Mixture and Alligation Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બસ દ્વારા મુસાફરી કરવામાં વિતાવેલો સમય $t_1$ કલાક છે અને ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરવામાં વિતાવેલો સમય $t_2$ કલાક છે.
કુલ સમય $t_1 + t_2 = 6 \text{ કલાક}$.
કુલ અંતર $= 40t_1 + 55t_2 = 285 \text{ km}$.
એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
બસની ઝડપ $= 40 \text{ km/h}$,ટ્રેનની ઝડપ $= 55 \text{ km/h}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{285}{6} \text{ km/h} = 47.5 \text{ km/h}$.
બસ માટે તફાવત $= |55 - 47.5| = 7.5$.
ટ્રેન માટે તફાવત $= |40 - 47.5| = 7.5$.
સમયનો ગુણોત્તર (બસ : ટ્રેન) $= 7.5 : 7.5 = 1 : 1$.
કુલ સમય $6 \text{ કલાક}$ હોવાથી,દરેક માધ્યમમાં વિતાવેલો સમય $3 \text{ કલાક}$ છે.
ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 55 \text{ km/h} \times 3 \text{ h} = 165 \text{ km}$.

(A) મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ભાગનો નફાનો ટકાવારી દર = $8 \%$
બીજા ભાગનો નફાનો ટકાવારી દર = $18 \%$
સરેરાશ નફાનો ટકાવારી દર = $14 \%$
પ્રથમ ભાગ માટે તફાવત = $|18 - 14| = 4$
બીજા ભાગ માટે તફાવત = $|8 - 14| = 6$
જથ્થાનો ગુણોત્તર = $4 : 6 = 2 : 3$
કુલ જથ્થો = $50 \text{ kg}$
$18 \%$ નફા પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{3}{2 + 3} \times 50 = \frac{3}{5} \times 50 = 30 \text{ kg}$.

(D) મિશ્રણના નિયમ (Alligation) નો ઉપયોગ કરતા:
નફાનો ભાગ = $10 \%$
નુકસાનનો ભાગ = $-5 \%$
સરેરાશ નફો = $7 \%$
મિશ્રણનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(10 - 7) = 3$ (નુકસાનના ભાગ માટે)
$(7 - (-5)) = 12$ (નફાના ભાગ માટે)
$10 \%$ નફા અને $5 \%$ નુકસાન પર વેચાયેલ જથ્થાનો ગુણોત્તર = $12 : 3 = 4 : 1$.
કુલ જથ્થો = $50 \text{ kg}$.
$10 \%$ નફા પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{4}{4+1} \times 50 = \frac{4}{5} \times 50 = 40 \text{ kg}$.
$5 \%$ નુકસાન પર વેચાયેલ જથ્થો = $\frac{1}{4+1} \times 50 = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \text{ kg}$.

(A) ધારો કે ખર્ચ $300$ છે અને બચત $200$ છે. તો,કુલ આવક $= 300 + 200 = 500$.
વધારા પછી,નવી આવક $= 500 \times 1.10 = 550$.
નવો ખર્ચ $= 300 \times 1.12 = 336$.
નવી બચત $= 550 - 336 = 214$.
બચતમાં વધારો $= 214 - 200 = 14$.
બચતમાં ટકાવારી વધારો $= (14 / 200) \times 100 = 7 \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને:
ધારો કે બચતમાં ટકાવારી વધારો $x$ છે.
એલિગેશનના નિયમ મુજબ:
$(12 - 10) / (10 - x) = 2 / 3$
$2 / (10 - x) = 2 / 3$
$10 - x = 3$
$x = 7$.
આમ,બચતમાં $7 \%$ નો વધારો થાય છે.

(C) એલિગેશન (Alligation) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
દ્રાવણ $A$ માં એસિડનું પ્રમાણ $= 10 \%$
દ્રાવણ $B$ માં એસિડનું પ્રમાણ $= 30 \%$
મિશ્રણનું સરેરાશ પ્રમાણ $= 25 \%$
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
($A$ નો જથ્થો) / ($B$ નો જથ્થો) = ($B$ અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત) / (સરેરાશ અને $A$ વચ્ચેનો તફાવત)
($A$ નો જથ્થો) / ($B$ નો જથ્થો) = $(30 - 25) / (25 - 10)$
($A$ નો જથ્થો) / ($B$ નો જથ્થો) = $5 / 15$
($A$ નો જથ્થો) / ($B$ નો જથ્થો) = $1 / 3$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) મિશ્રધાતુની પ્રતિ $kg$ સરેરાશ કિંમત $(C.P.)$ ભારિત સરેરાશના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
સરેરાશ $C.P. = \frac{(3 \times 2000) + (1 \times 400)}{3 + 1}$
સરેરાશ $C.P. = \frac{6000 + 400}{4} = \frac{6400}{4} = ₹ 1600/kg$
આ મિશ્રધાતુના $8$ કિલોગ્રામની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રતિ $kg$ કિંમતને કુલ વજન સાથે ગુણીએ છીએ:
કુલ કિંમત $= 8 \times 1600 = ₹ 12800$.

