Mixture and Alligation Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બીજા પ્રકારના ચોખાનો ભાવ $Rs. x$ પ્રતિ $kg$ છે.
પ્રથમ પ્રકારના ચોખાની કુલ કિંમત $= 60 \times 32 = Rs. 1920$.
બીજા પ્રકારના ચોખાની કુલ કિંમત $= 48 \times x = Rs. 48x$.
મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= 60 + 48 = 108 \ kg$.
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $= 108 \times 28 = Rs. 3024$.
અહીં નફો કે નુકસાન થતું નથી,તેથી કુલ ખરીદ કિંમત એ કુલ વેચાણ કિંમત જેટલી જ હશે.
તેથી,$1920 + 48x = 3024$.
$48x = 3024 - 1920$.
$48x = 1104$.
$x = \frac{1104}{48} = 23$.
આમ,બીજા પ્રકારના ચોખાનો ભાવ $Rs. 23$ પ્રતિ $kg$ છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(CP)$ $= CP_{mix}$ છે.
આપેલ છે કે મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(SP)$ $Rs. 194.40$ પ્રતિ $kg$ છે અને નફો $20\%$ છે.
$CP_{mix} = \frac{SP}{1 + \text{Profit}\%} = \frac{194.40}{1.20} = Rs. 162$ પ્રતિ $kg$.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રકાર $I$ ચાની કિંમત $= 192$
પ્રકાર $II$ ચાની કિંમત $= 150$
સરેરાશ કિંમત $= 162$
તફાવત $1 = |162 - 150| = 12$
તફાવત $2 = |192 - 162| = 30$
પ્રકાર $I$ અને પ્રકાર $II$ ચાનો ગુણોત્તર $12 : 30$ છે.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $12 : 30 = 2 : 5$.

(D) શુદ્ધ દૂધની શરૂઆતની માત્રા $= 81 \ L$.
પગલું $1$: દૂધનો ત્રીજો ભાગ પાણી દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
બાકી રહેલ દૂધ $= 81 - (\frac{1}{3} \times 81) = 81 - 27 = 54 \ L$.
પગલું $2$: મિશ્રણનો ત્રીજો ભાગ કાઢી લેવામાં આવે છે અને પાણી ઉમેરવામાં આવે છે.
કાઢવામાં આવેલ દૂધની માત્રા $= \frac{1}{3} \times 54 = 18 \ L$.
બાકી રહેલ દૂધ $= 54 - 18 = 36 \ L$.
કુલ કદ $81 \ L$ રહેતું હોવાથી,પાણીની માત્રા $= 81 - 36 = 45 \ L$.
દૂધ અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર $= 36 : 45$.
બંનેને $9$ વડે ભાગતા,આપણને $4 : 5$ મળે છે.

(B) મિશ્રધાતુનું પ્રારંભિક વજન $= 50\, g$.
સોનાનું પ્રમાણ $= 50\, g$ ના $80\% = \frac{80}{100} \times 50 = 40\, g$.
ચાંદીનું પ્રમાણ $= 50\, g - 40\, g = 10\, g$.
ધારો કે મિશ્રધાતુમાં $x\, g$ સોનું ઉમેરવામાં આવે છે.
સોનાનું નવું વજન $= (40 + x)\, g$.
મિશ્રધાતુનું નવું કુલ વજન $= (50 + x)\, g$.
પ્રશ્ન મુજબ,સોનાની નવી ટકાવારી $95\%$ છે.
તેથી,$\frac{40 + x}{50 + x} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $20(40 + x) = 19(50 + x)$.
$800 + 20x = 950 + 19x$.
$20x - 19x = 950 - 800$.
$x = 150\, g$.

(B) મિશ્રધાતુનું કુલ વજન $100\, kg$ છે. તાંબુ,જસત અને નિકલનું પ્રમાણ $5: 3: 2$ છે.
પ્રમાણનો સરવાળો $= 5 + 3 + 2 = 10$.
તાંબાનું પ્રમાણ $= (5/10) \times 100 = 50\, kg$.
જસતનું પ્રમાણ $= (3/10) \times 100 = 30\, kg$.
નિકલનું પ્રમાણ $= (2/10) \times 100 = 20\, kg$.
ધારો કે $x\, kg$ નિકલ ઉમેરવામાં આવે છે. નિકલનું નવું પ્રમાણ $(20 + x)\, kg$ થશે અને મિશ્રધાતુનું કુલ વજન $(100 + x)\, kg$ થશે.
તાંબુ,જસત અને નિકલનું નવું પ્રમાણ $5: 3: 3$ છે.
તાંબુ અને જસતનું પ્રમાણ બદલાતું નથી,તેથી આપણે નિકલ અને તાંબાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરી શકીએ: $\frac{20 + x}{50} = \frac{3}{5}$.
$5(20 + x) = 3 \times 50 \Rightarrow 100 + 5x = 150 \Rightarrow 5x = 50 \Rightarrow x = 10\, kg$.

(D) $15 \text{ kg}$ ચોખાની ખરીદ કિંમત $= 15 \times 29 = Rs. 435$
$25 \text{ kg}$ ચોખાની ખરીદ કિંમત $= 25 \times 20 = Rs. 500$
કુલ ખરીદ કિંમત $(15 + 25) \text{ kg} = 435 + 500 = Rs. 935$
મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= 40 \text{ kg}$
$40 \text{ kg}$ મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $= 40 \times 27 = Rs. 1080$
નફો $= \text{વેચાણ કિંમત} - \text{ખરીદ કિંમત} = 1080 - 935 = Rs. 145$

(C) મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= 40 \, L$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= 7:1$.
દૂધનો જથ્થો $= \frac{7}{7+1} \times 40 = \frac{7}{8} \times 40 = 35 \, L$.
પાણીનો જથ્થો $= 40 - 35 = 5 \, L$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીનો જથ્થો $x \, L$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $3:1$ છે.
તેથી,$\frac{35}{5+x} = \frac{3}{1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$35 = 3(5+x)$.
$35 = 15 + 3x$.
$3x = 35 - 15 = 20$.
$x = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \, L$.

