Probability Questions in Gujarati

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
જો સરવાળો $2, 4, 6, 8, 10,$ અથવા $12$ હોય તો તે બેકી સંખ્યા કહેવાય.
દરેક બેકી સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) \rightarrow 3$ પરિણામો
- સરવાળો $= 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) \rightarrow 5$ પરિણામો
- સરવાળો $= 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) \rightarrow 5$ પરિણામો
- સરવાળો $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) \rightarrow 3$ પરિણામો
- સરવાળો $= 12: (6, 6) \rightarrow 1$ પરિણામ
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે પેટીઓ $A$,$B$,અને $C$ છે.
પેટી $A$ માં $3$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો છે. સફેદ દડો પસંદ થવાની સંભાવના $P(W_A) = \frac{3}{4}$,કાળો $P(B_A) = \frac{1}{4}$ છે.
પેટી $B$ માં $2$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા છે. સફેદ દડો પસંદ થવાની સંભાવના $P(W_B) = \frac{2}{4}$,કાળો $P(B_B) = \frac{2}{4}$ છે.
પેટી $C$ માં $1$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા છે. સફેદ દડો પસંદ થવાની સંભાવના $P(W_C) = \frac{1}{4}$,કાળો $P(B_C) = \frac{3}{4}$ છે.
$2$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો મેળવવા માટે,શક્ય કિસ્સાઓ $(W, W, B)$,$(W, B, W)$,અને $(B, W, W)$ છે.
સંભાવના $= P(W_A) \times P(W_B) \times P(B_C) + P(W_A) \times P(B_B) \times P(W_C) + P(B_A) \times P(W_B) \times P(W_C)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 12 + 11 = 33$ છે.
$33$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= 33C_2 = \frac{33 \times 32}{2 \times 1} = 33 \times 16 = 528$ થાય.
$10$ લીલા દડાઓમાંથી $2$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $10C_2$ છે.
સાનુકૂળ રીતો $= 10C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ થાય.
જરૂરી સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{45}{528}$ થાય.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15}{176}$ મળે છે.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 12 + 11 = 33$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાઓની સંખ્યા (લીલા + પીળા) $= 10 + 12 = 22$.
જ્યારે $2$ દડાઓને બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવે,ત્યારે એક પણ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના એ છે કે બંને પસંદ કરેલા દડા સફેદ ન હોય.
સંભાવના $= \frac{22}{33} \times \frac{21}{32}$.
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{22}{33} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{21}{32}$ એમ જ રહેશે.
સંભાવના $= \frac{2}{3} \times \frac{21}{32} = \frac{1}{1} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{16}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $10 + 12 + 11 = 33$.
$33$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = $^33C_2 = \frac{33 \times 32}{2 \times 1} = 528$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $10 + 12 = 22$.
એક પણ દડો સફેદ ન હોય તેવી રીતે $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = $^22C_2 = \frac{22 \times 21}{2 \times 1} = 231$.
એક પણ સફેદ દડો ન મળે તેની સંભાવના = $\frac{231}{528} = \frac{7}{16}$.
ઓછામાં ઓછો એક સફેદ દડો મળે તેની સંભાવના = $1 - P(\text{સફેદ દડો ન મળે}) = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 15 + 20 = 35$ છે.
$35$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{35}C_{2} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 35 \times 17 = 595$ છે.
$20$ સફેદ દડાઓમાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ છે.
બંને સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P = \frac{{}^{20}C_{2}}{{}^{35}C_{2}} = \frac{190}{595}$ છે.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{38}{119}$ મળે છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $15 + 20 = 35$.
$35$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{35}C_{2} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 35 \times 17 = 595$ છે.
આપણે $1$ સફેદ દડો અને $1$ કાળો દડો પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$20$ માંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{20}C_{1} = 20$ છે.
$15$ માંથી $1$ કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_{1} = 15$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $^{20}C_{1} \times ^{15}C_{1} = 20 \times 15 = 300$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{300}{595}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{60}{119}$ મળે છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $15 + 20 = 35$.
$35$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો = $^{35}C_2 = \frac{35 \times 34}{2} = 595$.
'વધુમાં વધુ એક સફેદ દડો' નો અર્થ છે કે કાં તો $0$ સફેદ દડા (બંને કાળા) અથવા $1$ સફેદ દડો (એક કાળો અને એક સફેદ).
કિસ્સો $1$: બંને દડા કાળા હોય. પસંદગીની રીતો = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
કિસ્સો $2$: એક સફેદ અને એક કાળો દડો હોય. પસંદગીની રીતો = $^{20}C_1 \times ^{15}C_1 = 20 \times 15 = 300$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $105 + 300 = 405$.
સંભાવના = $\frac{405}{595} = \frac{81}{119}$.

