AIPMT 1990 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આવૃત્તિ $f$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-2}]$ છે.
આપેલ સંબંધ $f = C m^x K^y$ માં બંને બાજુ પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^1]^x [M^1 T^{-2}]^y$
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^{x+y} T^{-2y}]$
બંને બાજુ $M$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x + y = 0$
$T$ માટે: $-2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$x = -\frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ છે.

(C) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું બળ.
$P = \frac{F}{A}$
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,દબાણના પરિમાણો:
$[P] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.

(B) સ્નિગ્ધતા બળનું સૂત્ર $F = - \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$ મળે.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
બળ $F = [M L T^{-2}]$
ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$
વેગ પ્રચલન $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
હવે,$\eta$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{1-2} T^{-2+1}] = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે. કાર પ્રથમ અડધું અંતર $d$,$v_1 = 40 \, km/h$ ના વેગથી અને બીજું અડધું અંતર $d$,$v_2 = 60 \, km/h$ ના વેગથી કાપે છે.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{40}$ છે.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{60}$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{av} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{60}}$.
$v_{av} = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{3+2}{120}} = \frac{2 \times 120}{5} = \frac{240}{5} = 48 \, km/h$.

(B) પાંખિયાના છેડા પરના બિંદુનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a = \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,કોણીય વેગને $r.p.m.$ માંથી $rad/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{1200}{60} = 40 \pi \, rad/s$.
ત્રિજ્યા $R = 30 \, cm = 0.3 \, m$ આપેલ છે.
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરો:
$a = (40 \pi)^2 \times 0.3$
$a = 1600 \times \pi^2 \times 0.3$
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા:
$a = 1600 \times 9.87 \times 0.3 = 4737.6 \, m/s^2$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $a \approx 4740 \, m/s^2$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ રેન્જ $(R_{\max})$ નું સૂત્ર: $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ મઝલ વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આપેલ છે: $R_{\max} = 16 \, km = 16,000 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000} = 400 \, m/s$.
તેથી,શેલનો મઝલ વેગ $400 \, m/s$ છે.

(D) પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ છે.
આપેલ છે: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$g = 10 \, m/s^2$,$h = 10 \, m$,અને $t = 1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, s$.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$m = \frac{P \times t}{g \times h} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \, kg$.
પાણીની ઘનતા $1000 \, kg/m^3$ હોવાથી,કદ $V$ (ઘન મીટરમાં) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200 \, kg}{1000 \, kg/m^3} = 1.2 \, m^3$ થશે.
$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$ હોવાથી,લિટરમાં કદ $1.2 \times 1000 = 1200 \, \text{લિટર}$ થશે.

(C) બાયમેટાલિક પટ્ટી બે અલગ-અલગ ધાતુઓની બનેલી હોય છે જેમના રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક ($\alpha_A$ અને $\alpha_B$) અલગ હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બંને ધાતુઓ વિસ્તરણ પામે છે, પરંતુ જે ધાતુનો રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક વધારે હોય છે તે બીજી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, જો $\alpha_A > \alpha_B$ હોય, તો ધાતુ $A$ એ ધાતુ $B$ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામશે.
લંબાઈમાં રહેલા આ તફાવતને સમાવવા માટે, પટ્ટીએ વળવું પડે છે.
વધારે પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ $(A)$ ચાપની બહારની બાજુ બનાવે છે, જ્યારે ઓછો પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ $(B)$ અંદરની બાજુ બનાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઉષ્મીય ક્ષમતા એટલે પદાર્થનું દળ $(m)$ અને તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ નો ગુણાકાર.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ $= 40\, g$
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ $= 0.2\, cal/g/^{\circ}C$
ઉષ્મીય ક્ષમતા $= m \times c$
ઉષ્મીય ક્ષમતા $= 40\, g \times 0.2\, cal/g/^{\circ}C = 8\, cal/^{\circ}C$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વાયુના અણુનો વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $m$ એ અણુનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms}$ એ અણુના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.

