AIIMS 1998 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) विस्थापन सदिश को $\vec{r} = 12\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
परिणामी विस्थापन $R$ का परिमाण सूत्र $R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R = \sqrt{12^2 + 5^2 + 6^2}$.
$R = \sqrt{144 + 25 + 36}$.
$R = \sqrt{205}$.
$R \approx 14.31 \, m$.

(A) कोणीय वेग $(\omega)$ को समय $(t)$ के सापेक्ष कोणीय विस्थापन $( \theta)$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\omega = \frac{\theta}{t}$।
कोणीय विस्थापन $( \theta)$ का विमीय सूत्र विमाहीन होता है,जिसे $[M^0L^0T^0]$ के रूप में दर्शाया जाता है।
समय $(t)$ का विमीय सूत्र $[T]$ है।
अतः,कोणीय वेग का विमीय सूत्र $[\omega] = \frac{[M^0L^0T^0]}{[T]} = [M^0L^0T^{-1}]$ होगा।

(B) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = m r \omega^2$ होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5\, kg$
त्रिज्या $r = 1\, m$
कोणीय वेग $\omega = 2\, rad/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F_c = 5 \times 1 \times (2)^2$
$F_c = 5 \times 1 \times 4$
$F_c = 20\, N$.
अतः,अभिकेंद्र बल $20\, N$ है।

(D) प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,क्षैतिज परास अधिकतम ऊँचाई का तीन गुना है,इसलिए $R = 3H$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2 \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \theta$.
$\tan \theta$ का मान ज्ञात करने पर:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1.333) \approx 53^\circ 8'$.

(C) त्वरित फ्रेम में किसी वस्तु का आभासी वजन $W_{app} = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ ऊपर की ओर त्वरण है।
शुरुआत में,जैसे ही हवाई जहाज उड़ान भरता है और ऊंचाई प्राप्त करता है,वह ऊपर की ओर त्वरण का अनुभव करता है,जिससे स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग बढ़ जाती है।
जैसे ही हवाई जहाज अधिक ऊंचाई पर पहुंचता है,त्वरण शून्य (या नगण्य) हो जाता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का मान ऊंचाई के साथ घटता है $(g' = g(1 - 2h/R))$।
इसलिए,स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग पहले ऊपर की ओर त्वरण के कारण बढ़ेगी और फिर अधिक ऊंचाई पर गुरुत्वाकर्षण बल में कमी के कारण घटेगी।

(C) रॉकेट की गति रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
जैसे-जैसे ईंधन जलता है,गर्म गैसें बहुत उच्च वेग के साथ रॉकेट के नोजल से नीचे की दिशा में बाहर निकलती हैं।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ये गैसें रॉकेट पर ऊपर की दिशा में समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती हैं।
यह ऊपर की ओर लगने वाला बल रॉकेट को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर उठाने के लिए आवश्यक प्रणोद (thrust) प्रदान करता है।

(D) हुक के नियम के अनुसार स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{F}{x}$ होता है।
यहाँ $F = 10 \, N$ और $x = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है।
अतः,$k = \frac{10}{1 \times 10^{-3}} = 10^4 \, N/m$।
स्प्रिंग को $x = 40 \, mm = 40 \times 10^{-3} \, m$ विस्थापित करने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (40 \times 10^{-3})^2$।
$W = \frac{1}{2} \times 10^4 \times (1600 \times 10^{-6}) = \frac{1}{2} \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-3} = 0.5 \times 16 = 8 \, J$।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ है और प्रारंभिक संवेग $P_1$ है। अतः $P_1 = \sqrt{2mE_1}$।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = 4E_1$ है और नया संवेग $P_2$ है।
अतः $P_2 = \sqrt{2mE_2} = \sqrt{2m(4E_1)} = 2\sqrt{2mE_1} = 2P_1$।
इसलिए,नया संवेग अपने प्रारंभिक मान का दोगुना हो जाएगा।

(A) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P$ संवेग है और $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,जब राइफल से गोली चलाई जाती है,तो राइफल का संवेग और गोली का संवेग परिमाण में समान होता है $(P_{rifle} = P_{bullet} = P)$।
चूंकि $P$ दोनों के लिए स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{m})$।
चूंकि राइफल का द्रव्यमान $(M)$ गोली के द्रव्यमान $(m)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए राइफल की गतिज ऊर्जा गोली की गतिज ऊर्जा से काफी कम होगी।