(D) લખોટાની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$ છે.
$15$ માંથી $2$ લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
$6$ વાદળી લખોટામાંથી $2$ વાદળી લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
બંને વાદળી લખોટા પસંદ થવાની સંભાવના $\frac{^{6}C_2}{^{15}C_2} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$ છે.

(C) કુલ લખોટાની સંખ્યા = $6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
આપણે $15$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાના છે. $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
$4$ લાલ લખોટામાંથી $2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$3$ લીલા લખોટામાંથી $1$ લીલો લખોટો પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_{1} = 3$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{4}C_{2} \times ^{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{18}{455}$ છે.

(C) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
$15$ માંથી $4$ લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^{15}C_4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$.
લાલ ન હોય તેવા લખોટાની સંખ્યા $= 15 - 4 = 11$.
એક પણ લાલ લખોટો ન મળે તેવી રીતે $4$ લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= ^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$.
એક પણ લાલ લખોટો ન મળે તેની સંભાવના $= \frac{330}{1365} = \frac{22}{91}$.
ઓછામાં ઓછો એક લાલ લખોટો મળે તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{લાલ ન હોય}) = 1 - \frac{22}{91} = \frac{69}{91}$.

(C) લખોટાની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
$15$ માંથી $2$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
$2$ પીળા લખોટા પસંદ કરવાની સંભાવના: $2$ પીળા લખોટા છે,તેથી રીતોની સંખ્યા ${}^{2}C_{2} = 1$ છે. આમ,$P(\text{બંને પીળા}) = \frac{1}{105}$.
$2$ લીલા લખોટા પસંદ કરવાની સંભાવના: $3$ લીલા લખોટા છે,તેથી રીતોની સંખ્યા ${}^{3}C_{2} = 3$ છે. આમ,$P(\text{બંને લીલા}) = \frac{3}{105}$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(\text{બંને પીળા અથવા બંને લીલા}) = \frac{1}{105} + \frac{3}{105} = \frac{4}{105}$ છે.

(D) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
આપણે $15$ માંથી $4$ લખોટા પસંદ કરવાના છે. $4$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$ છે.
$2$ પીળા લખોટામાંથી $1$ પીળો લખોટો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{2}C_{1} = 2$ છે.
$4$ લાલ લખોટામાંથી $2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$6$ વાદળી લખોટામાંથી $1$ વાદળી લખોટો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{6}C_{1} = 6$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= {}^{2}C_{1} \times {}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{1} = 2 \times 6 \times 6 = 72$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{72}{1365} = \frac{24}{455}$.

(D) લખોટાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$.
$12$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
ત્રણેય લખોટા લીલા હોય તેની સંભાવના $= \frac{^{3}C_{3}}{^{12}C_{3}} = \frac{1}{220}$.
ત્રણેય લખોટા લાલ હોય તેની સંભાવના $= \frac{^{4}C_{3}}{^{12}C_{3}} = \frac{4}{220} = \frac{1}{55}$.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,જરૂરી સંભાવના એ વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{220} + \frac{4}{220} = \frac{5}{220} = \frac{1}{44}$.

(B) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$.
$12$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
વાદળી ન હોય તેવા લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 3 = 7$.
એક પણ લખોટો વાદળી ન હોય તેવી રીતે $3$ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
એક પણ લખોટો વાદળી ન હોય તેની સંભાવના $= \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$.
ઓછામાં ઓછો એક લખોટો વાદળી હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ વાદળી નથી}) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$.

(C) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$.
આપણે $12$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાના છે. $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
$4$ લાલ લખોટામાંથી $2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$3$ લીલા લખોટામાંથી $1$ લીલો લખોટો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{3}C_{1} = 3$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{18}{220} = \frac{9}{110}$.