(A) મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= 30 \ L$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= 7:3$.
દૂધનો જથ્થો $= \frac{7}{7+3} \times 30 = \frac{7}{10} \times 30 = 21 \ L$.
પાણીનો જથ્થો $= 30 - 21 = 9 \ L$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીનો જથ્થો $x \ L$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $3:7$ છે.
તેથી,$\frac{21}{9+x} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$21 \times 7 = 3(9+x)$.
$147 = 27 + 3x$.
$3x = 147 - 27 = 120$.
$x = \frac{120}{3} = 40 \ L$.

(D) પાત્ર $A$ માં,દૂધનો ભાગ $\frac{8}{13}$ છે.
પાત્ર $B$ માં,દૂધનો ભાગ $\frac{5}{7}$ છે.
નવા મિશ્રણમાં દૂધની જરૂરી ટકાવારી $69 \frac{3}{13} \% = \frac{900}{13} \% = \frac{900}{13 \times 100} = \frac{9}{13}$ છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A$ માં દૂધ = $\frac{8}{13}$,$B$ માં દૂધ = $\frac{5}{7}$,સરેરાશ મૂલ્ય = $\frac{9}{13}$.
$B$ માટે તફાવત = $|\frac{8}{13} - \frac{9}{13}| = \frac{1}{13}$.
$A$ માટે તફાવત = $|\frac{5}{7} - \frac{9}{13}| = |\frac{65 - 63}{91}| = \frac{2}{91}$.
$A$ અને $B$ નો ગુણોત્તર = $\frac{2}{91} : \frac{1}{13} = \frac{2}{91} : \frac{7}{91} = 2:7$.

(C) મિશ્રધાતુનું કુલ વજન $= 400 \, g$.
ઝિંક અને કોપરનું પ્રમાણ $= 5:3$.
પ્રમાણના પદોનો સરવાળો $= 5 + 3 = 8$.
ઝિંકનું પ્રમાણ $= \frac{5}{8} \times 400 = 250 \, g$.
કોપરનું પ્રમાણ $= \frac{3}{8} \times 400 = 150 \, g$.
ધારો કે મિશ્રધાતુમાં $x \, g$ કોપર ઉમેરવામાં આવે છે.
કોપરનું નવું પ્રમાણ $= 150 + x$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું પ્રમાણ $5:4$ છે:
$\frac{250}{150 + x} = \frac{5}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $250 \times 4 = 5 \times (150 + x)$.
$1000 = 750 + 5x$.
$5x = 1000 - 750 = 250$.
$x = \frac{250}{5} = 50 \, g$.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
દૂધની કિંમત $= ₹ 3.5/litre$
પાણીની કિંમત $= ₹ 0/litre$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત $= ₹ 2/litre$
એલિગેશનના નિયમ મુજબ:
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= (2 - 0) : (3.5 - 2) = 2 : 1.5 = 4 : 3$
અહીં દૂધની માત્રા $80$ લિટર આપેલી છે,ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીની માત્રા $x$ લિટર છે.
તેથી,$\frac{80}{x} = \frac{4}{3}$
$x = \frac{80 \times 3}{4} = 60$ લિટર.
આમ,$60$ લિટર પાણી ઉમેરવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $100$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $y$ છે.
આપણી પાસે $x + y = 80$ (સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા) છે.
કુલ મૂલ્ય $100x + 50y = 6400$ પૈસા છે (કારણ કે ₹ $64 = 6400$ પૈસા).
બીજા સમીકરણને $50$ વડે ભાગતા,આપણને $2x + y = 128$ મળે છે.
આમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા,$(2x + y) - (x + y) = 128 - 80$,જે $x = 48$ આપે છે.
$x = 48$ ને $x + y = 80$ માં મૂકતા,આપણને $y = 80 - 48 = 32$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
સિક્કા દીઠ સરેરાશ મૂલ્ય $= \frac{6400}{80} = 80$ પૈસા.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$100$ પૈસાના સિક્કા : $50$ પૈસાના સિક્કા $= (80 - 50) : (100 - 80) = 30 : 20 = 3 : 2$.
$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $= \frac{2}{3+2} \times 80 = \frac{2}{5} \times 80 = 32$.

(C) ધારો કે ખર્ચ $400$ છે અને બચત $100$ છે. તો, કુલ આવક $= 400 + 100 = 500$ થાય.
નવી આવક $= 500 + 500$ ના $20\% = 500 + 100 = 600$ થાય.
નવી બચત $= 100 + 100$ ના $12\% = 100 + 12 = 112$ થાય.
નવો ખર્ચ $= \text{નવી આવક} - \text{નવી બચત} = 600 - 112 = 488$ થાય.
ખર્ચમાં વધારો $= 488 - 400 = 88$ થાય.
ખર્ચમાં ટકાવારી વધારો $= (88 / 400) \times 100 = 22\%$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે, એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ખર્ચ $(4)$ : બચત $(1)$ = $(20 - 12) : (x - 20)$
$4/1 = 8 / (x - 20)$
$4(x - 20) = 8$
$x - 20 = 2$
$x = 22\%$.

