AIPMT 1992 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ છે.
સૂત્રને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ માટે ગોઠવતા,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે,અંતર $d$ માટે $[L]$ છે,અને દળ $m$ માટે $[M]$ છે.
આ કિંમતો $G$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_A = 30^{\circ}$ છે. તેથી,$R_A = \frac{v^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(60^{\circ})}{g}$.
પદાર્થ $B$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_B = 60^{\circ}$ છે. તેથી,$R_B = \frac{v^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(120^{\circ})}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,તેથી $R_A = R_B$ થાય.
આમ,$A$ અને $B$ ની સમક્ષિતિજ અવધિનો ગુણોત્તર $R_A : R_B = 1:1$ થશે.

(B) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
જ્યારે કાર અટકે છે,ત્યારે અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
અવરોધક બળ એ ગતિક ઘર્ષણ છે $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$ma = -f_k = -\mu_k mg$,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu_k g$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (20)^2 = 2(-\mu_k g)s$.
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g} = \frac{20^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{400}{10} = 40 \, m$.

(D) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 5$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા (અથવા પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થને કઈ દિશામાં અથવા કયા ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો પણ નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે,જે $11.2 \ km/s$ છે.

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો $T$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણ સમયગાળા જેટલો હોય છે,જે $T = 2\pi/\omega$ છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાનો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $GM = gR^2$.
કેપ્લરના નિયમના સમીકરણમાં $GM$ ની કિંમત મૂકતા: $(2\pi/\omega)^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $4\pi^2/\omega^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$.
બંને બાજુથી $4\pi^2$ ને દૂર કરતા: $1/\omega^2 = r^3 / (gR^2)$.
તેથી,$r^3 = gR^2/\omega^2$.

(C) પારાનું ઉત્કલનબિંદુ આશરે $357^oC$ છે.
પારાનું થર્મોમીટર તાપમાનમાં વધારા સાથે પ્રવાહી પારાના ઉષ્મીય પ્રસરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
તે સામાન્ય રીતે $-30^oC$ થી $357^oC$ ની રેન્જમાં તાપમાન માપવા માટે વપરાય છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી,પારાના થર્મોમીટરનો ઉપયોગ $360^oC$ સુધીનું તાપમાન માપવા માટે થઈ શકે છે (કારણ કે તે આપેલી સૌથી નજીકની વ્યવહારુ ઉપલી મર્યાદા છે).

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,
$Q = \Delta U + W$
જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આ નિયમ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું નિવેદન છે,જે દર્શાવે છે કે ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી,માત્ર તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.

(A) આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી:
પ્રક્રિયા $AB$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે (કદ અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{AB} = 0$.
પ્રક્રિયા $BC$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે (દબાણ $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ પર અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{BC} = P_B(V_C - V_B)$.
અહીં $V_C = V_D = 5 \times 10^{-3} \, m^3$ અને $V_B = V_A = 2 \times 10^{-3} \, m^3$ હોવાથી:
$W_{BC} = 8 \times 10^4 \times (5 - 2) \times 10^{-3} = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ (માર્ગ $A \rightarrow B \rightarrow C$) માં થતું કુલ કાર્ય $W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માં આપવામાં આવેલ કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{AC} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \, J$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + W_{AC}$.
કિંમતો મૂકતા: $800 = \Delta U_{AC} + 240$.
તેથી,$\Delta U_{AC} = 800 - 240 = 560 \, J$.

(C) $PV$ આકૃતિમાં,પ્રક્રિયા દરમિયાન થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સંપૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કુલ કાર્ય એ $PV$ આકૃતિના બંધ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સિસ્ટમ $A \rightarrow C \rightarrow B$ માર્ગે જાય છે અને પછી $B \rightarrow D \rightarrow A$ માર્ગે $A$ પર પાછી ફરે છે.
આ માર્ગો દ્વારા બનતો બંધ લૂપ $ACBDA$ છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન થયેલ કુલ કાર્ય $ACBDA$ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) અંતિમ સ્થાન ($t = 0$ સમયે $x = a$) થી શરૂ થતા સરળ આવર્ત દોલકનું સ્થાનાંતર $x = a \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $x = a/2$ હોય.
કિંમત મૂકતા: $a/2 = a \cos(\omega t)$.
આ સમીકરણ $\cos(\omega t) = 1/2$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\omega t = \pi/3$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi/T$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(2\pi/T) \cdot t = \pi/3$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = T/6$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલક માટે,પ્રવેગનું મૂલ્ય $a$ એ સંબંધ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $x = 0.02\, m$ અને $a = 2.0\, m\, s^{-2}$.
કોણીય આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\omega = \sqrt{\frac{a}{x}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{2.0}{0.02}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100}$.
તેથી,$\omega = 10\, rad\, s^{-1}$.

