AIPMT 1991 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया व्यंजक $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ के रूप में एक अदिश त्रिक गुणनफल है।
सदिश गुणन (cross product) के गुणों के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\overrightarrow{C}$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{C}$ का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ क्योंकि सदिश $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत तल में स्थित होता है।

(A) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$।
$\mu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
लंबाई $l$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
धारा $I$ का विमीय सूत्र $[A^1]$ है।
दूरी $r$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $[\mu_0] = \frac{[L^1] [M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1] [A^1] [A^1]}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$।

(A) माना जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
माना $x$ मेज के किनारे से लटकने वाली जंजीर की लंबाई है। तब मेज पर बची जंजीर की लंबाई $(L - x)$ होगी।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda x$ है और मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (L - x)$ है।
जंजीर को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = m_h g = \lambda x g$.
मेज पर स्थित भाग पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - x) g$ है।
जंजीर के फिसलने की स्थिति में होने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए: $\lambda x g = \mu \lambda (L - x) g$.
दोनों पक्षों को $\lambda g$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $x = \mu (L - x)$.
$\mu = 0.25$ रखने पर: $x = 0.25(L - x) \implies x = 0.25L - 0.25x \implies 1.25x = 0.25L$.
अतः,भिन्न $x/L = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
प्रतिशत में बदलने पर,यह भाग $20\%$ है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{Mv^2}{r}$।
इसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r} = -Mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{1}{2}Mv^2 - Mv^2 = -\frac{1}{2}Mv^2$।

(C) डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,एक निश्चित आयतन में गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दबाव उन व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दबावों के योग के बराबर होता है जो उसी आयतन में अकेले मौजूद होतीं।
चूंकि सभी तीनों गैसों को मिश्रित करके समान आयतन $V$ वाले एक ही पात्र में रखा जाता है,इसलिए कुल दबाव $P$ व्यक्तिगत दबावों का योग होता है।
अतः,$P = P_1 + P_2 + P_3$।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है,जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $\rho v_{rms}^2 = 2E$।
इस मान को दबाव के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3}E$।
अतः,सही संबंध $P = \frac{2}{3}E$ है।

(C) $S.H.M.$ कर रहे पिंड का विस्थापन $y$ पर वेग $v$ का सूत्र: $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$y_1 = 4 \, cm$ के लिए,$v_1 = 10 \, cm/sec$: $10 = \omega \sqrt{a^2 - 4^2} \implies 100 = \omega^2(a^2 - 16)$ --- $(1)$
$y_2 = 5 \, cm$ के लिए,$v_2 = 8 \, cm/sec$: $8 = \omega \sqrt{a^2 - 5^2} \implies 64 = \omega^2(a^2 - 25)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100 - 64 = \omega^2(a^2 - 16 - a^2 + 25)$
$36 = \omega^2(9)$
$\omega^2 = 4 \implies \omega = 2 \, rad/sec$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \, sec$.

(D) सरल आवर्त गति के लिए,$X$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $T = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)$ द्वारा दी जाती है।
$X$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $V = \frac{1}{2} m \omega^2 X^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $T$ और स्थितिज ऊर्जा $V$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{T}{V} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - X^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 X^2}$.
सामान्य पदों $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T}{V} = \frac{a^2 - X^2}{X^2}$.

(D) जब एक ट्रॉली $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज दिशा में गति करती है,तो लोलक के गोलक पर ट्रॉली के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण $a$ (क्षैतिज दिशा में) का सदिश योग है।
चूँकि ये दोनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए प्रभावी त्वरण $g'$ का परिमाण इस प्रकार होगा:
$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
यहाँ तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ दिया गया है।
चूंकि $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$,इसलिए $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{4}{1}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयामों का अनुपात $2:1$ है।

(C) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{V}$ है।
गुणनफल या भागफल के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत मापों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}$.
दिया गया है: $m = 22.42 \; g$,$\Delta m = 0.01 \; g$,$V = 4.7 \; cc$,$\Delta V = 0.1 \; cc$.
मान रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{22.42} + \frac{0.1}{4.7}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000446 + 0.021276 \approx 0.021722$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100 \%$ से गुणा करें:
प्रतिशत त्रुटि $= 0.021722 \times 100 \% \approx 2.17 \%$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम सार्थक मान के अनुसार,अधिकतम प्रतिशत त्रुटि लगभग $2 \%$ है।

