Simplification Questions in Hindi

(D) चरण $1$: पहले भिन्न के अंश को सरल करने पर: $2 \frac{1}{7} - 2 \frac{1}{2} = \frac{15}{7} - \frac{5}{2} = \frac{30-35}{14} = \frac{-5}{14}$.
चरण $2$: पहले भिन्न के हर को सरल करने पर: $2 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{7} = \frac{9}{4} + \frac{8}{7} = \frac{63+32}{28} = \frac{95}{28}$.
चरण $3$: परिणामों का भाग करने पर: $\frac{-5}{14} \div \frac{95}{28} = \frac{-5}{14} \times \frac{28}{95} = \frac{-1}{1} \times \frac{2}{19} = \frac{-2}{19}$.
चरण $4$: दूसरे भाग को सरल करने पर: $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
फिर,$2 + \frac{1}{3/2} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
फिर,$2 + \frac{1}{8/3} = 2 + \frac{3}{8} = \frac{19}{8}$.
अतः,दूसरा भाग $\frac{1}{19/8} = \frac{8}{19}$ है।
चरण $5$: अंतिम भाग करने पर: $\frac{-2}{19} \div \frac{8}{19} = \frac{-2}{19} \times \frac{19}{8} = \frac{-2}{8} = \frac{-1}{4}$.

(B) माना $a = 2.75$ और $b = 2.25$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ होती है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2}$ प्राप्त होता है।
समान पद $(a^2 + ab + b^2)$ को काटने पर,व्यंजक $a - b$ में सरल हो जाता है।
मान वापस रखने पर: $2.75 - 2.25 = 0.50$।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{\frac{1}{2} \div 4 + 20}{\frac{1}{2} \times 4 + 20}$ है।
सबसे पहले,अंश को हल करें: $\frac{1}{2} \div 4 + 20 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + 20 = \frac{1}{8} + 20 = \frac{1 + 160}{8} = \frac{161}{8}$.
इसके बाद,हर को हल करें: $\frac{1}{2} \times 4 + 20 = 2 + 20 = 22$.
अब,अंश को हर से विभाजित करें: $\frac{161/8}{22} = \frac{161}{8} \times \frac{1}{22} = \frac{161}{176}$.

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b}$ के रूप में है,जहाँ $a = 0.53$ और $b = 0.41$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ का उपयोग करने पर,अंश $(0.53 - 0.41)^2$ हो जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{(0.53 - 0.41)^2}{0.53 - 0.41}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(0.53 - 0.41) = 0.12$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $0.12$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{9^{2} \times 18^{4}}{3^{16}}$ है।
आधारों को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करने पर:
$9 = 3^{2}$ और $18 = 2 \times 3^{2}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{(3^{2})^{2} \times (2 \times 3^{2})^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4} \times 2^{4} \times (3^{2})^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4} \times 2^{4} \times 3^{8}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{4+8} \times 2^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{3^{12} \times 2^{4}}{3^{16}}$
$= \frac{2^{4}}{3^{16-12}}$
$= \frac{16}{3^{4}}$
$= \frac{16}{81}$.

(C) $1+\frac{1}{2+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}}$ व्यंजक को सरल करने के लिए,हम नीचे से ऊपर की ओर हल करेंगे।
सबसे पहले,सबसे निचले भिन्न के हर को हल करें: $1-\frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$।
अब,व्यंजक $1+\frac{1}{2+\frac{1}{2/3}}$ बन जाता है।
इसके बाद,$\frac{1}{2/3}$ पद को सरल करने पर $\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $1+\frac{1}{2+\frac{3}{2}}$ बन जाता है।
हर $2+\frac{3}{2} = \frac{4+3}{2} = \frac{7}{2}$ को सरल करें।
अंत में,व्यंजक $1+\frac{1}{7/2} = 1+\frac{2}{7} = \frac{7+2}{7} = \frac{9}{7}$ हो जाता है।