(B) વેપારી $1000 \, g$ $(1 \, kg)$ ને બદલે $900 \, g$ નો ઉપયોગ કરે છે.
નફો = $1000 \, g - 900 \, g = 100 \, g$.
નફાની ટકાવારી = $\frac{\text{નફો}}{\text{વપરાયેલ વજન}} \times 100$.
નફાની ટકાવારી = $\frac{100}{900} \times 100 = \frac{100}{9} \% = 11 \frac{1}{9} \%$.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $B$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $G$ છે.
બાળકોની કુલ સંખ્યા $B + G = 450$ છે.
દરેક છોકરાને $100$ પૈસા અને દરેક છોકરીને $50$ પૈસા મળે છે.
વહેંચવામાં આવેલી કુલ રકમ ₹ $390 = 39000$ પૈસા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$100B + 50G = 39000$.
$50$ વડે ભાગતા,આપણને $2B + G = 780$ મળે છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(2B + G) - (B + G) = 780 - 450$.
$B = 330$.
હવે,$G = 450 - 330 = 120$.
તેથી,ત્યાં $120$ છોકરીઓ છે.

(B) ધારો કે કુલ રકમ $P = ₹ 70,000$ છે. $T = 5 \text{ વર્ષ}$ માટે કુલ સાદું વ્યાજ $SI = ₹ 16,000$ છે.
સૌ પ્રથમ,કુલ રકમ માટે અસરકારક વાર્ષિક વ્યાજ દર શોધો:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} \implies 16,000 = \frac{70,000 \times R \times 5}{100}$
$16,000 = 3,500 \times R \implies R = \frac{16,000}{3,500} = \frac{32}{7} \%$.
મિશ્રણની રીત (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
દર $1$: $6 \% = \frac{42}{7} \%$
દર $2$: $4 \% = \frac{28}{7} \%$
સરેરાશ દર: $\frac{32}{7} \%$
તફાવત $1$ (સરેરાશ અને દર $2$ વચ્ચે): $\frac{32}{7} - \frac{28}{7} = \frac{4}{7}$
તફાવત $2$ (દર $1$ અને સરેરાશ વચ્ચે): $\frac{42}{7} - \frac{32}{7} = \frac{10}{7}$
રકમનો ગુણોત્તર = $\frac{4}{7} : \frac{10}{7} = 4 : 10 = 2 : 5$.
$6 \%$ ના દરે ઉધાર આપેલી રકમ = $\frac{2}{2+5} \times 70,000 = \frac{2}{7} \times 70,000 = ₹ 20,000$.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સોનાની ઘનતા = $19$
તાંબાની ઘનતા = $9$
મિશ્રણની સરેરાશ ઘનતા = $15$
એલિગેશન પદ્ધતિ લાગુ કરતા:
સોના અને તાંબાનું પ્રમાણ = $(\text{સરેરાશ ઘનતા} - \text{તાંબાની ઘનતા}) : (\text{સોનાની ઘનતા} - \text{સરેરાશ ઘનતા})$
પ્રમાણ = $(15 - 9) : (19 - 15)$
પ્રમાણ = $6 : 4$
પ્રમાણને સરળ બનાવતા, આપણને $3 : 2$ મળે છે।

(D) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે અજયને આપેલી રકમ $x$ છે અને રમેશને આપેલી રકમ $y$ છે.
વ્યાજનો દર $20 \%$ અને $12 \%$ છે,અને સરેરાશ વ્યાજનો દર $17 \%$ છે.
એલિગેશન મુજબ:
અજયનો દર: $20 \%$
રમેશનો દર: $12 \%$
સરેરાશ દર: $17 \%$
અજય માટે તફાવત: $|17 - 12| = 5$
રમેશ માટે તફાવત: $|17 - 20| = 3$
અજય અને રમેશને આપેલી રકમનો ગુણોત્તર $5: 3$ છે.
કુલ મૂડી = ₹ $300000$.
અજયને આપેલી રકમ = $\frac{5}{5+3} \times 300000 = \frac{5}{8} \times 300000 = 5 \times 37500 = ₹ 187500$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ખર્ચ $E$ છે અને પ્રારંભિક બચત $S$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવક = ખર્ચ + બચત,તેથી $E + S = 4000$.
એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ખર્ચમાં ટકાવારી વધારો = $12\%$,બચતમાં ટકાવારી ઘટાડો = $-4\%$,અને આવકમાં એકંદરે ટકાવારી વધારો = $8\%$.
એલિગેશન લાગુ કરતા:
ખર્ચ અને બચતનો ગુણોત્તર = $(8 - (-4)) : (12 - 8) = 12 : 4 = 3 : 1$.
પ્રારંભિક ખર્ચ = $4000 \times \frac{3}{3+1} = ₹ 3000$.
પ્રારંભિક બચત = $4000 - 3000 = ₹ 1000$.
વધેલો ખર્ચ = $3000 \times (1 + 0.12) = 3000 \times 1.12 = ₹ 3360$.