(D) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ में द्रव्यमान $m$ पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान $m$ के सीधे समानुपाती होता है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $g$ को प्रति इकाई द्रव्यमान बल के रूप में परिभाषित किया गया है,$g = F/m$,जिसका अर्थ है $F = mg$। चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ द्रव्यमान के चारों ओर के स्थान का एक गुण है,और बल $F$ एक अंतःक्रिया है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान मौलिक रूप से इन सभी राशियों से संबंधित है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सही विकल्प $(B)$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण,द्रव की सतह एक निश्चित आयतन के लिए अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल को न्यूनतम रखने की प्रवृत्ति रखती है।
सभी ज्यामितीय आकृतियों में,एक निश्चित आयतन के लिए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे कम होता है।
इसलिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा को कम करने के लिए,वर्षा की बूंदें स्वाभाविक रूप से गोलाकार आकार ले लेती हैं।

(B) $R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में विभाजित करने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $r = R / n^{1/3}$ प्राप्त होता है।
इसका मान रखने पर,$W = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
यहाँ $R = 10^{-3} \, m$,$n = 10^6$,और $T = 72 \times 10^{-3} \, J/m^2$ दिया गया है।
$W = 4 \times 3.1416 \times (10^{-3})^2 \times 72 \times 10^{-3} \times ( (10^6)^{1/3} - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \times 72 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 72 \times 99 \times 10^{-9} \approx 8.95 \times 10^{-5} \, J$.

(C) प्लेटिनम प्रतिरोध थर्मामीटर में 'स्टेम करेक्शन' उन कनेक्टिंग तारों (लीड्स) के प्रतिरोध के कारण उत्पन्न होता है जो प्लेटिनम कॉइल को मापने वाले उपकरण से जोड़ते हैं।
जैसे-जैसे लीड्स का तापमान बदलता है,उनका प्रतिरोध बदल जाता है,जिससे तापमान माप में त्रुटि आ जाती है।
इस त्रुटि को समाप्त करने के लिए 'कॉम्पेन्सेटिंग लीड्स' (Compensating leads) का उपयोग किया जाता है। ये लीड्स मुख्य लीड्स के समान ही होती हैं और इन्हें एक ही वातावरण में रखा जाता है,जिससे मुख्य लीड्स के प्रतिरोध में होने वाला परिवर्तन कॉम्पेन्सेटिंग लीड्स के प्रतिरोध में होने वाले परिवर्तन द्वारा संतुलित हो जाता है।

(C) परम शून्य को $0 \,K$ या $-273.15 \,^\circ C$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = 0 \,K$ पर, वेग $v_{rms}$ शून्य हो जाता है।
इसका अर्थ है कि परम शून्य पर अणुओं की यादृच्छिक तापीय गति रुक जाती है।
इसलिए, विकल्प $(C)$ सही है।

(D) जब तापमान स्थिर रहता है,तब किसी ठोस पदार्थ के इकाई द्रव्यमान को उसके गलनांक पर ठोस अवस्था से द्रव अवस्था में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा को गलन की गुप्त ऊष्मा (Latent heat of fusion) के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सापेक्ष आर्द्रता को समान तापमान पर जल वाष्प के आंशिक दाब और जल के संतृप्त वाष्प दाब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
जल वाष्प का आंशिक दाब $(P_W)$ = $0.012 \times 10^5 \, Pa$
जल का संतृप्त वाष्प दाब $(P_V)$ = $0.016 \times 10^5 \, Pa$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{P_W}{P_V} \times 100\%$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{0.012 \times 10^5}{0.016 \times 10^5} \times 100\%$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{0.012}{0.016} \times 100\% = \frac{12}{16} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.

(D) विसरण वह प्रक्रिया है जिसमें कण उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से निम्न सांद्रता वाले क्षेत्र की ओर गति करते हैं।
गैसों में,अंतर-आणविक बल बहुत कमजोर होते हैं और कणों के पास उच्च गतिज ऊर्जा होती है,जिससे वे स्वतंत्र रूप से और तेजी से गति कर सकते हैं।
द्रवों में,कण गैसों की तुलना में अधिक निकटता से पैक होते हैं,और ठोसों में,वे बहुत कम गति करने की जगह के साथ कसकर पैक होते हैं।
इसलिए,अंतर-आणविक स्थान और गतिज ऊर्जा में अंतर के कारण विसरण की दर गैसों में सबसे अधिक,उसके बाद द्रवों में,और ठोसों में सबसे कम होती है।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (root mean square velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
परम शून्य ताप पर,$T = 0 \ K$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $v_{rms} = \sqrt{\frac{3R(0)}{M}} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वर्ग माध्य मूल वेग अणुओं की औसत गति को दर्शाता है,इसलिए $0$ वेग का अर्थ है कि परम शून्य ताप पर सभी आणविक गति रुक जाती है।