(D) તરંગને એક વિક્ષેપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,જે દ્રવ્યના ચોખ્ખા સ્થાનાંતર વગર એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જા અને વેગમાનનું વહન કરે છે.
લંબગત તરંગમાં,માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ દોલન કરે છે.
જ્યારે કણો પોતે તરંગ સાથે મુસાફરી કરતા નથી (દ્રવ્યનું કોઈ ચોખ્ખું સ્થાનાંતર થતું નથી),ત્યારે તરંગ માધ્યમ દ્વારા ઉર્જા અને રેખીય વેગમાનનું વહન કરે છે.
તેથી,સ્થાનાંતરિત થતી સાચી રાશિઓ ઉર્જા અને રેખીય વેગમાન છે.

(D) સાઇનસોઇડલ તરંગ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \cos(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.40 \cos(2000t + 0.80x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2000 = 2\pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi} \text{ Hz}$ મળે છે.

(D) જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરંતુ થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે સંભળાતા ધ્વનિની તીવ્રતામાં થતા સામયિક ફેરફારને બીટ્સ (beats) કહેવામાં આવે છે.
જો બે તરંગોની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ હોય,તો બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સ ઉત્પન્ન થવા માટેની શરત એ છે કે તરંગોની આવૃત્તિઓ અલગ-અલગ હોવી જોઈએ.

(C) ઘન પદાર્થોમાં બંધનની મજબૂતી તે બંધ તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. આયનીય બંધ એ આયનો વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ છે,જે ખૂબ જ મજબૂત હોય છે.
$2$. ધાત્વિક બંધમાં ધન આયનોની જાળી વચ્ચે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની વહેંચણી થાય છે,જે મજબૂત હોય છે.
$3$. સહસંયોજક બંધમાં પરમાણુઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની વહેંચણી થાય છે,જે ખૂબ જ મજબૂત હોય છે.
$4$. વાન ડર વાલ્સ બળો એ અસ્થાયી અથવા કાયમી દ્વિધ્રુવીય-દ્વિધ્રુવીય આંતરક્રિયાઓથી ઉદ્ભવતા નિર્બળ આંતરઆણ્વિય બળો છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાં વાન ડર વાલ્સ બંધન સૌથી નિર્બળ છે.

(B) સૌર મંડળમાં કુલ $8$ ગ્રહો આવેલા છે. બુધ એ સૂર્યની સૌથી નજીકનો ગ્રહ છે,ત્યારબાદ શુક્ર,પૃથ્વી,મંગળ,ગુરુ,શનિ,યુરેનસ અને નેપ્ચ્યુન આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઘન ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ગોળો લપસ્યા વિના ગબડતો હોવાથી,શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
ઊર્જાના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2$.
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{10}{7} gh$,તેથી $v = \sqrt{\frac{10}{7} gh}$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પદાર્થને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \; m/s^2$ છે.
કુલ ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેલ્લા બે સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ ઊંચાઈ અને $(t-2)$ સેકન્ડમાં કાપેલ ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$40 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2$.
$g = 10 \; m/s^2$ મૂકતા:
$40 = 5 t^2 - 5 (t^2 - 4t + 4)$.
$40 = 5 t^2 - 5 t^2 + 20 t - 20$.
$40 = 20 t - 20$.
$60 = 20 t \implies t = 3 \; s$.
હવે,ઊંચાઈ $h$ ની ગણતરી કરીએ:
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \; m$.

