Probability Questions in Gujarati

(D) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કાઓને ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $N(S) = 8$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ બે છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપણને $0, 1,$ અથવા $2$ છાપ મળી શકે છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = \{TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $N(E) = 7$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{7}{8}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એકી (odd) ત્યારે જ મળે જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય. પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
બંને પાસા પર એકી સંખ્યા મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
આ પરિણામો છે: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$.
જો ગુણાકાર એકી ન હોય,તો તે બેકી હોય છે. તેથી,બેકી ગુણાકાર મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = n(S) - n(\text{એકી ગુણાકાર}) = 36 - 9 = 27$ છે.
બેકી ગુણાકાર મળે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ છે.

(A) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 15 + 10 = 25$.
$25$ માંથી $3$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{25}C_{3} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 2300$ છે.
$10$ માંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_{1} = 10$ છે.
$15$ માંથી $2$ છોકરાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{{}^{10}C_{1} \times {}^{15}C_{2}}{{}^{25}C_{3}} = \frac{10 \times 105}{2300} = \frac{1050}{2300} = \frac{21}{46}$.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W_1) = \frac{5}{12}$.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,કુલ દડાની સંખ્યા $12$ જ રહે છે અને સફેદ દડાની સંખ્યા પણ $5$ જ રહે છે.
બીજા પ્રયત્નમાં સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W_2) = \frac{5}{12}$.
આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,બંને દડા સફેદ હોય તેની સંભાવના $P(W_1 \cap W_2) = P(W_1) \times P(W_2) = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144}$ થાય.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$ છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B_1) = \frac{7}{12}$ છે.
દડાને ફરીથી થેલીમાં મૂકવામાં આવતો હોવાથી,બીજા પ્રયત્ન માટે પણ દડાઓની કુલ સંખ્યા $12$ જ રહે છે.
બીજા પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B_2) = \frac{7}{12}$ છે.
આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,બંને દડા કાળા હોય તેની સંભાવના $P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2) = \frac{7}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{49}{144}$ થાય.

(A) થેલીમાં દડાની કુલ સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$ છે.
પ્રથમ દડો કાઢ્યા પછી તેને પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,બીજા દડા માટે પણ કુલ દડાની સંખ્યા $12$ જ રહેશે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B_1) = \frac{7}{12}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W_2) = \frac{5}{12}$ છે.
આ બંને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,પ્રથમ દડો કાળો અને બીજો દડો સફેદ હોય તેની સંભાવના $P(B_1 \cap W_2) = P(B_1) \times P(W_2) = \frac{7}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{35}{144}$ થાય.

(D) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$ છે.
પ્રથમ દડો કાઢ્યા પછી તેને ફરીથી થેલીમાં મૂકવામાં આવતો હોવાથી,બીજા દડા માટે પણ કુલ દડાની સંખ્યા $12$ જ રહે છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W) = \frac{5}{12}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{7}{12}$ છે.
આ બંને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,પ્રથમ દડો સફેદ અને બીજો દડો કાળો હોય તેની સંભાવના $P(W \cap B) = P(W) \times P(B) = \frac{5}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{35}{144}$ થાય.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$.
$12$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $n(S) = {}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો ત્રણેય લાલ હોય,ત્રણેય લીલા હોય અથવા ત્રણેય કાળા હોય.
$3$ લાલ દડા પસંદ કરવાના પ્રકાર $= {}^{5}C_{3} = 10$.
$3$ લીલા દડા પસંદ કરવાના પ્રકાર $= {}^{4}C_{3} = 4$.
$3$ કાળા દડા પસંદ કરવાના પ્રકાર $= {}^{3}C_{3} = 1$.
એક જ રંગના દડા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકાર $= 10 + 4 + 1 = 15$.
બધા દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ છે.
તેથી,દડા એક જ રંગના ન હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ થાય.

(D) જ્યારે કોઈ ધન પૂર્ણાંકને $9$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શક્ય શેષ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ગણના પૂર્ણાંકો હોઈ શકે છે.
કુલ $9$ શક્ય પરિણામો છે,તેથી $n(S) = 9$.
ઘટના $E$ એ છે કે શેષ $1$ મળે. આ પરિણામ $\{1\}$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{9}$.