(B) ऊष्मागतिक प्रक्रिया में,गैस द्वारा किया गया कार्य $PV$ वक्र और आयतन अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आयतन ${V_1}$ से ${V_2}$ तक के विस्तार के लिए,समदाबी प्रक्रिया में दाब $P$ स्थिर रहता है,जबकि समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाओं में दाब घटता है।
चूंकि समदाबी प्रक्रिया में पूरे विस्तार के दौरान दाब सबसे अधिक बना रहता है,इसलिए $PV$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।
अतः,किए गए कार्य का क्रम इस प्रकार है: ${W_{adiabatic}} < {W_{isothermal}} < {W_{isobaric}}$.
इस प्रकार,समदाबी विस्तार में किया गया कार्य सबसे अधिक होता है।

(B) जब आप किसी सतह को छूते हैं,तो यदि सतह आपके शरीर से ठंडी है,तो ऊष्मा आपके शरीर से सतह की ओर प्रवाहित होती है।
धातुएँ ऊष्मा की अच्छी सुचालक होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊष्मीय चालकता उच्च होती है।
इस उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण,ऊष्मा आपकी त्वचा से धातु में बहुत तेजी से स्थानांतरित होती है।
इसके विपरीत,लकड़ी ऊष्मा की कुचालक (अचालक) होती है,इसलिए यह आपकी त्वचा से ऊष्मा को बहुत धीमी गति से दूर ले जाती है।
इसलिए,धातु ठंडी महसूस होती है क्योंकि यह आपके शरीर से ऊष्मा को बहुत तेज दर से खींचती है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
सर्दियों में,आसपास का तापमान मानव शरीर के तापमान $(37.4 ^\circ C)$ की तुलना में काफी कम होता है।
ऊनी कपड़ों के रेशों के बीच बड़ी मात्रा में हवा फंसी होती है।
चूंकि हवा ऊष्मा की बहुत खराब संवाहक (कुचालक) है और ऊन स्वयं भी ऊष्मा का कुचालक है,इसलिए ये कपड़े एक इंसुलेटर के रूप में कार्य करते हैं।
यह मानव शरीर द्वारा उत्पन्न गर्मी को ठंडे वातावरण में बाहर निकलने से रोकता है,जिससे शरीर गर्म रहता है।

(C) ऊष्मा का स्थानांतरण तीन मुख्य प्रक्रियाओं द्वारा होता है: चालन,संवहन और विकिरण।
चालन के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है और इसमें अणुओं के टकराव के माध्यम से ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।
संवहन के लिए भी एक भौतिक माध्यम (तरल या गैस) की आवश्यकता होती है और इसमें पदार्थ की वास्तविक गति शामिल होती है।
विकिरण विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में ऊष्मा के स्थानांतरण की प्रक्रिया है,जिन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
इसलिए,ऊष्मा निर्वात में केवल विकिरण द्वारा ही यात्रा कर सकती है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 50\, mm = 50 \times 10^{-3}\, m = 0.05\, m$.
आवर्तकाल $T = 2\, s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\, rad/s$.
मान रखने पर: $v_{\max} = 0.05 \times \pi$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें $v_{\max} = 0.05 \times 3.14159 \approx 0.157\, m/s$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.16\, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है।
यह गोलक के द्रव्यमान, पदार्थ या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, धातु के गोलक को लकड़ी के गोलक से बदलने पर लोलक के आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) स्प्रिंग से लटके द्रव्यमान $m$ के दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
यहाँ दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ के लिए आवर्तकाल $T_1 = 2 \, s$ है।
द्रव्यमान $m_2 = 4m$ के लिए,नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार होगा: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$.
$T_2$ को $T_1$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$T_2 = 2 \times T_1 = 2 \times 2 \, s = 4 \, s$.

