AIPMT 1990 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) आवृत्ति $f$ का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।
द्रव्यमान $m$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है।
स्प्रिंग नियतांक $K$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
दिए गए संबंध $f = C m^x K^y$ में दोनों पक्षों की विमाएँ रखने पर:
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^1]^x [M^1 T^{-2}]^y$
$[M^0 L^0 T^{-1}] = [M^{x+y} T^{-2y}]$
दोनों पक्षों में $M$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x + y = 0$
$T$ के लिए: $-2y = -1 \implies y = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}$ को $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = -\frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{2}$ है।

(C) दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{F}{A}$
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
अतः,दाब की विमाएँ हैं:
$[P] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.

(B) श्यान बल का सूत्र $F = - \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ है।
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक राशि की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
बल $F = [M L T^{-2}]$
क्षेत्रफल $A = [L^2]$
वेग प्रवणता $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{[L T^{-1}]}{[L]} = [T^{-1}]$
अब,$\eta$ की विमाओं की गणना करने पर:
$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{1-2} T^{-2+1}] = [M L^{-1} T^{-1}]$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना कुल दूरी $2d$ है। कार पहली आधी दूरी $d$,$v_1 = 40 \, km/h$ के वेग से और दूसरी आधी दूरी $d$,$v_2 = 60 \, km/h$ के वेग से तय करती है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{40}$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{d}{60}$ है।
औसत वेग $v_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{60}}$.
$v_{av} = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{3+2}{120}} = \frac{2 \times 120}{5} = \frac{240}{5} = 48 \, km/h$.

(B) ब्लेड के सिरे पर स्थित बिंदु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण है,जो $a = \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,कोणीय वेग को $r.p.m.$ से $rad/s$ में परिवर्तित करें:
$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{1200}{60} = 40 \pi \, rad/s$.
त्रिज्या $R = 30 \, cm = 0.3 \, m$ दी गई है।
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = (40 \pi)^2 \times 0.3$
$a = 1600 \times \pi^2 \times 0.3$
$\pi^2 \approx 9.87$ का उपयोग करते हुए:
$a = 1600 \times 9.87 \times 0.3 = 4737.6 \, m/s^2$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $a \approx 4740 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $(R_{\max})$ का सूत्र है: $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$,जहाँ $u$ मज़ल वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $R_{\max} = 16 \, km = 16,000 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000} = 400 \, m/s$।
अतः,शेल का मज़ल वेग $400 \, m/s$ है।

(D) शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ है।
दिया गया है: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$g = 10 \, m/s^2$,$h = 10 \, m$,और $t = 1 \, \text{मिनट} = 60 \, s$।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$m = \frac{P \times t}{g \times h} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \, kg$।
चूँकि पानी का घनत्व $1000 \, kg/m^3$ है,आयतन $V$ (घन मीटर में) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200 \, kg}{1000 \, kg/m^3} = 1.2 \, m^3$ होगा।
चूँकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$ होता है,इसलिए लीटर में आयतन $1.2 \times 1000 = 1200 \, \text{लीटर}$ होगा।

(C) एक द्विधात्विक पट्टी दो अलग-अलग धातुओं से बनी होती है जिनके रेखीय प्रसार गुणांक ($\alpha_A$ और $\alpha_B$) अलग-अलग होते हैं।
जब पट्टी को गर्म किया जाता है, तो दोनों धातुएं फैलती हैं, लेकिन जिस धातु का रेखीय प्रसार गुणांक अधिक होता है, वह दूसरी धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, यदि $\alpha_A > \alpha_B$ है, तो धातु $A$ धातु $B$ की तुलना में अधिक फैलेगी।
लंबाई में इस अंतर को समायोजित करने के लिए, पट्टी को मुड़ना पड़ता है।
अधिक प्रसार गुणांक वाली धातु $(A)$ चाप का बाहरी हिस्सा बनाती है, जबकि कम प्रसार गुणांक वाली धातु $(B)$ आंतरिक हिस्सा बनाती है।
इसलिए, सही विकल्प $C$ है।

(D) ऊष्मीय धारिता को पदार्थ के द्रव्यमान $(m)$ और उसकी विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ $= 40\, g$
विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ $= 0.2\, cal/g/^{\circ}C$
ऊष्मीय धारिता $= m \times c$
ऊष्मीय धारिता $= 40\, g \times 0.2\, cal/g/^{\circ}C = 8\, cal/^{\circ}C$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $m$ अणु का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ अणु के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (root mean square velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
परम शून्य ताप पर,$T = 0 \ K$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $v_{rms} = \sqrt{\frac{3R(0)}{M}} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वर्ग माध्य मूल वेग अणुओं की औसत गति को दर्शाता है,इसलिए $0$ वेग का अर्थ है कि परम शून्य ताप पर सभी आणविक गति रुक जाती है।