(B) माना कुल दूरी $d = 200 \; m$ है। पहली आधी दूरी $d_1 = 100 \; m$ है और दूसरी आधी दूरी $d_2 = 100 \; m$ है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{100}{40} \; h$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v} = \frac{100}{v} \; h$ है।
औसत गति $v_{avg}$ का सूत्र है: $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $48 = \frac{200}{\frac{100}{40} + \frac{100}{v}}$.
अंश और हर को $100$ से विभाजित करने पर: $48 = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{v}}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{40} + \frac{1}{v} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \; km/h$।

(B) स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और रैखिक तथा कोणीय वेग के बीच संबंध $v = r\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
$K_t : (K_t + K_r)$ का अनुपात $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ है।

(D) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद वस्तुओं के वेग आपस में बदल जाते हैं।
दिया गया है: गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ और गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$ है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गेंद $A$ का अंतिम वेग $(v_A)$,$u_B$ के बराबर होगा और गेंद $B$ का अंतिम वेग $(v_B)$,$u_A$ के बराबर होगा।
अतः,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ और $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$।
प्रश्न में $B$ और $A$ के वेग क्रमशः पूछे गए हैं,जो $v_B$ और $v_A$ हैं।
इस प्रकार,वेग $0.5 \, m s^{-1}$ और $-0.3 \, m s^{-1}$ होंगे।

(D) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ हार्मोनिक संख्या है।
मूल आवृत्ति $(n=1)$ पहला हार्मोनिक है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है।
दूसरा ओवरटोन पाँचवाँ हार्मोनिक $(n=3)$ है।
तीसरा ओवरटोन सातवाँ हार्मोनिक $(n=4)$ है।
बंद पाइप में $n$-वें हार्मोनिक के लिए,नोड्स की संख्या $n$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
चूँकि तीसरा ओवरटोन $4$-थे हार्मोनिक $(n=4)$ के अनुरूप है,इसलिए पाइप में हवा के स्तंभ में $4$ नोड्स और $4$ एंटीनोड्स होंगे।

(C) जब दूध को मथा जाता है,तो यह वृत्ताकार गति करता है। क्रीम के कण दूध की तुलना में हल्के होते हैं,इसलिए उन्हें वृत्ताकार गति बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल कम अनुभव होता है। परिणामस्वरूप,अपकेंद्री बल के कारण वे पात्र के बाहरी किनारे से केंद्र की ओर धकेल दिए जाते हैं,जो एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में कार्य करने वाला एक छद्म बल है।

(A) माना कि प्रत्येक ट्रेन की गति $u$ है और सीटी की आवृत्ति $\nu$ है। ध्वनि की गति $v = 340 \; m/s$ है।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार आभासी आवृत्ति $\nu'$ होगी:
$\nu' = \nu \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$
दिया गया है कि पिच $9/8$ के कारक से बदलती है,इसलिए $\nu' = \frac{9}{8} \nu$.
मान रखने पर:
$\frac{9}{8} \nu = \nu \left( \frac{340 + u}{340 - u} \right)$
$\frac{9}{8} = \frac{340 + u}{340 - u}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$9(340 - u) = 8(340 + u)$
$3060 - 9u = 2720 + 8u$
$3060 - 2720 = 8u + 9u$
$340 = 17u$
$u = \frac{340}{17} = 20 \; m/s$.
अतः,प्रत्येक ट्रेन की गति $20 \; m/s$ है।

(B) रेखा का समीकरण $Y = X + 4$ है,जिसे $X - Y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d$,सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$।
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L$,$L = mvd$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $m = 5$,$v = 3\sqrt{2}$,और $d = \frac{4}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$L = 5 \times 3\sqrt{2} \times \frac{4}{\sqrt{2}} = 5 \times 3 \times 4 = 60$ इकाई।

(A) न्यूटन का गति का प्रथम नियम बताता है कि कोई वस्तु तब तक अपनी विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था में रहती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
यह नियम बल को उस कारक के रूप में परिभाषित करता है जो वस्तु की विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था को बदलता है।
यह इंगित करता है कि बल एक बाहरी कारक है जो वस्तु की गति से स्वतंत्र रूप से मौजूद हो सकता है,जो बल की भौतिक स्वतंत्रता की अवधारणा को स्थापित करता है।
इसलिए,गति का प्रथम नियम बल की भौतिक स्वतंत्रता का आधार है।