(A) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
નફાની ટકાવારી $= 12 \%$
નુકસાનની ટકાવારી $= -8 \%$
સરેરાશ નફાની ટકાવારી $= 11 \%$
એલિગેશન લાગુ કરતા:
નફા પર વેચાયેલી પેન અને નુકસાન પર વેચાયેલી પેનનો ગુણોત્તર $= (11 - (-8)) : (12 - 11) = 19 : 1$
પેનની કુલ સંખ્યા $= 60$
$12 \%$ નફા પર વેચાયેલી પેનની સંખ્યા $= \frac{19}{19+1} \times 60 = \frac{19}{20} \times 60 = 57$
$8 \%$ નુકસાન પર વેચાયેલી પેનની સંખ્યા $= \frac{1}{19+1} \times 60 = \frac{1}{20} \times 60 = 3$

(C) ધારો કે ત્રીજી જાતની કિંમત ₹ $x$ પ્રતિ કિલો છે.
પ્રથમ બે જાતને $1:1$ ના પ્રમાણમાં ભેળવવામાં આવે છે.
પ્રથમ બે જાતની સરેરાશ કિંમત $= \frac{126 + 135}{2} = \frac{261}{2} = ₹ 130.50$.
હવે,મિશ્રણ પ્રથમ બે જાતોના મિશ્રણ (પ્રમાણ $1+1=2$) અને ત્રીજી જાત (પ્રમાણ $2$) ને $2:2$ ના પ્રમાણમાં ભેળવીને બનાવવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $1:1$ થાય છે.
એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
સરેરાશ કિંમત $= 153$.
સરેરાશ કિંમત અને પ્રથમ બે જાતની સરેરાશ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $= 153 - 130.50 = 22.50$.
ત્રીજી જાતની કિંમત અને સરેરાશ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $= x - 153$.
જથ્થાનું પ્રમાણ $1:1$ હોવાથી,તફાવત સમાન હોવો જોઈએ:
$x - 153 = 22.50$
$x = 153 + 22.50 = 175.50$.
આમ,ત્રીજી જાતની કિંમત ₹ $175.50/kg$ છે.

(A) મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $= ₹ 68.20$ પ્રતિ કિગ્રા.
નફો $= 10 \%$.
મિશ્રણની મૂળ કિંમત $= \frac{100}{100 + \text{નફો } \%} \times \text{વેચાણ કિંમત} = \frac{100}{110} \times 68.20 = ₹ 62$ પ્રતિ કિગ્રા.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ જાતની મૂળ કિંમત $= 60$
બીજી જાતની મૂળ કિંમત $= 65$
સરેરાશ કિંમત $= 62$
સરેરાશ કિંમત અને પ્રથમ મૂળ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $= 65 - 62 = 3$
સરેરાશ કિંમત અને બીજી મૂળ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $= 62 - 60 = 2$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(A) ધારો કે મિશ્રિત ચોખાની કિંમત ₹ $x/kg$ છે.
ભારિત સરેરાશના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
મિશ્રણની કિંમત = $\frac{(\text{જથ્થો}_1 \times \text{કિંમત}_1) + (\text{જથ્થો}_2 \times \text{કિંમત}_2)}{\text{જથ્થો}_1 + \text{જથ્થો}_2}$
મિશ્રણની કિંમત = $\frac{(2 \times 15) + (3 \times 20)}{2 + 3}$
મિશ્રણની કિંમત = $\frac{30 + 60}{5}$
મિશ્રણની કિંમત = $\frac{90}{5} = ₹ 18/kg$.

(A) ધારો કે $1$ લિટર દૂધની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $₹ 1$ છે.
મિશ્રણને દૂધની મૂળ કિંમતે વેચવામાં આવે છે,તેથી $1$ લિટર મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $₹ 1$ છે.
નફાની ટકાવારી $16 \frac{2}{3} \% = \frac{50}{3} \%$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S.P. = C.P. \times (1 + \frac{\text{Gain} \%}{100})$
$1 = C.P. \times (1 + \frac{50}{300}) = C.P. \times (1 + \frac{1}{6}) = C.P. \times \frac{7}{6}$
તેથી,$1$ લિટર મિશ્રણની મૂળ કિંમત $₹ \frac{6}{7}$ છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પાણીની મૂળ કિંમત = $0$
દૂધની મૂળ કિંમત = $1$
સરેરાશ કિંમત = $\frac{6}{7}$
પાણી અને દૂધનો ગુણોત્તર = $(1 - \frac{6}{7}) : (\frac{6}{7} - 0) = \frac{1}{7} : \frac{6}{7} = 1 : 6$.

(B) ધારો કે પીપમાં શરૂઆતમાં વાઇનની માત્રા $x$ લિટર હતી.
$1$ પ્રક્રિયા પછી,બાકી રહેલા વાઇનની માત્રા $x(1 - 8/x)$ છે.
$4$ પ્રક્રિયાઓ પછી (શરૂઆતની એક અને વધુ $3$),બાકી રહેલા વાઇનની માત્રા $x(1 - 8/x)^4$ છે.
બાકી રહેલા વાઇન અને પાણીનો ગુણોત્તર $16$:$65$ છે,જેનો અર્થ છે કે બાકી રહેલા વાઇન અને કુલ કદનો ગુણોત્તર $16$:($16$+$65$) = $16$:$81$ છે.
તેથી,$\frac{x(1 - 8/x)^4}{x} = \frac{16}{81}$.
$(1 - 8/x)^4 = (2/3)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$1 - 8/x = 2/3$.
$8/x = 1 - 2/3 = 1/3$.
$x = 8 \times 3 = 24$ લિટર.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ જાતની કિંમત $= ₹ 15/kg$
બીજી જાતની કિંમત $= ₹ 20/kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત $= ₹ 16.5/kg$
એલિગેશન પદ્ધતિ દ્વારા:
(બીજી જાતની કિંમત - સરેરાશ કિંમત) : (સરેરાશ કિંમત - પ્રથમ જાતની કિંમત)
$= (20 - 16.5) : (16.5 - 15)$
$= 3.5 : 1.5$
$= 35 : 15$
$= 7 : 3$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $7: 3$ છે.