(B) ધારો કે $E$ એ રંગીન દડો (લાલ અથવા વાદળી) પસંદ કરવાની ઘટના છે.
દડાઓની કુલ સંખ્યા = $30$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા = $10$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $5$.
રંગીન દડાઓની (લાલ અથવા વાદળી) સંખ્યા = $10 + 5 = 15$.
રંગીન દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{\text{રંગીન દડાઓની સંખ્યા}}{\text{દડાઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.

(B) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_{3} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
ધારો કે $E$ એ એક રાજા,એક રાણી અને એક ગલ્લો મેળવવાની ઘટના છે.
$4$ રાજાઓમાંથી $1$ રાજા,$4$ રાણીઓમાંથી $1$ રાણી અને $4$ ગલ્લામાંથી $1$ ગલ્લો પસંદ કરવાની રીતો:
$n(E) = {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{64}{22100}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા:
$P(E) = \frac{16}{5525}$.

(A) $3$ પાસાઓ વડે $15$ નો સરવાળો મેળવવાની કુલ રીતો $10$ છે. શક્ય પરિણામો છે: $(6,6,3), (6,3,6), (3,6,6), (6,5,4), (6,4,5), (5,6,4), (5,4,6), (4,6,5), (4,5,6), (5,5,5)$.
પ્રથમ પાસા પર $4$ આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $2$ છે,જે $(4,6,5)$ અને $(4,5,6)$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ છે.

(D) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $N = 6^3 = 216$ છે.
આપણે એવા પરિણામોની સંખ્યા શોધવાની છે જ્યાં ત્રણેય પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $16$ થાય.
$16$ સરવાળો આપતી શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1) (6, 6, 4)$ જેને $\frac{3!}{2!} = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$2) (6, 5, 5)$ જેને $\frac{3!}{2!} = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

(B) ધારો કે $W_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ થેલીમાં કુલ દડા $= 5 + 3 = 8$.
$P(W_1) = \frac{5}{8}$ અને $P(B_1) = \frac{3}{8}$.
એક દડો સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,બીજી થેલીમાં $2 + 4 + 1 = 7$ દડા થાય છે.
કિસ્સો $1$: જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બીજી થેલીમાં હવે $2 + 1 = 3$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે.
$W_1$ આપેલ હોય ત્યારે બીજી થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B_2|W_1) = \frac{4}{7}$ છે.
કિસ્સો $2$: જો કાળો દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બીજી થેલીમાં હવે $2$ સફેદ અને $4 + 1 = 5$ કાળા દડા છે.
$B_1$ આપેલ હોય ત્યારે બીજી થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B_2|B_1) = \frac{5}{7}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B_2) = P(W_1) \times P(B_2|W_1) + P(B_1) \times P(B_2|B_1)$
$P(B_2) = (\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}) + (\frac{3}{8} \times \frac{5}{7})$
$P(B_2) = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}$.

(B) એક ટિકિટ સાથે ઇનામ જીતવાની સંભાવના $p = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ છે.
એક ટિકિટ સાથે ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
$n = 4$ ટિકિટો માટે,ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $1 - P(\text{શૂન્ય ઇનામ જીતવા})$ છે.
$P(\text{શૂન્ય ઇનામ જીતવા}) = q^4 = \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના $1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$ છે.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે ખેંચાયેલું પત્તું કાળીનું છે,અને $A$ એ ઘટના છે કે ખેંચાયેલું પત્તું એક્કો છે.
કાળીના પત્તાની સંખ્યા $= 13$,તેથી $P(S) = \frac{13}{52}$.
એક્કાની સંખ્યા $= 4$,તેથી $P(A) = \frac{4}{52}$.
જે પત્તું કાળીનું અને એક્કો બંને હોય તે કાળીનો એક્કો છે,તેથી $P(S \cap A) = \frac{1}{52}$.
શરત જીતવાની સંભાવના (કાળીનું પત્તું અથવા એક્કો ખેંચવો) $P(S \cup A) = P(S) + P(A) - P(S \cap A) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ છે.
શરત હારવાની સંભાવના $1 - P(S \cup A) = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ છે.
જીતવાની વિરુદ્ધમાં મત (odds against) એ હારવાની સંભાવના અને જીતવાની સંભાવનાનો ગુણોત્તર છે.
Odds against $= \frac{P(\text{હારવાની})}{P(\text{જીતવાની})} = \frac{9/13}{4/13} = \frac{9}{4}$,એટલે કે $9$ થી $4$.

