AIPMT 1991 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ પદ એ $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ સ્વરૂપનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\overrightarrow{C}$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{C}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
ગાણિતિક રીતે,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ કારણ કે સદિશ $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ સમતલમાં રહેલો છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે લાગતા એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું સૂત્ર: $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ છે.
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
પ્રવાહ $I$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A^1]$ છે.
અંતર $r$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[L^1] [M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1] [A^1] [A^1]}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$.

(A) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
ધારો કે $x$ એ ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ છે. તેથી ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - x)$ થશે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_h = \lambda x$ અને ટેબલ પરના ભાગનું દળ $m_t = \lambda (L - x)$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = m_h g = \lambda x g$.
ટેબલ પરના ભાગ પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - x) g$ છે.
સાંકળ સરકવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે,ખેંચતું બળ એ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ: $\lambda x g = \mu \lambda (L - x) g$.
બંને બાજુ $\lambda g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $x = \mu (L - x)$.
$\mu = 0.25$ મૂકતા: $x = 0.25(L - x) \implies x = 0.25L - 0.25x \implies 1.25x = 0.25L$.
આમ,અપૂર્ણાંક $x/L = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,આ ભાગ $20\%$ થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{Mv^2}{r}$.
આનો અર્થ એ છે કે સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r} = -Mv^2$ થાય.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U = \frac{1}{2}Mv^2 - Mv^2 = -\frac{1}{2}Mv^2$.

(C) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,નિશ્ચિત કદમાં વાયુઓના મિશ્રણ દ્વારા લાગુ પડતું કુલ દબાણ એ દરેક વાયુ દ્વારા તે જ કદમાં અલગથી લાગુ પડતા દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
કારણ કે ત્રણેય વાયુઓને મિશ્ર કરીને સમાન કદ $V$ ધરાવતા એક જ પાત્રમાં રાખવામાં આવે છે,તેથી કુલ દબાણ $P$ એ વ્યક્તિગત દબાણોનો સરવાળો છે.
તેથી,$P = P_1 + P_2 + P_3$.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ છે,જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\rho v_{rms}^2 = 2E$.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3}E$.
તેથી,સાચો સંબંધ $P = \frac{2}{3}E$ છે.

(C) $S.H.M.$ કરતી પદાર્થનો સ્થાનાંતર $y$ પર વેગ $v$ નું સૂત્ર: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$y_1 = 4 \, cm$ માટે,$v_1 = 10 \, cm/sec$: $10 = \omega \sqrt{a^2 - 4^2} \implies 100 = \omega^2(a^2 - 16)$ --- $(1)$
$y_2 = 5 \, cm$ માટે,$v_2 = 8 \, cm/sec$: $8 = \omega \sqrt{a^2 - 5^2} \implies 64 = \omega^2(a^2 - 25)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$100 - 64 = \omega^2(a^2 - 16 - a^2 + 25)$
$36 = \omega^2(9)$
$\omega^2 = 4 \implies \omega = 2 \, rad/sec$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \, sec$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$X$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $T = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $V = \frac{1}{2} m \omega^2 X^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $T$ અને સ્થિતિઊર્જા $V$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને પદોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{T}{V} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 X^2}$.
સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T}{V} = \frac{a^2 - X^2}{X^2}$.

(D) જ્યારે ટ્રોલી $a$ જેટલા સમક્ષિતિજ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે લોલકના ગોળા પર ટ્રોલીના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો બળ $ma$ લાગે છે.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g'$ એ ગુરુત્વ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો પ્રવેગ $a$ (સમક્ષિતિજ દિશામાં) નો સદિશ સરવાળો છે.
આ બંને સદિશો એકબીજાને લંબ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
અહીં તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$,તેથી $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{4}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત માપનની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
આપેલ છે: $m = 22.42 \; g$,$\Delta m = 0.01 \; g$,$V = 4.7 \; cc$,$\Delta V = 0.1 \; cc$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{22.42} + \frac{0.1}{4.7}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000446 + 0.021276 \approx 0.021722$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100 \%$ વડે ગુણો:
પ્રતિશત ત્રુટિ $= 0.021722 \times 100 \% \approx 2.17 \%$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની સાર્થક કિંમત મુજબ,મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ આશરે $2 \%$ છે.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $d = 200 \; m$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $d_1 = 100 \; m$ અને બીજું અડધું અંતર $d_2 = 100 \; m$ છે.
પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{100}{40} \; h$ છે.
બીજા અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d_2}{v} = \frac{100}{v} \; h$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ નું સૂત્ર: $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $48 = \frac{200}{\frac{100}{40} + \frac{100}{v}}$.
અંશ અને છેદને $100$ વડે ભાગતા: $48 = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{v}}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{40} + \frac{1}{v} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = 60 \; km/h$.