(B) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પ્રકારના ચોખાની કિંમત = ₹ $7.20/kg$
બીજા પ્રકારના ચોખાની કિંમત = ₹ $5.70/kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $6.30/kg$
એલિગેશનના નિયમ મુજબ,બે પ્રકારના ચોખાના જથ્થાનો ગુણોત્તર:
(સરેરાશ કિંમત - બીજા પ્રકારની કિંમત) : (પ્રથમ પ્રકારની કિંમત - સરેરાશ કિંમત)
$= (6.30 - 5.70) : (7.20 - 6.30)$
$= 0.60 : 0.90$
$= 6 : 9$
$= 2 : 3$
તેથી,ચોખાને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં મિશ્ર કરવા જોઈએ.

(B) એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બે દ્રાવણોની સાંદ્રતાની સરખામણી અંતિમ મિશ્રણની સાંદ્રતા સાથે કરીએ છીએ:
પ્રથમ દ્રાવણની સાંદ્રતા = $50 \%$
બીજા દ્રાવણની સાંદ્રતા = $18 \%$
મિશ્રણની સરેરાશ સાંદ્રતા = $26 \%$
એલિગેશનનો નિયમ લાગુ કરતા:
(પ્રથમ દ્રાવણ) : (બીજું દ્રાવણ) નો ગુણોત્તર = $(26 - 18) : (50 - 26)$
ગુણોત્તર = $8 : 24 = 1 : 3$
આનો અર્થ એ છે કે મૂળ વ્હિસ્કીના દરેક $1$ ભાગ માટે,નવા દ્રાવણના $3$ ભાગ ઉમેરવામાં આવ્યા હતા.
તેથી,બદલાયેલ વ્હિસ્કીનું પ્રમાણ $\frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) પ્રથમ,મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(CP)$ શોધો.
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(SP)$ = ₹ $9/kg$.
નફો = $15 \%$.
$CP = \frac{SP \times 100}{100 + \text{નફો} \%} = \frac{9 \times 100}{115} \approx ₹ 7.83/kg$.
અહીં આપેલ એલિગેશન ડાયાગ્રામ મુજબ,સરેરાશ કિંમત ₹ $9/kg$ લેવામાં આવી છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ખાંડની કિંમત = ₹ $11.70/kg$
બીજી ખાંડની કિંમત = ₹ $8.10/kg$
સરેરાશ કિંમત = ₹ $9/kg$
તફાવત $1$: $|11.70 - 9| = 2.70$
તફાવત $2$: $|8.10 - 9| = 0.90$
પ્રથમ અને બીજી ખાંડનો ગુણોત્તર = $0.90 : 2.70 = 1 : 3$.
ધારો કે પ્રથમ ખાંડનું પ્રમાણ $x$ kg છે.
આપેલ છે,બીજી ખાંડનું પ્રમાણ = $24$ kg.
તેથી,$\frac{x}{24} = \frac{1}{3}$.
$x = \frac{24}{3} = 8$ kg.

(C) મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ભાગનો નફાનો ટકાવારી દર = $8 \%$
બીજા ભાગનો નફાનો ટકાવારી દર = $16 \%$
સરેરાશ નફાનો ટકાવારી દર = $14 \%$
પ્રથમ ભાગ માટે તફાવત = $|16 - 14| = 2$
બીજા ભાગ માટે તફાવત = $|8 - 14| = 6$
$8 \%$ નફા પર અને $16 \%$ નફા પર વેચાયેલા ચોખાના જથ્થાનો ગુણોત્તર $2:6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1:3$ થાય છે.
કુલ જથ્થો = $1000 \ kg$
$16 \%$ નફા પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{3}{1+3} \times 1000 = \frac{3}{4} \times 1000 = 750 \ kg$.

(A) આપેલ છે:
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $= ₹ 30$ પ્રતિ $Kg$
નફો $= 10 \%$
સરેરાશ મૂળ કિંમત $(C.P.)$ ની ગણતરી:
$C.P. = \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{નફો} \%}$
$C.P. = \frac{30 \times 100}{110} = ₹ \frac{300}{11}$ પ્રતિ $Kg$
એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
સસ્તી ચાની કિંમત $= ₹ 25$ પ્રતિ $Kg$
મોંઘી ચાની કિંમત $= ₹ 30$ પ્રતિ $Kg$
સરેરાશ કિંમત $= ₹ \frac{300}{11}$ પ્રતિ $Kg$
સસ્તી ચા માટેનો તફાવત $= 30 - \frac{300}{11} = \frac{330 - 300}{11} = \frac{30}{11}$
મોંઘી ચા માટેનો તફાવત $= \frac{300}{11} - 25 = \frac{300 - 275}{11} = \frac{25}{11}$
સસ્તી ચા અને મોંઘી ચાનો ગુણોત્તર $= \frac{30}{11} : \frac{25}{11} = 30 : 25 = 6 : 5$
ધારો કે સસ્તી ચાનું પ્રમાણ $x \ Kg$ છે.
આપેલ છે કે,મોંઘી ચાનું પ્રમાણ $= 30 \ Kg$.
$\frac{x}{30} = \frac{6}{5}$
$x = \frac{6}{5} \times 30 = 36 \ Kg$
આમ,$36 \ Kg$ સસ્તી ચા ભેળવવી જોઈએ.

(D) ધારો કે પાણીની કિંમત ₹ $0$ પ્રતિ લિટર છે અને દૂધની કિંમત ₹ $5.40$ પ્રતિ લિટર છે.
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત ₹ $4.20$ પ્રતિ લિટર છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પાણી અને દૂધનો ગુણોત્તર = $(5.40 - 4.20) : (4.20 - 0) = 1.20 : 4.20 = 12 : 42 = 2 : 7$.
આપેલ છે કે દૂધનું પ્રમાણ $14$ લિટર છે,ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીનું પ્રમાણ $x$ લિટર છે.
તેથી,$x / 14 = 2 / 7$.
$x = (2 \times 14) / 7 = 4$ લિટર.
આમ,$4$ લિટર પાણી ઉમેરવું જોઈએ.