(B) हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V} = \frac{R}{J(\gamma - 1)}$ द्वारा दी जाती है।
$\gamma = 1.5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${C_V} = \frac{R}{J(1.5 - 1)} = \frac{R}{J(0.5)} = \frac{2R}{J}$ प्राप्त होता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,${C_P} - {C_V} = \frac{R}{J}$,हमारे पास ${C_P} = {C_V} + \frac{R}{J}$ है।
${C_V}$ का मान रखने पर,हमें ${C_P} = \frac{2R}{J} + \frac{R}{J} = \frac{3R}{J}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प ${C_P} = \frac{3R}{J}$ है।

(D) स्थिर दाब पर आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1 \, mol$,$(\Delta Q)_P = 207 \, J$,और $\Delta T = 10 \, K$ दिया गया है।
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7 \, J/mol \cdot K$.
मेयर के संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करने पर,हमें $C_V = C_P - R$ प्राप्त होता है।
$C_V = 20.7 - 8.3 = 12.4 \, J/mol \cdot K$.
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ है।
$(\Delta Q)_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124 \, J$.

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,
$Q = \Delta U + W$
जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक कथन है,जो यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

(C) जब $K_1$ और $K_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य बल नियतांक $K_{eq}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$K_{eq}$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(K_1 + K_2)}{K_1 K_2}}$

(A) माना कि दो सरल आवर्त गतियाँ (SHMs) इस प्रकार हैं:
$x = a_1 \sin(\omega t)$
$y = a_2 \sin(\omega t + \pi)$
चूँकि $\sin(\omega t + \pi) = -\sin(\omega t)$,इसलिए:
$y = -a_2 \sin(\omega t)$
प्रथम समीकरण से,$\sin(\omega t) = \frac{x}{a_1}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$y = -a_2 \left(\frac{x}{a_1}\right)$
$y = -\left(\frac{a_2}{a_1}\right)x$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली और ऋणात्मक ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है। अतः,कण एक सरल रेखा के अनुदिश गति करता है।

(C) कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
यहाँ $\Delta \phi = 1.6 \pi$ और $\Delta x = 40 \; cm = 0.4 \; m$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $1.6 \pi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0.4$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ ज्ञात करने पर: $\lambda = \frac{2 \times 0.4}{1.6} = \frac{0.8}{1.6} = 0.5 \; m$.
तरंग समीकरण $v = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 330 \; m/s$ और $\lambda = 0.5 \; m$ है:
$330 = f \times 0.5$.
अतः,$f = \frac{330}{0.5} = 660 \; Hz$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
यह दिया गया है कि यह मान $I$ है,इसलिए $MR^2 = 4I$ होगा।
डिस्क के तल के लंबवत और उसकी परिधि पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,डिस्क के तल के लंबवत और द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{rim} = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d = R$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है।
$I_{rim} = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
इस समीकरण में $MR^2 = 4I$ रखने पर:
$I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$.

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = 1500 \; J$,और कोणीय त्वरण $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
घूर्णन के गतिज समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाली वस्तु की घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय चाल है।
दिया गया है:
गतिज ऊर्जा $(K)$ = $360 \ J$
कोणीय चाल $(\omega)$ = $30 \ rad/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$360 = \frac{1}{2} \times I \times (30)^2$
$360 = \frac{1}{2} \times I \times 900$
$360 = 450 \times I$
$I = \frac{360}{450}$
$I = 0.8 \ kg \ m^2$
अतः,पहिये का जड़त्व आघूर्ण $0.8 \ kg \ m^2$ है।

(B) रॉकेट के भार को संतुलित करने के लिए आवश्यक थ्रस्ट बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
रॉकेट इंजन द्वारा उत्पन्न थ्रस्ट बल $F = v \frac{dm}{dt}$ होता है,जहाँ $v$ निकास गति है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान उत्सर्जन की दर है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $mg = v \frac{dm}{dt}$.
द्रव्यमान उत्सर्जन की दर के लिए सूत्र: $\frac{dm}{dt} = \frac{mg}{v}$.
यहाँ $m = 600\; kg$,$g = 10\; m/s^2$,और $v = 1000\; m/s$ दिया गया है:
$\frac{dm}{dt} = \frac{600 \times 10}{1000} = \frac{6000}{1000} = 6\; kg/s$.