(C) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પ્રકારની કિંમત = ₹ $2500$ પ્રતિ $kg$
બીજા પ્રકારની કિંમત = ₹ $1500$ પ્રતિ $kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $2250$ પ્રતિ $kg$
એલિગેશન પદ્ધતિ લાગુ કરતા:
(પ્રથમ પ્રકારનો જથ્થો) / (બીજા પ્રકારનો જથ્થો) = (સરેરાશ કિંમત - બીજા પ્રકારની કિંમત) / (પ્રથમ પ્રકારની કિંમત - સરેરાશ કિંમત)
ગુણોત્તર = $(2250 - 1500) / (2500 - 2250)$
ગુણોત્તર = $750 / 250$
ગુણોત્તર = $3 / 1$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) ઇથેનોલનું પ્રારંભિક કદ $= 80 \text{ લીટર}$.
પ્રથમ વખત બદલ્યા પછી,બાકી રહેલ ઇથેનોલનું પ્રમાણ $= 80 \times (1 - \frac{20}{80}) = 80 \times \frac{60}{80} = 60 \text{ લીટર}$.
બીજી વખત બદલ્યા પછી,બાકી રહેલ ઇથેનોલનું પ્રમાણ $= 60 \times (1 - \frac{20}{80}) = 60 \times \frac{60}{80} = 45 \text{ લીટર}$.
ડ્રમમાં પ્રવાહીનું કુલ કદ $80 \text{ લીટર}$ જ રહે છે.
તેથી,ડ્રમમાં હાજર પાણીનું પ્રમાણ $= 80 - 45 = 35 \text{ લીટર}$ છે.

(B) ધારો કે દરેક બોટલની ક્ષમતા $63$ લિટર છે ($7, 7, 9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી - $LCM$).
ત્રણ બોટલોમાં દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $2:5$,$3:4$ અને $4:5$ છે.
$1^{\text{લી}}$ બોટલ માટે: દૂધ $= \frac{2}{7} \times 63 = 18$ લિટર,પાણી $= 63 - 18 = 45$ લિટર.
$2^{\text{જી}}$ બોટલ માટે: દૂધ $= \frac{3}{7} \times 63 = 27$ લિટર,પાણી $= 63 - 27 = 36$ લિટર.
$3^{\text{જી}}$ બોટલ માટે: દૂધ $= \frac{4}{9} \times 63 = 28$ લિટર,પાણી $= 63 - 28 = 35$ લિટર.
કુલ દૂધ $= 18 + 27 + 28 = 73$ લિટર.
કુલ પાણી $= 45 + 36 + 35 = 116$ લિટર.
તેથી,દૂધ અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર $73:116$ છે.

(C) ધારો કે શ્રેષ્ઠ જાતની ખાંડની કિંમત પ્રતિ $kg$ $x$ છે અને ઉતરતી જાતની ખાંડની કિંમત પ્રતિ $kg$ $y$ છે.
ધારો કે મિશ્રણની કિંમત પ્રતિ $kg$ $M$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$M = x - 0.50$ $(1)$
$M = y + 0.75$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$x - M = 0.50$.
$(2)$ પરથી,$M - y = 0.75$.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,શ્રેષ્ઠ જાત અને ઉતરતી જાતનો ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{M - y}{x - M} = \frac{0.75}{0.50}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{0.75}{0.50} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(A) આપેલ છે:
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $= ₹ 42$ પ્રતિ $kg$.
નફાની ટકાવારી $= 20 \%$.
સૌ પ્રથમ,મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ શોધો:
$C.P. = \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{નફા } \%}$
$C.P. = \frac{42 \times 100}{100 + 20} = \frac{4200}{120} = ₹ 35$ પ્રતિ $kg$.
હવે,એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરો:
પ્રથમ પ્રકારની ખાંડની કિંમત $= ₹ 30$ પ્રતિ $kg$.
બીજા પ્રકારની ખાંડની કિંમત $= ₹ 45$ પ્રતિ $kg$.
સરેરાશ કિંમત $= ₹ 35$ પ્રતિ $kg$.
એલિગેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ખાંડ અને બીજી ખાંડનો ગુણોત્તર $= (45 - 35) : (35 - 30)$
$= 10 : 5$
$= 2 : 1$.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) મિશ્રણનું પ્રારંભિક કદ $= 80 \text{ litre}$ છે.
દૂધનું પ્રમાણ $= 80 \text{ ના } 10 \% = 8 \text{ litre}$.
પાણીનું પ્રમાણ $= 80 - 8 = 72 \text{ litre}$.
ધારો કે $x$ જેટલું દૂધ ઉમેરવામાં આવે છે.
નવા મિશ્રણમાં,પાણીનું પ્રમાણ $72 \text{ litre}$ જ રહેશે,જે નવા કુલ કદના $80 \%$ છે.
ધારો કે નવું કુલ કદ $V$ છે.
$0.80 \times V = 72 \implies V = \frac{72}{0.80} = 90 \text{ litre}$.
ઉમેરવામાં આવેલા દૂધનું પ્રમાણ $= V - 80 = 90 - 80 = 10 \text{ litre}$.