(B) इकाई लंबाई में तरंगों की संख्या को तरंग संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का व्युत्क्रम होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\overline{n} = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
यहाँ,$\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $v$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (जो $\gamma$ और $M$ द्वारा दर्शाई जाती है) पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिर तापमान पर गैस के दबाव $P$ और घनत्व $\rho$ से स्वतंत्र है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) अनुप्रस्थ तरंगों में माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।
चूंकि प्रश्न में इसी विशिष्ट गति का वर्णन किया गया है,इसलिए सही उत्तर $A$ है।

(B) एक स्थिर तरंग समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने से बनती है।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ है।
बिंदु $x = 0$ के एक निस्पंद होने के लिए,$x = 0$ पर सभी समय $t$ के लिए परिणामी विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ है।
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ होता है।
इसे एक निस्पंद (शून्य विस्थापन) होने के लिए,$\cos (\phi/2) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\phi/2 = \pi/2$,या $\phi = \pi$।
दूसरी तरंग के समीकरण में $\phi = \pi$ रखने पर:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$।

(A) एक अप्रगामी तरंग (जिसे स्टैंडिंग वेव भी कहा जाता है) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती है।
अप्रगामी तरंग में,ऊर्जा नोड्स (nodes) के बीच फंसी रहती है और माध्यम में आगे नहीं बढ़ती है।
हालांकि ऊर्जा विभिन्न बिंदुओं पर गतिज और स्थितिज रूपों के बीच दोलन करती है,लेकिन माध्यम में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
इसके विपरीत,प्रगामी तरंगें,अनुप्रस्थ तरंगें और विद्युतचुंबकीय तरंगें सभी ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के लिए जानी जाती हैं।
इसलिए,सही उत्तर $A$ है।

(C) डोरी की लंबाई $l = 10 \; m$ है। खंडों की संख्या $p = 5$ है। तरंग का वेग $v = 20 \; m/s$ है।
जब डोरी $p$ खंडों में कंपन करती है,तो लंबाई $l$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $l = p \cdot \frac{\lambda}{2}$ होता है।
मान रखने पर,$10 = 5 \cdot \frac{\lambda}{2}$,जिसे सरल करने पर $\lambda = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4 \; m$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,$f = \frac{20 \; m/s}{4 \; m} = 5 \; Hz$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
इसका अर्थ है कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
दिया गया है कि अतिरिक्त दबाव का अनुपात $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$ है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 3$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्या का अनुपात रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$।

(C) कोणीय विस्थापन $\theta(t) = 2t^3 + 0.5$ द्वारा दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$.
$t$ के सापेक्ष $\theta$ का अवकलन करने पर: $\omega = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5) = 6t^2$.
$t = 2 \ s$ पर कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए,$\omega$ के व्यंजक में $t = 2$ प्रतिस्थापित करें:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \ rad/s$.

(B) उबलते पानी का प्रारंभिक तापमान $100\,^{\circ}C$ या $212\,^{\circ}F$ होता है।
फारेनहाइट में अंतिम तापमान $F = 140\,^{\circ}F$ है।
रूपांतरण सूत्र $\frac{C}{100} = \frac{F-32}{180}$ का उपयोग करके,हम सेल्सियस में अंतिम तापमान ज्ञात करते हैं:
$\frac{C}{100} = \frac{140-32}{180} = \frac{108}{180} = 0.6$
$C = 60\,^{\circ}C$.
सेंटीग्रेड पैमाने पर तापमान में गिरावट $\Delta C = 100\,^{\circ}C - 60\,^{\circ}C = 40\,^{\circ}C$ होगी।

(A) जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उच्चतम बिंदु पर उसका वेग $0 \ m/s$ हो जाता है।
हालाँकि,गुरुत्वाकर्षण बल उस पर लगातार कार्य करता रहता है,जिसके परिणामस्वरूप $g \approx 9.8 \ m/s^2$ का नीचे की ओर त्वरण बना रहता है।
इस प्रकार,किसी विशिष्ट क्षण पर वेग शून्य होने पर भी पिंड में त्वरण हो सकता है।
अतः,$Assertion$ सही है।
जब कोई पिंड अपनी गति की दिशा बदलता है,तो विपरीत दिशा में गति करने से पहले उसे क्षणिक रूप से विराम अवस्था (वेग शून्य) में आना पड़ता है।
वेग में यह परिवर्तन पिंड पर कार्य कर रहे त्वरण के कारण होता है।
इसलिए,$Reason$ सही है और यह $Assertion$ के लिए एक वैध व्याख्या प्रदान करता है।

