Probability Questions in Gujarati

(C) જ્યારે $4$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
$4$ સિક્કામાંથી બરાબર $2$ છાપ (tails) મેળવવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=4$ અને $r=2$ છે.
$^4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH$.
તેથી,બરાબર $2$ છાપ મળવાની સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ છે.

(B) જ્યારે $4$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
'ઓછામાં ઓછી $1$ છાપ' મળે તે ઘટના એ 'કોઈ છાપ ન મળે' (એટલે કે બધી જ છાપ કાંટો/હેડ હોય) તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
કોઈ પણ છાપ ન મળે તેવું માત્ર $1$ પરિણામ છે, જે $(H, H, H, H)$ છે.
$P(\text{બધી જ છાપ હેડ હોય}) = \frac{1}{16}$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી } 1 \text{ છાપ}) = 1 - P(\text{બધી જ છાપ હેડ હોય})$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી } 1 \text{ છાપ}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(C) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ $3$ અથવા $5$ નો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
$3$ નો સરવાળો આપતા પરિણામો: $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે.
$5$ નો સરવાળો આપતા પરિણામો: $(1, 4), (2, 3), (3, 2),$ અને $(4, 1)$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 2 + 4 = 6$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) જ્યારે $2$ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $12$ મેળવવા માટેનું સાનુકૂળ પરિણામ માત્ર $(6, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{36}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે પરિણામોનો સરવાળો $11$ થાય છે તે $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
સરવાળો $8$ મળે તેવા કુલ $5$ પરિણામો છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).$
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $5$ છે.
જરૂરી સંભાવનાનું સૂત્ર: $\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}.$
$\text{સંભાવના} = \frac{5}{36}.$

(C) જ્યારે $2$ પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
આવા કુલ $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) 'ડબલેટ' એટલે કે બંને પાસાની ઉપરની સપાટી પર સમાન અંક જોવા મળે.
જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ડબલેટ મેળવવાની ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$
આમ, સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$ છે.
તેથી, ડબલેટ મળવાની સંભાવના:
$P(\text{doublet}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક મળવાની ઘટના છે: $A = \{2, 4, 6\}$.
ધારો કે $B$ એ બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મળવાની ઘટના છે: $B = \{3, 6\}$.
આપણે એક પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
ધારો કે $E_1$ એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં પ્રથમ પાસો $2$ નો ગુણક અને બીજો પાસો $3$ નો ગુણક હોય: $E_1 = \{(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)\}$.
ધારો કે $E_2$ એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં પ્રથમ પાસો $3$ નો ગુણક અને બીજો પાસો $2$ નો ગુણક હોય: $E_2 = \{(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$.
$E_1 \cup E_2$ એ સાનુકૂળ પરિણામો દર્શાવે છે. નોંધો કે $(6,6)$ બંને સમૂહમાં સામાન્ય છે.
$E_1 \cup E_2 = \{(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6), (3,2), (3,4), (6,2), (6,4)\}$.
અનન્ય ઘટકો ગણતા,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $11$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{11}{36}$ છે.

(C) $2$ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે. પાસા પર $3$ ના ગુણકો ${3, 6}$ છે.
$(A, B)$ માટેના શક્ય પરિણામો જ્યાં $A \in {1, 3, 5}$ અને $B \in {3, 6}$ છે: $(1,3), (1,6), (3,3), (3,6), (5,3), (5,6)$. (કુલ $6$ પરિણામો).
ધારો કે $C$ એ પ્રથમ પાસા પર $3$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
$(C, D)$ માટેના શક્ય પરિણામો જ્યાં $C \in {3, 6}$ અને $D \in {1, 3, 5}$ છે: $(3,1), (3,3), (3,5), (6,1), (6,3), (6,5)$. (કુલ $6$ પરિણામો).
પરિણામ $(3,3)$ બંને ગણમાં સામાન્ય છે.
સંયોજનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,કુલ અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 6 - 1 = 11$ છે.
અનુકૂળ પરિણામો છે: $(1,3), (1,6), (3,3), (3,6), (5,3), (5,6), (3,1), (3,5), (6,1), (6,3), (6,5)$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{11}{36}$ છે.