(C) આપેલ છે:
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P)$ = ₹ $324$ પ્રતિ $kg$
નફાની ટકાવારી = $20 \%$
પગલું $1$: મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(C.P)$ શોધો.
$C.P = \frac{S.P \times 100}{100 + \text{નફા } \%}$
$C.P = \frac{324 \times 100}{120} = \frac{3240}{12} = ₹ 270$ પ્રતિ $kg$
પગલું $2$: એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.
પ્રથમ પ્રકારની ચાની કિંમત = ₹ $240$ પ્રતિ $kg$
બીજા પ્રકારની ચાની કિંમત = ₹ $280$ પ્રતિ $kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $270$ પ્રતિ $kg$
એલિગેશનના નિયમ મુજબ:
ગુણોત્તર = $(280 - 270) : (270 - 240)$
ગુણોત્તર = $10 : 30$
ગુણોત્તર = $1 : 3$
તેથી,ચાને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં ભેળવવી જોઈએ.

(C) ત્રણ બોક્સની ક્ષમતા $24\, kg$,$36\, kg$ અને $84\, kg$ છે.
મિશ્રણનું કુલ વજન $= 24 + 36 + 84 = 144\, kg$ થાય.
મિશ્રણમાં $A$,$B$ અને $C$ પ્રકારના ઘઉંનું પ્રમાણ $24 : 36 : 84$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2 : 3 : 7$ થાય.
કુલ મિશ્રણમાં $A$ પ્રકારના ઘઉંનો ભાગ $\frac{2}{2+3+7} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.
જ્યારે મિશ્રણને ફરીથી બોક્સમાં ભરવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રીજા બોક્સમાં ($84\, kg$ ક્ષમતા) કુલ મિશ્રણના પ્રમાણ જેટલા જ $A$ પ્રકારના ઘઉં હશે.
ત્રીજા બોક્સમાં $A$ પ્રકારના ઘઉંનું પ્રમાણ $= \frac{1}{6} \times 84 = 14\, kg$ થાય.

(B) શરૂઆતમાં ખાંડના દ્રાવણનું કદ $3$ $litre$ છે અને તેમાં $60 \%$ ખાંડ છે.
ખાંડનું પ્રમાણ $= 3 \text{ litre ના } 60 \% = 0.60 \times 3 = 1.8 \text{ litre}$.
જ્યારે $1$ $litre$ પાણી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા દ્રાવણનું કુલ કદ $3 + 1 = 4 \text{ litre}$ થાય છે.
ખાંડનું પ્રમાણ $1.8 \text{ litre}$ અચળ રહે છે.
નવા દ્રાવણમાં ખાંડની ટકાવારી $= \left( \frac{1.8}{4} \right) \times 100 = 0.45 \times 100 = 45 \%.$

(B) દ્રાવણનું પ્રારંભિક કદ $= 32 \text{ લિટર}$.
આલ્કોહોલની સાંદ્રતા $= 20 \%$.
આલ્કોહોલનું પ્રમાણ $= 32 \times 0.20 = 6.4 \text{ લિટર}$.
ઉમેરવામાં આવેલ પાણી $= 8 \text{ લિટર}$.
દ્રાવણનું નવું કુલ કદ $= 32 + 8 = 40 \text{ લિટર}$.
આલ્કોહોલની નવી સાંદ્રતા $= \left( \frac{6.4}{40} \right) \times 100 = 16 \%$.

(A) આપેલ છે:
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ = ₹ $39$ પ્રતિ $kg$
નફાની ટકાવારી = $30 \%$
પગલું $1$: મિશ્રણની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ શોધો.
$C.P. = S.P. \times \frac{100}{100 + \text{નફા } \%}$
$C.P. = 39 \times \frac{100}{130} = 39 \times \frac{10}{13} = 3 \times 10 = ₹ 30$ પ્રતિ $kg$
પગલું $2$: એલિગેશન (Alligation) ના નિયમનો ઉપયોગ કરો:
- પ્રથમ પ્રકારના ઘઉંની કિંમત = ₹ $32$ પ્રતિ $kg$
- બીજા પ્રકારના ઘઉંની કિંમત = ₹ $24$ પ્રતિ $kg$
- સરેરાશ કિંમત (મિશ્રણની $C.P.$) = ₹ $30$ પ્રતિ $kg$
એલિગેશન દ્વારા:
(પ્રથમની કિંમત) $32$ --- (બીજાની કિંમત) $24$
\ /
$30$
/ \
(તફાવત) $6$ --- (તફાવત) $2$
પ્રમાણ = $6 : 2 = 3 : 1$
તેથી,જરૂરી પ્રમાણ $3:1$ છે.