(C) વાયુઓના ગતિવાદ અનુસાર,વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (root mean square velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિરપેક્ષ તાપમાને,$T = 0 \ K$ હોય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v_{rms} = \sqrt{\frac{3R(0)}{M}} = 0$ મળે છે.
સરેરાશ વર્ગિત વેગ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિ દર્શાવે છે,તેથી $0$ વેગનો અર્થ એ છે કે નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને તમામ આણ્વિક ગતિ અટકી જાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V} = \frac{R}{J(\gamma - 1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma = 1.5$ મૂકતા,આપણને ${C_V} = \frac{R}{J(1.5 - 1)} = \frac{R}{J(0.5)} = \frac{2R}{J}$ મળે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,${C_P} - {C_V} = \frac{R}{J}$,તેથી ${C_P} = {C_V} + \frac{R}{J}$ થાય.
${C_V}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને ${C_P} = \frac{2R}{J} + \frac{R}{J} = \frac{3R}{J}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ ${C_P} = \frac{3R}{J}$ છે.

(D) અચળ દબાણે જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \, mol$,$(\Delta Q)_P = 207 \, J$,અને $\Delta T = 10 \, K$ આપેલ છે.
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7 \, J/mol \cdot K$.
મેયરના સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C_V = C_P - R$ મળે છે.
$C_V = 20.7 - 8.3 = 12.4 \, J/mol \cdot K$.
અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ છે.
$(\Delta Q)_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124 \, J$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,
$Q = \Delta U + W$
જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આ નિયમ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું નિવેદન છે,જે દર્શાવે છે કે ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી,માત્ર તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.

(C) જ્યારે $K_1$ અને $K_2$ બળ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોય,ત્યારે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}}$

(A) ધારો કે બે સરળ આવર્ત ગતિઓ (SHMs) નીચે મુજબ છે:
$x = a_1 \sin(\omega t)$
$y = a_2 \sin(\omega t + \pi)$
કારણ કે $\sin(\omega t + \pi) = -\sin(\omega t)$,તેથી:
$y = -a_2 \sin(\omega t)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin(\omega t) = \frac{x}{a_1}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = -a_2 \left(\frac{x}{a_1}\right)$
$y = -\left(\frac{a_2}{a_1}\right)x$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે. આમ,કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(C) કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
અહીં $\Delta \phi = 1.6 \pi$ અને $\Delta x = 40 \; cm = 0.4 \; m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1.6 \pi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.4$.
તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ શોધતા: $\lambda = \frac{2 \times 0.4}{1.6} = \frac{0.8}{1.6} = 0.5 \; m$.
તરંગના સમીકરણ $v = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 330 \; m/s$ અને $\lambda = 0.5 \; m$ છે:
$330 = f \times 0.5$.
તેથી,$f = \frac{330}{0.5} = 660 \; Hz$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
આપેલ છે કે આ મૂલ્ય $I$ છે,તેથી $MR^2 = 4I$ થાય.
તકતીના સમતલને લંબ અને તેની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,તકતીના સમતલને લંબ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{rim} = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d = R$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{rim} = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
આ સમીકરણમાં $MR^2 = 4I$ મૂકતા:
$I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = 1500 \; J$,અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
ચાકગતિના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ફરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે:
ગતિઊર્જા $(K)$ = $360 \ J$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $30 \ rad/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$360 = \frac{1}{2} \times I \times (30)^2$
$360 = \frac{1}{2} \times I \times 900$
$360 = 450 \times I$
$I = \frac{360}{450}$
$I = 0.8 \ kg \ m^2$
તેથી,વ્હીલની જડત્વની ચાકમાત્રા $0.8 \ kg \ m^2$ છે.

(B) રોકેટના વજનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ધક્કો (thrust) બળ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રોકેટ એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ધક્કો બળ $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ એક્ઝોસ્ટ ઝડપ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ દળ બહાર ફેંકવાનો દર છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $mg = v \frac{dm}{dt}$.
દળ બહાર ફેંકવાના દર માટે સૂત્ર: $\frac{dm}{dt} = \frac{mg}{v}$.
અહીં $m = 600\; kg$,$g = 10\; m/s^2$,અને $v = 1000\; m/s$ આપેલ છે:
$\frac{dm}{dt} = \frac{600 \times 10}{1000} = \frac{6000}{1000} = 6\; kg/s$.