(C) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
બેકી સંખ્યાઓની જોડીનો અર્થ એ છે કે બંને પાસા પર સમાન બેકી સંખ્યા આવે.
આ ઘટના $A$ માટે શક્ય પરિણામો છે: $A = \{(2, 2), (4, 4), (6, 6)\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
સંભાવના $P(A)$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $6$ થી ઓછો મળે તેવી ઘટના છે.
સરવાળો $6$ થી ઓછો હોય તેવા શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1)$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1)$
સરવાળો $= 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $n(A) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ મળે છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ થાય.

(D) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $7$ થી વધુ મળે તેવી ઘટના છે. શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11: (5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12: (6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ $10$ થી વધુ સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે. આ ઘટના માટે શક્ય પરિણામો $(5, 6), (6, 5),$ અને $(6, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઓછામાં ઓછો $10$ સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે (એટલે કે,સરવાળો $10, 11,$ અથવા $12$ હોય).
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળા $= 10$ માટે: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$
સરવાળા $= 11$ માટે: $(5, 6), (6, 5)$
સરવાળા $= 12$ માટે: $(6, 6)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $A = \{(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.

(D) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો એકી સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
બે પાસાનો સરવાળો એકી ત્યારે જ મળે જો એક પાસા પર બેકી સંખ્યા અને બીજા પાસા પર એકી સંખ્યા હોય.
એકી સરવાળા માટેના શક્ય પરિણામો:
$(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$.
આ પરિણામો ગણતા,આપણને $n(A) = 18$ મળે છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરના અંકોનો સરવાળો બેકી સંખ્યા ત્યારે જ મળે જો બંને અંકો બેકી હોય અથવા બંને અંકો એકી હોય.
ધારો કે $A$ એ બેકી સરવાળો મળવાની ઘટના છે.
બેકી સરવાળો આપતા પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)$.
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $n(A) = 18$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $6$ મળે તેવી ઘટના છે.
જે જોડીઓ $(x, y)$ માટે $x \times y = 6$ થાય છે તે $(1, 6), (6, 1), (2, 3),$ અને $(3, 2)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $3$ નો ગુણક મળે તેવી ઘટના છે. શક્ય સરવાળા $3, 6, 9, 12$ છે.
સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6, 6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(B) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી ઘટના છે જેમાં ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ હોય.
જે જોડીઓ $(x, y)$ માટે $x \times y$ પૂર્ણ વર્ગ હોય તે નીચે મુજબ છે:
$(1, 1) \rightarrow 1 \times 1 = 1 = 1^2$
$(1, 4) \rightarrow 1 \times 4 = 4 = 2^2$
$(2, 2) \rightarrow 2 \times 2 = 4 = 2^2$
$(3, 3) \rightarrow 3 \times 3 = 9 = 3^2$
$(4, 1) \rightarrow 4 \times 1 = 4 = 2^2$
$(4, 4) \rightarrow 4 \times 4 = 16 = 4^2$
$(5, 5) \rightarrow 5 \times 5 = 25 = 5^2$
$(6, 6) \rightarrow 6 \times 6 = 36 = 6^2$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $A = \{(1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 8$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ બે સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $4$ મળે તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6)$.
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને $n(A) = 11$ મળે છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ થાય છે.

(A) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે. આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ $\rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ $\rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) $3$ પાસાઓને ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $18$ મળે તે માટે માત્ર એક જ શક્ય પરિણામ છે: $(6, 6, 6)$,જે $1$ કિસ્સો છે.
સરવાળો $17$ મળે તે માટેના શક્ય પરિણામો $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$ છે,જે $3$ કિસ્સાઓ છે.
તેથી,સરવાળો $17$ અથવા $18$ મળે તે માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $1 + 3 = 4$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$.

