AIPMT 1992 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच बल $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ होता है।
सूत्र को गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है,दूरी $d$ के लिए $[L]$ है,और द्रव्यमान $m$ के लिए $[M]$ है।
इन मानों को $G$ के व्यंजक में रखने पर: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$।
पिंड $A$ के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta_A = 30^{\circ}$ है। अतः,$R_A = \frac{v^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(60^{\circ})}{g}$।
पिंड $B$ के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta_B = 60^{\circ}$ है। अतः,$R_B = \frac{v^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(120^{\circ})}{g}$।
चूंकि $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,इसलिए $R_A = R_B$ होगा।
अतः,$A$ और $B$ की क्षैतिज परास का अनुपात $R_A : R_B = 1:1$ होगा।

(B) सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
जब कार रुकती है,तो अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
मंदक बल गतिज घर्षण है $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -f_k = -\mu_k mg$,इसलिए मंदन $a = -\mu_k g$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 - (20)^2 = 2(-\mu_k g)s$.
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g} = \frac{20^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{400}{10} = 40 \, m$.

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 5$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(D) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या (या प्रक्षेपण बिंदु पर गुरुत्वीय विभव) पर निर्भर करता है।
यह उस दिशा या कोण पर निर्भर नहीं करता है जिस पर पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग वही रहेगा,जो कि $11.2 \ km/s$ है।

(D) भूस्थिर उपग्रह के लिए,कक्षीय अवधि $T$ पृथ्वी की घूर्णन अवधि के बराबर होती है,जो $T = 2\pi/\omega$ है।
केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय अवधि का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,जिसे $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = GM/R^2$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
केपलर के नियम के समीकरण में $GM$ का मान रखने पर: $(2\pi/\omega)^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$।
इसे सरल करने पर: $4\pi^2/\omega^2 = (4\pi^2 / gR^2)r^3$।
दोनों पक्षों से $4\pi^2$ को हटाने पर: $1/\omega^2 = r^3 / (gR^2)$।
अतः,$r^3 = gR^2/\omega^2$।

(C) पारे का क्वथनांक लगभग $357^oC$ होता है।
पारा थर्मामीटर तापमान में वृद्धि के साथ तरल पारे के थर्मल विस्तार के सिद्धांत पर काम करता है।
इसका उपयोग आमतौर पर $-30^oC$ से $357^oC$ की सीमा में तापमान मापने के लिए किया जाता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,पारे के थर्मामीटर का उपयोग $360^oC$ तक के तापमान को मापने के लिए किया जा सकता है (क्योंकि यह दी गई सबसे निकटतम व्यावहारिक ऊपरी सीमा है)।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,
$Q = \Delta U + W$
जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक कथन है,जो यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

(A) दिए गए $P-V$ ग्राफ से:
प्रक्रिया $AB$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है (आयतन स्थिर है),इसलिए किया गया कार्य $W_{AB} = 0$ है।
प्रक्रिया $BC$ एक समदाबी प्रक्रिया है (दाब $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ पर स्थिर है),इसलिए किया गया कार्य $W_{BC} = P_B(V_C - V_B)$ है।
चूंकि $V_C = V_D = 5 \times 10^{-3} \, m^3$ और $V_B = V_A = 2 \times 10^{-3} \, m^3$ है,इसलिए:
$W_{BC} = 8 \times 10^4 \times (5 - 2) \times 10^{-3} = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$ है।
प्रक्रिया $AC$ (पथ $A \rightarrow B \rightarrow C$) में किया गया कुल कार्य $W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$ है।
प्रक्रिया $AC$ में दी गई कुल ऊष्मा $\Delta Q_{AC} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \, J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए,$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + W_{AC}$ है।
मान रखने पर: $800 = \Delta U_{AC} + 240$ है।
अतः,$\Delta U_{AC} = 800 - 240 = 560 \, J$ है।

(C) $PV$ आरेख में,किसी प्रक्रिया के दौरान ऊष्मागतिक निकाय द्वारा किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
एक पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कुल कार्य $PV$ आरेख के बंद लूप द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए आरेख में,निकाय $A \rightarrow C \rightarrow B$ पथ का अनुसरण करता है और फिर $B \rightarrow D \rightarrow A$ के माध्यम से $A$ पर वापस आता है।
इन पथों द्वारा निर्मित बंद लूप $ACBDA$ है।
इसलिए,पूर्ण चक्र के दौरान किया गया कुल कार्य $ACBDA$ लूप द्वारा घिरे क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।