(C) જ્યારે કોઈ ધન પૂર્ણાંકને $9$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શક્ય શેષનો ગણ $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે.
કુલ $9$ શક્ય પરિણામો છે,તેથી $n(S) = 9$.
આપણે એવી સંભાવના શોધવી છે કે જેમાં શેષ $1$ ન હોય.
સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $E = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 8$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{9}$.

(C) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ એક છાપ મળવાની ઘટના છે. આનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય છાપ અથવા એક છાપ મળે.
સાનુકૂળ પરિણામો: $E = \{(H, T), (T, H), (T, T)\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{3}{4}$.

(D) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
આમ,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ બે છાપ મળવાની ઘટના છે.
'વધુમાં વધુ બે છાપ' નો અર્થ છે કે $0, 1,$ અથવા $2$ છાપ મળે.
નિદર્શાવકાશના તમામ પરિણામો આ શરતનું પાલન કરે છે:
$E = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{4} = 1$.

(B) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,જેમાં $52$ સંપૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
$\{(\text{રવિવાર, સોમવાર}), (\text{સોમવાર, મંગળવાર}), (\text{મંગળવાર, બુધવાર}), (\text{બુધવાર, ગુરુવાર}), (\text{ગુરુવાર, શુક્રવાર}), (\text{શુક્રવાર, શનિવાર}), (\text{શનિવાર, રવિવાર})\}$
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 7$ છે.
વર્ષમાં $53$ બુધવાર હોય તે માટે,બે વધારાના દિવસોમાંથી એક દિવસ બુધવાર હોવો જોઈએ. સાનુકૂળ પરિણામો છે:
$\{(\text{મંગળવાર, બુધવાર}), (\text{બુધવાર, ગુરુવાર})\}$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{7}$ થાય.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં કુલ $365$ દિવસો હોય છે.
$365$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ મળે છે.
આ વધારાનો દિવસ નીચેનામાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે: {રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર}.
આમ,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 7$ છે.
વર્ષમાં $53$ બુધવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ બુધવાર હોવો જોઈએ.
અહીં માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે,જે {બુધવાર} છે.
તેથી,$n(E) = 1$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{7}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ થી $12$ સુધી હોઈ શકે છે.
સરવાળો એકી સંખ્યા હોય તે માટે તે $3, 5, 7, 9,$ અથવા $11$ હોવો જોઈએ.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ ($4$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ ($6$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 9$: $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ ($4$ પરિણામો)
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ ($2$ પરિણામો)
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = 2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય અથવા બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય.
કિસ્સો $1$: બંને સંખ્યાઓ એકી હોય. શક્ય પરિણામો $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$ છે. આવા કુલ $9$ પરિણામો છે.
કિસ્સો $2$: બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય. શક્ય પરિણામો $(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)$ છે. આવા કુલ $9$ પરિણામો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 9 + 9 = 18$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
$3$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $3, 6, 9$ અને $12$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય. સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$
- સરવાળો $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$
- સરવાળો $= 9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
- સરવાળો $= 12$: $(6, 6)$
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $n(E) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12$ મળે છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ થાય.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવી છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $\leq 10$ હોય.
પૂરક ઘટનાની ગણતરી કરવી સરળ છે: સરવાળો $> 10$ હોય તેની સંભાવના.
$10$ થી વધુ સરવાળો $11$ અને $12$ હોઈ શકે.
સરવાળો $= 11$ માટેના પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
સરવાળો $= 12$ માટેનું પરિણામ $(6, 6)$ છે.
આમ,$10$ થી વધુ સરવાળા વાળા પરિણામોની સંખ્યા $n(E') = 3$ છે.
સરવાળો $> 10$ હોય તેની સંભાવના $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.
તેથી,સરવાળો $\leq 10$ હોય તેની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ થાય.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $6$ છે. તેના પરિણામો $(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)$ છે. તેથી,$n(E_1) = 5$.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $7$ છે. તેના પરિણામો $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ છે. તેથી,$n(E_2) = 6$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = n(E_1) + n(E_2) = 5 + 6 = 11$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસાઓ પર સમાન સંખ્યા હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$ અને $(6, 6)$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ મળે છે.

(C) કુલ $(6 + 8) = 14$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{14}C_{2} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91$ દ્વારા મળે છે.
$6$ સફેદ દડામાંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{1} = 6$ છે.
$8$ લાલ દડામાંથી $1$ લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{8}C_{1} = 8$ છે.
એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{1} = 6 \times 8 = 48$ છે.
તેથી,સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{48}{91}$ થાય.