(B) વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખમાં,સમય $t$ ની કોઈપણ ક્ષણે,વેગ $v$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય હોવું જોઈએ.
જો આપણે આલેખ પર કોઈપણ સમયે $t$ પર એક શિરોલંબ રેખા દોરીએ,તો તે વક્રને માત્ર એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ.
વિકલ્પ $(B)$ માં,વક્ર એક વર્તુળ છે. કોઈપણ સમયે $t$ (વર્તુળની મર્યાદામાં) દોરેલી શિરોલંબ રેખા વર્તુળને બે બિંદુઓ પર છેદશે,જેનો અર્થ છે કે કણ પાસે એક જ સમયે બે અલગ-અલગ વેગ છે,જે એક પરિમાણમાં ગતિ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વર્તુળાકાર આલેખ એક પરિમાણમાં ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો નથી.

(B) કોઈપણ સદિશ $\vec{A}$ નો શૂન્ય સદિશ $\vec{0}$ સાથેનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરવાથી પરિણામ પણ એક સદિશ જ મળે છે,તેથી $\vec{A} \times 0$ નું પરિણામ એક શૂન્ય સદિશ છે,જેને $\vec{0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ શૂન્ય સદિશ છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાયુ અચળાંક $R = C_{p} - C_{v}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$.
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ હોવાથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$.
તેથી,આ વાયુ એક-પરમાણ્વીય છે.

(B) કણ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = v \hat{i}$ છે.
વ્યાસાંત બિંદુએ,વેગ $\vec{v}_f = -v \hat{i}$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = M(-v \hat{i}) - M(v \hat{i}) = -2 M v \hat{i}$ છે.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2 M v$ થાય છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M v^2$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(B) આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
વિકિરણ દબાણ $P = [M L^{-1} T^{-2}]$
એકમ ક્ષેત્રફળ પર પ્રતિ સેકન્ડ અથડાતી વિકિરણ ઉર્જા $Q = [M T^{-3}]$
પ્રકાશની ગતિ $c = [L T^{-1}]$
પદ $P^x Q^y c^z$ પરિમાણ રહિત હોવા માટે:
$[M L^{-1} T^{-2}]^x [M T^{-3}]^y [L T^{-1}]^z = [M^0 L^0 T^0]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $x + y = 0 \implies y = -x$
$L$ માટે: $-x + z = 0 \implies z = x$
$T$ માટે: $-2x - 3y - z = 0$
$y = -x$ અને $z = x$ ને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-2x - 3(-x) - x = -2x + 3x - x = 0$
આ સમીકરણ કોઈપણ શૂન્યતર $x$ માટે સાચું છે. જો આપણે $x = 1$ લઈએ,તો $y = -1$ અને $z = 1$ મળે છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $x = 1, y = -1, z = 1$ છે.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે વિદ્યુત પરિપથમાં કોઈ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Sigma i = 0$.
આ નિયમ સૂચવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વીજભાર તેટલા જ સમયગાળામાં જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વીજભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેથી આ નિયમ વીજભાર સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(D) $e.m.f.$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલા ચલ અવરોધ $R$ ને મળતો પાવર $P$ એ $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{E}{R+r}$ છે.
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R$ મળે છે.
મહત્તમ પાવર માટે $R$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: $\frac{dP}{dR} = 0$.
આ શરત 'મેક્સિમમ પાવર ટ્રાન્સફર થિયરમ' તરફ દોરી જાય છે,જે જણાવે છે કે જ્યારે લોડ અવરોધ $R$ એ સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય ત્યારે લોડને મળતો પાવર મહત્તમ હોય છે.
અહીં $r = 0.5\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી જ્યારે $R = r = 0.5\, \Omega$ હોય ત્યારે પાવર મહત્તમ મળે છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0.4 \ T$ છે.
આપણે $r_2 = 2r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ શોધવાનું છે.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સંબંધ $B_1 r_1 = B_2 r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.4 \times r = B_2 \times (2r)$.
$B_2 = \frac{0.4 \times r}{2r} = 0.2 \ T$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = BIl \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$B = 2\,T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા),
$I = 1.2\,A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ),
$l = 0.5\,m$ (તારની લંબાઈ),
અને $\theta = 90^\circ$ (કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ છે),તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times 1.2 \times 0.5 \times 1$
$F = 1.2\,N$.
તેથી,તાર પર લાગતું બળ $1.2\,N$ છે.