(D) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $108 \div (x \text{ का } \frac{1}{3}) + \frac{2}{5} \times 3 \frac{3}{4} = 10 \frac{1}{2}$ है।
सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें: $3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ और $10 \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$।
समीकरण इस प्रकार होगा: $108 \div (x \times \frac{1}{3}) + \frac{2}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{21}{2}$।
गुणा वाले पद को सरल करने पर: $\frac{2}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$।
अब समीकरण: $108 \div \frac{x}{3} + \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$ है।
भाग को व्युत्क्रम से गुणा में बदलने पर: $108 \times \frac{3}{x} + \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$।
दोनों पक्षों से $\frac{3}{2}$ घटाने पर: $\frac{324}{x} = \frac{21}{2} - \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$।
$x$ के लिए हल करने पर: $9x = 324$,इसलिए $x = \frac{324}{9} = 36$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $1 + 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{4 \times 9} + \frac{1}{4 \times 27}$ है।
इसका सरलीकरण $2 + \frac{1}{12} + \frac{1}{36} + \frac{1}{108}$ है।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,$12, 36,$ और $108$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $108$ है।
अभिव्यक्ति $2 + \frac{9}{108} + \frac{3}{108} + \frac{1}{108}$ हो जाती है।
भिन्नों को जोड़ने पर $2 + \frac{9 + 3 + 1}{108} = 2 + \frac{13}{108}$ प्राप्त होता है।
दशमलव मान की गणना करने पर: $2 + 0.12037... = 2.12037...$ प्राप्त होता है।
दशमलव के चार स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.1204$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि अभीष्ट भाग $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{1}{12}$ का $x$ भाग $= \frac{3}{48}$ है।
सबसे पहले,$\frac{3}{48}$ के अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर $\frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \times \frac{1}{12} = \frac{1}{16}$.
$x$ का मान ज्ञात करने पर,$x = \frac{1}{16} \times 12$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{12}{16}$.
दोनों को $4$ से विभाजित करने पर,$x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम नीचे से ऊपर की ओर हल करते हैं:
$1$. सबसे पहले,सबसे अंदर वाले भिन्न को सरल करें: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$.
$2$. इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/3}} = 1 + \frac{1}{1 + 3}$.
$3$. हर (denominator) को सरल करें: $1 + 3 = 4$.
$4$. व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $1 + \frac{1}{4}$.
$5$. अंत में,पदों को जोड़ने पर: $1 + \frac{1}{4} = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) सबसे पहले,दिए गए भिन्नों को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
$\frac{7}{8} = 0.875$
हमें एक ऐसा भिन्न $x$ चाहिए जो $0.333 < x < 0.875$ के बीच हो।
विकल्पों की जाँच करें:
$A) \frac{1}{4} = 0.25$। चूँकि $0.25 < 0.333$,यह गलत है।
$B) \frac{23}{24} \approx 0.958$। चूँकि $0.958 > 0.875$,यह गलत है।
$C) \frac{11}{12} \approx 0.916$। चूँकि $0.916 > 0.875$,यह गलत है।
$D) \frac{17}{24} \approx 0.708$। चूँकि $0.333 < 0.708 < 0.875$,इसलिए यह सही भिन्न है।

(A) यह पता लगाने के लिए कि $37 \frac{1}{2}$ में कितने $\frac{1}{8}$ हैं,हमें $37 \frac{1}{2}$ को $\frac{1}{8}$ से विभाजित करना होगा।
सबसे पहले,मिश्रित भिन्न $37 \frac{1}{2}$ को विषम भिन्न में बदलें: $37 \frac{1}{2} = \frac{37 \times 2 + 1}{2} = \frac{75}{2}$.
अब,विभाजन करें: $\frac{75}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{75}{2} \times 8$.
परिणाम की गणना करने पर: $\frac{75 \times 8}{2} = 75 \times 4 = 300$.