(B) ઉકળતા પાણીનું પ્રારંભિક તાપમાન $100\,^{\circ}C$ અથવા $212\,^{\circ}F$ છે.
ફેરનહીટમાં અંતિમ તાપમાન $F = 140\,^{\circ}F$ છે.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $\frac{C}{100} = \frac{F-32}{180}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સેલ્સિયસમાં અંતિમ તાપમાન શોધીએ છીએ:
$\frac{C}{100} = \frac{140-32}{180} = \frac{108}{180} = 0.6$
$C = 60\,^{\circ}C$.
સેન્ટિગ્રેડ સ્કેલ પર તાપમાનમાં ઘટાડો $\Delta C = 100\,^{\circ}C - 60\,^{\circ}C = 40\,^{\circ}C$ થશે.

(A) આઘાત (Impulse) એ પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આઘાત $J = \Delta p = p_f - p_i$.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને અંતિમ વેગ $v_2$ આપેલ છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m v_1$ અને અંતિમ વેગમાન $p_f = m v_2$ થાય.
તેથી,આઘાત $J = m v_2 - m v_1 = m(v_2 - v_1)$.

(D) $1$. લંબગોળ કક્ષામાં,સૂર્યથી ગ્રહનું અંતર બદલાય છે,જેના કારણે ઝડપ બદલાય છે. તેથી,ગતિઊર્જા $T$ સંરક્ષિત રહેતી નથી.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $V$ ને $V = -GMm/r$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે બંધ અવસ્થાઓ માટે હંમેશા ઋણ હોય છે.
$3$. કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,જેનો અર્થ છે કે ટોર્ક $\tau = r \times F = 0$ થાય છે. ગતિ એક સમતલમાં મર્યાદિત હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.
$4$. બંધ કક્ષા (લંબગોળ) માટે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = T + V$ હંમેશા ઋણ હોય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી ઊર્જા દર્શાવે છે.

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $L$ લંબાઈના ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,લાગતો સમય $L = \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે.
લીસી સપાટી માટે,પ્રવેગ $a_S = g \sin \theta$. તેથી,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_S^2$.
ખરબચડી સપાટી માટે,પ્રવેગ $a_R = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$. તેથી,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta) t_R^2$.
બંને માટે $L$ સમાન હોવાથી,$\frac{1}{2} a_S t_S^2 = \frac{1}{2} a_R t_R^2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{t_R}\right)^2$.
આપેલ છે કે $t_R = 2 t_S$,તેથી $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{2 t_S}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
પ્રવેગ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}{g \sin \theta} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu_k \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{4}$.
$1 - \mu_k = \frac{1}{4} \Rightarrow \mu_k = 1 - 0.25 = 0.75$.

(C) ધારો કે કુલ $n$ અવરોધોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5\,\Omega$ અને મહત્તમ પ્રવાહ ક્ષમતા $I_{total} = 4\,A$ છે.
દરેક અવરોધ માટે $R = 10\,\Omega$ અને $I_{max} = 1\,A$ છે.
સંયોજન દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P = I_{total}^2 \times R_{eq} = 4^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80\,W$ છે.
દરેક વ્યક્તિગત અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_{res} = I_{max}^2 \times R = 1^2 \times 10 = 10\,W$ છે.
કુલ પાવર એ દરેક અવરોધ દ્વારા વ્યય થતા પાવરનો સરવાળો હોવાથી,$n = P / P_{res} = 80 / 10 = 8$ મળે.
આમ,ઓછામાં ઓછા $8$ અવરોધોની જરૂર પડશે.

(D) આપેલ સર્કિટને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. બિંદુ $C$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો ડેલ્ટા-સ્ટાર જોડાણ બનાવે છે અથવા સંમિતિ દ્વારા તેને સરળ બનાવી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે,ઉપરના ત્રિકોણને જુઓ: $r$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $2r$ આપે છે. આ $2r$ ઉપરના ત્રિકોણના ત્રીજા $r$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
$2$. ઉપરના ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{top} = (2r \times r) / (2r + r) = (2/3)r$ છે.
$3$. હવે,આ $R_{top}$ એ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે,પરંતુ આ રચનાને જોતા,આપણે નેટવર્કને શાખાઓના સમાંતર જોડાણમાં સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$4$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ નેટવર્કને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ એક સમતુલ્ય અવરોધમાં ઘટાડીને મેળવવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $R_{eq} = 8r / 7$ મળે છે.