(C) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $4$ છોકરીઓ + $6$ છોકરાઓ = $10$ વિદ્યાર્થીઓ.
આપણે $10$ માંથી $4$ વિદ્યાર્થીઓનું જૂથ બનાવવાનું છે.
$10$ માંથી $4$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $4$ ના જૂથમાં છોકરાઓની સંખ્યા છોકરીઓની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય.
(છોકરાઓ,છોકરીઓ) માટે શક્ય કિસ્સાઓ જ્યાં છોકરાઓ < છોકરીઓ:
કિસ્સો $1$: $1$ છોકરો અને $3$ છોકરીઓ. રીતોની સંખ્યા = ${}^{6}C_{1} \times {}^{4}C_{3} = 6 \times 4 = 24$.
કિસ્સો $2$: $0$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ. રીતોની સંખ્યા = ${}^{6}C_{0} \times {}^{4}C_{4} = 1 \times 1 = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 24 + 1 = 25$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42}$.

(B) આપેલા અંકો $2, 3, 4, 6$ અને $7$ છે. આપણે $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની છે (ધારો કે સ્થાન $H, T, U$ છે,જ્યાં $H$ = સો,$T$ = દશક,$U$ = એકમ).
સંખ્યા $300$ થી મોટી હોવા માટે,સોના સ્થાન $(H)$ પર $3, 4, 6$ અથવા $7$ હોવા જોઈએ.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,એકમના સ્થાન $(U)$ પર $3$ અથવા $7$ હોવા જોઈએ.
આપણે $H$ ની પસંદગીના આધારે ગણતરી કરીએ:
કિસ્સો $1$: $H = 3$. તો $U$ માટે માત્ર $7$ જ વિકલ્પ છે ($1$ રીત). દશકના સ્થાન $(T)$ માટે બાકીના $3$ અંકો $(2, 4, 6)$ માંથી કોઈ પણ પસંદ કરી શકાય. કુલ $= 1 \times 3 \times 1 = 3$.
કિસ્સો $2$: $H = 4$. તો $U$ માટે $3$ અથવા $7$ પસંદ કરી શકાય ($2$ રીત). દશકના સ્થાન $(T)$ માટે બાકીના $3$ અંકો પસંદ કરી શકાય. કુલ $= 1 \times 3 \times 2 = 6$.
કિસ્સો $3$: $H = 6$. તો $U$ માટે $3$ અથવા $7$ પસંદ કરી શકાય ($2$ રીત). દશકના સ્થાન $(T)$ માટે બાકીના $3$ અંકો પસંદ કરી શકાય. કુલ $= 1 \times 3 \times 2 = 6$.
કિસ્સો $4$: $H = 7$. તો $U$ માટે માત્ર $3$ જ વિકલ્પ છે ($1$ રીત). દશકના સ્થાન $(T)$ માટે બાકીના $3$ અંકો $(2, 4, 6)$ માંથી કોઈ પણ પસંદ કરી શકાય. કુલ $= 1 \times 3 \times 1 = 3$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 + 6 + 6 + 3 = 18$.

(D) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ છે.
$52$ પત્તાના પેકમાં $4$ રાણી હોય છે. જો આપણે $4$ પત્તા એવી રીતે ખેંચીએ કે જેમાં એક પણ રાણી ન હોય,તો આપણે બાકીના $52 - 4 = 48$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવા પડે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = {}^{48}C_4 = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{194580}{270725}$ થાય.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $P(E) = \frac{38916}{54145}$ મળે છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{52}C_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n(S) = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 17 \times 25 \times 49 = 270725$.
એક એક્કો,એક રાજા,એક રાણી અને એક ગલ્લો મેળવવા માટે,આપણે આ દરેક પ્રકારના $4$ પત્તામાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરીએ છીએ.
ડેકમાં $4$ એક્કા,$4$ રાજા,$4$ રાણી અને $4$ ગલ્લા હોય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{256}{270725}$ થાય.