(B) સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને રેખીય તથા કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,તેથી $\omega = \frac{v}{r}$.
આ કિંમતોને ચાકગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
$K_t : (K_t + K_r)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ થાય.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
આપેલ છે: દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ અને દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$.
દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડા $A$ નો અંતિમ વેગ $(v_A)$ એ $u_B$ જેટલો થશે અને દડા $B$ નો અંતિમ વેગ $(v_B)$ એ $u_A$ જેટલો થશે.
તેથી,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ અને $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$.
પ્રશ્નમાં $B$ અને $A$ ના વેગ અનુક્રમે પૂછવામાં આવ્યા છે,જે $v_B$ અને $v_A$ છે.
આમ,વેગ $0.5 \, m s^{-1}$ અને $-0.3 \, m s^{-1}$ થશે.

(D) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n=1)$ એ પ્રથમ હાર્મોનિક છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે.
બીજો ઓવરટોન એ પાંચમો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન એ સાતમો હાર્મોનિક $(n=4)$ છે.
બંધ પાઇપમાં $n$-મા હાર્મોનિક માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n$ છે અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ છે.
ત્રીજો ઓવરટોન એ $4$-થા હાર્મોનિક $(n=4)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,પાઇપમાં રહેલા હવાના સ્તંભમાં $4$ નોડ્સ અને $4$ એન્ટિનોડ્સ હશે.

(C) જ્યારે દૂધને વલોવવામાં આવે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ક્રીમના કણો દૂધ કરતા હલકા હોવાથી,તેમને વર્તુળાકાર ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઓછું અનુભવાય છે. પરિણામે,કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે તેઓ પાત્રની બહારની ધારથી કેન્દ્ર તરફ ધકેલાય છે,જે ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં કાર્ય કરતું એક આભાસી બળ છે.

(A) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $u$ છે અને સીટીની આવૃત્તિ $\nu$ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \; m/s$ છે.
ટ્રેનો એકબીજાની નજીક આવી રહી હોવાથી,ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $\nu'$ નીચે મુજબ મળે:
$\nu' = \nu \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$
અહીં પીચ (આવૃત્તિ) $9/8$ ગણી બદલાય છે,તેથી $\nu' = \frac{9}{8} \nu$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9}{8} \nu = \nu \left( \frac{340 + u}{340 - u} \right)$
$\frac{9}{8} = \frac{340 + u}{340 - u}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(340 - u) = 8(340 + u)$
$3060 - 9u = 2720 + 8u$
$3060 - 2720 = 8u + 9u$
$340 = 17u$
$u = \frac{340}{17} = 20 \; m/s$.
આમ,દરેક ટ્રેનની ઝડપ $20 \; m/s$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $Y = X + 4$ છે,જેને $X - Y + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d$ એ સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $m = 5$,$v = 3\sqrt{2}$,અને $d = \frac{4}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$L = 5 \times 3\sqrt{2} \times \frac{4}{\sqrt{2}} = 5 \times 3 \times 4 = 60$ એકમ.

(A) ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં અથવા સુરેખ પથ પર અચળ વેગથી ગતિ કરતો રહે છે.
આ નિયમ બળને એવી વસ્તુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે પદાર્થની સ્થિર અથવા ગતિમાન અવસ્થામાં ફેરફાર કરે છે.
તે સૂચવે છે કે બળ એક બાહ્ય એજન્ટ છે જે પદાર્થની ગતિથી સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે,જે બળની ભૌતિક સ્વતંત્રતાનો ખ્યાલ સ્થાપિત કરે છે.
તેથી,ગતિનો પ્રથમ નિયમ એ બળની ભૌતિક સ્વતંત્રતાનો આધાર છે.