(D) $Assertion$ गलत है क्योंकि नियत त्वरण वाला पिंड हमेशा सीधी रेखा में गति करे यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,प्रक्षेप्य गति में,गुरुत्वीय त्वरण नियत होता है,लेकिन पथ परवलयाकार होता है।
$Reason$ सही है क्योंकि नियत त्वरण वाले पिंड की गति नहीं भी बढ़ सकती है। उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण नियत होता है,लेकिन पिंड की चाल स्थिर रहती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ (क्योंकि पानी विरामावस्था से गिरता है),त्वरण $a = g = 9.8 \ m/s^2$,और विस्थापन $s = 19.6 \ m$ है।
मान रखने पर:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$
$v^2 = 2 \times 9.8 \times (2 \times 9.8)$
$v^2 = (2 \times 9.8)^2$
$v = 2 \times 9.8 = 19.6 \ m/s$।
अतः,टरबाइन पर पानी का वेग $19.6 \ m/s$ है।

(D) पिघलने की प्रक्रिया के दौरान,पदार्थ का तापमान स्थिर रहता है,लेकिन दी गई ऊष्मा (गुप्त ऊष्मा) का उपयोग ठोस के कणों के बीच के अंतर-आणविक आकर्षण बलों को दूर करने के लिए किया जाता है।
यह प्रक्रिया अणुओं की स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाती है,जिससे निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।
इसलिए,Assertion गलत है।
गुप्त ऊष्मा को उस ऊष्मा ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो पदार्थ के तापमान को बदले बिना उसके इकाई द्रव्यमान की अवस्था को बदलने के लिए आवश्यक होती है,जो Reason को सही बनाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) आवेश की मूल इकाई इलेक्ट्रॉन है,जो ऋणात्मक आवेश वहन करती है।
जब कोई उदासीन वस्तु अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्राप्त करती है,तो इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या प्रोटॉन की संख्या से अधिक हो जाती है।
चूंकि प्रोटॉन धनात्मक रूप से आवेशित होते हैं और इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होते हैं,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की अधिकता के कारण वस्तु पर शुद्ध ऋणात्मक आवेश आ जाता है।
अतः,किसी वस्तु को अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन देने से वह ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाती है।

(B) पृथ्वी को एक अच्छा चालक माना जाता है। अपने विशाल आकार के कारण,यह अपने विभव में महत्वपूर्ण परिवर्तन किए बिना लगभग असीमित मात्रा में आवेश को स्वीकार या प्रदान कर सकती है। परिपाटी के अनुसार,पृथ्वी का विद्युत विभव $0 \ V$ लिया जाता है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $C = 3\,F$,$d = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$,और $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \frac{3 \times 5 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A \approx 1.694 \times 10^9\,m^2$.

(A) परिपथ में एक $3 \ V$ की बैटरी है जो प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ के साथ समानांतर में जुड़ी है और प्रतिरोधों $R_2, R_3, R_4$ का एक श्रेणी संयोजन है।
सबसे पहले,$R_2, R_3, R_4$ वाली श्रेणी शाखा का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_s = R_2 + R_3 + R_4 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
अब,यह $R_s$,$R_1 = 2 \ \Omega$ के साथ समानांतर में है। परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = 1.5 \ \Omega$ या $\frac{3}{2} \ \Omega$.
बैटरी से ली गई कुल धारा $i$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \ V}{1.5 \ \Omega} = 2 \ A$.

(A) पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र उसकी सतह पर एक छोटे क्षेत्र में लगभग एकसमान होता है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ पृथ्वी की सतह के समानांतर एक विशिष्ट दिशा में चलने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं का प्रतिनिधित्व करता है। एक स्थानीय क्षेत्र में,इन चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को समानांतर सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) एक ट्रांसफॉर्मर में दो कुंडलियाँ (coils) होती हैं,प्राथमिक और द्वितीयक,जो एक सामान्य कोर पर लिपटी होती हैं। जब प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ प्रवाहित होती है,तो यह एक बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करती है। यह बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स द्वितीयक कुंडली से जुड़ता है,जो उसमें एक विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित करता है। यह घटना,जिसमें एक कुंडली में धारा के परिवर्तन के कारण पास की दूसरी कुंडली में emf प्रेरित होता है,अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) कहलाती है। इसलिए,ट्रांसफॉर्मर अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित है।