(A) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ જાતની કિંમત = ₹$25$ પ્રતિ $kg$
બીજી જાતની કિંમત = ₹$30$ પ્રતિ $kg$
સરેરાશ કિંમત = ₹$28$ પ્રતિ $kg$
એલિગેશન પદ્ધતિ દ્વારા:
(બીજી જાતની કિંમત - સરેરાશ કિંમત) : (સરેરાશ કિંમત - પ્રથમ જાતની કિંમત)
$= (30 - 28) : (28 - 25)$
$= 2 : 3$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(C) એલિગેશન (Alligation) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
છોકરાઓની પાસ થવાની ટકાવારી = $70 \%$
છોકરીઓની પાસ થવાની ટકાવારી = $85 \%$
કુલ પાસ થવાની ટકાવારી = $75 \%$
એલિગેશન પદ્ધતિ લાગુ કરતા:
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર = $(85 - 75) : (75 - 70) = 10 : 5 = 2 : 1$
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $480$
છોકરાઓની સંખ્યા = $\frac{2}{2+1} \times 480 = \frac{2}{3} \times 480 = 320$
આમ,પરીક્ષામાં $320$ છોકરાઓ બેઠા હતા.

(B) આને એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા માટે,પહેલા તમામ મૂલ્યોને સમાન એકમ (પૈસા) માં રૂપાંતરિત કરો.
પ્રથમ પ્રકારની ચાની કિંમત = $75$ પૈસા.
બીજા પ્રકારની ચાની કિંમત = ₹$5.50 = 550$ પૈસા.
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹$4.50 = 450$ પૈસા.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ચા અને બીજી ચાનું ગુણોત્તર = $(550 - 450) : (450 - 75)$
$= 100 : 375$
બંને બાજુને $25$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= 4 : 15$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $4:15$ છે.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે પ્રથમ પ્રકારની ખાંડની કિંમત ₹ $5.50$ પ્રતિ $kg$ છે અને બીજા પ્રકારની કિંમત ₹ $4.80$ પ્રતિ $kg$ છે.
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત ₹ $5.25$ પ્રતિ $kg$ છે.
એલિગેશનના નિયમ મુજબ:
પ્રથમ પ્રકાર અને બીજા પ્રકારની ખાંડના જથ્થાનો ગુણોત્તર = $(5.25 - 4.80) : (5.50 - 5.25)$
$= 0.45 : 0.25$
$= 45 : 25 = 9 : 5$
આપેલ છે કે બીજા પ્રકારની ખાંડનો જથ્થો $60 \ kg$ છે.
ધારો કે પ્રથમ પ્રકારની ખાંડનો જથ્થો $x \ kg$ છે.
તેથી,$\frac{x}{60} = \frac{9}{5}$
$x = \frac{60 \times 9}{5} = 12 \times 9 = 108 \ kg$.

(B) એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સસ્તી ખાંડની કિંમત = ₹ $4.50$ પ્રતિ $kg$
મોંઘી ખાંડની કિંમત = ₹ $5.75$ પ્રતિ $kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $5.50$ પ્રતિ $kg$
મોંઘી ખાંડ માટે તફાવત = $5.75 - 5.50 = 0.25$
સસ્તી ખાંડ માટે તફાવત = $5.50 - 4.50 = 1.00$
સસ્તી ખાંડ અને મોંઘી ખાંડનો ગુણોત્તર = $1.00 : 0.25 = 4 : 1$
ધારો કે મોંઘી ખાંડની માત્રા $x \, kg$ છે.
આપેલ છે કે,સસ્તી ખાંડની માત્રા = $75 \, kg$.
તેથી,$\frac{75}{x} = \frac{1}{4}$
$x = 75 \times 4 = 300 \, kg$.

(C) ધારો કે સ્પિરિટની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ ₹$10$ પ્રતિ લિટર છે.
મિશ્રણને સ્પિરિટની મૂળ કિંમતે વેચવામાં આવતું હોવાથી,મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ ₹$10$ પ્રતિ લિટર છે.
આપેલ નફો $= 10 \%$.
મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $= \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{નફા } \%}$
મિશ્રણની મૂળ કિંમત $= \frac{10 \times 100}{110} = ₹ \frac{100}{11}$ પ્રતિ લિટર.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પાણીની મૂળ કિંમત $= 0$
સ્પિરિટની મૂળ કિંમત $= 10$
સરેરાશ કિંમત $= \frac{100}{11}$
પાણી અને સ્પિરિટનો ગુણોત્તર $= (10 - \frac{100}{11}) : (\frac{100}{11} - 0)$
$= \frac{10}{11} : \frac{100}{11} = 10 : 100 = 1 : 10$.