(C) $3$ પાસાઓને ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધવાના છે જેમાં $3$ પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $5$ થાય.
શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 3)$ જેને $3$ રીતે ગોઠવી શકાય: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$.
$(1, 2, 2)$ જેને $3$ રીતે ગોઠવી શકાય: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

(A) $3$ પાસાઓને ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
વધુમાં વધુ $5$ સરવાળો એટલે કે $3$ પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $3, 4$ અથવા $5$ થાય.
સરવાળો $3$ મળે તેવા કિસ્સાઓ: $(1, 1, 1)$ - $1$ કિસ્સો.
સરવાળો $4$ મળે તેવા કિસ્સાઓ: $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ - $3$ કિસ્સાઓ.
સરવાળો $5$ મળે તેવા કિસ્સાઓ: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ - $6$ કિસ્સાઓ.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 3 + 6 = 10$.
તેથી,સરવાળો વધુમાં વધુ $5$ હોય તેની સંભાવના $\frac{10}{216} = \frac{5}{108}$ થાય.

(C) $3$ પાસાઓને ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $E$ એ સરવાળો ઓછામાં ઓછો $5$ મળે તેવી ઘટના છે. પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના શોધવી સરળ છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $5$ થી ઓછો મળે (એટલે કે $3$ અથવા $4$ મળે).
સરવાળો $3$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 1, 1)$ - $1$ કિસ્સો.
સરવાળો $4$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ - $3$ કિસ્સા.
$E'$ માટે કુલ પરિણામો (સરવાળો $3$ અથવા $4$) $= 1 + 3 = 4$.
$P(E') = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$.
તેથી,$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$.

(B) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસોને સમાન છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ રવિવાર અને સોમવાર
$(ii)$ સોમવાર અને મંગળવાર
$(iii)$ મંગળવાર અને બુધવાર
$(iv)$ બુધવાર અને ગુરુવાર
$(v)$ ગુરુવાર અને શુક્રવાર
$(vi)$ શુક્રવાર અને શનિવાર
$(vii)$ શનિવાર અને રવિવાર
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક રવિવાર હોવો જોઈએ. સાનુકૂળ પરિણામો $(i)$ (રવિવાર અને સોમવાર) અને $(vii)$ (શનિવાર અને રવિવાર) છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 2$ છે.
તેથી,$53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $P = m/n = 2/7$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ $100$ કાર્ડમાંથી એક કાર્ડ ખેંચવાનો નિદર્શ અવકાશ છે. તેથી,$n(S) = 100$.
ધારો કે $A$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં ખેંચાયેલ નંબર પૂર્ણ વર્ગ હોય.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચેના પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ છે: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
તેથી,$A = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 10$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ થાય.

(C) $SOCIETY$ શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $S, O, C, I, E, T, Y$. આ $7$ અક્ષરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $7! = 5040$ છે.
શબ્દમાં $3$ સ્વરો છે: $O, I, E$. ત્રણેય સ્વરો સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(O, I, E)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો છે: $(OIE), S, C, T, Y$. આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
જૂથની અંદરના $3$ સ્વરોને પણ $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $= 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ ગોઠવણી}}{\text{કુલ ગોઠવણી}} = \frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{120 \times 6}{5040} = \frac{720}{5040} = \frac{1}{7}$.