(A) चरम स्थिति ($t = 0$ पर $x = a$) से शुरू होने वाले सरल आवर्त दोलक का विस्थापन $x = a \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $x = a/2$ हो।
मान रखने पर: $a/2 = a \cos(\omega t)$.
यह समीकरण $\cos(\omega t) = 1/2$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$\omega t = \pi/3$.
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi/T$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2\pi/T) \cdot t = \pi/3$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = T/6$ प्राप्त होता है।

(A) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,त्वरण $a$ का परिमाण संबंध $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है: $x = 0.02\, m$ और $a = 2.0\, m\, s^{-2}$.
कोणीय आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{a}{x}}$.
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{2.0}{0.02}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100}$.
अतः,$\omega = 10\, rad\, s^{-1}$.

(D) तरंग को एक विक्षोभ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक माध्यम से यात्रा करता है,जो पदार्थ के शुद्ध परिवहन के बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा और संवेग का परिवहन करता है।
अनुदैर्ध्य तरंग में,माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा में अपनी माध्य स्थितियों के इर्द-गिर्द आगे-पीछे दोलन करते हैं।
जबकि कण स्वयं तरंग के साथ यात्रा नहीं करते हैं (पदार्थ का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है),तरंग माध्यम के माध्यम से ऊर्जा और रैखिक संवेग ले जाती है।
इसलिए,संचरित होने वाली सही राशियाँ ऊर्जा और रैखिक संवेग हैं।

(D) साइनसोइडल तरंग समीकरण का मानक रूप $y = a \cos(\omega t + kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.40 \cos(2000t + 0.80x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच का संबंध $\omega = 2\pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $2000 = 2\pi f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi} \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।

(D) जब समान आयाम वाली लेकिन थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो सुनाई देने वाली ध्वनि की तीव्रता में होने वाले आवधिक परिवर्तन को विस्पंद (beats) कहा जाता है।
यदि दो तरंगों की आवृत्तियाँ $f_1$ और $f_2$ हैं,तो विस्पंद आवृत्ति $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,विस्पंद उत्पन्न करने के लिए शर्त यह है कि तरंगों की आवृत्तियाँ भिन्न होनी चाहिए।

(C) ठोस पदार्थों में बंधन की मजबूती उस ऊर्जा द्वारा निर्धारित की जाती है जो बंधनों को तोड़ने के लिए आवश्यक होती है।
$1$. आयनिक बंधन आयनों के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण है,जो बहुत मजबूत होते हैं।
$2$. धात्विक बंधन में धनात्मक आयनों के जालक के बीच मुक्त इलेक्ट्रॉनों की साझेदारी होती है,जो मजबूत होते हैं।
$3$. सहसंयोजक बंधन में परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रॉन युग्मों की साझेदारी होती है,जो बहुत मजबूत होते हैं।
$4$. वान डर वाल्स बल अस्थायी या स्थायी द्विध्रुव-द्विध्रुव अंतःक्रियाओं से उत्पन्न होने वाले कमजोर अंतर-आणविक बल हैं।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में वान डर वाल्स बंधन सबसे कमजोर है।

(B) सौर मंडल में कुल $8$ ग्रह हैं। बुध सूर्य के सबसे निकटतम ग्रह है,उसके बाद शुक्र,पृथ्वी,मंगल,बृहस्पति,शनि,अरुण और वरुण आते हैं। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा,स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,शुद्ध लोटनिक गति की शर्त $v = R\omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
ऊर्जा समीकरण में मान रखने पर: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2$.
व्यंजक को सरल करने पर: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2$.
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{10}{7} gh$,अतः $v = \sqrt{\frac{10}{7} gh}$।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और वस्तु को जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ है।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g = 10 \; m/s^2$ है।
कुल ऊँचाई $h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
अंतिम दो सेकंड में तय की गई दूरी कुल ऊँचाई और $(t-2)$ सेकंड में तय की गई ऊँचाई के बीच का अंतर है।
$40 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2$.
$g = 10 \; m/s^2$ रखने पर:
$40 = 5 t^2 - 5 (t^2 - 4t + 4)$.
$40 = 5 t^2 - 5 t^2 + 20 t - 20$.
$40 = 20 t - 20$.
$60 = 20 t \implies t = 3 \; s$.
अब,ऊँचाई $h$ की गणना करें:
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \; m$.