(B) $300\, gm$ દ્રાવણમાં ક્ષારનું પ્રારંભિક પ્રમાણ $= 300 \times 0.40 = 120\, gm$ છે.
ધારો કે $x\, gm$ ક્ષાર ઉમેરવામાં આવે છે.
ક્ષારનું નવું પ્રમાણ $= 120 + x$ થશે.
દ્રાવણનું નવું કુલ વજન $= 300 + x$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સાંદ્રતા $50 \%$ છે,તેથી:
$\frac{120 + x}{300 + x} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$2(120 + x) = 300 + x$.
$240 + 2x = 300 + x$.
$x = 300 - 240 = 60\, gm$.
વૈકલ્પિક રીતે,એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક સાંદ્રતા $= 40 \%$,ઉમેરેલા ક્ષારની સાંદ્રતા $= 100 \%$,લક્ષિત સાંદ્રતા $= 50 \%$.
પ્રારંભિક દ્રાવણ અને ઉમેરેલા ક્ષારનો ગુણોત્તર $(100 - 50) : (50 - 40) = 50 : 10 = 5 : 1$ છે.
પ્રારંભિક દ્રાવણ $300\, gm$ હોવાથી,ઉમેરેલ ક્ષાર $= \frac{300}{5} \times 1 = 60\, gm$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રથમ ગાયની ખરીદ કિંમત $C_1$ અને બીજી ગાયની $C_2$ છે.
એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ગાય પર નુકસાન = $-6 \%$
બીજી ગાય પર નફો = $7.5 \%$
એકંદરે નફો/નુકસાન = $0 \%$
ખરીદ કિંમતોનો ગુણોત્તર વ્યક્તિગત નફા/નુકસાનની ટકાવારી અને એકંદરે ટકાવારી વચ્ચેના તફાવત દ્વારા મળે છે:
ગુણોત્તર = $(7.5 - 0) : (0 - (-6)) = 7.5 : 6 = 75 : 60 = 5 : 4$.
આમ,બે ગાયની કિંમતનો ગુણોત્તર $5:4$ છે.
પ્રથમ ગાયની કિંમત = $\frac{5}{5+4} \times 1350 = \frac{5}{9} \times 1350 = 5 \times 150 = ₹750$.
બીજી ગાયની કિંમત = $\frac{4}{5+4} \times 1350 = \frac{4}{9} \times 1350 = 4 \times 150 = ₹600$.

(C) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 65$.
વહેંચવામાં આવેલી કુલ રકમ $= 39$ રૂપિયા $= 3900$ પૈસા.
દરેક વિદ્યાર્થી દીઠ સરેરાશ રકમ $= \frac{3900}{65} = 60$ પૈસા.
મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
છોકરાઓ ($80$ પૈસા) : છોકરીઓ ($30$ પૈસા)
સરેરાશ મૂલ્ય $= 60$ પૈસા.
છોકરાઓ માટે તફાવત $= |60 - 30| = 30$.
છોકરીઓ માટે તફાવત $= |80 - 60| = 20$.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર $= 30 : 20 = 3 : 2$.
છોકરાઓની સંખ્યા $= \frac{3}{3+2} \times 65 = \frac{3}{5} \times 65 = 39$.
છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{2}{3+2} \times 65 = \frac{2}{5} \times 65 = 26$.

(A) મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ભાગ પર નફો = $10 \%$
બીજા ભાગ પર નુકસાન = $-5 \%$
કુલ નફો = $7 \%$
મિશ્રણના નિયમ મુજબ:
$|(-5) - 7| = 12$
$|10 - 7| = 3$
$10 \%$ નફા અને $5 \%$ નુકસાન પર વેચાયેલી માત્રાનો ગુણોત્તર = $12 : 3 = 4 : 1$
કુલ જથ્થો = $50 \ kg$
$10 \%$ નફા પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{4}{4+1} \times 50 = \frac{4}{5} \times 50 = 40 \ kg$
$5 \%$ નુકસાન પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{1}{4+1} \times 50 = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \ kg$
આમ,વેચાયેલ જથ્થો $40 \ kg$ અને $10 \ kg$ છે.

(D) ધારો કે કુલ રકમ ₹ $5000$ છે. $3$ વર્ષમાં મળેલું કુલ વ્યાજ ₹ $750$ છે.
સરેરાશ વાર્ષિક વ્યાજનો દર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{સરેરાશ દર} = \frac{\text{કુલ વ્યાજ} \times 100}{\text{મુદલ} \times \text{સમય}} = \frac{750 \times 100}{5000 \times 3} = 5 \% \text{ પ્રતિ વર્ષ}$.
મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
- દર $1 = 3 \%$
- દર $2 = 8 \%$
- સરેરાશ દર = $5 \%$
દર $2$ અને સરેરાશ દર વચ્ચેનો તફાવત = $|8 - 5| = 3$
સરેરાશ દર અને દર $1$ વચ્ચેનો તફાવત = $|5 - 3| = 2$
$3 \%$ અને $8 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમનો ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.
$3 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ = $\frac{3}{3+2} \times 5000 = \frac{3}{5} \times 5000 = ₹ 3000$.
$8 \%$ ના દરે રોકવામાં આવેલી રકમ = $\frac{2}{3+2} \times 5000 = \frac{2}{5} \times 5000 = ₹ 2000$.

(D) ધારો કે $6 \%$ ના દરે આપેલી રકમ $x$ છે અને $4 \%$ ના દરે આપેલી રકમ $(7000 - x)$ છે.
સાદા વ્યાજના સૂત્ર $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x \times 6 \times 5}{100} + \frac{(7000 - x) \times 4 \times 5}{100} = 1600$
$30x + 20(7000 - x) = 160000$
$30x + 140000 - 20x = 160000$
$10x = 20000$
$x = 2000$
વૈકલ્પિક રીતે,એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
વ્યાજનો સરેરાશ દર $= \frac{1600 \times 100}{7000 \times 5} = \frac{32}{7} \%$.
રકમનો ગુણોત્તર $|4 - \frac{32}{7}| : |6 - \frac{32}{7}| = |\frac{28-32}{7}| : |\frac{42-32}{7}| = \frac{4}{7} : \frac{10}{7} = 2 : 5$ છે.
$6 \%$ ના દરે આપેલી રકમ $= \frac{2}{2+5} \times 7000 = \frac{2}{7} \times 7000 = ₹2000$.