(A) $'UNIVERSITY'$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે, જેમાં $I$ અક્ષર $2$ વખત આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{10!}{2!}$.
બંને $I$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે, આપણે બંને $I$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે, આપણી પાસે $9$ એકમો છે (બ્લોક $(II)$ અને બાકીના $8$ અક્ષરો), જેને $9!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બંને $I$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 9!$.
બંને $I$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \text{કુલ ગોઠવણીઓ} - \text{બંને } I \text{ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ}$.
$= \frac{10!}{2} - 9! = \frac{10 \times 9!}{2} - 9! = 9!(5 - 1) = 4 \times 9!$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{4 \times 9!}{\frac{10!}{2}} = \frac{4 \times 9! \times 2}{10!} = \frac{8 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(C) $PENCIL$ શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે. આ $6$ અક્ષરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $6! = 720$ છે.
જ્યારે $N$ એ $E$ ની બાજુમાં હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(NE)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો છે: $(NE), P, C, I, L$. આ $5$ એકમોને $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(NE)$ એકમની અંદર,$N$ અને $E$ અક્ષરોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (એટલે કે $NE$ અથવા $EN$).
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(A) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $4$ મેળવવાની ઘટના છે.
સરવાળો $4$ મેળવવા માટેના શક્ય પરિણામો $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 3 = 33$ છે.
કોઈ ઘટનાની તરફેણમાં ઓડ્સ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને પ્રતિકૂળ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,સરવાળો $4$ મેળવવાની તરફેણમાં ઓડ્સ $= \frac{3}{33} = \frac{1}{11}$,જેને $1:11$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $5$ મળે તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = કુલ પરિણામો - સાનુકૂળ પરિણામો = $36 - 4 = 32$.
કોઈ ઘટનાની તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર (odds in favour) એટલે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર.
$\therefore \text{સરવાળો } 5 \text{ મળે તેની તરફેણમાં સાનુકૂળ ગુણોત્તર} = \frac{n(A)}{n(A^c)} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ અથવા $1:8$.

(C) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ સરવાળો $6$ મેળવવાની ઘટના છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે.
પ્રતિકૂળ પરિણામોની સંખ્યા કુલ પરિણામોમાંથી સાનુકૂળ પરિણામો બાદ કરતાં મળે છે: $36 - 5 = 31$.
કોઈ ઘટનાની વિરુદ્ધની સંભાવના (odds against) એ પ્રતિકૂળ પરિણામો અને સાનુકૂળ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,સરવાળો $6$ મેળવવાની વિરુદ્ધની સંભાવના $31:5$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ રાણી ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે.
પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
પેકમાં રાણીની સંખ્યા $4$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{52}$.
પેકમાં એક્કાની સંખ્યા $4$ છે,તેથી $P(B) = \frac{4}{52}$.
કોઈપણ પત્તું એકસાથે રાણી અને એક્કો બંને હોઈ શકે નહીં,તેથી આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે,એટલે કે $P(A \cap B) = 0$.
રાણી અથવા એક્કો ખેંચવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} - 0 = \frac{8}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{8}{52} = \frac{2}{13}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે રોલ નંબર $5$ નો ગુણક છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે રોલ નંબર $7$ નો ગુણક છે.
$1$ થી $25$ સુધીના રોલ નંબરનો સમૂહ $S = \{1, 2, 3, ..., 25\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 25$ છે.
આ શ્રેણીમાં $5$ ના ગુણકો $A = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ છે,તેથી $n(A) = 5$.
આ શ્રેણીમાં $7$ ના ગુણકો $B = \{7, 14, 21\}$ છે,તેથી $n(B) = 3$.
$1$ થી $25$ ની શ્રેણીમાં $5$ અને $7$ ના કોઈ સામાન્ય ગુણકો નથી,તેથી $A \cap B = \emptyset$,એટલે કે $n(A \cap B) = 0$.
બે ઘટનાઓના યોગની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(A) = \frac{5}{25}$,$P(B) = \frac{3}{25}$,અને $P(A \cap B) = 0$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{3}{25} - 0 = \frac{8}{25}$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક $6$ વડે વિભાજ્ય છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 200$ છે.
$6$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $n(A) = \lfloor \frac{200}{6} \rfloor = 33$ છે.
$8$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $n(B) = \lfloor \frac{200}{8} \rfloor = 25$ છે.
$6$ અને $8$ બંને વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકો એ $\text{lcm}(6, 8) = 24$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{24} \rfloor = 8$ છે.
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ,$6$ અથવા $8$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 25 - 8 = 50$ છે.
સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$ છે.