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 20$
ક્ષેત્રફળ $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$
અવરોધ $R = 100 \, \Omega$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = 1000 \, T/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N A \cos \theta \frac{dB}{dt}$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|e| = N A \frac{dB}{dt} \cos 0^\circ = N A \frac{dB}{dt}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$|e| = 20 \times (25 \times 10^{-4}) \times 1000 = 500000 \times 10^{-4} = 50 \, V$.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{|e|}{R}$ છે.
$i = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેલમાં ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
આ સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય $(h\nu > W)$.
વર્ક ફંક્શન $(W)$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ નક્કી કરે છે $(W = h\nu_0)$,પરંતુ તે પ્રકાશની આપેલી તીવ્રતા માટે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરતું નથી.
આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાતી ન હોવાથી અને $h\nu > W_2$ ની શરત સંતોષાયેલી હોવાથી,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સમાન રહે છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ બદલાતો નથી,એટલે કે $I_1 = I_2$.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા,આપણને $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ મળે છે.
તેથી,બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4 a_0$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ છે.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \, eV$.
$4^{th}$ કક્ષા $(n=4)$ માટે: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \, eV$.
$4^{th}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા વચ્ચેના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત: $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$ થાય.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
પરમાણુનું ન્યુક્લિયસ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનું બનેલું હોય છે,જેને સામૂહિક રીતે ન્યુક્લિયોન્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પ્રોટોન એ ધન વીજભારિત કણો છે અને ન્યુટ્રોન એ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ કણો છે.
ઇલેક્ટ્રોન એવા સબએટોમિક કણો છે જે ન્યુક્લિયસની બહારની કક્ષાઓમાં ફરે છે અને તે ન્યુક્લિયસના ઘટકો નથી.

(C) $1 \, a.m.u. = 1.66 \times 10^{-27} \, kg$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \, J$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 14.94 \times 10^{-11} \, J$.
આ ઉર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{14.94 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E \approx 9.3375 \times 10^8 \, eV \approx 931 \times 10^6 \, eV$.
$10^6 \, eV = 1 \, MeV$ હોવાથી,સમતુલ્ય ઉર્જા $931 \, MeV$ થાય છે.

(A) $\alpha$-કણનું દળ તેના ઘટક કણો (બે પ્રોટોન અને બે ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં જોવા મળતા આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ કહેવામાં આવે છે.
આ દળ ક્ષતિ બંધન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે $\alpha$-કણના ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સને એકસાથે જકડી રાખવા માટે જરૂરી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સૂર્ય દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા મુખ્યત્વે તેના કેન્દ્રમાં થતી ન્યુક્લિયર સંલયન (fusion) પ્રતિક્રિયાઓને કારણે છે.
આ પ્રતિક્રિયાઓમાં,હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) જોડાઈને હિલિયમ ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે,કારણ કે પરિણામી હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસના દળના સરવાળા કરતા થોડું ઓછું હોય છે,અને આ દળ ક્ષતિ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta mc^2$ મુજબ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) તાંબુ $(Cu)$ એ સુવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસના કંપનો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ $(Ge)$ એ અર્ધવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે જ્યારે જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં પ્રકાશિત શલાકા (અધિકતમ) ના સ્થાનનું સૂત્ર $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે।
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 5000\;\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\;m = 5 \times 10^{-7}\;m$
$d = 0.2\;mm = 0.2 \times 10^{-3}\;m = 2 \times 10^{-4}\;m$
$D = 200\;cm = 2\;m$
ત્રીજા અધિકતમ માટે, $n = 3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x_3 = \frac{3 \times (5 \times 10^{-7}\;m) \times (2\;m)}{2 \times 10^{-4}\;m}$
$x_3 = \frac{30 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}}\;m = 15 \times 10^{-3}\;m = 1.5 \times 10^{-2}\;m = 1.5\;cm$.
તેથી, ત્રીજું અધિકતમ $x = 1.5\;cm$ પર હશે।

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow B$ બંનેને લંબ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec S$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ ની દિશામાં હોય છે.