(A) ट्रांसफार्मर में,हिस्टेरेसिस हानि सहित विभिन्न कारकों के कारण ऊर्जा की हानि होती है।
सॉफ्ट चुंबकीय सामग्री,जैसे कि सॉफ्ट आयरन (नरम लोहा),में हिस्टेरेसिस लूप संकीर्ण होता है,जिसके परिणामस्वरूप हिस्टेरेसिस हानि कम होती है।
इसलिए,इन हानियों को कम करने और ट्रांसफार्मर की दक्षता बढ़ाने के लिए सॉफ्ट आयरन कोर का उपयोग किया जाता है।

(A) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = e \cdot V$ होता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \, C$ और विभवांतर $V = 100 \, V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (1.602 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$K = 1.602 \times 10^{-17} \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रयोग में,प्रकाश-विद्युत धारा सीधे आपतित विकिरण की तीव्रता के समानुपाती होती है,बशर्ते कि आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक हो।
- कार्य फलन केवल धातु की सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
- निरोधी विभव और उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है,तीव्रता पर नहीं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ का अर्ध-आयु काल $T_{1/2}$,क्षय नियतांक $\lambda$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$।
यहाँ क्षय नियतांक $\lambda = 1.07 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07 \times 10^{-4}}$
$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.07} \times 10^4$
$T_{1/2} \approx 0.6476 \times 10^4 = 6476 \text{ years}$।
अतः,अर्ध-आयु काल $6476 \text{ years}$ है।

(C) मृगतृष्णा (Mirage) गर्म रेगिस्तानों या गर्म सड़कों पर देखी जाने वाली एक दृष्टिभ्रम है।
यह प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण होती है।
जैसे-जैसे प्रकाश सघन माध्यम (जमीन के पास की ठंडी हवा) से विरल माध्यम (ऊपर की गर्म हवा) में यात्रा करता है,हवा का अपवर्तनांक लगातार बदलता रहता है।
जब आपतन कोण हवा की परतों के बीच के क्रांतिक कोण से अधिक हो जाता है,तो प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो जाता है,जिससे दूर की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब बनता है।

(C) एक सरल सूक्ष्मदर्शी कम फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस से बना होता है।
जब किसी वस्तु को उत्तल लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच रखा जाता है,तो वस्तु की ओर ही एक आभासी,सीधा और आवर्धित प्रतिबिंब बनता है।
इसलिए,व्यक्ति एक सीधा आभासी प्रतिबिंब देखता है।

(B) एक खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस का उपयोग दूर की वस्तुओं से प्रकाश एकत्र करने के लिए किया जाता है,इसलिए इसके लिए बड़े द्वारक (aperture) और लंबी फोकस दूरी $(f_0)$ की आवश्यकता होती है।
नेत्रिका एक साधारण आवर्धक (magnifier) के रूप में कार्य करती है और इसके लिए कम फोकस दूरी $(f_e)$ की आवश्यकता होती है।
अतः,खगोलीय दूरदर्शी के लिए शर्त $f_0 > f_e$ है।

(C) दीप्ति तीव्रता $I$ को प्रति इकाई ठोस कोण (solid angle) दीप्ति फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $I = \frac{d\phi}{d\Omega}$ द्वारा दिया जाता है।
सभी दिशाओं में समान रूप से प्रकाश उत्सर्जित करने वाले बिंदु स्रोत के लिए, कुल ठोस कोण $4\pi \, \text{steradians}$ होता है।
एकदिशीय बल्ब के लिए, फ्लक्स एक विशिष्ट ठोस कोण में उत्सर्जित होता है। ऐसे प्रश्नों के लिए मानक व्याख्या के अनुसार, जहाँ स्रोत को पूर्ण गोले पर समदैशिक (isotropic) माना जाता है, कुल दीप्ति फ्लक्स $\phi = I \times \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I = 100 \, \text{candela}$ और $\Omega = 4\pi \, \text{steradians}$ दिया गया है:
$\phi = 100 \times 4 \times 3.14159$
$\phi = 1256.6 \, \text{lumen}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1256 \, \text{lumen}$ है।