(B) $E = 2\,V$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 1.0\,\Omega$ ધરાવતી બે સમાન બેટરીઓ માટે, આપણે તેમને શ્રેણી અથવા સમાંતર જોડાણમાં જોડી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: શ્રેણી જોડાણ.
કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = 2E = 4\,V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = 2r = 2.0\,\Omega$.
પ્રવાહ $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 4 / (0.5 + 2.0) = 4 / 2.5 = 1.6\,A$.
પાવર $P = I^2 R = (1.6)^2 \times 0.5 = 2.56 \times 0.5 = 1.28\,W$.
કિસ્સો $2$: સમાંતર જોડાણ.
કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E = 2\,V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r/2 = 0.5\,\Omega$.
પ્રવાહ $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 2 / (0.5 + 0.5) = 2 / 1.0 = 2.0\,A$.
પાવર $P = I^2 R = (2.0)^2 \times 0.5 = 4.0 \times 0.5 = 2.0\,W$.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા, મહત્તમ પાવર $2.0\,W$ મળે છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અચળ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$.
આપેલ છે: $B_1 = 10^{-8} \, T$,$r_1 = 4 \, cm$,અને $r_2 = 12 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-8}}{B_2} = \frac{12}{4}$.
$\frac{10^{-8}}{B_2} = 3$.
$B_2 = \frac{10^{-8}}{3} = 3.33 \times 10^{-9} \, T$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $i$ એ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી છે.
તેથી,ઉર્જા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(C) કોઈપણ સમયે ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નો કંપવિસ્તાર $e_0 = NBA\omega$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ છે.
આપેલ છે: $B = 10^{-2} \, T$,$r = 0.3 \, m$,$A = \pi r^2 = 0.09\pi \, m^2$,$R = \pi^2 \, \Omega$,અને આવૃત્તિ $f = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = \frac{20\pi}{3} \, rad/s$.
$N=1$ લેતા:
$i_0 = \frac{1 \times 10^{-2} \times (0.09\pi) \times (20\pi/3)}{\pi^2} = 0.006 \, A = 6 \, mA$.

(D) ફોટોનનું વેગમાન $p$ અને તેની આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $p = \frac{h\nu}{c}$.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\nu = \frac{pc}{h}$.
આપેલ છે: $p = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{3.3 \times 10^{-29} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$.

(A) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જા છે. એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
જો $n$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા હોય,તો કુલ પાવર $P = n \times E = n \times h\nu$ થાય.
તેથી,$n = \frac{P}{h\nu}$.
આપેલ છે: $P = 10 \, kW = 10^4 \, W$ અને $\nu = 880 \, kHz = 880 \times 10^3 \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{10^4}{(6.6 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$
$n = \frac{10^4}{5808 \times 10^{-31}}$
$n = \frac{10^4}{5.808 \times 10^{-28}}$
$n \approx 1.72 \times 10^{31}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ અવસ્થાઓની ઉર્જા અનુક્રમે $E_A, E_B$ અને $E_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જા એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આમ,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(D) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટેના બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n\left(\frac{h}{mv}\right)$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની વ્યાખ્યા $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r = n\lambda$ થાય છે.

(A) ન્યુક્લિયર બળો એ પ્રબળ બળો છે જે ન્યુક્લિયસની અંદર ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ને એકસાથે જકડી રાખે છે.
$1$. તે ટૂંકા ગાળાના બળો છે,જે માત્ર $10^{-15} \ m$ (ફેમટોમીટર) ના ક્રમના અંતરે જ કાર્ય કરે છે.
$2$. તે મુખ્યત્વે આકર્ષી પ્રકારના હોય છે,જે પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણને દૂર કરે છે.
$3$. તે વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે,જેનો અર્થ એ છે કે પ્રોટોન-પ્રોટોન,ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન અથવા પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન જોડી વચ્ચેનું બળ લગભગ સમાન હોય છે,જો તેમની વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પરમાણ્વીય પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$_6^{12}C + _0^1n \rightarrow _6^{13}C + \gamma$ (ન્યુટ્રોનનું શોષણ)
ત્યારબાદ,અસ્થાયી $_6^{13}C$ ન્યુક્લિયસ બીટા ક્ષય અનુભવે છે:
$_6^{13}C \rightarrow _7^{13}N + _{-1}^0\beta + \bar{\nu}$
આમ,પરિણામી ન્યુક્લિયસ $_7^{13}N$ છે.