(C) જ્યારે $2$ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય છે. શક્ય સરવાળા $3, 6, 9, 12$ છે.
$A$ માટેના પરિણામો: $(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6)$.
$A$ માં પરિણામોની સંખ્યા,$n(A) = 12$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $4$ વડે વિભાજ્ય છે. શક્ય સરવાળા $4, 8, 12$ છે.
$B$ માટેના પરિણામો: $(1,3), (3,1), (2,2), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (6,6)$.
$B$ માં પરિણામોની સંખ્યા,$n(B) = 9$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $3$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય છે (એટલે કે $12$ વડે વિભાજ્ય).
$12$ સરવાળો હોય તેવું એકમાત્ર પરિણામ $(6,6)$ છે.
તેથી,$n(A \cap B) = 1$.
સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{12}{36} + \frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(A) $2$ પાસાઓને ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$: સરવાળો $11$ મળે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
તેથી,$n(A) = 2$,અને $P(A) = \frac{2}{36}$.
ઘટના $B$: દરેક પાસા પર એકી સંખ્યા મળે.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)$ છે.
તેથી,$n(B) = 9$,અને $P(B) = \frac{9}{36}$.
છેદગણ $A \cap B$: સરવાળો $11$ મળે અને દરેક પાસા પર એકી સંખ્યા મળે.
બે એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા બેકી હોય છે,તેથી જો બંને પાસા પર એકી સંખ્યા હોય તો સરવાળો $11$ (જે એકી છે) મળવો અશક્ય છે.
તેથી,$A \cap B = \emptyset$,અને $P(A \cap B) = 0$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{36} + \frac{9}{36} - 0 = \frac{11}{36}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36\}$,તેથી $n(A) = 12$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ છે.
$B = \{1, 4, 9, 16, 25, 36\}$,તેથી $n(B) = 6$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે અને પૂર્ણ વર્ગ પણ છે.
$A \cap B = \{9, 36\}$,તેથી $n(A \cap B) = 2$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સંભાવના માટે સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{12}{36} + \frac{6}{36} - \frac{2}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) કુલ વસ્તુઓ $= 50 + 150 = 200$.
કાટવાળા બોલ્ટની સંખ્યા $= 50 / 2 = 25$.
કાટવાળી નટની સંખ્યા $= 150 / 2 = 75$.
કુલ કાટવાળી વસ્તુઓ $= 25 + 75 = 100$.
ધારો કે $A$ એ કાટવાળી વસ્તુ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B$ એ બોલ્ટ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(A) = 100 / 200 = 1/2$.
$P(B) = 50 / 200 = 1/4$.
$P(A \cap B)$ એ કાટવાળો બોલ્ટ પસંદ કરવાની સંભાવના છે,જે $25 / 200 = 1/8$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 100/200 + 50/200 - 25/200 = 125/200 = 5/8$.

(A) ધારો કે $A$ એ ડબલેટ મેળવવાની ઘટના છે અને $B$ એ સરવાળો $10$ મેળવવાની ઘટના છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
ડબલેટનો ગણ $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$ છે,તેથી $n(A) = 6$.
સરવાળો $10$ હોય તેવા પરિણામોનો ગણ $B = \{(4,6), (5,5), (6,4)\}$ છે,તેથી $n(B) = 3$.
છેદગણ $A \cap B = \{(5,5)\}$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$.
$A \cup B$ ની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{36} + \frac{3}{36} - \frac{1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ દ્વારા મળે છે.
ન તો ડબલેટ કે ન તો સરવાળો $10$ મળે તેની સંભાવના $1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ સરવાળો $9$ મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ સરવાળો $11$ મળવાની ઘટના છે.
$2$ પાસા ફેંકવા માટે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$ (સરવાળો $= 9$) માટેના પરિણામો: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ છે. તેથી,$n(A) = 4$.
ઘટના $B$ (સરવાળો $= 11$) માટેના પરિણામો: $(5, 6), (6, 5)$ છે. તેથી,$n(B) = 2$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
સરવાળો $9$ કે $11$ ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ થાય.