(C) प्रकाश के अवरोधों के किनारों पर मुड़ने की घटना को विवर्तन (diffraction) कहा जाता है। विवर्तन केवल तभी महत्वपूर्ण होता है जब अवरोध या छिद्र का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय हो। चूंकि दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी ($400 \, nm$ से $700 \, nm$) होती है, इसलिए यह हमारे दैनिक जीवन में सामान्य वस्तुओं के चारों ओर ध्यान देने योग्य विवर्तन नहीं दिखाता है। परिणामस्वरूप, प्रकाश सीधी रेखाओं में गमन करता हुआ प्रतीत होता है, जिसे प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण कहा जाता है। अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) मैक्सवेल के $EM$ सिद्धांत के अनुसार,समय के साथ बदलता हुआ विद्युत क्षेत्र विस्थापन धारा उत्पन्न करता है,जो बदले में चुंबकीय क्षेत्र के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
इसे मैक्सवेल-एम्पीयर नियम द्वारा दर्शाया गया है: $\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$,जहाँ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ विस्थापन धारा है।
अतः,एक बदलता हुआ विद्युत क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र को जन्म देता है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ समान और विपरीत होते हैं,जिससे $X_L - X_C = 0$ हो जाता है।
इस स्थिति में,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ हो जाती है,और धारा $I = \frac{V}{Z}$ अधिकतम हो जाती है।
चूंकि अनुनाद के लिए शर्त वास्तव में $X_L = X_C$ है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) सामान्य न्यूटन के वलय प्रयोग में,लेंस $(n_l)$ और कांच की प्लेट $(n_g)$ के बीच हवा होती है,जहाँ $n_l > n_{air}$ और $n_g > n_{air}$ होता है। हवा की परत की निचली सतह पर परावर्तन कांच-हवा इंटरफेस (सघन से विरल) पर होता है,जबकि ऊपरी सतह पर परावर्तन हवा-कांच इंटरफेस (विरल से सघन) पर होता है। यह एक किरण के लिए $\pi$ का कलांतर (phase change) लाता है,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय बिंदु काला (dark) होता है।
जब इस स्थान को $n_{liq} > n_g$ वाले द्रव से भर दिया जाता है,तो निचली सतह पर परावर्तन कांच-द्रव इंटरफेस (विरल से सघन) पर होता है और ऊपरी सतह पर परावर्तन द्रव-कांच इंटरफेस (सघन से विरल) पर होता है।
चूंकि अब दोनों परावर्तन समान परिस्थितियों में होते हैं (या तो दोनों में कला परिवर्तन होता है या दोनों में नहीं),केंद्र पर पथ अंतर प्रभावी रूप से शून्य हो जाता है,जिससे संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) होता है। इस प्रकार,केंद्रीय बिंदु चमकीला हो जाता है। कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह बताता है कि कला परिवर्तन की स्थितियाँ केंद्र को चमकीला क्यों बनाती हैं।

(A) न्यूटन का कॉर्पस्कुलर सिद्धांत बताता है कि प्रकाश कॉर्पस्कल्स नामक छोटे कणों से बना है।
इस सिद्धांत के अनुसार,जैसे ही प्रकाश सघन माध्यम में प्रवेश करता है,उसका वेग बढ़ जाता है क्योंकि कण माध्यम द्वारा आकर्षित होते हैं।
हालाँकि,प्रयोगात्मक साक्ष्य बताते हैं कि विरल माध्यम की तुलना में सघन माध्यम में प्रकाश का वेग कम होता है।
इसलिए,कॉर्पस्कुलर सिद्धांत विभिन्न माध्यमों में प्रकाश के देखे गए वेग को समझाने में विफल रहता है।
चूंकि कारण सही ढंग से बताता है कि सिद्धांत विफल क्यों होता है,इसलिए दोनों कथन सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) निर्वात में,सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें (प्रकाश के विभिन्न रंगों सहित) समान गति से यात्रा करती हैं,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$। अतः,कथन गलत है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अपवर्तनांक है। चूंकि $n$ माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है,इसलिए गति $v$ भी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है। अतः,कारण सही है।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $40 \ days$ है। $t$ समय के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$t = 20 \ days$ के लिए,अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{20}{40} = 0.5$ है।
शेष मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = N_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx 0.707 N_0$ है।
क्षयित मात्रा $N_0 - N = N_0 - 0.707 N_0 = 0.293 N_0$ है,जो $29.3\%$ है।
चूंकि $29.3\% \neq 25\%$,इसलिए कथन गलत है।
कारण में दिया गया सूत्र रेडियोधर्मी क्षय का मानक नियम है,जो सही है।
अतः,कथन गलत है लेकिन कारण सही है।