(B) वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ में,समय $t$ के किसी भी क्षण पर,वेग $v$ का केवल एक ही अद्वितीय मान होना चाहिए।
यदि हम ग्राफ पर किसी भी समय $t$ पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं,तो इसे वक्र को केवल एक बिंदु पर काटना चाहिए।
विकल्प $(B)$ में,वक्र एक वृत्त है। किसी भी समय $t$ (वृत्त की सीमा के भीतर) पर खींची गई एक ऊर्ध्वाधर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी,जिसका अर्थ है कि कण का एक ही समय पर दो अलग-अलग वेग हैं,जो एक विमीय गति के लिए भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,वृत्ताकार ग्राफ एक विमीय गति को प्रदर्शित नहीं करता है।

(B) किसी भी सदिश $\vec{A}$ का शून्य सदिश $\vec{0}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ के रूप में परिभाषित होता है।
चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश ही होता है,इसलिए $\vec{A} \times 0$ का परिणाम एक शून्य सदिश है,जिसे $\vec{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प शून्य सदिश है।

(C) दिया गया है: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$।
हम जानते हैं कि गैस नियतांक $R = C_{p} - C_{v}$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$।
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$।
चूंकि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$।
अतः,यह गैस एक-परमाणुक है।

(B) कण $v$ की एकसमान चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करता है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = v \hat{i}$ है।
व्यासाग्र बिंदु पर,वेग $\vec{v}_f = -v \hat{i}$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = M(-v \hat{i}) - M(v \hat{i}) = -2 M v \hat{i}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2 M v$ है।
चूंकि चाल $v$ एकसमान है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M v^2$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $0$ है।

(B) दी गई राशियों के आयाम इस प्रकार हैं:
विकिरण दबाव $P = [M L^{-1} T^{-2}]$
प्रति सेकंड इकाई क्षेत्र पर टकराने वाली विकिरण ऊर्जा $Q = [M T^{-3}]$
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
व्यंजक $P^x Q^y c^z$ के विमाहीन होने के लिए:
$[M L^{-1} T^{-2}]^x [M T^{-3}]^y [L T^{-1}]^z = [M^0 L^0 T^0]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + y = 0 \implies y = -x$
$L$ के लिए: $-x + z = 0 \implies z = x$
$T$ के लिए: $-2x - 3y - z = 0$
$y = -x$ और $z = x$ को $T$ के समीकरण में रखने पर:
$-2x - 3(-x) - x = -2x + 3x - x = 0$
यह समीकरण किसी भी गैर-शून्य $x$ के लिए सत्य है। यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $y = -1$ और $z = 1$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $x = 1, y = -1, z = 1$ है।

(A) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि विद्युत परिपथ में किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,अर्थात् $\Sigma i = 0$।
यह नियम दर्शाता है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उसी समय अंतराल में जंक्शन से बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
चूंकि जंक्शन पर विद्युत आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट,इसलिए यह नियम आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(D) $e.m.f.$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाली बैटरी से जुड़े परिवर्तनीय प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति $P$ का सूत्र $P = I^2 R$ है,जहाँ $I = \frac{E}{R+r}$ है।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R$ प्राप्त होता है।
अधिकतम शक्ति के लिए $R$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dP}{dR} = 0$।
यह स्थिति 'अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय' (Maximum Power Transfer Theorem) की ओर ले जाती है,जो यह बताती है कि लोड को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब लोड प्रतिरोध $R$,स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर होता है।
यहाँ $r = 0.5\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए शक्ति तब अधिकतम होगी जब $R = r = 0.5\, \Omega$ होगा।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होता है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$।
माना $r_1 = r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0.4 \ T$ है।
हमें $r_2 = 2r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ ज्ञात करना है।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $B_1 r_1 = B_2 r_2$ का उपयोग करने पर:
$0.4 \times r = B_2 \times (2r)$।
$B_2 = \frac{0.4 \times r}{2r} = 0.2 \ T$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही तार पर लगने वाला बल $F$ सूत्र $F = BIl \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$B = 2\,T$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता),
$I = 1.2\,A$ (धारा),
$l = 0.5\,m$ (तार की लंबाई),
और $\theta = 90^\circ$ (क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है),इसलिए $\sin(90^\circ) = 1$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 2 \times 1.2 \times 0.5 \times 1$
$F = 1.2\,N$.
अतः,तार पर लगने वाला बल $1.2\,N$ है।

(C) दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 20$
क्षेत्रफल $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$
प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = 1000 \, T/s$
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N A \cos \theta \frac{dB}{dt}$ है।
प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|e| = N A \frac{dB}{dt} \cos 0^\circ = N A \frac{dB}{dt}$ है।
मान रखने पर:
$|e| = 20 \times (25 \times 10^{-4}) \times 1000 = 500000 \times 10^{-4} = 50 \, V$.
कुंडली में धारा $i = \frac{|e|}{R}$ है।
$i = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$.

