$9$ अंकों की कुल कितनी ऐसी संख्याएँ हैं जिनमें सभी अंक भिन्न हैं?

छह '$+$' और चार '$-$' संकेतों को एक सीधी रेखा में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि कोई भी दो '$-$' संकेत एक साथ न आएं,तो कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,प्रत्येक सेट को $1$ से $(n + 1)$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि आसन्न गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ को संतुष्ट करने वाले $r$ के मानों की संख्या है:

$8$ बच्चों वाले एक पिता उन्हें एक बार में $3$ बच्चों को प्राणी उद्यान (Zoological gardens) ले जाते हैं,और वह ऐसा तब तक करते हैं जब तक कि वे एक ही $3$ बच्चों को एक से अधिक बार साथ न ले जाएं। तो वह कितनी बार उद्यान जाएंगे?

भिन्न अंकों वाली $4$ अंकों की कितनी संख्याएँ संभव हैं?