(D) मान लीजिए लड़कियों की संख्या $G$ है और लड़कों की संख्या $B$ है।
शिविर में भाग लेने वाली लड़कियों की संख्या = $\frac{1}{5}G$ है।
शिविर में भाग लेने वाले लड़कों की संख्या = $\frac{1}{8}B$ है।
शिविर में भाग लेने वाले कुल छात्रों की संख्या = $\frac{1}{5}G + \frac{1}{8}B$ है।
कॉलेज में कुल छात्रों की संख्या = $G + B$ है।
शिविर में भाग लेने वाले छात्रों का भिन्न $\frac{\frac{1}{5}G + \frac{1}{8}B}{G + B}$ है।
चूंकि लड़कियों और लड़कों का अनुपात नहीं दिया गया है,इसलिए सटीक भिन्न निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(C) $BODMAS$ नियम का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को चरण-दर-चरण हल करते हैं:
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: $(1 \frac{2}{5} - 1 \frac{1}{3}) = (\frac{7}{5} - \frac{4}{3}) = \frac{21-20}{15} = \frac{1}{15}$.
इसके बाद,'of' (का) वाले संक्रियाओं को हल करें:
$\frac{1}{2} \text{ of } \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
$1 \frac{7}{8} \text{ of } \frac{1}{15} = \frac{15}{8} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{8}$.
अब इन मानों को व्यंजक में रखें:
$= \{\frac{15}{2} + \frac{1}{2} \div \frac{1}{8} - \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} \div \frac{1}{8}\}$.
भाग की संक्रिया करें:
$= \{\frac{15}{2} + (\frac{1}{2} \times 8) - (\frac{2}{5} \times \frac{7}{3} \times 8)\}$.
$= \{\frac{15}{2} + 4 - \frac{112}{15}\}$.
$= \{\frac{23}{2} - \frac{112}{15}\}$.
$= \frac{345 - 224}{30} = \frac{121}{30} = 4 \frac{1}{30}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\left(2-\frac{1}{3}\right)\left(2-\frac{3}{5}\right)\left(2-\frac{5}{7}\right) \ldots \left(2-\frac{999}{1001}\right)$ है।
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$\left(\frac{6-1}{3}\right) \times \left(\frac{10-3}{5}\right) \times \left(\frac{14-5}{7}\right) \times \ldots \times \left(\frac{2002-999}{1001}\right)$
$= \frac{5}{3} \times \frac{7}{5} \times \frac{9}{7} \times \ldots \times \frac{1003}{1001}$.
पैटर्न का अवलोकन करने पर,प्रत्येक भिन्न का अंश उसके बाद वाली भिन्न के हर से कट जाता है:
$= \frac{{5}}{3} \times \frac{{7}}{{5}} \times \frac{{9}}{{7}} \times \ldots \times \frac{1003}{{1001}}$
$= \frac{1003}{3}$.

(A) दी गई व्यंजक $S = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{4 \cdot 5 \cdot 6}$ है।
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + \frac{1}{120}$ प्राप्त होता है।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,$6, 24, 60, 120$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $120$ है।
$S = \frac{20}{120} + \frac{5}{120} + \frac{2}{120} + \frac{1}{120}$।
$S = \frac{20 + 5 + 2 + 1}{120} = \frac{28}{120}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{7}{30}$ प्राप्त होता है।

(D) मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$15 \frac{2}{3} = \frac{47}{3}$,$3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6}$,$6 \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$,$11 \frac{7}{18} = \frac{205}{18}$.
माना लुप्त संख्या $x$ है।
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{47}{3} \times \frac{19}{6} + \frac{19}{3} = \frac{205}{18} + x$.
गुणनफल की गणना करें: $\frac{47 \times 19}{3 \times 6} = \frac{893}{18}$.
अब,$\frac{893}{18} + \frac{19}{3} = \frac{205}{18} + x$.
$\frac{19}{3}$ को $18$ हर वाली भिन्न में बदलें: $\frac{19 \times 6}{3 \times 6} = \frac{114}{18}$.
अतः,$\frac{893}{18} + \frac{114}{18} = \frac{205}{18} + x$.
$\frac{1007}{18} = \frac{205}{18} + x$.
$x = \frac{1007}{18} - \frac{205}{18} = \frac{802}{18}$.
$\frac{802}{18}$ को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{401}{9}$.
$\frac{401}{9}$ को मिश्र भिन्न में बदलने पर: $44 \frac{5}{9}$.