(A) કોમન બેઝ $(CB)$ એમ્પ્લીફાયર ગોઠવણીમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ એમિટર અને બેઝ વચ્ચે આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર અને બેઝ વચ્ચે લેવામાં આવે છે.
બેઝ ઇનપુટ અને આઉટપુટ બંને સર્કિટ માટે સામાન્ય હોવાથી,ઇનપુટ વોલ્ટેજ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ સિગ્નલ સમાન ફેઝમાં હોય છે.
તેથી,ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $0$ છે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,$\frac{1}{f_a} = (_{a}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં $f_a = 20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{20}$,જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
પાણીમાં,$\frac{1}{f_w} = (_{w}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$.
તેથી,$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{10} = 0.125 \times \frac{1}{10} = \frac{0.125}{10} = \frac{1}{80}$.
આમ,$f_w = 80 \ cm$ મળે.

(C) મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
અહીં $n$,$D$ અને $d$ બંને કિસ્સાઓ માટે અચળ હોવાથી,$y_n \propto \lambda$ થાય.
તેથી,$4^{th}$ શલાકા માટે અંતરનો ગુણોત્તર: $\frac{x(\text{Blue})}{x(\text{Green})} = \frac{\lambda(\text{Blue})}{\lambda(\text{Green})} = \frac{4360}{5460}$ મળે.
અહીં $4360 < 5460$ હોવાથી,$x(\text{Blue}) < x(\text{Green})$ સાબિત થાય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
$D$ અને $d$ માં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\beta = 0.4 \, mm$ અને $\mu = 4/3$,તેથી $\beta' = \frac{0.4}{4/3} = 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.3 \, mm$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આપેલા વિકિરણો માટે તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_{\gamma} < \lambda_{X-ray} < \lambda_{Blue} < \lambda_{Red}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી લાંબી છે,જ્યારે $\gamma$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
$^{27}_{13}Al$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{Al} = 27$ છે. તેથી,$R_{Al} = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
$^{125}_{53}Te$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{Te} = 125$ છે. તેથી,$R_{Te} = R_0 (125)^{1/3} = 5 R_0$.
બંને ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_{Te}}{R_{Al}} = \frac{5 R_0}{3 R_0} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$R_{Te} = \frac{5}{3} R_{Al}$.

(D) ન્યુક્લિયસ ${ }_{6} C^{13}$ અને ${ }_{7} N^{14}$ વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ન્યુક્લિયસમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ ગણીએ છીએ.
${ }_{6} C^{13}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 6$ અને દળ ક્રમાંક $A = 13$ છે. ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 13 - 6 = 7$ છે.
${ }_{7} N^{14}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 7$ અને દળ ક્રમાંક $A = 14$ છે. ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 14 - 7 = 7$ છે.
બંને ન્યુક્લિયસમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન $(N = 7)$ હોવાથી,તેમને આઈસોટોન્સ કહેવામાં આવે છે.

(B) $X$-કિરણોનું ઉત્સર્જન: આ પરમાણુના આંતરિક ઉર્જા સ્તરોમાં થતા સંક્રમણને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,તે સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન દ્વારા થતું નથી.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન: યોગ્ય આવૃત્તિ ધરાવતા વિકિરણો દ્વારા ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે.
ગૌણ ઉત્સર્જન: જ્યારે કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ધાતુની પ્લેટની સપાટી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે સપાટી પરથી અન્ય ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
થર્મોઆયોનિક ઉત્સર્જન: જ્યારે ધાતુને ઊંચા તાપમાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પૂરતી ગતિજ ઉર્જા મેળવે છે અને ધાતુની સપાટીમાંથી બહાર નીકળી જાય છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e.m.f. = L \frac{dI}{dt}$.
અહીં,$L = 40\; mH = 40 \times 10^{-3}\; H$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $dI = 11\; A - 1\; A = 10\; A$ છે.
સમયગાળો $dt = 4\; ms = 4 \times 10^{-3}\; s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e.m.f. = (40 \times 10^{-3}) \times \frac{10}{4 \times 10^{-3}}$.
$e.m.f. = 40 \times \frac{10}{4} = 10 \times 10 = 100\; V$.