Probability Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ અને $P(D)$ એ ઘોડાઓ $A, B, C$ અને $D$ ના રેસ જીતવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે કે $A, B, C$ અને $D$ ની જીતવાની તરફેણમાં મતભેદ $1:3, 1:4, 1:5$ અને $1:6$ છે,તેથી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P(A) = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$
$P(B) = \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$
$P(C) = \frac{1}{1+5} = \frac{1}{6}$
$P(D) = \frac{1}{1+6} = \frac{1}{7}$
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે (માત્ર એક જ ઘોડો રેસ જીતી શકે છે),તેથી તેમાંથી કોઈ એક જીતે તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P(\text{કોઈ એક જીતે}) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે $4, 5, 6$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $420$ છે.
$= \frac{105 + 84 + 70 + 60}{420} = \frac{319}{420}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઘટનાઓ છે કે ચાર્ટર્ડ એકાઉન્ટન્ટ અનુક્રમે પેઢી $X$ અને $Y$ માં પસંદ થાય છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.7$,$P(\bar{B}) = 0.5$ અને $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$.
તેમજ,$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$.
તેથી,$P(\overline{A \cap B}) = 0.6$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
ઓછામાં ઓછી એક પેઢીમાં પસંદગી પામવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
$P(A \cup B) = 0.7 + 0.5 - 0.4 = 0.8$.
આમ,તે બે પેઢીઓમાંથી કોઈ એકમાં પસંદગી પામશે તેની સંભાવના $0.8$ છે.

(NONE OF THE ABOVE (CALCULATED: 43:34)) ઘટના $A$ ની વિરુદ્ધમાં મતભેદ $8:3$ હોવાથી,ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$ છે.
તે જ રીતે,ઘટના $B$ ની વિરુદ્ધમાં મતભેદ $5:2$ છે,તેથી ઘટના $B$ બનવાની સંભાવના $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ છે.
ઘટનાઓ $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{11} + \frac{2}{7} + P(C) = 1$.
સરવાળો ગણતા: $\frac{21 + 22}{77} + P(C) = 1 \Rightarrow \frac{43}{77} + P(C) = 1$.
આમ,$P(C) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$.
$C$ ન બનવાની સંભાવના $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{34}{77} = \frac{43}{77}$ છે.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં મતભેદ $P(\bar{C}) : P(C) = \frac{43}{77} : \frac{34}{77} = 43:34$ છે.

(B) ધારો કે $P(A), P(B), P(C),$ અને $P(D)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C,$ અને $D$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{5}, P(D) = \frac{1}{6}$.
કોઈ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{ઉકેલવાની સંભાવના})$ છે.
$P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલી ન શકે તેની સંભાવના $P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી ન શકે}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ થેલીમાં કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $E_2$ એ બીજી થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
બીજી થેલીમાં કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{3}{8}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા સફેદ હોવાની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ છે.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
પ્રથમ થેલીમાં કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$.
પ્રથમ થેલીમાં કાળા દડાની સંખ્યા $= 2$.
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $E_2$ એ બીજી થેલીમાંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
બીજી થેલીમાં કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$.
બીજી થેલીમાં કાળા દડાની સંખ્યા $= 5$.
$P(E_2) = \frac{5}{8}$.
આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,બંને દડા કાળા હોવાની સંભાવના $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ છે.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24}$.

(C) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ થેલી છે અને $B_2$ એ બીજી થેલી છે.
$B_1$ માં,કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$. સફેદ દડાની સંભાવના $(W_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,કાળા દડાની સંભાવના $(Bl_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$B_2$ માં,કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$. સફેદ દડાની સંભાવના $(W_2) = \frac{3}{8}$,કાળા દડાની સંભાવના $(Bl_2) = \frac{5}{8}$.
'એક સફેદ અને એક કાળો દડો' હોવાની ઘટના બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં બને છે: $(W_1 \text{ \text{અને }} Bl_2)$ અથવા $(Bl_1 \text{ \text{અને }} W_2)$.
સંભાવના $= P(W_1) \times P(Bl_2) + P(Bl_1) \times P(W_2)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{5}{8}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{8})$
$= \frac{10}{24} + \frac{3}{24} = \frac{13}{24}$.

(A) પાત્રમાં કુલ દડા = $25$.
$1$ થી $25$ વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે.
એકી સંખ્યાવાળા દડાની સંખ્યા = $13$.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{13}{25}$.
દડા બદલી સાથે કાઢવામાં આવતા હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે.
બે પ્રયત્નોમાં બે સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P = p \times p$ છે.
$P = \frac{13}{25} \times \frac{13}{25} = \frac{169}{625}$.