(C) ધારો કે $A$,$B$ અને $C$ માટે લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના અનુક્રમે $P(A)$,$P(B)$ અને $P(C)$ છે.
$P(A) = \frac{4}{5}$,$P(A') = \frac{1}{5}$
$P(B) = \frac{3}{4}$,$P(B') = \frac{1}{4}$
$P(C) = \frac{2}{3}$,$P(C') = \frac{1}{3}$
'ઓછામાં ઓછા બે શોટ વાગે' એટલે કે કાં તો બરાબર બે શોટ વાગે અથવા ત્રણેય શોટ વાગે.
સંભાવના = $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$
$= (\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{12}{60} + \frac{8}{60} + \frac{6}{60} + \frac{24}{60} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$

(D) લીપ વર્ષમાં કુલ $366$ દિવસો હોય છે.
$366$ દિવસો એટલે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્યતાઓ છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,આ $2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
ઉપરની જોડીઓમાંથી,સાનુકૂળ પરિણામો (રવિવાર,સોમવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર) છે.
આમ,કુલ $7$ શક્યતાઓમાંથી $2$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.

(B) જ્યારે ત્રણ $6$ બાજુવાળા પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ થાય છે.
ત્રણેય પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે નીચે મુજબ છે: ${(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ થાય.

(B) જ્યારે ત્રણ $6$ બાજુવાળા પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ છે.
કોઈ પણ બે પાસા પર સમાન સંખ્યા ન આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે:
પ્રથમ પાસો $6$ માંથી કોઈપણ સંખ્યા દર્શાવી શકે છે ($6$ વિકલ્પો).
બીજો પાસો પ્રથમ પાસાથી અલગ સંખ્યા દર્શાવવો જોઈએ ($5$ વિકલ્પો).
ત્રીજો પાસો પ્રથમ અને બીજા બંને પાસાથી અલગ સંખ્યા દર્શાવવો જોઈએ ($4$ વિકલ્પો).
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ છે.

(B) જ્યારે ત્રણ $6$ બાજુવાળા પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
બરાબર બે પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે તેવા પરિણામો શોધવા માટે:
$1$. કયા બે પાસા પર સમાન સંખ્યા આવશે તે પસંદ કરો: $^3C_2 = 3$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$2$. તે બે પાસા પર કઈ સંખ્યા આવશે તે પસંદ કરો: $6$ વિકલ્પો છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$.
$3$. ત્રીજા પાસા માટે સંખ્યા પસંદ કરો: તે પ્રથમ બે પાસા પરની સંખ્યાથી અલગ હોવી જોઈએ,તેથી $5$ વિકલ્પો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 \times 6 \times 5 = 90$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{90}{216} = \frac{5}{12}$.

(C) કુલ ઘટકોની સંખ્યા = $10$.
ખામીયુક્ત ઘટકોની સંખ્યા = $4$.
બિન-ખામીયુક્ત ઘટકોની સંખ્યા = $10 - 4 = 6$.
આપણે $3$ ઘટકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં બરાબર $2$ ખામીયુક્ત અને $1$ બિન-ખામીયુક્ત હોય.
$4$ માંથી $2$ ખામીયુક્ત ઘટકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$6$ માંથી $1$ બિન-ખામીયુક્ત ઘટક પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{6}C_{1} = 6$ છે.
$10$ માંથી $3$ ઘટકો પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{1}}{{}^{10}C_{3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$ છે.

(C) પત્તાંના પ્રમાણિત ડેકમાં કુલ $52$ પત્તાં હોય છે.
ફેસ કાર્ડ એટલે કે રાજા (King),રાણી (Queen) અને ગુલામ (Jack).
દરેક $4$ પ્રકારના રંગ (Hearts,Diamonds,Clubs,Spades) માં $3$ પ્રકારના ફેસ કાર્ડ હોય છે.
ફેસ કાર્ડની કુલ સંખ્યા $= 3 \times 4 = 12$ થાય.
ફેસ કાર્ડ ખેંચવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{12}{52}$ થાય.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ મળે છે.