(B) ચાનો કુલ જથ્થો $= 49 \ kg$.
આસામ ચા અને દાર્જિલિંગ ચાનો ગુણોત્તર $= 5:2$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $= 5 + 2 = 7$.
આસામ ચાનો જથ્થો $= (5/7) \times 49 = 35 \ kg$.
દાર્જિલિંગ ચાનો જથ્થો $= (2/7) \times 49 = 14 \ kg$.
ધારો કે $x \ kg$ દાર્જિલિંગ ચા ઉમેરવામાં આવે છે.
દાર્જિલિંગ ચાનો નવો જથ્થો $= 14 + x \ kg$.
પ્રશ્ન મુજબ,આસામ અને દાર્જિલિંગ ચાનો નવો ગુણોત્તર $2:1$ છે.
તેથી,$35 / (14 + x) = 2 / 1$.
$35 = 2(14 + x)$.
$35 = 28 + 2x$.
$2x = 35 - 28 = 7$.
$x = 7 / 2 = 3.5 \ kg$.

(B) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પ્રકારની ખાંડની કિંમત = ₹ $12$ પ્રતિ $kg$
બીજા પ્રકારની ખાંડની કિંમત = ₹ $7$ પ્રતિ $kg$
મિશ્રણની સરેરાશ કિંમત = ₹ $8$ પ્રતિ $kg$
એલિગેશનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
(પ્રથમ પ્રકારની ખાંડનું પ્રમાણ) : (બીજા પ્રકારની ખાંડનું પ્રમાણ) = (સરેરાશ કિંમત - બીજા પ્રકારની કિંમત) : (પ્રથમ પ્રકારની કિંમત - સરેરાશ કિંમત)
ગુણોત્તર = $(8 - 7) : (12 - 8)$
ગુણોત્તર = $1 : 4$
આમ,વેપારીએ બંને પ્રકારની ખાંડને $1:4$ ના પ્રમાણમાં મિશ્રિત કરવી જોઈએ.

(B) ધારો કે ત્રણ પાત્રોનું કદ અનુક્રમે $2x, 3x,$ અને $4x$ છે.
$1^{st}$ પાત્ર: સ્પિરિટ અને પાણીનો ગુણોત્તર $4:1$ છે. કુલ ભાગ = $5$.
સ્પિરિટ = $(4/5) \times 2x = 1.6x$,પાણી = $(1/5) \times 2x = 0.4x$.
$2^{nd}$ પાત્ર: સ્પિરિટ અને પાણીનો ગુણોત્તર $11:4$ છે. કુલ ભાગ = $15$.
સ્પિરિટ = $(11/15) \times 3x = 2.2x$,પાણી = $(4/15) \times 3x = 0.8x$.
$3^{rd}$ પાત્ર: સ્પિરિટ અને પાણીનો ગુણોત્તર $7:3$ છે. કુલ ભાગ = $10$.
સ્પિરિટ = $(7/10) \times 4x = 2.8x$,પાણી = $(3/10) \times 4x = 1.2x$.
કુલ સ્પિરિટ = $1.6x + 2.2x + 2.8x = 6.6x$.
કુલ પાણી = $0.4x + 0.8x + 1.2x = 2.4x$.
પરિણામી ગુણોત્તર = $6.6x : 2.4x = 66 : 24 = 11 : 4$.

(D) ધારો કે બે પ્રકારના પિત્તળ $A$ અને $B$ છે.
પિત્તળ $A$ માં,તાંબા અને જસતનો ગુણોત્તર $8:3$ છે. તાંબાનો અંશ $\frac{8}{11}$ છે અને જસતનો અંશ $\frac{3}{11}$ છે.
પિત્તળ $B$ માં,તાંબા અને જસતનો ગુણોત્તર $15:7$ છે. તાંબાનો અંશ $\frac{15}{22}$ છે અને જસતનો અંશ $\frac{7}{22}$ છે.
આપણે તેમને $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં મિશ્ર કરીએ છીએ. ધારો કે આપણે પિત્તળ $A$ ના $5$ એકમ અને પિત્તળ $B$ ના $2$ એકમ લઈએ છીએ.
કુલ તાંબુ $= 5 \times \frac{8}{11} + 2 \times \frac{15}{22} = \frac{40}{11} + \frac{15}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
કુલ જસત $= 5 \times \frac{3}{11} + 2 \times \frac{7}{22} = \frac{15}{11} + \frac{7}{11} = \frac{22}{11} = 2$.
નવા મિશ્રણમાં તાંબા અને જસતનો ગુણોત્તર $5:2$ છે.