(B) કુલ દડા = $25$.
$1$ થી $25$ વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{13}{25}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
બદલી સાથે $2$ દડા કાઢવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
બરાબર એક સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X = 1) = ^nC_1 \cdot p^1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot p \cdot q$ દ્વારા મળે છે.
$P(X = 1) = 2 \times \frac{13}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{312}{625}$.

(C) કુલ દડા $= 25$.
એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ $= \frac{13}{25}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
જ્યારે $2$ દડા બદલી સાથે કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે $2$ પ્રયત્નોમાં એક પણ સફળતા ન મળવાની સંભાવના $q \times q = \left(\frac{12}{25}\right)^2 = \frac{144}{625}$ થાય.
ઓછામાં ઓછી એક સફળતા મળવાની સંભાવના $= 1 - P(\text{કોઈ સફળતા નહીં}) = 1 - \frac{144}{625} = \frac{625 - 144}{625} = \frac{481}{625}$.

(D) કુલ દડા = $25$.
$1$ થી $25$ વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{13}{25}$.
સફળતા ન મળે તેની સંભાવના $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
કારણ કે $2$ દડા બદલી સાથે કાઢવામાં આવે છે,તેથી પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે.
$2$ પ્રયત્નોમાં એક પણ સફળતા ન મળે તેની સંભાવના = $q \times q = \frac{12}{25} \times \frac{12}{25} = \frac{144}{625}$.

(D) પાત્રમાં $1$ થી $25$ નંબર ધરાવતા $25$ દડા છે.
એકી સંખ્યાને 'સફળતા' ગણવામાં આવે છે. $1$ થી $25$ ની વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25$ છે.
કુલ $13$ એકી સંખ્યાઓ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ = $\frac{13}{25}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
અહીં આપણે બદલી સાથે $2$ દડા કાઢીએ છીએ.
આપણે માત્ર $2$ પ્રયત્નો કરીએ છીએ,તેથી $3$ સફળતા મેળવવી અશક્ય છે.
તેથી,$3$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $0$ છે.

(C) કુલ દડા $= 25$. $1$ થી $25$ વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ $= 13/25$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ $= 1 - p = 1 - 13/25 = 12/25$.
બે દડા બદલી સાથે કાઢવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
બરાબર $2$ સફળતા મળવાની સંભાવના $P(X = 2) = ^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 2$ અને $r = 2$.
$P(X = 2) = ^2C_2 \cdot (13/25)^2 \cdot (12/25)^0 = 1 \cdot (169/625) \cdot 1 = 169/625$.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા $25$ છે. $1$ થી $25$ ની વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ $= \frac{13}{25}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
અહીં $2$ દડા પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવે છે,તેથી આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
$2$ પ્રયત્નોમાં મહત્તમ $2$ સફળતા મળી શકે છે,તેથી $P(X \le 2)$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો સરવાળો છે.
સંભાવના વિતરણમાં તમામ શક્ય પરિણામોની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે.
તેથી,$P(X \le 2) = 1$.

(NONE) કુલ દડાની સંખ્યા $25$ છે. $1$ થી $25$ વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}$ છે,જે કુલ $13$ છે.
સફળતાની સંભાવના $(p)$ $= \frac{13}{25}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q)$ $= 1 - p = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}$.
પુરવણી સહિત $2$ દડા કાઢવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
આપણને ઓછામાં ઓછી $2$ સફળતાની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X \ge 2) = P(X = 2)$ છે.
$P(X = 2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{13}{25})^2 \times 1 = \frac{169}{625}$.

(C) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પત્તું ચોકટનું હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ બીજું પત્તું રાજા હોવાની ઘટના છે.
કારણ કે પ્રથમ પત્તું બીજા પત્તાને ખેંચતા પહેલા પાછું મૂકવામાં આવે છે,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
રાજાનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થશે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $B$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{7}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
તેથી,પસંદગી ન થવાની સંભાવના:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
તેમાંથી માત્ર $1$ ની પસંદગી થાય તેની સંભાવના એ કિસ્સો છે જેમાં પતિની પસંદગી થાય અને પત્નીની ન થાય,અથવા પત્નીની પસંદગી થાય અને પતિની ન થાય:
$P(\text{માત્ર એક}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) + P(B) \cdot P(\bar{A})$
$= \left(\frac{1}{7} \times \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} \times \frac{6}{7}\right)$
$= \frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$

(B) ધારો કે $P(H)$ એ પતિની પસંદગીની સંભાવના છે અને $P(W)$ એ પત્નીની પસંદગીની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે,$P(H) = \frac{1}{7}$ અને $P(W) = \frac{1}{5}$.
પતિ અને પત્નીની પસંદગી એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંનેની પસંદગી થાય તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય.
$P(H \cap W) = P(H) \times P(W)$
$P(H \cap W) = \frac{1}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{35}$.