(B) ડેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$ છે.
કાળા પત્તાંની સંખ્યા (કાળી અને ફુલ્લી) $= 26$ છે.
જે પત્તાં કાળા નથી (લાલ પત્તાં) તેની સંખ્યા $= 52 - 26 = 26$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{કાળા ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાંની સંખ્યા}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

(B) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $30$ છે,તેથી નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ અને $n(S) = 30$ થાય.
ધારો કે $A$ એ $5$ નો ગુણક હોય તેવી ટિકિટ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}$,તેથી $n(A) = 6$ થાય.
ધારો કે $B$ એ $7$ નો ગુણક હોય તેવી ટિકિટ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$B = \{7, 14, 21, 28\}$,તેથી $n(B) = 4$ થાય.
અહીં $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે ($30$ સુધી $5$ અને $7$ ના કોઈ સામાન્ય ગુણકો નથી),તેથી $A$ અથવા $B$ ની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{30}$.
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{30}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{6}{30} + \frac{4}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(A) $10$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{10} = 1024$ છે.
બરાબર $5$ છાપ મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=10$ અને $r=5$ છે.
${}^{10}C_{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{252}{1024}$ છે.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{252 \div 4}{1024 \div 4} = \frac{63}{256}$ મળે છે.

(A) બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો $P(A) = \frac{2}{3}$,$P(B) = \frac{4}{9}$ અને $P(A \cap B) = \frac{14}{45}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{14}{45}$.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરવા માટે,છેદ $3, 9, 45$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $45$ છે.
$P(A \cup B) = \frac{2 \times 15}{45} + \frac{4 \times 5}{45} - \frac{14}{45}$.
$P(A \cup B) = \frac{30}{45} + \frac{20}{45} - \frac{14}{45}$.
$P(A \cup B) = \frac{30 + 20 - 14}{45} = \frac{36}{45}$.
અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.

(B) એક પાસાને એક વાર ફેંકતા $6$ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
એક વાર ફેંકતા $6$ ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$n = 6$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો માટે, કોઈપણ પ્રયત્નમાં $6$ ન મળવાની સંભાવના $q^n = (\frac{5}{6})^{6}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર $6$ મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ વાર } 6 \text{ નહીં}) = 1 - (\frac{5}{6})^{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) આપેલ અંકોનો સમૂહ ${2, 3, 5, 7, 9}$ છે. કુલ અંકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર બે અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $5$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (નિદર્શાવકાશ $S$) ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n(S) = ^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
ઘટના $E$ એ છે કે બનેલી સંખ્યા $35$ છે. $35$ એ એક ચોક્કસ પરિણામ હોવાથી,$n(E) = 1$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{20}$ થાય.

(C) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $12$ થાય. આ ઘટના માટે માત્ર એક જ પરિણામ $(6, 6)$ શક્ય છે,તેથી $n(E) = 1$.
સરવાળો $12$ મળે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{36}$ છે.
$12$ થી ઓછો સરવાળો મળે તે ઘટના એ $12$ સરવાળો મળે તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે,જેને $\overline{E}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ થાય.

(B) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $n(S) = 21$ છે,જ્યાં $S = \{1, 2, 3, \ldots, 21\}$ છે.
$1$ થી $21$ ની વચ્ચે $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $E = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 7$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે: પ્રથમ થેલીમાં સફેદ દડાની સંખ્યા $= 4$ અને કાળા દડાની સંખ્યા $= 2$. પ્રથમ થેલીમાં કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$.
બીજી થેલીમાં સફેદ દડાની સંખ્યા $= 3$ અને કાળા દડાની સંખ્યા $= 5$. બીજી થેલીમાં કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ થેલીમાંથી એક કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $= \frac{\text{કાળા દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
તે જ રીતે,બીજી થેલીમાંથી એક કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $= \frac{5}{8}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા કાળા હોવાની સંભાવના $= P(\text{પ્રથમ થેલીમાંથી કાળો દડો}) \times P(\text{બીજી થેલીમાંથી કાળો દડો}) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24}$.

