एक बहुभुज में $35$ विकर्ण हैं,तो इसकी भुजाओं की संख्या क्या है?

एक $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB, BC, CA$ पर क्रमशः $3, 4, 5$ भिन्न बिंदु (शीर्ष $A, B, C$ को छोड़कर) चुने गए हैं। इन चुने गए बिंदुओं को शीर्ष के रूप में उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है:

$3$ बच्चे $15$ क्रमिक रूप से क्रमांकित टिकटों में से $10$ टिकटों को आपस में इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5, 3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक मिलते हैं,तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या है:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $4$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें अंक $1$ शामिल हो?

$INSURANCE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,यदि सभी स्वर हमेशा एक साथ आएं?

$20$ लड़कों की कक्षा में निम्नलिखित पुरस्कार कितनी तरह से दिए जा सकते हैं: गणित में प्रथम और द्वितीय,भौतिकी में प्रथम और द्वितीय,रसायन विज्ञान में प्रथम और अंग्रेजी में प्रथम?