(A) ધારો કે $1$ લિટર પેટ્રોલની મૂળ કિંમત $(CP)$ $₹ 100$ છે.
$1$ લિટર કેરોસીનની મૂળ કિંમત $₹ 100$ ના $40 \% = ₹ 40$ છે.
રામા $20 \%$ કેરોસીન પેટ્રોલ સાથે ભેળવે છે. $1000 \text{ ml}$ પેટ્રોલ માટે,તે $200 \text{ ml}$ કેરોસીન ઉમેરે છે.
મિશ્રણની કુલ મૂળ કિંમત $(1200 \text{ ml})$ છે: $100 + (0.2 \times 40) = 100 + 8 = ₹ 108$.
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $(SP)$ $(1200 \text{ ml})$ (પેટ્રોલની કિંમતે વેચતા) છે: $100 + (0.2 \times 100) = ₹ 120$.
નફો $= SP - CP = 120 - 108 = ₹ 12$.
નફાની ટકાવારી $= (\text{નફો} / CP) \times 100 = (12 / 108) \times 100 = 100 / 9 = 11.11 \%$.

(A) શરૂઆતમાં દૂધનું કદ = $80 \text{ litre}$,પાણીનું કદ = $18 \text{ litre}$.
કુલ કદ = $80 + 18 = 98 \text{ litre}$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર = $80:18 = 40:9$.
જ્યારે $49 \text{ litre}$ મિશ્રણ દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે દૂર થયેલ દૂધ = $49 \times (40/49) = 40 \text{ litre}$.
દૂર થયેલ પાણી = $49 \times (9/49) = 9 \text{ litre}$.
બાકી રહેલ દૂધ = $80 - 40 = 40 \text{ litre}$.
બાકી રહેલ પાણી = $18 - 9 = 9 \text{ litre}$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલ દૂધ $2x \text{ litre}$ અને પાણી $x \text{ litre}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુણોત્તર $(40 + 2x) / (9 + x) = 4/1$ છે.
$40 + 2x = 4(9 + x)$.
$40 + 2x = 36 + 4x$.
$4x - 2x = 40 - 36$.
$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
ઉમેરવામાં આવેલ દૂધનું પ્રમાણ = $2x = 2(2) = 4 \text{ litre}$.

(C) શરૂઆતનું મિશ્રણ $= 120$ $litre$,પાણી $= 25 \%$.
પાણી $= 0.25 \times 120 = 30$ $litre$.
દૂધ $= 120 - 30 = 90$ $litre$.
$20$ $litre$ મિશ્રણ વેચ્યા પછી,બાકી રહેલું મિશ્રણ $= 120 - 20 = 100$ $litre$.
બાકી રહેલા $100$ $litre$ મિશ્રણમાં,દૂધ અને પાણીનું પ્રમાણ સમાન રહેશે ($75 \%$ દૂધ અને $25 \%$ પાણી).
$100$ $litre$ મિશ્રણમાં પાણી $= 0.25 \times 100 = 25$ $litre$.
$100$ $litre$ મિશ્રણમાં દૂધ $= 0.75 \times 100 = 75$ $litre$.
$16.2$ $litre$ દૂધ અને $3.8$ $litre$ પાણી ઉમેર્યા પછી:
નવું દૂધ $= 75 + 16.2 = 91.2$ $litre$.
નવું પાણી $= 25 + 3.8 = 28.8$ $litre$.
કુલ નવું મિશ્રણ $= 91.2 + 28.8 = 120$ $litre$.
પાણીની ટકાવારી $= (28.8 / 120) \times 100 = 24 \%$.

(D) મિશ્રણનું કુલ કદ $= 729 \, ml$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= 7:2$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $= 7 + 2 = 9$.
એક ભાગનું મૂલ્ય $= 729 / 9 = 81 \, ml$.
દૂધની માત્રા $= 7 \times 81 = 567 \, ml$.
પાણીની માત્રા $= 2 \times 81 = 162 \, ml$.
આપણે પાણી ઉમેરવાની જરૂર છે જેથી નવો ગુણોત્તર $7:3$ થાય. દૂધની માત્રા સમાન રહેતી હોવાથી $(567 \, ml)$,નવા ગુણોત્તર $7:3$ માં $7$ ભાગ એટલે $567 \, ml$ થાય.
નવા ગુણોત્તરમાં એક ભાગનું મૂલ્ય $= 567 / 7 = 81 \, ml$.
જરૂરી પાણીની માત્રા $= 3 \times 81 = 243 \, ml$.
ઉમેરવાનું પાણી $= 243 \, ml - 162 \, ml = 81 \, ml$.

(A) પગલું $1$: મિશ્રણની કુલ ખરીદ કિંમત શોધો.
કુલ ખરીદ કિંમત $= (30 \times 70) + (20 \times 70.75) = 2100 + 1415 = ₹ 3515$.
પગલું $2$: મિશ્રણની કુલ વેચાણ કિંમત શોધો.
કુલ જથ્થો $= 30 + 20 = 50 \text{ kg}$.
કુલ વેચાણ કિંમત $= 50 \times 80.50 = ₹ 4025$.
પગલું $3$: કુલ નફો શોધો.
નફો $= \text{કુલ વેચાણ કિંમત} - \text{કુલ ખરીદ કિંમત} = 4025 - 3515 = ₹ 510$.