(B) उबलते पानी का प्रारंभिक तापमान $100\,^{\circ}C$ या $212\,^{\circ}F$ होता है।
फारेनहाइट में अंतिम तापमान $F = 140\,^{\circ}F$ है।
रूपांतरण सूत्र $\frac{C}{100} = \frac{F-32}{180}$ का उपयोग करके,हम सेल्सियस में अंतिम तापमान ज्ञात करते हैं:
$\frac{C}{100} = \frac{140-32}{180} = \frac{108}{180} = 0.6$
$C = 60\,^{\circ}C$.
सेंटीग्रेड पैमाने पर तापमान में गिरावट $\Delta C = 100\,^{\circ}C - 60\,^{\circ}C = 40\,^{\circ}C$ होगी।

(A) आवेग (Impulse) किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,आवेग $J = \Delta p = p_f - p_i$ होता है।
यहाँ प्रारंभिक वेग $v_1$ और अंतिम वेग $v_2$ दिया गया है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $p_i = m v_1$ और अंतिम संवेग $p_f = m v_2$ होगा।
अतः,आवेग $J = m v_2 - m v_1 = m(v_2 - v_1)$।

(D) $1$. दीर्घवृत्ताकार कक्षा में,सूर्य से ग्रह की दूरी बदलती रहती है,जिससे गति बदलती है। इसलिए,गतिज ऊर्जा $T$ संरक्षित नहीं रहती है।
$2$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $V$ को $V = -GMm/r$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो बद्ध अवस्थाओं के लिए हमेशा ऋणात्मक होती है।
$3$. कोणीय संवेग $L$ परिमाण और दिशा में संरक्षित रहता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,जिसका अर्थ है कि बल आघूर्ण $\tau = r \times F = 0$ है। चूंकि गति एक समतल तक सीमित है,इसलिए कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर रहती है।
$4$. एक बद्ध कक्षा (दीर्घवृत्ताकार) के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = T + V$ हमेशा ऋणात्मक होती है,जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है।

(D) विराम अवस्था से $L$ लंबाई के नत समतल पर नीचे फिसलने वाली वस्तु के लिए,लिया गया समय $L = \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण है।
चिकनी सतह के लिए,त्वरण $a_S = g \sin \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_S^2$.
खुरदरी सतह के लिए,त्वरण $a_R = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$. अतः,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta) t_R^2$.
चूंकि दोनों के लिए $L$ समान है,$\frac{1}{2} a_S t_S^2 = \frac{1}{2} a_R t_R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{t_R}\right)^2$.
दिया गया है कि $t_R = 2 t_S$,इसलिए $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{2 t_S}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
त्वरण के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}{g \sin \theta} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu_k \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{4}$.
$1 - \mu_k = \frac{1}{4} \Rightarrow \mu_k = 1 - 0.25 = 0.75$.

(C) मान लीजिए कि कुल $n$ प्रतिरोधों का उपयोग किया जाता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 5\,\Omega$ और अधिकतम धारा क्षमता $I_{total} = 4\,A$ है।
प्रत्येक प्रतिरोध के लिए $R = 10\,\Omega$ और $I_{max} = 1\,A$ है।
संयोजन द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I_{total}^2 \times R_{eq} = 4^2 \times 5 = 16 \times 5 = 80\,W$ है।
प्रत्येक व्यक्तिगत प्रतिरोध द्वारा व्यय की गई शक्ति $P_{res} = I_{max}^2 \times R = 1^2 \times 10 = 10\,W$ है।
चूंकि कुल शक्ति प्रत्येक प्रतिरोध द्वारा व्यय की गई शक्ति का योग है,इसलिए $n = P / P_{res} = 80 / 10 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम $8$ प्रतिरोधों की आवश्यकता होगी।

(D) परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
$1$. बिंदु $C$ से जुड़े दो प्रतिरोध डेल्टा-स्टार संयोजन बनाते हैं या समरूपता द्वारा इसे सरल बनाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से,ऊपरी त्रिभुज को देखें: $r$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोध श्रेणी में हैं,जो $2r$ देते हैं। यह $2r$,ऊपरी त्रिभुज के तीसरे $r$ प्रतिरोध के साथ समानांतर में है।
$2$. ऊपरी भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_{top} = (2r \times r) / (2r + r) = (2/3)r$ है।
$3$. अब,यह $R_{top}$,$A$ और $B$ से जुड़े दो प्रतिरोधों के साथ श्रेणी में है,लेकिन संरचना को देखते हुए,हम नेटवर्क को शाखाओं के समानांतर संयोजन में सरल बना सकते हैं।
$4$. $A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध नेटवर्क को चरण-दर-चरण एक एकल तुल्य प्रतिरोध में कम करके प्राप्त किया जाता है,जिसका परिणाम $R_{eq} = 8r / 7$ है।