(C) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ છે.
અંકવાળા પત્તા $2$ થી $10$ નંબરના હોય છે,તેથી દરેક પ્રકારમાં $9$ પત્તા હોય છે,કુલ $36$ અંકવાળા પત્તા છે.
ઓનર્સ પત્તા (મુખમુદ્રાવાળા અને એક્કો) એક્કો,રાજા,રાણી અને ગુલામ છે,તેથી દરેક પ્રકારમાં $4$ પત્તા હોય છે.
આપણને $2$ અંકવાળા પત્તા,$1$ કાળા રંગનું ઓનર્સ પત્તું અને $1$ લાલ રંગનું ઓનર્સ પત્તું જોઈએ છે.
$36$ માંથી $2$ અંકવાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2} = 630$ છે.
$8$ કાળા ઓનર્સ પત્તામાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીત ${}^{8}C_1 = 8$ છે.
$8$ લાલ ઓનર્સ પત્તામાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીત ${}^{8}C_1 = 8$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 630 \times 8 \times 8 = 40320$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{40320}{270725} = \frac{1152}{7735}$ છે.

(A) બોક્સમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 7 + 6 = 21$ છે.
ધારો કે $S$ એ નિદર્શાવકાશ છે,તેથી કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 21$ છે.
આપણે તે દડો લાલ કે લીલો ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
જો દડો લાલ કે લીલો ન હોય,તો તે વાદળી જ હોવો જોઈએ.
વાદળી દડાની સંખ્યા $7$ છે.
ધારો કે $E$ એ વાદળી દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે,તેથી $n(E) = 7$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ થાય.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 2 + 3 + 2 = 7$.
$7$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{1 \times 2} = 21$ છે.
તેથી,$n(S) = 21$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડામાંથી એક પણ વાદળી નથી. આનો અર્થ એ છે કે $2$ દડા $2$ લાલ અને $3$ લીલા દડામાંથી પસંદ કરવાના છે,જે કુલ $5$ બિન-વાદળી દડા થાય છે.
આ $5$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} = 10$ છે.
તેથી,$n(E) = 10$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{10}{21}$.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$ છે.
$12$ માંથી $3$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
$3$ લીલી લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{3} = ^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$3$ પીળી લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{4}C_{3} = ^{4}C_{1} = 4$ છે.
$3$ સફેદ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{3}C_{3} = 1$ છે.
ત્રણેય લખોટીઓ એક જ રંગની હોય તેવી કુલ રીતોની સંખ્યા $10 + 4 + 1 = 15$ છે.
ત્રણેય લખોટીઓ એક જ રંગની હોય તેની સંભાવના $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ છે.
તેથી,ત્રણેય લખોટીઓ એક જ રંગની ન હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ થાય.

(C) જ્યારે પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસાને બે વાર ફેંકતા સરવાળો $9$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$.
આવા કુલ $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
ધારો કે $E$ એ સરવાળો $9$ મેળવવાની ઘટના છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો સંયોજનના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ પરિણામો $= {}^{52}C_{2} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326$.
$52$ પત્તાના પ્રમાણિત પેકમાં $4$ રાજા હોય છે. $4$ માંથી $2$ રાજા ખેંચવાની રીતો:
સાનુકૂળ પરિણામો $= {}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$2$ રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.

(D) $52$ પત્તાંમાંથી $2$ પત્તાં પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $n(S) = {}^{52}C_{2}$ છે.
$n(S) = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326$.
આપણે $1$ કાળીનું અને $1$ લાલનું પત્તું પસંદ કરવાનું છે. પેકમાં $13$ કાળીના અને $13$ લાલના પત્તાં હોય છે.
$1$ કાળીનું પત્તું પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{13}C_{1} = 13$ છે.
$1$ લાલનું પત્તું પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{13}C_{1} = 13$ છે.
ધારો કે $E$ એ $1$ કાળીનું અને $1$ લાલનું પત્તું મેળવવાની ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 13 \times 13 = 169$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{169}{1326}$ થાય.
અંશ અને છેદને $13$ વડે ભાગતા,આપણને $P(E) = \frac{13}{102}$ મળે છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_{3}$ દ્વારા મળે છે:
${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
$5$ લાલ દડામાંથી $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{3}$ દ્વારા મળે છે:
${}^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
$3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{10}{455} = \frac{2}{91}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજીમાં પાસ થયો અને $F$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ફ્રેન્ચમાં પાસ થયો.
આપેલ છે:
$P(E) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(F) = \frac{20}{100} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(E \cap F) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી અથવા ફ્રેન્ચમાં પાસ થયો હોય,જે $P(E \cup F)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} - \frac{1}{10}$
$P(E \cup F) = \frac{3 + 2 - 1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $3 + 2 + 4 = 9$ છે.
$9$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો ${}^{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
આપણે $4$ બાળકોમાંથી બરાબર $2$ બાળકો પસંદ કરવાના છે,જે ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ રીતે કરી શકાય છે.
$4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી પૂર્ણ કરવા માટે,બાકીની $2$ વ્યક્તિઓ $5$ પુખ્ત વયના લોકો ($3$ પુરુષો + $2$ સ્ત્રીઓ) માંથી પસંદ કરવી પડશે. આ ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ રીતે કરી શકાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{2} = 6 \times 10 = 60$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$ થાય.