(A) एक सेल में फोटोइलेक्ट्रिक धारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करती है।
यह संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आपतित प्रकाश की आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति से अधिक हो $(h\nu > W)$।
कार्य फलन $(W)$ थ्रेशोल्ड आवृत्ति को निर्धारित करता है $(W = h\nu_0)$,लेकिन यह प्रकाश की दी गई तीव्रता के लिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित नहीं करता है।
चूंकि आपतित प्रकाश की तीव्रता अपरिवर्तित रहती है और $h\nu > W_2$ की स्थिति संतुष्ट होती है,इसलिए प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या समान रहती है।
अतः,फोटोइलेक्ट्रिक धारा अपरिवर्तित रहती है,अर्थात $I_1 = I_2$।

(C) बोहर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर,हमें $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या $4 a_0$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$।
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \, eV$।
$4^{th}$ कक्षा $(n=4)$ के लिए: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \, eV$।
$4^{th}$ और $3^{rd}$ कक्षा के बीच संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर: $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \, eV$ है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
परमाणु का नाभिक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बना होता है,जिन्हें सामूहिक रूप से न्यूक्लियॉन कहा जाता है।
प्रोटॉन धनावेशित कण होते हैं और न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन कण होते हैं।
इलेक्ट्रॉन वे उप-परमाणु कण हैं जो नाभिक के बाहर की कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं और नाभिक के घटक नहीं होते हैं।

(C) $1 \, a.m.u. = 1.66 \times 10^{-27} \, kg$ होता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$E = mc^2$,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \, J$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 14.94 \times 10^{-11} \, J$।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{14.94 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E \approx 9.3375 \times 10^8 \, eV \approx 931 \times 10^6 \, eV$।
चूंकि $10^6 \, eV = 1 \, MeV$ होता है,इसलिए समतुल्य ऊर्जा $931 \, MeV$ है।

(A) $\alpha$-कण का द्रव्यमान उसके घटक कणों (दो प्रोटॉन और दो न्यूट्रॉन) के द्रव्यमानों के योग से कम होता है।
द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है।
यह द्रव्यमान क्षति बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जो $\alpha$-कण के नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधे रखने के लिए आवश्यक होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सूर्य द्वारा उत्पन्न ऊर्जा मुख्य रूप से उसके केंद्र में होने वाली नाभिकीय संलयन (fusion) अभिक्रियाओं के कारण है।
इन अभिक्रियाओं में,हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) आपस में जुड़कर हीलियम नाभिक बनाते हैं।
यह प्रक्रिया विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में भारी मात्रा में ऊर्जा मुक्त करती है,क्योंकि परिणामी हीलियम नाभिक का द्रव्यमान संलयित होने वाले हाइड्रोजन नाभिकों के द्रव्यमान के योग से थोड़ा कम होता है,और यह द्रव्यमान क्षति आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = \Delta mc^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) तांबा $(Cu)$ एक सुचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध घटता है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
जर्मेनियम $(Ge)$ एक अर्धचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,तांबे का प्रतिरोध घटता है जबकि जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
$\lambda = 5000\;\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\;m = 5 \times 10^{-7}\;m$
$d = 0.2\;mm = 0.2 \times 10^{-3}\;m = 2 \times 10^{-4}\;m$
$D = 200\;cm = 2\;m$
तीसरे उच्चिष्ठ के लिए, $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times (5 \times 10^{-7}\;m) \times (2\;m)}{2 \times 10^{-4}\;m}$
$x_3 = \frac{30 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}}\;m = 15 \times 10^{-3}\;m = 1.5 \times 10^{-2}\;m = 1.5\;cm$.
अतः, तीसरा उच्चिष्ठ $x = 1.5\;cm$ पर होगा।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगें विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow E$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow B$ दोनों के लंबवत दिशा में संचरित होती हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,तरंग संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश $\vec S$ की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ के समानुपाती होती है।
अतः,संचरण की दिशा $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ के अनुदिश होती है।