(C) ધારો કે $A$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $B$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{7}$ અને $P(B) = \frac{1}{5}$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,તે બંનેમાંથી કોઈની પણ પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ થશે.
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{35}$.

(D) ધારો કે $A$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $B$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = 1/7$ અને $P(B) = 1/5$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 1/7 = 6/7$ છે.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - 1/5 = 4/5$ છે.
ઓછામાં ઓછા એકની પસંદગી થાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈની પણ પસંદગી ન થાય})$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછું એક}) = 1 - P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછું એક}) = 1 - (6/7 \times 4/5) = 1 - 24/35$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછું એક}) = (35 - 24) / 35 = 11/35$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પતિ $25$ વર્ષ પછી જીવિત રહેશે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પત્ની $25$ વર્ષ પછી જીવિત રહેશે.
આપેલ છે કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને જીવિત રહેવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય.
$P(A) = 0.3$
$P(B) = 0.4$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને જીવિત રહેવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ છે.
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પુરુષ $25$ વર્ષ પછી જીવિત છે અને $B$ એ ઘટના છે કે તેની પત્ની $25$ વર્ષ પછી જીવિત છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.4$.
પત્ની $25$ વર્ષ પછી જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે માત્ર પુરુષ જ જીવિત હોય,જેનો અર્થ છે કે પુરુષ જીવિત છે અને પત્ની જીવિત નથી.
જરૂરી સંભાવના $= P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પુરુષ $25$ વર્ષ પછી જીવિત છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પત્ની $25$ વર્ષ પછી જીવિત છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.4$.
પુરુષ જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં માત્ર પત્ની જ જીવિત હોય,જેનો અર્થ છે કે પત્ની જીવિત છે $(B)$ અને પુરુષ જીવિત નથી $(A')$.
આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$ થશે.
જરૂરી સંભાવના $= 0.7 \times 0.4 = 0.28$.

(D) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પુરુષ જીવિત છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પત્ની $25$ વર્ષ પછી જીવિત છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.4$.
પુરુષ જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$ છે.
પત્ની જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછો $1$ વ્યક્તિ જીવિત હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{બંનેમાંથી કોઈ જીવિત ન હોય})$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી, $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$.
તેથી, જરૂરી સંભાવના $= 1 - 0.42 = 0.58$.

(B) ધારો કે બે માણસો $A$ અને $B$ છે. ધારો કે $P(A)$ એ $A$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{80}{100} = 0.8$ અને $P(B) = \frac{90}{100} = 0.9$.
$A$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$ છે.
$B$ જૂઠું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - 0.9 = 0.1$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે છે જો એક વ્યક્તિ સત્ય બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે.
આ બે પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે: ($A$ સત્ય બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($B$ સત્ય બોલે અને $A$ જૂઠું બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(B) \times P(\bar{A})$.
$= (0.8 \times 0.1) + (0.9 \times 0.2)$.
$= 0.08 + 0.18 = 0.26$.
$= \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$.

(A) ધારો કે $R_A, R_B, R_C$ એ અનુક્રમે પાત્ર $A, B, C$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે,અને $B_A, B_B, B_C$ એ અનુક્રમે પાત્ર $A, B, C$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(R_A) = \frac{4}{7}, P(B_A) = \frac{3}{7}$
$P(R_B) = \frac{5}{9}, P(B_B) = \frac{4}{9}$
$P(R_C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, P(B_C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$2$ લાલ અને $1$ કાળો દડો મેળવવા માટેના શક્ય કિસ્સાઓ:
$1$. $(R_A, R_B, B_C) = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{20}{126}$
$2$. $(R_A, B_B, R_C) = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{16}{126}$
$3$. $(B_A, R_B, R_C) = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{15}{126}$
કુલ સંભાવના $= \frac{20+16+15}{126} = \frac{51}{126} = \frac{17}{42}$.