(B) પેટીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 6 = 15$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 15$ છે.
આપણે લાલ અથવા લીલો દડો મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 4$.
લીલા દડાની સંખ્યા $= 5$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4 + 5 = 9$.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{15}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(E) = \frac{3}{5}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $6 + 4 = 10$.
$10$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$4$ લાલ દડામાંથી $1$ લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{4}C_1 = 4$ છે.
$6$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = ${}^{4}C_1 \times {}^{6}C_2 = 4 \times 15 = 60$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ત્યારે જ એકી મળે જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય. પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે.
બંને સંખ્યાઓ એકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
જો ગુણાકાર એકી ન હોય,તો તે બેકી હોય છે. તેથી,ગુણાકાર બેકી હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 9 = 27$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

(B) $2$ સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
$2$ છાપ (tails) મળે તેવો સાનુકૂળ બનાવ $E = \{TT\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(A) જ્યારે $2$ સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
આપણે બરાબર $1$ છાપ (tail) મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે. સાનુકૂળ પરિણામો $HT$ અને $TH$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,બરાબર $1$ છાપ મળે તેની સંભાવના $1/2$ છે.

(C) જ્યારે $2$ સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ (sample space) $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
આપણે 'એક પણ છાપ (tail) ન મળે' તેની સંભાવના શોધવાની છે. આ પરિસ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને સિક્કા પર છાપ (head) મળે,એટલે કે $HH$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$
તેથી,એક પણ છાપ (tail) ન મળે તેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.

(B) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
બધા જ સિક્કા પર છાપ મળે તે ઘટના $E = \{HHH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$

(A) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
આપણે બરાબર $2$ છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે. સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$E = \{HHT, HTH, THH\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}$

(A) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે. સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
તેથી,સંભાવના $P$:
$P(\text{ઓછામાં ઓછી } 2 \text{ છાપ}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ $2$ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
તેની પૂરક ઘટના $E'$ એ $3$ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$3$ છાપ મળે તેવું માત્ર એક જ પરિણામ $\{HHH\}$ છે,તેથી $n(E') = 1$.
$3$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(E') = \frac{1}{8}$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વધુમાં વધુ $2$ છાપ મળવાની સંભાવના:
$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

(B) $3$ સિક્કા ઉછાળવા માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
આપણે એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય સિક્કા પર કાંટો (tail) મળે $(TTT)$.
સાનુકૂળ પરિણામ $E = \{TTT\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.

(C) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $1$ છાપ અને $1$ કાંટો મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે એવા પરિણામોને બાકાત રાખીએ છીએ જેમાં બધા છાપ $(HHH)$ અથવા બધા કાંટા $(TTT)$ હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(B) એક સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધવાના છે જેમાં છાપ અને કાંટો એકાંતરે આવે. આવા પરિણામો છે:
$HTH$ (છાપ,કાંટો,છાપ)
$THT$ (કાંટો,છાપ,કાંટો)
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) જ્યારે $4$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n$ એ સિક્કાઓની સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 4$,તેથી કુલ પરિણામો = $2^4 = 16$ થાય.
નિદર્શાવકાશ $S$ માં છાપ $(H)$ અને કાંટા $(T)$ ના તમામ શક્ય સંયોજનોનો સમાવેશ થાય છે:
$S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, THHT, TTHH, TTHT, TTTH, THTT, HTTT, TTTT\}$.
$4$ કાંટા (tails) મેળવવા માટે માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે,જે ${TTTT}$ છે.
તેથી,$4$ કાંટા મેળવવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(4 \text{ tails}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{16}$.

(B) જ્યારે $4$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે, ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય છે.
બરાબર $3$ છાપ (tails) મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: 
$(T, T, T, H), (T, T, H, T), (T, H, T, T), (H, T, T, T)$ છે.
આવા કુલ $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી, બરાબર $3$ છાપ મળે તેની સંભાવના 
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ થાય।