(A) गणित के संक्रिया क्रम $(BODMAS)$ का पालन करें:
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें: $(2 + \frac{8}{13}) = \frac{26+8}{13} = \frac{34}{13}$.
इसके बाद,मझले कोष्ठक को हल करें: $(4 - 2) \div \frac{34}{13} = 2 \div \frac{34}{13} = 2 \times \frac{13}{34} = \frac{13}{17}$.
फिर,बड़े कोष्ठक को हल करें: $(8 - 5) \div \frac{13}{17} = 3 \div \frac{13}{17} = 3 \times \frac{17}{13} = \frac{51}{13}$.
अंत में,पूरे व्यंजक को हल करें: $3 \div \frac{51}{13} = 3 \times \frac{13}{51} = \frac{13}{17}$.

(C) भिन्नों की तुलना करने के लिए,उन्हें दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{3}{5} = 0.60$
$\frac{2}{3} \approx 0.666...$
$\frac{3}{4} = 0.75$
इन मानों की तुलना करने पर: $0.75 > 0.666... > 0.60$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{3}{5}$।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{(272-32)(124+176)}{17 \times 15-15}$ है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करें:
$272 - 32 = 240$
$124 + 176 = 300$
इसके बाद,हर (denominator) को हल करें:
$17 \times 15 - 15 = 15(17 - 1) = 15 \times 16 = 240$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{240 \times 300}{240} = 300$.

(NONE) दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}.$
$\frac{3a + 2b}{3a - 2b}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $b$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3a + 2b}{3a - 2b} = \frac{3(\frac{a}{b}) + 2}{3(\frac{a}{b}) - 2}.$
अब $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$= \frac{3(\frac{1}{2}) + 2}{3(\frac{1}{2}) - 2} = \frac{\frac{3}{2} + 2}{\frac{3}{2} - 2}.$
$= \frac{\frac{3 + 4}{2}}{\frac{3 - 4}{2}} = \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}.$
$= \frac{7}{2} \times (-\frac{2}{1}) = -7.$

(A) व्यंजक $(20 \div 5) \div 2 + (16 \div 8) \times 2 + (10 \div 5) \times (3 \div 2)$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं:
चरण $1$: कोष्ठक के अंदर की क्रियाओं को हल करें:
$(20 \div 5) = 4$
$(16 \div 8) = 2$
$(10 \div 5) = 2$
$(3 \div 2) = 1.5$
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$4 \div 2 + 2 \times 2 + 2 \times 1.5$
चरण $3$: भाग और गुणा की क्रिया करें:
$2 + 4 + 3$
चरण $4$: जोड़ें:
$2 + 4 + 3 = 9$
अतः,सही उत्तर $9$ है।

(B) माना कि लुप्त मान $x$ है। समीकरण इस प्रकार है: $\frac{5}{6} \div \frac{6}{7} \times x - \frac{8}{9} \div \frac{8}{5} + \frac{3}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{25}{9}$.
$BODMAS$ नियम का पालन करते हुए,हम पहले भाग और गुणा को हल करेंगे:
$\frac{5}{6} \times \frac{7}{6} \times x - \frac{8}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{3}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{25}{9}$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$\frac{35}{36} x - \frac{5}{9} + \frac{5}{2} = \frac{25}{9}$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{35}{36} x = \frac{25}{9} + \frac{5}{9} - \frac{5}{2}$.
$\frac{35}{36} x = \frac{30}{9} - \frac{5}{2} = \frac{10}{3} - \frac{5}{2}$.
$\frac{35}{36} x = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$.
$x = \frac{5}{6} \times \frac{36}{35} = \frac{6}{7}$.