(D) બે સદિશોના સરવાળાનું માન $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકીનું માન $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{A}|^2$ અને $|\vec{B}|^2$ ને દૂર કરતા,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ મળે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\vec{A}| \neq 0$ અને $|\vec{B}| \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ ઝડપ,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા એ ઝડપના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $r \propto v$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2\, cm$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો $v_2 = 2v$ થાય.
તેથી,નવી ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2v}{v} = 2$ મળે.
આમ,$r_2 = 2 \times r_1 = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ થાય.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$.
બંને કણો માટે $r$ અને $B$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{q^2}{m}$ થાય.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,$q_d = e$ અને $m_d = 2m_p$. પ્રોટોન $(p)$ માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m_p$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K_p}{K_d} = \left( \frac{q_p}{q_d} \right)^2 \times \left( \frac{m_d}{m_p} \right) = \left( \frac{e}{e} \right)^2 \times \left( \frac{2m_p}{m_p} \right) = 1^2 \times 2 = 2$.
તેથી,$K_p = 2 \times K_d = 2 \times 50 \, keV = 100 \, keV$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો એ પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરે છે જેમાં બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રક્રિયામાં વાહકને ખસેડવા અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલવા માટે કરવામાં આવતા યાંત્રિક કાર્યનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેથી આ ઘટના ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(A) પ્રેરિત emf ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e| = N \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$.
અહીં,$N = 50$,$A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$,$B_1 = 2 \times 10^{-2} \, T$,$B_2 = 0 \, T$,અને $e = 0.1 \, V$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \Phi = A(B_2 - B_1) = 10^{-2} \times (0 - 2 \times 10^{-2}) = -2 \times 10^{-4} \, Wb$ છે.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = N \frac{|\Delta \Phi|}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = 50 \times \frac{2 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{50 \times 2 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 0.1 \, s$.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
અહીં $A$ અને $l$ અચળ રહે છે,તેથી $L \propto N^2$ થાય.
આપેલ છે કે આંટાઓની સંખ્યા બમણી કરવામાં આવે છે,એટલે કે $N_2 = 2N_1$.
તેથી,નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_2 = L_1 \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 = L_1 \left( \frac{2N_1}{N_1} \right)^2 = 4L_1$ થશે.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થાય છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100\, mH = 100 \times 10^{-3}\, H = 0.1\, H$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1\, A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$U = 0.05\, J$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $0.05\, J$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ આવૃત્તિ છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 1 \;MeV = 1 \times 10^6 \;eV = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 1.6 \times 10^{-13} \;J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$.
સૂત્ર $\nu = \frac{E}{h}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-13} \;J}{6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s} \approx 0.241 \times 10^{21} \;Hz = 2.41 \times 10^{20} \;Hz$.
આમ,આવૃત્તિ આશરે $2.4 \times 10^{20} \;Hz$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W_0 + K_{\max}$.
પ્રથમ,આપાત ફોટોનની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E = \frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \; eV \cdot \mathring{A}}{3000 \; \mathring{A}} \approx 4.13 \; eV$.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $W_0 = 1 \; eV$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - W_0 = 4.13 \; eV - 1 \; eV = 3.13 \; eV$ થાય.
$K_{\max}$ ને જ્યુલમાં ફેરવો: $K_{\max} = 3.13 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J \approx 5 \times 10^{-19} \; J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ છે:
$v = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.1 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \; m/s$.
આમ,વેગ આશરે $1 \times 10^6 \; m/s$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાના બાકી રહેલા ભાગ માટેનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1600$ વર્ષ અને કુલ સમય $t = 6400$ વર્ષ આપેલ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$ થાય.
તેથી,બાકી રહેલો ભાગ $\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$ મળે.