(D) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{A}|^2$ और $|\vec{B}|^2$ को हटाने पर,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,$|\vec{A}| \neq 0$ और $|\vec{B}| \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ गति है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि $m$,$q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या गति के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $r \propto v$।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2\, cm$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ दी गई है।
यदि गति दोगुनी कर दी जाए,तो $v_2 = 2v$ होगा।
इसलिए,नई त्रिज्या $r_2$ के लिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2v}{v} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = 2 \times r_1 = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$K$ गतिज ऊर्जा है,और $q$ आवेश है।
इससे,हम लिख सकते हैं $K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$.
चूंकि दोनों कणों के लिए $r$ और $B$ समान हैं,इसलिए $K \propto \frac{q^2}{m}$ होगा।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,$q_d = e$ और $m_d = 2m_p$ है। प्रोटॉन $(p)$ के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m_p$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{K_p}{K_d} = \left( \frac{q_p}{q_d} \right)^2 \times \left( \frac{m_d}{m_p} \right) = \left( \frac{e}{e} \right)^2 \times \left( \frac{2m_p}{m_p} \right) = 1^2 \times 2 = 2$.
अतः,$K_p = 2 \times K_d = 2 \times 50 \, keV = 100 \, keV$।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम उस प्रक्रिया का वर्णन करते हैं जिसमें एक बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है।
इस प्रक्रिया में किसी चालक को गति देने या चुंबकीय क्षेत्र को बदलने के लिए किए गए यांत्रिक कार्य का विद्युत ऊर्जा में रूपांतरण शामिल है।
चूंकि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट,इसलिए यह घटना ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(A) प्रेरित emf फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $|e| = N \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$.
यहाँ,$N = 50$,$A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$,$B_1 = 2 \times 10^{-2} \, T$,$B_2 = 0 \, T$,और $e = 0.1 \, V$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \Phi = A(B_2 - B_1) = 10^{-2} \times (0 - 2 \times 10^{-2}) = -2 \times 10^{-4} \, Wb$ है।
प्रेरित emf का परिमाण $|e| = N \frac{|\Delta \Phi|}{t}$ है।
मान रखने पर: $0.1 = 50 \times \frac{2 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{50 \times 2 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 0.1 \, s$.

(A) एक परिनालिका (solenoid) का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ कुंडली की लंबाई है।
चूंकि $A$ और $l$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $L \propto N^2$ है।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या दोगुनी कर दी जाती है,अर्थात $N_2 = 2N_1$।
इसलिए,नया स्व-प्रेरकत्व $L_2 = L_1 \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 = L_1 \left( \frac{2N_1}{N_1} \right)^2 = 4L_1$ होगा।
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(C) एक प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^2$ होता है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 100\, mH = 100 \times 10^{-3}\, H = 0.1\, H$.
धारा $I = 1\, A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (1)^2$
$U = 0.05\, J$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा $0.05\, J$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दी गई ऊर्जा $E = 1 \;MeV = 1 \times 10^6 \;eV = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 1.6 \times 10^{-13} \;J$.
प्लांक नियतांक $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$.
सूत्र $\nu = \frac{E}{h}$ का उपयोग करते हुए:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-13} \;J}{6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s} \approx 0.241 \times 10^{21} \;Hz = 2.41 \times 10^{20} \;Hz$.
अतः,आवृत्ति लगभग $2.4 \times 10^{20} \;Hz$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W_0 + K_{\max}$।
सबसे पहले,आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना करें: $E = \frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \; eV \cdot \mathring{A}}{3000 \; \mathring{A}} \approx 4.13 \; eV$।
दिया गया कार्य फलन $W_0 = 1 \; eV$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - W_0 = 4.13 \; eV - 1 \; eV = 3.13 \; eV$ होगी।
$K_{\max}$ को जूल में बदलें: $K_{\max} = 3.13 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J \approx 5 \times 10^{-19} \; J$।
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ है:
$v = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.1 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \; m/s$।
अतः,वेग लगभग $1 \times 10^6 \; m/s$ है।

(D) रेडियोधर्मी नमूने के शेष भाग के लिए सूत्र $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600$ वर्ष और कुल समय $t = 6400$ वर्ष दिया गया है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$ है।
अतः,शेष भाग $\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$ होगा।

(B) जब एक $P-N$ जंक्शन बनता है,तो $N$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉनों की सांद्रता और $P$-क्षेत्र में होल्स की सांद्रता बहुत अधिक होती है।
इस सांद्रता प्रवणता के कारण,इलेक्ट्रॉन $N$-पक्ष से $P$-पक्ष की ओर और होल $P$-पक्ष से $N$-पक्ष की ओर विसरित (diffuse) होते हैं।
जैसे ही ये आवेश वाहक जंक्शन को पार करते हैं,वे इंटरफ़ेस के पास पुनर्संयोजित (recombine) हो जाते हैं,जिससे वहां अचल आयनित अशुद्धि परमाणु पीछे छूट जाते हैं।
यह क्षेत्र,जिसमें गतिशील आवेश वाहक नहीं होते,अवक्षय परत (depletion layer) कहलाता है।