(NONE) मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें:
$4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$,$3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,और $13 \frac{2}{3} = \frac{41}{3}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{9}{2} + \frac{19}{6} + x + \frac{7}{3} = \frac{41}{3}$.
बाईं ओर के भिन्नों के लिए सामान्य हर $6$ लें:
$\frac{27}{6} + \frac{19}{6} + \frac{14}{6} + x = \frac{41}{3}$.
भिन्नों का योग करें: $\frac{27 + 19 + 14}{6} + x = \frac{41}{3}$.
$\frac{60}{6} + x = \frac{41}{3}$.
$10 + x = \frac{41}{3}$.
$x = \frac{41}{3} - 10$.
$x = \frac{41 - 30}{3} = \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3}$.

(A) माना कि $a = 0.67$ और $b = 0.1$ है।
अतः $a^3 = 0.67 \times 0.67 \times 0.67$ और $b^3 = 0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$ है।
साथ ही,$ab = 0.67 \times 0.1 = 0.067$ और $b^2 = 0.1 \times 0.1 = 0.01$ है।
यह व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
मान रखने पर,हमें $0.67 - 0.1 = 0.57$ प्राप्त होता है।

(A) माना कुल छात्रों की संख्या $x$ है।
चूंकि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से दोगुनी है,माना लड़कों की संख्या $b$ है और लड़कियों की संख्या $2b$ है।
कुल छात्र $x = b + 2b = 3b$,इसलिए $b = \frac{x}{3}$ और लड़कियां $= \frac{2x}{3}$ हैं।
शिविर में भाग लेने वाली लड़कियों की संख्या $= \frac{1}{5} \times \frac{2x}{3} = \frac{2x}{15}$ है।
शिविर में भाग लेने वाले लड़कों की संख्या $= \frac{1}{8} \times \frac{x}{3} = \frac{x}{24}$ है।
शिविर में भाग लेने वाले कुल छात्र $= \frac{2x}{15} + \frac{x}{24}$ हैं।
इन्हें जोड़ने के लिए,$15$ और $24$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $120$ है।
कुल $= \frac{16x + 5x}{120} = \frac{21x}{120} = \frac{7x}{40}$ है।
अतः,शिविर में भाग लेने वाले कुल छात्रों का भाग $\frac{7}{40}$ है।

(B) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,हम भिन्न को स्वयं से गुणा करते हैं और उसे उसके व्युत्क्रम से विभाजित करते हैं:
$x^2 \div (1/x) = 18 \frac{26}{27}$
$x^2 \times x = \frac{18 \times 27 + 26}{27}$
$x^3 = \frac{486 + 26}{27} = \frac{512}{27}$
$x^3 = (\frac{8}{3})^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

(B) सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करने के लिए,आइए प्रत्येक विकल्प का मान ज्ञात करें:
$A) (0.3)^{2} = 0.3 \times 0.3 = 0.09$
$B) 1 \div 0.3 = 10 \div 3 \approx 3.33$
$C) 1/8 = 0.125$
$D) \sqrt{0.49} = 0.7$
मानों की तुलना करने पर: $0.09, 3.33, 0.125, 0.7$ प्राप्त होता है।
सबसे बड़ा मान $3.33$ है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(D) माना कि घटाया जाने वाला भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,तीनों भिन्नों का औसत $\frac{1}{12}$ है।
तीनों भिन्न $\frac{1}{4}$,$\frac{1}{6}$ और $-x$ हैं।
इन तीनों भिन्नों का योग $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x$ है।
औसत का सूत्र $\frac{\text{योग}}{3} = \frac{1}{12}$ है।
इसलिए,$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x}{3} = \frac{1}{12}$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{4}$ घटाने पर,$\frac{1}{6} - x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{6}$।