(C) શરૂઆતનું દ્રાવણ = $300$ $grams$.
શરૂઆતના દ્રાવણમાં ખાંડનું પ્રમાણ = $300$ ના $40 \% = 0.40 \times 300 = 120$ $grams$.
શરૂઆતના દ્રાવણમાં પાણીનું પ્રમાણ = $300 - 120 = 180$ $grams$.
ધારો કે દ્રાવણમાં $x$ $grams$ ખાંડ ઉમેરવામાં આવે છે.
ખાંડનું નવું પ્રમાણ = $120 + x$ $grams$.
દ્રાવણનું નવું કુલ પ્રમાણ = $300 + x$ $grams$.
પ્રશ્ન મુજબ,ખાંડની નવી સાંદ્રતા $50 \%$ છે,તેથી:
$(120 + x) / (300 + x) = 50 / 100 = 1 / 2$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(120 + x) = 300 + x$.
$240 + 2x = 300 + x$.
$2x - x = 300 - 240$.
$x = 60$ $grams$.

(D) ધારો કે દરેક ગ્લાસનું કદ $1$ એકમ છે.
પ્રથમ ગ્લાસમાં,એસિડનું પ્રમાણ $\frac{2}{5}$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{3}{5}$ છે.
બીજા ગ્લાસમાં,એસિડનું પ્રમાણ $\frac{3}{7}$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{4}{7}$ છે.
ત્રીજા ગ્લાસમાં,એસિડનું પ્રમાણ $\frac{4}{9}$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{5}{9}$ છે.
મોટા પાત્રમાં કુલ એસિડ $= \frac{2}{5} + \frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{126 + 135 + 140}{315} = \frac{401}{315}$.
મોટા પાત્રમાં કુલ પાણી $= \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \frac{189 + 180 + 175}{315} = \frac{544}{315}$.
તેથી,એસિડ અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર $= \frac{401}{315} : \frac{544}{315} = 401:544$.

(D) મિશ્રધાતુ $A$ ના $60\, kg$ માં,સીસા અને કલાઈનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.
મિશ્રધાતુ $A$ માં કલાઈનું પ્રમાણ = $\frac{2}{3+2} \times 60 = \frac{2}{5} \times 60 = 24\, kg$.
મિશ્રધાતુ $B$ ના $100\, kg$ માં,કલાઈ અને તાંબાનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.
મિશ્રધાતુ $B$ માં કલાઈનું પ્રમાણ = $\frac{1}{1+4} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\, kg$.
નવી મિશ્રધાતુમાં કલાઈનું કુલ પ્રમાણ = (મિશ્રધાતુ $A$ માં કલાઈ) + (મિશ્રધાતુ $B$ માં કલાઈ) = $24\, kg + 20\, kg = 44\, kg$.

(D) ધારો કે પ્રથમ મિશ્રધાતુનું વજન $3x$ અને બીજી મિશ્રધાતુનું વજન $4x$ છે.
પ્રથમ મિશ્રધાતુ $(A)$ માં,ટીન અને લોખંડનું પ્રમાણ $1:2$ છે. કુલ ભાગ = $1+2=3$.
$A$ માં ટીનનું પ્રમાણ = $\frac{1}{3} \times 3x = x$.
$A$ માં લોખંડનું પ્રમાણ = $\frac{2}{3} \times 3x = 2x$.
બીજી મિશ્રધાતુ $(B)$ માં,ટીન અને લોખંડનું પ્રમાણ $2:3$ છે. કુલ ભાગ = $2+3=5$.
$B$ માં ટીનનું પ્રમાણ = $\frac{2}{5} \times 4x = \frac{8x}{5}$.
$B$ માં લોખંડનું પ્રમાણ = $\frac{3}{5} \times 4x = \frac{12x}{5}$.
નવા મિશ્રણમાં કુલ ટીન = $x + \frac{8x}{5} = \frac{13x}{5}$.
નવા મિશ્રણમાં કુલ લોખંડ = $2x + \frac{12x}{5} = \frac{22x}{5}$.
નવી મિશ્રધાતુમાં ટીન અને લોખંડનું પ્રમાણ = $\frac{13x}{5} : \frac{22x}{5} = 13:22$.

(B) $20$ લિટરના પ્રારંભિક મિશ્રણમાં:
આલ્કોહોલ $= 20 \times \frac{20}{100} = 4$ લિટર.
પાણી $= 20 - 4 = 16$ લિટર.
જ્યારે $4$ લિટર પાણી ઉમેરવામાં આવે છે:
પાણીનો નવો જથ્થો $= 16 + 4 = 20$ લિટર.
મિશ્રણનો નવો કુલ જથ્થો $= 20 + 4 = 24$ લિટર.
નવા મિશ્રણમાં આલ્કોહોલની ટકાવારી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ટકાવારી} = \left( \frac{\text{આલ્કોહોલનો જથ્થો}}{\text{મિશ્રણનો કુલ જથ્થો}} \right) \times 100$
$\text{ટકાવારી} = \left( \frac{4}{24} \right) \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3} \%$.

