मित होल्स की संख्या तापीय रूप से उत्पन्न इलेक्ट्रॉनों की संख्या से काफी अधिक होती है,इसलिए $p-$प्रकार के अर्धचालक में होल्स बहुसंख्यक आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं।

(B) $PN$ जंक्शन डायोड केवल एक दिशा में विद्युत धारा को प्रवाहित होने देता है (जब यह फॉरवर्ड बायस में होता है) और विपरीत दिशा में इसे रोकता है (जब यह रिवर्स बायस में होता है)। इस एकदिशीय गुण के कारण,इसका मुख्य उपयोग अल्टरनेटिंग करंट $(AC)$ को डायरेक्ट करंट $(DC)$ में बदलने के लिए रेक्टिफायर के रूप में किया जाता है।

(D) एक अनबायस्ड $P-N$ जंक्शन डायोड के अवक्षय क्षेत्र (depletion region) में,गतिशील आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) जंक्शन के आर-पार विसरित (diffuse) होकर पुनर्संयोजित हो जाते हैं। यह $N$-क्षेत्र में अचल (स्थिर) आयनित दाता परमाणुओं और $P$-क्षेत्र में अचल (स्थिर) आयनित ग्राही परमाणुओं को पीछे छोड़ देता है। इसलिए,अवक्षय परत केवल स्थिर आयनों से बनी होती है।

(D) एक अर्धचालक में,होल को वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉन की अनुपस्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है। जब एक सहसंयोजक बंध से एक इलेक्ट्रॉन निकल जाता है,तो वह एक रिक्ति छोड़ देता है जो एक धनात्मक आवेश वाहक के रूप में कार्य करती है। इसलिए,होल अनिवार्य रूप से अर्धचालक सामग्री की क्रिस्टल जाली संरचना में लुप्त इलेक्ट्रॉन होते हैं। विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) $P-N$ जंक्शन डायोड में,जब अग्र अभिनति (forward bias) लागू की जाती है,तो बैटरी का धनात्मक सिरा $P$-क्षेत्र से और ऋणात्मक सिरा $N$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय परत (depletion layer) के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,बहुसंख्यक आवेश वाहक जंक्शन की ओर धकेले जाते हैं,जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है।
अतः,विभव प्राचीर की चौड़ाई घट जाती है।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ है और दूसरी वक्र ($R_2 = -R = -60 \ cm$,चिह्न परिपाटी के अनुसार) है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-60} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.6) \left( 0 + \frac{1}{60} \right) = \frac{0.6}{60} = \frac{1}{100}$.
अतः,$f = 100 \ cm$.

(C) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$
यहाँ $\mu = \sqrt{3}$ और $A = 60^\circ$ दिया गया है,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{\sin\left(\frac{60^\circ + \delta_m}{2}\right)}{\sin(30^\circ)}$
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin\left(30^\circ + \frac{\delta_m}{2}\right)$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(30^\circ + \frac{\delta_m}{2}\right)$
हम जानते हैं कि $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$60^\circ = 30^\circ + \frac{\delta_m}{2}$
$\frac{\delta_m}{2} = 30^\circ$
$\delta_m = 60^\circ$

(A) जब प्रकाश एक पतले साबुन के बुलबुले पर पड़ता है,तो यह साबुन की फिल्म की बाहरी और भीतरी दोनों सतहों से परावर्तित होता है।
ये परावर्तित प्रकाश तरंगें व्यतिकरण (interference) की घटना से गुजरती हैं।
फिल्म की मोटाई और आपतन कोण के आधार पर,प्रकाश की कुछ तरंग दैर्ध्य संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) का अनुभव करती हैं जबकि अन्य विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) का अनुभव करती हैं।
विभिन्न रंगों के इस चयनात्मक सुदृढ़ीकरण और विलोपन के परिणामस्वरूप साबुन के बुलबुले पर जीवंत रंग दिखाई देते हैं।

(B) प्रकाश की गति $(c)$,आवृत्ति $(\nu)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $c = \nu \lambda$.
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
यहाँ प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8\;m/s$ और आवृत्ति $\nu = 100\;Hz$ दी गई है,इसलिए मान रखने पर:
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{100} = 3 \times 10^6\;m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक अल्फा कण $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन से बना होता है,जो हीलियम परमाणु के नाभिक $(^4_2He)$ के समान होता है।
चूंकि अल्फा कण में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं होता है,इसलिए यह एक ऐसा हीलियम परमाणु है जिसने अपने दोनों इलेक्ट्रॉन खो दिए हैं।
अतः,एक अल्फा कण द्वि-आयनित हीलियम परमाणु $(He^{2+})$ होता है।

(C) जिस क्षण कुंजी $K$ को बंद किया जाता है $(t=0)$:
$(i)$ संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (शून्य प्रतिरोध प्रदान करता है) क्योंकि यह शुरू में अनावेशित होता है,जिससे $A_1$ वाली शाखा से अधिकतम धारा प्रवाहित होती है।
$(ii)$ प्रेरक धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है। चूंकि कुंजी बंद करने से पहले धारा शून्य थी,इसलिए प्रेरक $t=0$ पर एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है (अनंत प्रतिरोध प्रदान करता है),जिसके परिणामस्वरूप $A_2$ वाली शाखा में धारा शून्य होती है।
अतः,$A_1$ का पाठ्यांक अधिकतम है और $A_2$ का पाठ्यांक शून्य है।

(B) $n-$प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए,हमें आंतरिक अर्धचालक (सिलिकॉन) में पंच-संयोजी (pentavalent) अशुद्धि परमाणु को मिलाना होता है।
सिलिकॉन $(Si)$ समूह $14$ का तत्व है जिसके पास $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
पंच-संयोजी परमाणुओं के पास $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,फास्फोरस $(P)$ समूह $15$ का तत्व (पंच-संयोजी) है।
जब $P$ को $Si$ में मिलाया जाता है,तो इसके $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन $Si$ परमाणुओं के साथ सहसंयोजक बंध बनाते हैं,और $5$वां इलेक्ट्रॉन एक मुक्त आवेश वाहक बन जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $n-$प्रकार का अर्धचालक प्राप्त होता है।
बोरोन $(B)$ और एल्युमिनियम $(Al)$ समूह $13$ के तत्व (त्रि-संयोजी) हैं और ये $p-$प्रकार के अर्धचालक बनाते हैं।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। सर्किट में दो $NOT$ गेट, दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A'$ ($NOT$ गेट से) और $B$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $A' \cdot B = \bar{A}B$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $A$ और $B'$ ($NOT$ गेट से) इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $A \cdot B' = A\bar{B}$ है।
$3$. अंतिम $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़ता है: $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$।
$4$. बूलियन व्यंजक $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$ एक $XOR$ गेट (एक्सक्लूसिव $OR$ गेट) की मानक परिभाषा है।
अतः, यह संयोजन एक $XOR$ गेट उत्पन्न करता है।

(A) पृथ्वी के वायुमंडल में ओजोन परत मुख्य रूप से सूर्य से आने वाले पराबैंगनी $(UV)$ विकिरण को अवशोषित करने के लिए जिम्मेदार है।
विशेष रूप से,यह प्रभावी रूप से $3 \times 10^{-7} \,m$ (या $300 \,nm$) से कम तरंगदैर्ध्य वाले विकिरण को अवशोषित करती है,जो $UV$-$C$ और $UV$-$B$ स्पेक्ट्रम के कुछ हिस्सों के अनुरूप है।
इसलिए,$3 \times 10^{-7} \,m$ से कम तरंगदैर्ध्य वाले विकिरण को ओजोन परत द्वारा रोक दिया जाता है।