(B) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,व्यक्ति ने $\frac{6}{7}$ से गुणा करने के बजाय $\frac{6}{7}$ से भाग दिया।
इसका अर्थ है कि गणना किया गया मान $x \div \frac{6}{7} = \frac{7}{6}x$ है।
सही उत्तर $\frac{6}{7}x$ होना चाहिए था।
यह दिया गया है कि गणना किया गया मान सही उत्तर से $\frac{1}{7}$ अधिक है,इसलिए:
$\frac{7}{6}x - \frac{6}{7}x = \frac{1}{7}$
$x$ के लिए हल करने हेतु,बाईं ओर के भिन्नों के लिए सामान्य हर $42$ लें:
$\frac{49x - 36x}{42} = \frac{1}{7}$
$\frac{13x}{42} = \frac{1}{7}$
$x = \frac{1}{7} \times \frac{42}{13} = \frac{6}{13}$
अब,सही उत्तर की गणना करें:
सही उत्तर $= \frac{6}{7}x = \frac{6}{7} \times \frac{6}{13} = \frac{36}{91}$.

(A) दी गई व्यंजक: $2+\sqrt{2}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2}$
अंतिम दो पदों को एक सामान्य हर (denominator) प्राप्त करके जोड़ें:
$\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-2} = \frac{(\sqrt{2}-2) + (2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-2)}$
अंश और हर को सरल करने पर:
अंश: $\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
हर: $(\sqrt{2})^2 - (2)^2 = 2 - 4 = -2$
अतः,अंतिम दो पदों का योग $\frac{2\sqrt{2}}{-2} = -\sqrt{2}$ है।
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$2 + \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 2$
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) प्रत्येक पद की गणना इस प्रकार है:
$\frac{1}{2} = 0.50000$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \approx 0.16667$
$\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24} \approx 0.04167$
$\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120} \approx 0.00833$
इन मानों का योग करने पर: $0.50000 + 0.16667 + 0.04167 + 0.00833 = 0.71667$
दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.717$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि लुप्त मान $x$ है।
दिया गया समीकरण $\frac{x \div 12}{0.2 \times 3.6} = 2$ है।
दोनों पक्षों को हर $(0.2 \times 3.6)$ से गुणा करने पर:
$x \div 12 = 2 \times 0.2 \times 3.6$
$x \div 12 = 0.4 \times 3.6$
$x \div 12 = 1.44$
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर:
$x = 1.44 \times 12$
$x = 17.28$

(A) माना कि लुप्त मान $x$ है।
$\sqrt{x \times 7} \times 18 = 84$
दोनों पक्षों को $18$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{x \times 7} = \frac{84}{18} = \frac{14}{3}$
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x \times 7 = \left(\frac{14}{3}\right)^2$
$x \times 7 = \frac{196}{9}$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{196}{9 \times 7}$
$x = \frac{196}{63}$
$x = \frac{28}{9} \approx 3.111...$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $x = 3.11$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,$3 \frac{5}{12} = \frac{41}{12}$,$5 \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$,$2 \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$.
योग $= \frac{7}{4} + \frac{7}{3} + \frac{41}{12} + \frac{26}{5} + \frac{13}{6}$.
$4, 3, 12, 5, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ है।
योग $= \frac{105 + 140 + 205 + 312 + 130}{60} = \frac{892}{60}$.
सरल करने पर $\frac{892}{60} = \frac{223}{15} = 14 \frac{13}{15}$.
$14 \frac{13}{15}$ के निकटतम पूर्ण संख्या $15$ है।
अंतर $= 15 - 14 \frac{13}{15} = \frac{2}{15}$.