(C) ધારો કે $A, B, C,$ અને $D$ એ ઘટનાઓ છે કે વિમાન અનુક્રમે પ્રથમ,બીજા,ત્રીજા અને ચોથા ગોળીબારમાં અથડાય છે.
વિમાનને અથડાવાની સંભાવનાઓ $P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2,$ અને $P(D) = 0.1$ છે.
દરેક ગોળીબારમાં વિમાનને ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$
$P(\bar{B}) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(\bar{C}) = 1 - 0.2 = 0.8$
$P(\bar{D}) = 1 - 0.1 = 0.9$
ગન વિમાનને ત્યારે અથડાય છે જો ઓછામાં ઓછી એક ગોળી લક્ષ્યને વાગે. આ ઘટના એ તમામ ગોળીઓ લક્ષ્યને ચૂકી જાય તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
જરૂરી સંભાવના $= 1 - P(\text{બધી ગોળીઓ ચૂકી જાય})$
$= 1 - [P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})]$
$= 1 - [0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9]$
$= 1 - 0.3024$
$= 0.6976$

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $A$ દાખલો ઉકેલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $B$ દાખલો ઉકેલે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{90}{100} = 0.9$ અને $P(B) = \frac{70}{100} = 0.7$.
$A$ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.9 = 0.1$ છે.
$B$ દાખલો ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3$ છે.
તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછો $1$ વ્યક્તિ દાખલો ઉકેલે તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ દાખલો ન ઉકેલે})$ છે.
$P(\text{કોઈ પણ ન ઉકેલે}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - 0.03 = 0.97 = \frac{97}{100}$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ છાપ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $q$ એ કાંટો મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
$A$ રમત શરૂ કરે છે. $A$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ ને $1$ લા પ્રયત્ને છાપ મળે,અથવા $A$ ને કાંટો મળે,$B$ ને કાંટો મળે અને $A$ ને $3$ જા પ્રયત્ને છાપ મળે,અને આ રીતે આગળ.
$A$ ના જીતવાની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P(A) = p + qqp + qqqqp + \dots$
$P(A) = p(1 + q^2 + q^4 + \dots)$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{p}{1 - q^2}$ છે.
$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$P(A) = \frac{1/2}{1 - (1/2)^2} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $p$ એ એક પાસા ફેંકમાં '$6$' મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ '$6$' ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$A$ પ્રથમ પાસો ફેંકે છે. $B$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ નિષ્ફળ જાય અને પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ સફળ થાય,વગેરે.
$P(B \text{ જીતે}) = qp + qqqp + qqqqqp + \dots$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$P(B \text{ જીતે}) = \frac{5/36}{1 - 25/36} = \frac{5/36}{11/36} = \frac{5}{11}$.

(D) $SOCIETY$ શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $S, O, C, I, E, T, Y$.
આ $7$ અક્ષરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $n(S) = 7!$ છે.
શબ્દમાં સ્વરો $O, I, E$ છે (કુલ $3$ સ્વરો).
$3$ સ્વરો સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(O, I, E)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો છે: $(OIE), S, C, T, Y$.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(OIE)$ જૂથની અંદર,$3$ સ્વરોને પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5! \times 3!$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{5! \times 6}{7 \times 6 \times 5!} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$.

(A) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો $(D, A, U, G, H, T, E, R)$ છે.
આ $8$ અક્ષરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $n(S) = 8!$ છે.
જો $D$ અક્ષર પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત હોય,તો આપણે બાકીના $7$ અક્ષરોને બાકીના $7$ સ્થાનો પર ગોઠવવાના રહે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 7!$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{7!}{8!} = \frac{7!}{8 \times 7!} = \frac{1}{8}$ છે.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3$ (લાલ) $+ 5$ (પીળા) $+ 7$ (ગુલાબી) $= 15$ દડા.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ગુલાબી અથવા લાલ) = $7 + 3 = 10$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(E) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 13 + 7 = 20$ છે.
$20$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો એટલે કે નિદર્શાવકાશ $n(S) = {}^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ થાય.
બંને દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,કાં તો બંને સફેદ હોવા જોઈએ અથવા બંને કાળા હોવા જોઈએ.
$13$ સફેદ દડામાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{13}C_{2} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ છે.
$7$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = 78 + 21 = 99$ થાય.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{99}{190}$ મળે.

(D) પાત્રમાં લખોટાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ માંથી $2$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_2 = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'બંને લાલ હોય અથવા ઓછામાં ઓછો $1$ લાલ હોય' તે ઘટના 'ઓછામાં ઓછો $1$ લાલ હોય' તે ઘટનાને સમાન છે.
$0$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
ઓછામાં ઓછો $1$ લાલ લખોટો પસંદ કરવાની રીતો $= \text{કુલ રીતો} - 0 \text{ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો} = 91 - 66 = 25$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= 25/91$.