(D) ધારો કે દરેક પાત્રની ક્ષમતા $x$ લિટર છે.
પ્રથમ પાત્રમાં:
દૂધ $= \frac{3}{4}x$ લિટર
પાણી $= \frac{1}{4}x$ લિટર
બીજા પાત્રમાં:
દૂધ $= \frac{5}{7}x$ લિટર
પાણી $= \frac{2}{7}x$ લિટર
બંનેને મિશ્ર કરતા,દૂધનો કુલ જથ્થો:
દૂધ $= \frac{3}{4}x + \frac{5}{7}x = \frac{21x + 20x}{28} = \frac{41x}{28}$ લિટર
પાણીનો કુલ જથ્થો:
પાણી $= \frac{1}{4}x + \frac{2}{7}x = \frac{7x + 8x}{28} = \frac{15x}{28}$ લિટર
તેથી,દૂધ અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર:
$\frac{41x}{28} : \frac{15x}{28} = 41:15$

(B) શરૂઆતમાં:
પાત્ર $A$ માં દૂધ = $40$ $\text{લીટર}$
પાત્ર $B$ માં પાણી = $22$ $\text{લીટર}$
પ્રથમ પ્રક્રિયા પછી ($A$ માંથી $8$ $\text{લીટર}$ દૂધ $B$ માં સ્થાનાંતરિત કરતા):
પાત્ર $A$ માં દૂધ = $40 - 8 = 32$ $\text{લીટર}$
પાત્ર $B$ માં દૂધ = $8$ $\text{લીટર}$
પાત્ર $B$ માં પાણી = $22$ $\text{લીટર}$
પાત્ર $B$ માં કુલ મિશ્રણ = $8 + 22 = 30$ $\text{લીટર}$
બીજી પ્રક્રિયા પછી ($B$ માંથી $6$ $\text{લીટર}$ મિશ્રણ $A$ માં સ્થાનાંતરિત કરતા):
બહાર કાઢવામાં આવેલા મિશ્રણનો અંશ = $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ માંથી બહાર કાઢેલ દૂધનો જથ્થો = $\frac{1}{5} \times 8 = \frac{8}{5}$ $\text{લીટર}$.
$B$ માંથી બહાર કાઢેલ પાણીનો જથ્થો = $\frac{1}{5} \times 22 = \frac{22}{5}$ $\text{લીટર}$.
પાત્ર $A$ માં દૂધનો અંતિમ જથ્થો = $32 + \frac{8}{5} = \frac{160 + 8}{5} = \frac{168}{5}$ $\text{લીટર}$.
પાત્ર $B$ માં પાણીનો અંતિમ જથ્થો = $22 - \frac{22}{5} = \frac{110 - 22}{5} = \frac{88}{5}$ $\text{લીટર}$.
જરૂરી ગુણોત્તર = $\frac{168}{5} : \frac{88}{5} = 168 : 88 = 21 : 11$.

(A) ધારો કે મિશ્રણને $x:y$ ના ગુણોત્તરમાં ભેળવવામાં આવે છે.
પાત્ર $A$ માં,દૂધનો ભાગ $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ છે.
પાત્ર $B$ માં,દૂધનો ભાગ $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
અંતિમ મિશ્રણ $C$ માં,દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $1:1$ છે,તેથી દૂધનો ભાગ $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ છે.
એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
તફાવત $1$ ($B$ અને $C$ વચ્ચે) $= \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5-4}{10} = \frac{1}{10}$.
તફાવત $2$ ($A$ અને $C$ વચ્ચે) $= \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{8-7}{14} = \frac{1}{14}$.
જરૂરી ગુણોત્તર $x:y$ એ આ તફાવતોનો ગુણોત્તર છે:
$x:y = \frac{1}{10} : \frac{1}{14} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
આમ,પ્રવાહીને $7:5$ ના ગુણોત્તરમાં મિશ્ર કરવા જોઈએ.

(B) એલિગેશન (મિશ્રણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
આપણી પાસે બે સાંદ્રતા છે: $25 \%$ અને $60 \%$.
જરૂરી સરેરાશ સાંદ્રતા $40 \%$ છે.
$60$ અને $40$ વચ્ચેનો તફાવત $= 20$.
$40$ અને $25$ વચ્ચેનો તફાવત $= 15$.
પ્રથમ સાંદ્રતા અને બીજી સાંદ્રતાનો ગુણોત્તર $20: 15$ છે.
$20: 15$ ગુણોત્તરને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $4: 3$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(C) $30 \text{ kg}$ ચોખાની કુલ ખરીદ કિંમત $= 30 \times 10 = ₹ 300$.
$35 \text{ kg}$ ચોખાની કુલ ખરીદ કિંમત $= 35 \times 11 = ₹ 385$.
મિશ્રણની કુલ ખરીદ કિંમત $= 300 + 385 = ₹ 685$.
મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= 30 + 35 = 65 \text{ kg}$.
$30\%$ નફો મેળવવા માટે,કુલ વેચાણ કિંમત $= ₹ 685 \times (1 + 30/100) = 685 \times 1.3 = ₹ 890.5$ હોવી જોઈએ.
પ્રતિ $\text{kg}$ વેચાણ કિંમત $= 890.5 / 65 = ₹ 13.7$.