(B) $E = 2\,V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1.0\,\Omega$ वाली दो समान बैटरी के लिए, हम उन्हें श्रेणी या समांतर क्रम में जोड़ सकते हैं।
स्थिति $1$: श्रेणी क्रम संयोजन।
कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = 2E = 4\,V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = 2r = 2.0\,\Omega$.
धारा $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 4 / (0.5 + 2.0) = 4 / 2.5 = 1.6\,A$.
शक्ति $P = I^2 R = (1.6)^2 \times 0.5 = 2.56 \times 0.5 = 1.28\,W$.
स्थिति $2$: समांतर क्रम संयोजन।
कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E = 2\,V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r/2 = 0.5\,\Omega$.
धारा $I = E_{eq} / (R + r_{eq}) = 2 / (0.5 + 0.5) = 2 / 1.0 = 2.0\,A$.
शक्ति $P = I^2 R = (2.0)^2 \times 0.5 = 4.0 \times 0.5 = 2.0\,W$.
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर, अधिकतम शक्ति $2.0\,W$ है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$.
चूंकि धारा $i$ स्थिर है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$.
दिया गया है: $B_1 = 10^{-8} \, T$,$r_1 = 4 \, cm$,और $r_2 = 12 \, cm$.
मान रखने पर: $\frac{10^{-8}}{B_2} = \frac{12}{4}$.
$\frac{10^{-8}}{B_2} = 3$.
$B_2 = \frac{10^{-8}}{3} = 3.33 \times 10^{-9} \, T$.

(A) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $i$ प्रेरक से बहने वाली धारा है।
यह ऊर्जा प्रेरक में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी होती है।
इसलिए,ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र के रूप में संचित होती है।

(C) किसी भी समय $t$ पर कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ है।
प्रेरित $EMF$ का आयाम $e_0 = NBA\omega$ है।
प्रेरित धारा का आयाम $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ है।
दिया गया है: $B = 10^{-2} \, T$,$r = 0.3 \, m$,$A = \pi r^2 = 0.09\pi \, m^2$,$R = \pi^2 \, \Omega$,और आवृत्ति $f = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = \frac{20\pi}{3} \, rad/s$.
$N=1$ मानते हुए:
$i_0 = \frac{1 \times 10^{-2} \times (0.09\pi) \times (20\pi/3)}{\pi^2} = 0.006 \, A = 6 \, mA$.

(D) फोटॉन का संवेग $p$ और उसकी आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $p = \frac{h\nu}{c}$.
आवृत्ति $\nu$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\nu = \frac{pc}{h}$.
दिया गया है: $p = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर: $\nu = \frac{3.3 \times 10^{-29} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$.

(A) ट्रांसमीटर की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
यदि $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है,तो कुल शक्ति $P = n \times E = n \times h\nu$ होगी।
इसलिए,$n = \frac{P}{h\nu}$।
दिया गया है: $P = 10 \, kW = 10^4 \, W$ और $\nu = 880 \, kHz = 880 \times 10^3 \, Hz$।
मान रखने पर:
$n = \frac{10^4}{(6.6 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$
$n = \frac{10^4}{5808 \times 10^{-31}}$
$n = \frac{10^4}{5.808 \times 10^{-28}}$
$n \approx 1.72 \times 10^{31}$ फोटॉन प्रति सेकंड।

(B) मान लीजिए कि अवस्थाओं $A, B$ और $C$ की ऊर्जाएँ क्रमशः $E_A, E_B$ और $E_C$ हैं।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$C$ से $A$ तक के संक्रमण की ऊर्जा,$C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।
अतः,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
इसलिए,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(D) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोर की अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n\left(\frac{h}{mv}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,कक्षा की परिधि $2\pi r = n\lambda$ होती है।

(A) नाभिकीय बल वे प्रबल बल हैं जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) को एक साथ बांधे रखते हैं।
$1$. ये लघु परास (short-ranged) के होते हैं,जो केवल $10^{-15} \ m$ (फेम्टोमीटर) की कोटि की दूरी पर कार्य करते हैं।
$2$. ये मुख्य रूप से आकर्षण प्रकृति के होते हैं,जो प्रोटॉन के बीच के स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण को संतुलित करते हैं।
$3$. ये आवेश से स्वतंत्र होते हैं,जिसका अर्थ है कि प्रोटॉन-प्रोटॉन,न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन या प्रोटॉन-न्यूट्रॉन के बीच का बल लगभग समान होता है,यदि उनके बीच की दूरी समान हो।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है:
$_6^{12}C + _0^1n \rightarrow _6^{13}C + \gamma$ (न्यूट्रॉन का अवशोषण)
इसके बाद,अस्थिर $_6^{13}C$ नाभिक बीटा क्षय से गुजरता है:
$_6^{13}C \rightarrow _7^{13}N + _{-1}^0\beta + \bar{\nu}$
अतः,परिणामी नाभिक $_7^{13}N$ है।