(C) सूर्य की ऊर्जा उसके केंद्र में होने वाली नाभिकीय संलयन (fusion) अभिक्रियाओं के माध्यम से उत्पन्न होती है।
इन अभिक्रियाओं में,हाइड्रोजन के नाभिक (प्रोटॉन) आपस में जुड़कर हीलियम का नाभिक बनाते हैं।
यह प्रक्रिया विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में अत्यधिक ऊर्जा मुक्त करती है,क्योंकि परिणामी हीलियम नाभिक का द्रव्यमान इसे बनाने वाले हाइड्रोजन नाभिकों के द्रव्यमान के योग से थोड़ा कम होता है,और यह द्रव्यमान अंतर आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = \Delta mc^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
हालाँकि $Mercury$ (बुध) $Sun$ (सूर्य) के सबसे निकट का ग्रह है, फिर भी $Venus$ (शुक्र) सौर मंडल का सबसे गर्म ग्रह है।
इसका कारण यह है कि $Venus$ का वायुमंडल मुख्य रूप से $CO_2$ से बना है, जो ग्रीनहाउस प्रभाव के कारण गर्मी को रोक लेता है, जिससे इसकी सतह का तापमान लगभग $464^{\circ}C$ तक पहुँच जाता है।

(B) प्रकाश किरण के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे सिल्वर वाली सतह पर लंबवत (सतह के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है। प्रिज्म का कोण $A = 30^{\circ}$ है।
चूंकि किरण दूसरी सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म के सूत्र $A = r_1 + r_2$ से,हमें मिलता है $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$i = 45^{\circ}$।

(D) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक प्रजाति में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या की गणना करते हैं:
$1$. $C$ (कार्बन,परमाणु क्रमांक $Z=6$) के लिए,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।
$2$. $N^{+}$ (नाइट्रोजन आयन,परमाणु क्रमांक $Z=7$) के लिए,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $7 - 1 = 6$ है।
चूंकि $C$ और $N^{+}$ दोनों में $6$ इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए वे आइसोइलेक्ट्रॉनिक हैं और समान इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $(1s^{2} 2s^{2} 2p^{2})$ रखते हैं।
अतः,सही जोड़ा $C$ और $N^{+}$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{b})$ पीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{y})$ से कम होती है,अर्थात $\lambda_{b} < \lambda_{y}$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए जब पीले प्रकाश को नीले प्रकाश से बदला जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घट जाएगी।

(D) निर्वात में तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ और माध्यम में तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ के बीच का संबंध $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि अपवर्तनांक $n = 1.5$ है,इसलिए $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{1.5}$ होगा।
चूंकि $1.5 > 1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\lambda_m < \lambda_0$ है।
अतः,अपवर्तित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य निर्वात में तरंगदैर्ध्य की तुलना में छोटी होगी।

(A) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर कुंडली के साथ समांतर क्रम में एक कम प्रतिरोध जोड़ना आवश्यक है,जिसे शंट $(S)$ कहा जाता है।
यह व्यवस्था सुनिश्चित करती है कि परिपथ की अधिकांश धारा शंट से होकर गुजरे,जिससे संवेदनशील गैल्वेनोमीटर कुंडली को उच्च धारा के कारण होने वाले नुकसान से बचाया जा सके।
इसके अतिरिक्त,यह उपकरण के कुल प्रतिरोध को कम करता है,जिससे यह परिपथ की धारा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किए बिना धारा को सटीक रूप से माप सकता है।

(D) $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य ठोस क्रिस्टलों में परमाणुओं के बीच की दूरी $(10^{-10} \ m)$ के क्रम की होती है।
चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य अंतर-परमाणु दूरी के तुलनीय होती है,इसलिए जब वे क्रिस्टल जालक के साथ परस्पर क्रिया करती हैं,तो उनका विवर्तन (diffraction) होता है।
इसलिए,ठोसों की संरचना की जांच के लिए $X$-किरणें सबसे उपयुक्त विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।

(C) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ होता है,जहाँ $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है।
द्रव्यमान घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $m_p$,$R_0$,और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए द्रव्यमान घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है और सभी नाभिकों के लिए स्थिर रहता है।

(C) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $(I)$ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ है,जहाँ $R$ लूप का प्रतिरोध है।
लूप से प्रवाहित होने वाला आवेश $(q)$ $q = \int I dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $q = \int -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{1}{R} \int d\Phi$।
अतः,$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$,जहाँ $\Delta\Phi$ चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन है।
इस प्रकार,प्रेरित कुल आवेश चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन पर निर्भर करता है।