(D) મિશ્રણનું કુલ કદ $= 729 \ ml$ છે.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $7:2$ છે.
ગુણોત્તરના પદોનો સરવાળો $= 7 + 2 = 9$ થાય.
દૂધની માત્રા $= 729 \times \frac{7}{9} = 81 \times 7 = 567 \ ml$.
પાણીની માત્રા $= 729 \times \frac{2}{9} = 81 \times 2 = 162 \ ml$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીની માત્રા $x \ ml$ છે.
નવા ગુણોત્તર $7:3$ મુજબ:
$\frac{567}{162 + x} = \frac{7}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $567 \times 3 = 7 \times (162 + x)$.
$1701 = 1134 + 7x$.
$7x = 1701 - 1134 = 567$.
$x = \frac{567}{7} = 81 \ ml$.

(A) ધારો કે સ્પિરિટની પડતર કિંમત $(C.P.)$ ₹$1$ પ્રતિ એકમ છે.
સ્પિરિટને પડતર કિંમતે વેચવામાં આવે છે,તેથી મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ ₹$1$ પ્રતિ એકમ છે.
જરૂરી નફો $= 20 \%$.
મિશ્રણની પડતર કિંમત $(C.P.)$ $= \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{નફો } \%}$
મિશ્રણની પડતર કિંમત $(C.P.)$ $= \frac{1 \times 100}{120} = \frac{5}{6}$ પ્રતિ એકમ.
એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
પાણીની પડતર કિંમત $= 0$
સ્પિરિટની પડતર કિંમત $= 1$
સરેરાશ કિંમત $= \frac{5}{6}$
પાણી અને સ્પિરિટનું પ્રમાણ $= (1 - \frac{5}{6}) : (\frac{5}{6} - 0)$
$= \frac{1}{6} : \frac{5}{6} = 1 : 5$.
આમ,સ્પિરિટમાં પાણી $1:5$ ના પ્રમાણમાં ઉમેરવું જોઈએ.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
અધિકારીનો સરેરાશ પગાર = ₹$10000$
કામદારનો સરેરાશ પગાર = ₹$2000$
સરેરાશ પગાર = ₹$3000$
અધિકારીઓ માટે તફાવત = $|3000 - 2000| = 1000$
કામદારો માટે તફાવત = $|3000 - 10000| = 7000$
(અધિકારીઓની સંખ્યા) : (કામદારોની સંખ્યા) નો ગુણોત્તર = $1000 : 7000 = 1 : 7$
કુલ કર્મચારીઓ = $400$
અધિકારીઓની સંખ્યા = $\frac{1}{1+7} \times 400 = \frac{1}{8} \times 400 = 50$
કામદારોની સંખ્યા = $400 - 50 = 350$
આમ,અધિકારીઓની સંખ્યા $50$ છે અને કામદારોની સંખ્યા $350$ છે.

(A) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે ચાલવાની ઝડપ $7\, km/h$ છે અને દોડવાની ઝડપ $12\, km/h$ છે.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{100\, km}{10\, h} = 10\, km/h$.
એલિગેશન લાગુ કરતા:
$|12 - 10| = 2$
$|7 - 10| = 3$
ચાલવા માટે લીધેલ સમય અને દોડવા માટે લીધેલ સમયનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.
કુલ સમય = $10\, \text{કલાક}$.
ચાલવા માટે લીધેલ સમય = $\frac{2}{2+3} \times 10 = 4\, \text{કલાક}$.
દોડવા માટે લીધેલ સમય = $\frac{3}{2+3} \times 10 = 6\, \text{કલાક}$.
ચાલતી વખતે કાપેલું અંતર = $7\, km/h \times 4\, h = 28\, km$.
દોડતી વખતે કાપેલું અંતર = $12\, km/h \times 6\, h = 72\, km$.
આમ,કાપેલું અંતર $28\, km$ અને $72\, km$ છે.

(B) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
મજૂરોનો સરેરાશ પગાર = ₹ $75$
સુપરવાઈઝરનો સરેરાશ પગાર = ₹ $600$
બધા કર્મચારીઓનો સરેરાશ પગાર = ₹ $100$
એલિગેશનના નિયમ મુજબ:
(મજૂરોની સંખ્યા) : (સુપરવાઈઝરની સંખ્યા) નો ગુણોત્તર = $(600 - 100) : (100 - 75)$
$= 500 : 25$
$= 20 : 1$
આપેલ છે કે મજૂરોની સંખ્યા $840$ છે.
ધારો કે સુપરવાઈઝરની સંખ્યા $x$ છે.
$\frac{840}{x} = \frac{20}{1}$
$x = \frac{840}{20} = 42$
તેથી,સુપરવાઈઝરની સંખ્યા $42$ છે.

(B) આ પ્રશ્નમાં,કિંમતો પર એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિ લાગુ પડે છે,તેથી આપણે પહેલા મિશ્રણની મૂળ કિંમત ($C$.$P$.) શોધવી જોઈએ.
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત ($S$.$P$.) = ₹ $20$ પ્રતિ લિટર
નફો = $25 \%$
મિશ્રણની મૂળ કિંમત ($C$.$P$.) = $S.P. \times \frac{100}{100 + \text{નફો } \%}$
$C$.$P$. = $20 \times \frac{100}{125} = 20 \times 0.8 = ₹ 16$ પ્રતિ લિટર
હવે,એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
કેમિકલની કિંમત = ₹ $25$ પ્રતિ લિટર
પાણીની કિંમત = ₹ $0$ પ્રતિ લિટર
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $16$ પ્રતિ લિટર
કેમિકલ અને પાણીનો ગુણોત્તર = $(16 - 0) : (25 - 16) = 16 : 9$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $16:9$ છે.