(B) જ્યારે $P-N$ જંકશન રચાય છે,ત્યારે $N$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની સાંદ્રતા અને $P$-વિસ્તારમાં હોલ્સની સાંદ્રતા ખૂબ વધારે હોય છે.
આ સાંદ્રતાના તફાવતને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન $N$-બાજુથી $P$-બાજુ તરફ અને હોલ્સ $P$-બાજુથી $N$-બાજુ તરફ ડિફ્યુઝ થાય છે.
જેમ જેમ આ ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન ઓળંગે છે,તેઓ ઇન્ટરફેસની નજીક પુનઃસંયોજિત (recombine) થાય છે,જેનાથી ત્યાં અચલ આયનીકૃત અશુદ્ધિ પરમાણુઓ બાકી રહે છે.
આ વિસ્તાર,જેમાં મુક્ત ચાર્જ કેરિયર્સ હોતા નથી,તેને ડેપ્લેશન લેયર કહેવામાં આવે છે.

(D) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_n = \frac{(2n - 1) \lambda D}{2d}$
બીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n = 2)$:
$x_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$
આપેલ છે: $x_2 = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,$D = 1 \, m$,અને $d = 0.90 \, mm = 0.9 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \times \lambda \times 1}{2 \times 0.9 \times 10^{-3}}$
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \lambda}{1.8 \times 10^{-3}}$
$3 \lambda = 1.8 \times 10^{-6}$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m = 6 \times 10^{-5} \, cm$.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે ન્યુક્લિયોન વચ્ચે લાગતું પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ તેઓ પ્રોટોન છે કે ન્યુટ્રોન તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,બે પ્રોટોન $(F_{pp})$,બે ન્યુટ્રોન $(F_{nn})$ અને એક પ્રોટોન તથા એક ન્યુટ્રોન $(F_{pn})$ વચ્ચેના ન્યુક્લિયર બળનું મૂલ્ય લગભગ સમાન હોય છે.
આમ,$F_{pp} = F_{pn} = F_{nn}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 3)$ માટે,ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} = -1.51 \; eV$ થાય.
પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને હાલની અવસ્થામાંથી એવી અવસ્થામાં લાવવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે જ્યાં $E = 0$ હોય.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા $E_{ion} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \; eV$ થાય.

(C) વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થનું સાપેક્ષ દળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
અહીં ઝડપ $v = 0.8 c$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}}$
$m = \frac{m_0}{0.6}$
$m = \frac{m_0}{6/10} = \frac{10}{6} m_0 = \frac{5}{3} m_0$
તેથી,આ ઝડપે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $\frac{5}{3} m_0$ થશે.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરવા માટે,તે એક્ટિવ રિજનમાં હોવું આવશ્યક છે.
એક્ટિવ રિજનમાં,એમીટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ હોય છે,જે ચાર્જ કેરિયર્સને એમીટરમાંથી બેઝમાં વહેવા દે છે.
બેઝ-કલેક્ટર જંકશન રિવર્સ બાયસ હોય છે,જે કલેક્ટરને એમીટરમાંથી ઇન્જેક્ટ થયેલા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સને એકત્રિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે એમીટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ અને બેઝ-કલેક્ટર જંકશન રિવર્સ બાયસ હોવું જોઈએ.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda_{m} = \frac{\lambda_{a}}{\mu}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{a}$ એ હવામાં તરંગલંબાઈ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\lambda_{a} = 5460 \mathring{A}$ અને $\mu = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda_{g} = \frac{5460}{1.5} = 3640 \mathring{A}$.
આમ,કાચમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $3640 \mathring{A}$ છે.

(A) સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જો ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે. જો બંને ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ ને અનુરૂપ છે,જે $OR$ ગેટની લાક્ષણિક કામગીરી છે.

$A$	$B$	$Y = A + B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(A) ${ }_{Z} X^{A}$ સંજ્ઞા પરમાણુ દર્શાવે છે જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
${ }_{11} Na^{23}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 11$ અને દળ ક્રમાંક $A = 23$ છે.
ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ જેટલી હોય છે,તેથી પ્રોટોન = $11$.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 23 - 11 = 12$ દ્વારા મળે છે.
પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં ફક્ત પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન હોય છે; તેમાં ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી.
તેથી,ન્યુક્લિયસમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $0$ છે.
આમ,ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન,ન્યુટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા અનુક્રમે $11, 12, 0$ છે.