(C) दिया गया समीकरण: $(2 + \frac{3}{x}) \times (y + \frac{1}{2}) = \frac{31}{4}$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(\frac{2x+3}{x}) \times (\frac{2y+1}{2}) = \frac{31}{4}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{(2x+3)(2y+1)}{2x} = \frac{31}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4(2x+3)(2y+1) = 62x$,जो $2(2x+3)(2y+1) = 31x$ में परिवर्तित हो जाता है।
यदि $x=14$ रखें: $2(2(14)+3)(2y+1) = 31(14) \Rightarrow 2(31)(2y+1) = 31(14)$.
दोनों पक्षों को $62$ से विभाजित करने पर: $2y+1 = 7 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
अतः,$x=14$ और $y=3$ प्राप्त होते हैं।

(C) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,हम भिन्न को स्वयं से गुणा करते हैं और उसे उसके व्युत्क्रम के वर्ग से विभाजित करते हैं:
$x \times x \div \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 3 \frac{13}{81}$
मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने पर:
$3 \frac{13}{81} = \frac{3 \times 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$
अब,समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 \div \frac{1}{x^2} = \frac{256}{81}$
$x^2 \times x^2 = \frac{256}{81}$
$x^4 = \frac{256}{81}$
दाहिनी ओर को $4$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर:
$x^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4$
अतः,$x = \frac{4}{3}$.

(B) दी गई संक्रिया $x \times y = (x + 2)^2 (y - 2)$ है।
इस व्यंजक में $x = 7$ और $y = 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$7 \times 5 = (7 + 2)^2 (5 - 2)$
$= (9)^2 \times (3)$
$= 81 \times 3$
$= 243$

(C) दिया गया है कि $m^{n} = 121$.
हम जानते हैं कि $121 = 11^{2}$.
$m^{n} = 11^{2}$ की तुलना करने पर,हमें $m = 11$ और $n = 2$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $(m-1)^{n+1}$ का मान ज्ञात करना है।
$m$ और $n$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(11-1)^{2+1} = 10^{3}$.
अतः,मान $10^{3}$ है।

(D) दिए गए भिन्न $\frac{1}{8} = 0.125$ और $\frac{1}{2} = 0.5$ हैं।
गणित में,किन्हीं भी दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
चूंकि किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच अनंत भिन्न होते हैं।
उदाहरण के लिए,हम $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$ जैसे कई भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

(D) माना कि दी गई संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,लड़के ने संख्या को $\frac{8}{17}$ से गुणा करने के बजाय $\frac{8}{17}$ से विभाजित किया।
$\frac{8}{17}$ से विभाजित करना $\frac{17}{8}$ से गुणा करने के बराबर है।
प्राप्त परिणाम और अपेक्षित परिणाम के बीच का अंतर $225$ है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $x \times \frac{17}{8} - x \times \frac{8}{17} = 225$.
$x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $x \times (\frac{17}{8} - \frac{8}{17}) = 225$.
कोष्ठक के अंदर का अंतर ज्ञात करने पर: $\frac{17^2 - 8^2}{8 \times 17} = \frac{289 - 64}{136} = \frac{225}{136}$.
इस प्रकार,$x \times \frac{225}{136} = 225$.
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x}{136} = 1$.
अतः,$x = 136$.

(C) दी गई व्यंजक $\sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n+1)}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ होता है।
इस मान को श्रेणी में रखने पर:
$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$= 1 - \frac{1}{10} = \frac{10 - 1}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) माना कि लुप्त मान $x$ है।
दिया गया समीकरण $\frac{\sqrt{1296}}{x} = \frac{x}{2.25}$ है।
पदों का वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,हमें $x^2 = \sqrt{1296} \times 2.25$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{1296} = 36$ है,इसलिए समीकरण $x^2 = 36 \times 2.25$ हो जाता है।
गुणनफल की गणना करने पर,$x^2 = 81$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{81} = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,लुप्त मान $9$ है।