(B) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$ છે.
પીળા ન હોય તેવા લખોટાની સંખ્યા $= 14 - 3 = 11$.
$3$ લખોટા એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાં એક પણ પીળો ન હોય,તે ${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ છે.
એક પણ લખોટો પીળો ન હોય તેની સંભાવના $= \frac{165}{364}$.
ઓછામાં ઓછો $1$ લખોટો પીળો હોય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{એક પણ પીળો ન હોય}) = 1 - \frac{165}{364} = \frac{364 - 165}{364} = \frac{199}{364}$.

(C) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ માંથી $8$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_{8}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$,તેથી ${}^{14}C_{8} = {}^{14}C_{6} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
દરેક રંગના સમાન લખોટા મેળવવા માટે,આપણે $4$ રંગોમાંથી દરેકના $2$ લખોટા પસંદ કરવા પડે ($2$ લીલા,$2$ વાદળી,$2$ લાલ,$2$ પીળા).
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= {}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{2} \times {}^{2}C_{2} \times {}^{3}C_{2}$.
$= 6 \times 10 \times 1 \times 3 = 180$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{180}{3003} = \frac{60}{1001}$.

(D) કુલ લખોટાની સંખ્યા = $4 + 5 + 2 + 3 = 14$ છે.
$14$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો = ${}^{14}C_{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364$ થાય.
આપણે એ સંભાવના શોધવી છે કે $3$ માંથી એક પણ લખોટો લીલા રંગનો ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય લખોટા લીલા સિવાયના (વાદળી,લાલ અને પીળા) લખોટામાંથી પસંદ કરવાના છે.
લીલા સિવાયના લખોટાની સંખ્યા = $5 + 2 + 3 = 10$ છે.
લીલા સિવાયના $3$ લખોટા પસંદ કરવાના પ્રકારો = ${}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ થાય.
તેથી,માંગેલ સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{120}{364}$ છે.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{30}{91}$ મળે છે.

(A) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 2 + 3 = 14$.
$14$ માંથી $4$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{14}C_{4}$ દ્વારા મળે છે.
${}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$.
$5$ વાદળી લખોટામાંથી $2$ વાદળી લખોટા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$2$ લાલ લખોટામાંથી $2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{2}C_{2} = 1$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= {}^{5}C_{2} \times {}^{2}C_{2} = 10 \times 1 = 10$.
આવશ્યક સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{1001}$.

(A) કુલ બાળકોની સંખ્યા $= 5 + 3 = 8$.
$8$ માંથી $4$ બાળકોને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= {}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
$5$ માંથી $4$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{5}C_{4} = {}^{5}C_{1} = 5$ છે.
$4$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$.

(B) દડાની કુલ સંખ્યા $= 3 + 4 = 7$.
$7$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
કિસ્સો $1$: ત્રણેય દડા વાદળી હોય. $3$ વાદળી દડામાંથી $3$ પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{3}C_{3} = 1$ છે.
કિસ્સો $2$: ત્રણેય દડા લાલ હોય. $4$ લાલ દડામાંથી $3$ પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{4}C_{3} = 4$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $1 + 4 = 5$ થાય.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$.

(D) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$.
$n(S) = 12$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= {}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$n(E) =$ સાનુકૂળ પરિણામો (બધા લીલા અથવા બધા લાલ).
$3$ લીલા લખોટામાંથી $3$ પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{3}C_{3} = 1$.
$4$ લાલ લખોટામાંથી $3$ પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{4}C_{3} = 4$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 1 + 4 = 5$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{220} = \frac{1}{44}$.

(D) લખોટાની કુલ સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$ છે.
$12$ માંથી $2$ લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n(S) = {}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ છે.
$4$ લાલ લખોટામાંથી $2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n(E) = {}^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$2$ લાલ લખોટા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\frac{1}{11}$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) કુલ લખોટાની સંખ્યા $= 4 + 5 + 3 = 12$ છે.
$12$ માંથી $3$ લખોટા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
ઓછામાં ઓછો $1$ લખોટો વાદળી હોય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે પૂરક ઘટનાનો નિયમ વાપરીએ: $P(\text{ઓછામાં ઓછો } 1 \text{ વાદળી}) = 1 - P(\text{એક પણ વાદળી નહીં})$.
વાદળી ન હોય તેવા લખોટાની સંખ્યા $= 4 \text{ (લાલ)} + 3 \text{ (લીલા)} = 7$ છે.
$3$ લખોટા એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેમાં એક પણ વાદળી ન હોય,તે $n(E') = {}^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
એક પણ વાદળી લખોટો ન મળે તેની સંભાવના $P(E') = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો $1$ વાદળી લખોટો મળે તેની સંભાવના $1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$ છે.