(D) ધારો કે $A$ એ કાળીનું પત્તું મળવાની ઘટના છે,$B$ એ એક્કો મળવાની ઘટના છે અને $C$ એ લાલ રંગનું પત્તું મળવાની ઘટના છે.
કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
$P(A) = \frac{13}{52}$,$P(B) = \frac{4}{52}$,$P(C) = \frac{26}{52}$.
છેદ ઘટનાઓની સંભાવના:
$P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (કાળીનો એક્કો).
$P(B \cap C) = \frac{2}{52}$ (લાલનો એક્કો અને ચોકટનો એક્કો).
$P(C \cap A) = 0$ (કોઈપણ પત્તું લાલ રંગનું અને કાળીનું એકસાથે હોઈ શકે નહીં).
$P(A \cap B \cap C) = 0$.
સંયોજનના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$
$= \frac{13}{52} + \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{1}{52} - \frac{2}{52} - 0 + 0$
$= \frac{40}{52} = \frac{10}{13}$.

(A) ધારો કે $A,$ $B,$ અને $C$ એ ઘટનાઓ છે કે સંખ્યા અનુક્રમે $2,$ $3,$ અને $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $n(S) = 200$ છે.
$n(A) = \lfloor \frac{200}{2} \rfloor = 100, n(B) = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66, n(C) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40.$
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{LCM(2,3)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{6} \rfloor = 33.$
$n(B \cap C) = \lfloor \frac{200}{LCM(3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13.$
$n(C \cap A) = \lfloor \frac{200}{LCM(5,2)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{10} \rfloor = 20.$
$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{200}{LCM(2,3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{30} \rfloor = 6.$
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$
$n(A \cup B \cup C) = 100 + 66 + 40 - 33 - 13 - 20 + 6 = 146.$
જરૂરી સંભાવના $= \frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{146}{200} = \frac{73}{100}.$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = 0.65$,તેથી $P(A) = 1 - 0.65 = 0.35$.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cap B) = 0$ થાય.
સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.65 = 0.35 + p - 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $p = 0.65 - 0.35 = 0.30$.

(A) કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$.
હવે,જરૂરી સંભાવના $1 - P(A \cup B) = 1 - 0.8 = 0.2$ છે.

(C) ઓછામાં ઓછો $B$ ગ્રેડ મેળવવા માટે, વિદ્યાર્થીએ કાં તો $A$ ગ્રેડ અથવા $B$ ગ્રેડ મેળવવો આવશ્યક છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો } B \text{ ગ્રેડ}) = P(B \text{ ગ્રેડ}) + P(A \text{ ગ્રેડ})$
આપેલ છે કે, $P(A \text{ ગ્રેડ}) = 0.30$ અને $P(B \text{ ગ્રેડ}) = 0.38$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો } B \text{ ગ્રેડ}) = 0.38 + 0.30 = 0.68$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કોન્ટ્રાક્ટરને પ્લમ્બિંગ કોન્ટ્રાક્ટ મળે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે તેને ઇલેક્ટ્રિક કોન્ટ્રાક્ટ મળે છે.
આપેલ છે: $P(A) = 2/3$.
તેને ઇલેક્ટ્રિક કોન્ટ્રાક્ટ ન મળે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 5/9$ છે. તેથી,$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 5/9 = 4/9$.
ઓછામાં ઓછો $1$ કોન્ટ્રાક્ટ મળે તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 4/5$ છે.
આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $4/5 = 2/3 + 4/9 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 2/3 + 4/9 - 4/5$.
છેદ સમાન કરતા $(45)$: $P(A \cap B) = (30 + 20 - 36) / 45 = 14/45$.
આમ,તેને બંને કોન્ટ્રાક્ટ મળે તેની સંભાવના $14/45$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ કાળીનું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે.
પત્તાની થોકડીમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
કાળીના પત્તાની સંખ્યા $= 13$.
એક્કાની સંખ્યા $= 4$.
કાળીનો એક્કો હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $= 1$.
શરત જીતવાની સંભાવના $= P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.
શરત હારવાની સંભાવના $= 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.
શરત જીતવાની વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ એ હારવાની સંભાવના અને જીતવાની સંભાવનાનો ગુણોત્તર છે.
વિરુદ્ધમાં ઓડ્સ $= \frac{9}{13} : \frac{4}{13} = 9 : 4$.