एक छात्र को (2n + 1) पुस्तकों के संग्रह से अध | vedclass

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Question

(B) छात्र को $(2n + 1)$ पुस्तकों में से कम से कम एक और अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है।अतः,चुनने के कुल तरीकों की संख्या $T$ इस प्रकार है:$T =

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$3$

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(B) छात्र को $(2n + 1)$ पुस्तकों में से कम से कम एक और अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है।अतः,चुनने के कुल तरीकों की संख्या $T$ इस प्रकार है:$T = {^{2n+1}C_1} + {^{2n+1}C_2} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ ..... $(i)$हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग:${^{2n+1}C_0} + {^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} + {^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 2^{2n+1}$गुणधर्म ${^mC_r} = {^mC_{m-r}}$ का उपयोग करने पर,${^{2n+1}C_0} = {^{2n+1}C_{2n+1}} = 1$ प्राप्त होता है।अतः,योग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$1 + ({^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n}) + ({^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}}) = 2^{2n+1}$चूंकि ${^{2n+1}C_1} + ... + {^{2n+1}C_n} = 63$ और समरूपता के अनुसार,${^{2n+1}C_{n+1}} + ... + {^{2n+1}C_{2n+1}} = 63$ होता है।अतः,$1 + 63 = 2^{2n}$ (द्विपद विस्तार के आधे भाग का योग $2^{2n}$ होता है)।$64 = 2^{2n} \Rightarrow 2^6 = 2^{2n}$.इस प्रकार,$2n = 6$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।

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