$MATHEMATICS$ शब्द के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

प्लस $2$ कोर्स के प्रथम वर्ष के प्रत्येक अनुभाग में ठीक $40$ छात्र हैं। यदि कुल $5$ अनुभाग हैं,तो प्रत्येक अनुभाग से $1$ छात्र लेते हुए,$4$ छात्र प्रतिनिधियों का एक समूह कितनी तरह से चुना जा सकता है?

एक निश्चित परीक्षा में $n$ प्रश्न हैं। परीक्षा में $2^{n-i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है। यदि दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है,तो $n$ का मान क्या है?

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके $3$ अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ अंकों का उपयोग करके $8$ अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें विषम अंक विषम स्थानों पर न हों?