(B) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,हम भिन्न को स्वयं से गुणा करते हैं $(x \times x = x^2)$ और गुणनफल को उसके व्युत्क्रम $(\frac{1}{x})$ से विभाजित करते हैं।
अतः,समीकरण है: $x^2 \div \frac{1}{x} = 18 \frac{26}{27}$.
$x^2 \times x = \frac{18 \times 27 + 26}{27}$.
$x^3 = \frac{486 + 26}{27} = \frac{512}{27}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $x = \sqrt[3]{\frac{512}{27}} = \frac{8}{3}$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $x = 2 \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया है कि $\frac{a}{a+b} = \frac{17}{23}$ है।
यदि हम $a = 17$ मानते हैं,तो $a + b = 23$ होगा।
$a + b = 23$ में $a = 17$ रखने पर,हमें $b$ का मान प्राप्त होता है:
$17 + b = 23 \implies b = 23 - 17 = 6$.
अब,$a - b$ की गणना करने पर:
$a - b = 17 - 6 = 11$.
अतः,$\frac{a+b}{a-b}$ का मान है:
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{23}{11}$।

(D) माना कि डिब्बे की कुल क्षमता $x$ बोतल है।
प्रारंभ में,डिब्बा $\frac{4}{5}$ भरा हुआ था,अतः तेल की मात्रा $\frac{4}{5}x$ थी।
जब $6$ बोतल निकाल ली गई,तो मात्रा $\frac{4}{5}x - 6$ हो गई।
इसके बाद,$4$ बोतल तेल डाला गया,जिससे मात्रा $\frac{4}{5}x - 6 + 4 = \frac{4}{5}x - 2$ हो गई।
प्रश्न के अनुसार,यह अंतिम मात्रा कुल क्षमता का $\frac{3}{4}$ है,इसलिए $\frac{4}{5}x - 2 = \frac{3}{4}x$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{4}{5}x - \frac{3}{4}x = 2$.
हर समान करने पर $(20)$: $\frac{16x - 15x}{20} = 2$.
$\frac{x}{20} = 2$.
$x = 40$.
अतः,डिब्बे में कुल $40$ बोतल तेल आ सकता है।

(C) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,छात्र ने $\frac{3}{14}x$ के बजाय $\frac{3}{4}x$ की गणना की।
यह दिया गया है कि गलत उत्तर सही उत्तर से $150$ अधिक है,इसलिए हमारे पास समीकरण है:
$\frac{3}{4}x - \frac{3}{14}x = 150$
इसे हल करने के लिए,$4$ और $14$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $28$ है।
$\frac{3 \times 7}{28}x - \frac{3 \times 2}{28}x = 150$
$\frac{21}{28}x - \frac{6}{28}x = 150$
$\frac{15}{28}x = 150$
$x = \frac{150 \times 28}{15}$
$x = 10 \times 28 = 280$
अतः,वह संख्या $280$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\left(2-\frac{1}{3}\right)\left(2-\frac{3}{5}\right)\left(2-\frac{5}{7}\right) \ldots \left(2-\frac{999}{1001}\right)$ है।
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$\left(\frac{6-1}{3}\right)\left(\frac{10-3}{5}\right)\left(\frac{14-5}{7}\right) \ldots \left(\frac{2002-999}{1001}\right)$
$= \frac{5}{3} \times \frac{7}{5} \times \frac{9}{7} \times \ldots \times \frac{1003}{1001}$.
इस पैटर्न को देखने पर,प्रत्येक भिन्न का अंश उसके बाद वाली भिन्न के हर से कट जाता है:
$= \frac{{5}}{3} \times \frac{{7}}{{5}} \times \frac{{9}}{{7}} \times \ldots \times \frac{1003}{{1001}}$.
कटौती के बाद,हमारे पास अंतिम पद का अंश और पहले पद का हर शेष रहता है:
$= \frac{1003}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{2^{n}} = 64$ है।
हम जानते हैं कि $64$ को $2^{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
साथ ही,$\sqrt{2^{n}}$ को $(2^{n})^{1/2} = 2^{n/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समान आधार $2$ के घातों की तुलना करने पर,हमें $\frac{n}{2} = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $n = 12$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $10^{2y} = 25$ है।
$10^{y}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेंगे।
$\sqrt{10^{2y}} = \sqrt{25}$।
घातांक के नियम $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10^{y} = 5$।