(C) સૂર્યની ઉર્જા તેના કેન્દ્રમાં થતી ન્યુક્લિયર સંલયન (fusion) પ્રતિક્રિયાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
આ પ્રતિક્રિયાઓમાં,હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) જોડાઈને હિલિયમ ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે,કારણ કે પરિણામી હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ તેને બનાવનાર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસના દળના સરવાળા કરતા થોડું ઓછું હોય છે,અને આ દળ તફાવત આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta mc^2$ મુજબ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે।
જોકે $Mercury$ (બુધ) એ $Sun$ (સૂર્ય) ની સૌથી નજીકનો ગ્રહ છે, પરંતુ $Venus$ (શુક્ર) એ સૌર મંડળનો સૌથી ગરમ ગ્રહ છે।
આનું કારણ એ છે કે $Venus$ પાસે $CO_2$ થી બનેલું ખૂબ જ ઘટ્ટ વાતાવરણ છે, જે ગ્રીનહાઉસ અસર દ્વારા ગરમીને પકડી રાખે છે, જેના કારણે સપાટીનું તાપમાન આશરે $464^{\circ}C$ જેટલું ઊંચું રહે છે。

(B) પ્રકાશનું કિરણ તેના માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે સિલ્વર કરેલી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે. પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા ગણીએ છીએ:
$1$. $C$ (કાર્બન,પરમાણુ ક્રમાંક $Z=6$) માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $6$ છે.
$2$. $N^{+}$ (નાઇટ્રોજન આયન,પરમાણુ ક્રમાંક $Z=7$) માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $7 - 1 = 6$ છે.
આમ,$C$ અને $N^{+}$ બંને $6$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવે છે,તેથી તેઓ આઇસોઇલેક્ટ્રોનિક છે અને સમાન ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી $(1s^{2} 2s^{2} 2p^{2})$ ધરાવે છે.
તેથી,સાચી જોડી $C$ અને $N^{+}$ છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{b})$ એ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{y})$ કરતા ઓછી હોવાથી,એટલે કે $\lambda_{b} < \lambda_{y}$.
જેમ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી જ્યારે પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $(\lambda_m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે વક્રીભવનાંક $n = 1.5$,તેથી $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{1.5}$ થાય.
જેમ કે $1.5 > 1$ છે,તેથી $\lambda_m < \lambda_0$ સાબિત થાય છે.
આમ,વક્રીભૂત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શૂન્યાવકાશમાં રહેલી તરંગલંબાઈ કરતા નાની હશે.

(A) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ સાથે સમાંતરમાં એક ઓછો અવરોધ જોડવો પડે છે,જેને શંટ $(S)$ કહેવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે સર્કિટનો મોટાભાગનો પ્રવાહ શંટમાંથી પસાર થાય,જેનાથી સંવેદનશીલ ગેલ્વેનોમીટર કોઈલને વધુ પ્રવાહને કારણે થતા નુકસાનથી બચાવી શકાય છે.
વધુમાં,તે ઉપકરણના કુલ અવરોધને ઘટાડે છે,જેથી તે સર્કિટના પ્રવાહને નોંધપાત્ર રીતે અસર કર્યા વિના સચોટ રીતે પ્રવાહ માપી શકે છે.

(D) $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ ઘન સ્ફટિકોમાં પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતરના ક્રમની $(10^{-10} \ m)$ હોય છે.
કારણ કે $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ આંતર-પરમાણુ અંતર સાથે તુલનાત્મક છે,તેથી જ્યારે તેઓ સ્ફટિક લેટીસ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે ત્યારે તેમનું વિવર્તન (diffraction) થાય છે.
તેથી,ઘન પદાર્થોના બંધારણની તપાસ કરવા માટે $X$-કિરણો સૌથી યોગ્ય વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે,જ્યાં $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું દળ છે.
દળ ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જેમ કે $m_p$,$R_0$,અને $\pi$ અચળાંકો છે,તેથી દળ ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે અને તમામ ન્યુક્લિયસ માટે અચળ રહે છે.

(C) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ છે,જ્યાં $R$ એ લૂપનો અવરોધ છે.
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $(q)$ $q = \int I dt$ દ્વારા મળે છે.
$I$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $q = \int -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{1}{R} \int d\Phi$.
તેથી,$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$,જ્યાં $\Delta\Phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો કુલ ફેરફાર છે.
આમ,પ્રેરિત કુલ વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા કુલ ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.