(D) केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है:
$x_n = \frac{(2n - 1) \lambda D}{2d}$
दूसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 2)$:
$x_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$
दिया गया है: $x_2 = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,$D = 1 \, m$,और $d = 0.90 \, mm = 0.9 \times 10^{-3} \, m$.
मान रखने पर:
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \times \lambda \times 1}{2 \times 0.9 \times 10^{-3}}$
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \lambda}{1.8 \times 10^{-3}}$
$3 \lambda = 1.8 \times 10^{-6}$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m = 6 \times 10^{-5} \, cm$.

(C) नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र होता है।
इसका अर्थ यह है कि दो न्यूक्लियॉन के बीच कार्य करने वाला प्रबल नाभिकीय बल इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि वे प्रोटॉन हैं या न्यूट्रॉन।
इसलिए,दो प्रोटॉन $(F_{pp})$,दो न्यूट्रॉन $(F_{nn})$ और एक प्रोटॉन तथा एक न्यूट्रॉन $(F_{pn})$ के बीच नाभिकीय बल का परिमाण लगभग समान होता है।
अतः,$F_{pp} = F_{pn} = F_{nn}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ के अनुरूप होती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप होती है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 3)$ के लिए,ऊर्जा $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} = -1.51 \; eV$ है।
परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को वर्तमान अवस्था से उस अवस्था में लाने के लिए आवश्यक है जहाँ $E = 0$ हो।
अतः,आयनन ऊर्जा $E_{ion} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \; eV$ है।

(C) विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,$v$ वेग से गतिमान किसी वस्तु का सापेक्ष द्रव्यमान $m$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
चूंकि गति $v = 0.8 c$ दी गई है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}}$
$m = \frac{m_0}{0.6}$
$m = \frac{m_0}{6/10} = \frac{10}{6} m_0 = \frac{5}{3} m_0$
अतः,इस गति पर इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\frac{5}{3} m_0$ होगा।

(B) ट्रांजिस्टर को एम्पलीफायर के रूप में कार्य करने के लिए,इसे सक्रिय क्षेत्र (active region) में होना चाहिए।
सक्रिय क्षेत्र में,एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड-बायस होता है,जो चार्ज वाहकों को एमिटर से बेस में प्रवाहित होने देता है।
बेस-कलेक्टर जंक्शन रिवर्स-बायस होता है,जो कलेक्टर को एमिटर से इंजेक्ट किए गए अधिकांश चार्ज वाहकों को एकत्र करने की अनुमति देता है।
इसलिए,सही शर्त यह है कि एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड-बायस और बेस-कलेक्टर जंक्शन रिवर्स-बायस होना चाहिए।

(A) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m} = \frac{\lambda_{a}}{\mu}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_{a}$ हवा में तरंगदैर्ध्य है और $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है: $\lambda_{a} = 5460 \mathring{A}$ और $\mu = 1.5$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda_{g} = \frac{5460}{1.5} = 3640 \mathring{A}$।
अतः,कांच में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $3640 \mathring{A}$ है।

(A) सत्यता सारणी दर्शाती है कि यदि इनपुट $A$ या इनपुट $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होता है। यदि दोनों इनपुट $0$ हैं,तो आउटपुट $0$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ के अनुरूप है,जो $OR$ गेट की विशेषता है।

$A$	$B$	$Y = A + B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(A) ${ }_{Z} X^{A}$ संकेत एक परमाणु को दर्शाता है जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
${ }_{11} Na^{23}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 11$ और द्रव्यमान संख्या $A = 23$ है।
नाभिक में प्रोटॉन की संख्या परमाणु क्रमांक $Z$ के बराबर होती है,इसलिए प्रोटॉन = $11$ हैं।
न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 23 - 11 = 12$ द्वारा दी जाती है।
परमाणु के नाभिक में केवल प्रोटॉन और न्यूट्रॉन होते हैं; इसमें इलेक्ट्रॉन नहीं होते हैं।
इसलिए,नाभिक में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $0$ है।
अतः,नाभिक में प्रोटॉन,न्यूट्रॉन और इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः $11, 12, 0$ है।