(D) લાલ દડાની કુલ સંખ્યા $= 3$.
કાળા દડાની કુલ સંખ્યા $= 7$.
દડાની કુલ સંખ્યા $= 3 + 7 = 10$.
આપણને આપેલ છે કે પ્રથમ કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ છે.
દડા બદલ્યા વગર (without replacement) કાઢવામાં આવતા હોવાથી,એક લાલ દડો કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા $= 3 - 1 = 2$.
બાકી રહેલા દડાની કુલ સંખ્યા $= 10 - 1 = 9$.
જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના એ બાકી રહેલા લાલ દડાની સંખ્યા અને બાકી રહેલા કુલ દડાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{2}{9}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 = 16$.
$16$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{16}C_{3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
ત્રણેય દડા સફેદ હોવાની સંભાવના $\frac{^{5}C_{3}}{^{16}C_{3}} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$ થાય.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 2 + 3 + 4 = 9$ છે.
$9$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
અહીં માત્ર $2$ લાલ દડા હોવાથી,$3$ લાલ દડા કાઢવા શક્ય નથી.
$3$ કાળા દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{3}C_{3} = 1$ છે.
$4$ સફેદ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{3} = 4$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${}^{3}C_{3} + {}^{4}C_{3} = 1 + 4 = 5$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{5}{84}$ થાય.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 9 + 7 + 4 = 20$.
$20$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ છે.
$7$ સફેદ દડાઓમાંથી એક સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{7}C_{1} = 7$ છે.
$9$ લાલ દડાઓમાંથી એક લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{9}C_{1} = 9$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $^{7}C_{1} \times ^{9}C_{1} = 7 \times 9 = 63$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{63}{190}$ છે.

(B) દડાની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 + 8 = 18$.
કાઢવામાં આવેલા દડાની સંખ્યા $= 3$.
$18$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{18}C_{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ છે.
$6$ લાલ દડામાંથી $1$ લાલ દડો પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_{1} = 6$ છે.
$4$ સફેદ દડામાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= ^{6}C_{1} \times ^{4}C_{2} = 6 \times 6 = 36$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{36}{816}$.
અંશ અને છેદને $12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{68}$ મળે છે.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 3 + 7 + 10 = 20$.
સફેદ લખોટી પસંદ કરવાના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 10$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 20$.
સફેદ લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સફેદ લખોટીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ લખોટીઓની સંખ્યા}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

(D) જ્યારે એક સંતુલિત સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ત્રણેય પ્રયત્નોમાં છાપ મળવાનું સાનુકૂળ પરિણામ માત્ર એક જ છે: $\{HHH\}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{8}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
'સરવાળો ઓછામાં ઓછો $10$ હોય' તેનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $10, 11$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 10$ માટે: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (કુલ $3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$ માટે: $(5, 6), (6, 5)$ (કુલ $2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$ માટે: $(6, 6)$ (કુલ $1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3 + 2 + 1 = 6$.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{સરવાળો} \ge 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 20$ છે.
$1$ થી $20$ ની વચ્ચે $3$ ના ગુણકો ${3, 6, 9, 12, 15, 18}$ છે. આવી કુલ $6$ ટિકિટો છે.
$1$ થી $20$ ની વચ્ચે $5$ ના ગુણકો ${5, 10, 15, 20}$ છે. આવી કુલ $4$ ટિકિટો છે.
અહીં $15$ એ બંને ગણમાં સામાન્ય છે.
સંભાવનાના નિયમ મુજબ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 + 4 - 1 = 9$ થાય.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{9}{20}$ છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 2 + 3 + 2 = 7$.
ધારો કે $S$ એ નિદર્શાવકાશ છે.
તેથી,$N(S) = 7$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
ધારો કે $E$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં પસંદ કરેલા બે દડામાંથી એક પણ દડો વાદળી નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $2$ દડા $(2 + 3) = 5$ વાદળી ન હોય તેવા દડાઓમાંથી પસંદ કરવાના છે.
તેથી,$N(E) = 5$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{10}{21}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 8 + 7 + 6 = 21$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ દડો લાલ પણ નથી અને લીલો પણ નથી.
તેથી,પસંદ કરેલ દડો વાદળી હોવો જોઈએ.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા $= 7$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $N(E) = 7$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $N(S) = 21$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ થાય.