(A) कॉमन बेस $(CB)$ एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,इनपुट सिग्नल को एमिटर और बेस के बीच लगाया जाता है और आउटपुट को कलेक्टर और बेस के बीच लिया जाता है।
चूंकि बेस इनपुट और आउटपुट दोनों सर्किट के लिए कॉमन होता है,इसलिए इनपुट वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज सिग्नल समान कला (phase) में होते हैं।
अतः,इनपुट सिग्नल वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज के बीच का कलांतर $0$ होता है।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,$\frac{1}{f_a} = (_{a}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ $f_a = 20 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{20}$,जिसका अर्थ है कि $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
पानी में,$\frac{1}{f_w} = (_{w}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$.
अतः,$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{10} = 0.125 \times \frac{1}{10} = \frac{0.125}{10} = \frac{1}{80}$.
इसलिए,$f_w = 80 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
चूंकि $n$,$D$ और $d$ दोनों स्थितियों के लिए नियत हैं,इसलिए $y_n \propto \lambda$ होगा।
अतः,$4^{th}$ फ्रिंज के लिए दूरियों का अनुपात: $\frac{x(\text{Blue})}{x(\text{Green})} = \frac{\lambda(\text{Blue})}{\lambda(\text{Green})} = \frac{4360}{5460}$ होगा।
चूंकि $4360 < 5460$,इसलिए $x(\text{Blue}) < x(\text{Green})$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होगा।
दिया गया है कि $\beta = 0.4 \, mm$ और $\mu = 4/3$,अतः $\beta' = \frac{0.4}{4/3} = 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.3 \, mm$।

(D) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। दिए गए विकिरणों के लिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{\gamma} < \lambda_{X-ray} < \lambda_{Blue} < \lambda_{Red}$ है।
दिए गए विकल्पों में से,लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे लंबी है,जबकि $\gamma$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सबसे छोटी है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
$^{27}_{13}Al$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{Al} = 27$ है। अतः,$R_{Al} = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
$^{125}_{53}Te$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{Te} = 125$ है। अतः,$R_{Te} = R_0 (125)^{1/3} = 5 R_0$.
दोनों त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_{Te}}{R_{Al}} = \frac{5 R_0}{3 R_0} = \frac{5}{3}$.
इसलिए,$R_{Te} = \frac{5}{3} R_{Al}$.

(D) नाभिक ${ }_{6} C^{13}$ और ${ }_{7} N^{14}$ के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए,हम प्रत्येक में न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ की गणना करते हैं।
${ }_{6} C^{13}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 6$ और द्रव्यमान संख्या $A = 13$ है। न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 13 - 6 = 7$ है।
${ }_{7} N^{14}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 7$ और द्रव्यमान संख्या $A = 14$ है। न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 14 - 7 = 7$ है।
चूंकि दोनों नाभिकों में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(N = 7)$ है,इसलिए उन्हें समन्यूट्रॉनिक (isotones) कहा जाता है।

(B) $X$-किरणों का उत्सर्जन: ये परमाणु के आंतरिक ऊर्जा स्तरों में संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं,न कि सतह से इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन द्वारा।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन: उपयुक्त आवृत्ति वाले विकिरणों द्वारा धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है।
द्वितीयक उत्सर्जन: जब कोई इलेक्ट्रॉन धातु की प्लेट की सतह से टकराता है,तो यह सतह से अन्य इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करता है।
तापायनिक उत्सर्जन: जब धातु को उच्च तापमान पर गर्म किया जाता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन पर्याप्त गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं और धातु की सतह से बाहर निकल जाते हैं।

(D) प्रेरक में प्रेरित $e.m.f.$ का सूत्र है: $e.m.f. = L \frac{dI}{dt}$.
यहाँ,$L = 40\; mH = 40 \times 10^{-3}\; H$ है।
धारा में परिवर्तन $dI = 11\; A - 1\; A = 10\; A$ है।
समय अंतराल $dt = 4\; ms = 4 \times 10^{-3}\; s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e.m.f. = (40 \times 10^{-3}) \times \frac{10}{4 \times 10^{-3}}$.
$e.m.f. = 40 \times \frac{10}{4} = 10 \times 10 = 100\; V$.