(B) ધારો કે દરેક પાત્રનું કુલ કદ તેમના ભાગોના સરવાળા $(13, 14, 15)$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ જેટલું છે,જે $2730$ છે.
પાત્ર $1$ માટે ($6:7$,સરવાળો $= 13$): પાણી $= (6/13) \times 2730 = 1260$,દૂધ $= (7/13) \times 2730 = 1470$.
પાત્ર $2$ માટે ($5:9$,સરવાળો $= 14$): પાણી $= (5/14) \times 2730 = 975$,દૂધ $= (9/14) \times 2730 = 1755$.
પાત્ર $3$ માટે ($8:7$,સરવાળો $= 15$): પાણી $= (8/15) \times 2730 = 1456$,દૂધ $= (7/15) \times 2730 = 1274$.
કુલ પાણી $= 1260 + 975 + 1456 = 3691$.
કુલ દૂધ $= 1470 + 1755 + 1274 = 4499$.
પાણી અને દૂધનો જરૂરી ગુણોત્તર $3691:4499$ છે.

(B) શરૂઆતનું મિશ્રણ $= 40$ લિટર.
આલ્કોહોલ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= 5:3$.
જ્યારે $8$ લિટર મિશ્રણ કાઢી લેવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું મિશ્રણ $= 40 - 8 = 32$ લિટર.
બાકી રહેલા $32$ લિટરમાં,આલ્કોહોલનું પ્રમાણ $= \frac{5}{8} \times 32 = 20$ લિટર.
પાણીનું પ્રમાણ $= \frac{3}{8} \times 32 = 12$ લિટર.
હવે,મિશ્રણમાં $8$ લિટર પાણી ઉમેરવામાં આવે છે.
આલ્કોહોલનું નવું પ્રમાણ $= 20$ લિટર.
પાણીનું નવું પ્રમાણ $= 12 + 8 = 20$ લિટર.
તેથી,આલ્કોહોલ અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર $= 20:20 = 1:1$.

(B) એલિગેશન (મિશ્રણ) ની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક મિશ્રણમાં દૂધનો અપૂર્ણાંક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
પ્રથમ પાત્રમાં,દૂધનો અપૂર્ણાંક $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ છે.
બીજા પાત્રમાં,દૂધનો અપૂર્ણાંક $\frac{7}{7+3} = \frac{7}{10}$ છે.
અંતિમ મિશ્રણમાં દૂધનો ઇચ્છિત અપૂર્ણાંક $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પાત્ર $I$ અને પાત્ર $II$ નો ગુણોત્તર $= \left| \frac{7}{10} - \frac{2}{3} \right| : \left| \frac{3}{5} - \frac{2}{3} \right|$
$= \left| \frac{21-20}{30} \right| : \left| \frac{9-10}{15} \right|$
$= \frac{1}{30} : \frac{1}{15}$
$= \frac{1}{30} : \frac{2}{30}$
$= 1:2$.

(C) ધારો કે પ્રવાહી $A$ ની શરૂઆતની માત્રા $7x$ લિટર છે અને પ્રવાહી $B$ ની માત્રા $5x$ લિટર છે.
કુલ શરૂઆતની માત્રા $= 7x + 5x = 12x$ લિટર.
જ્યારે $9$ લિટર મિશ્રણ કાઢી લેવામાં આવે છે,ત્યારે દૂર કરાયેલ $A$ ની માત્રા $\frac{7}{12} \times 9 = \frac{21}{4}$ લિટર છે,અને દૂર કરાયેલ $B$ ની માત્રા $\frac{5}{12} \times 9 = \frac{15}{4}$ લિટર છે.
$A$ ની બાકી રહેલી માત્રા $= 7x - \frac{21}{4}$.
$B$ ની બાકી રહેલી માત્રા $= 5x - \frac{15}{4} + 9 = 5x + \frac{21}{4}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુણોત્તર $7:9$ છે:
$\frac{7x - 21/4}{5x + 21/4} = \frac{7}{9}$.
$9(7x - 5.25) = 7(5x + 5.25)$.
$63x - 47.25 = 35x + 36.75$.
$28x = 84$.
$x = 3$.
$A$ ની શરૂઆતની માત્રા $= 7x = 7 \times 3 = 21$ લિટર.

(D) ધારો કે મૂળ મિશ્રણમાં એસિડનો જથ્થો $x$ લિટર છે અને પાણીનો જથ્થો $3x$ લિટર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે $5$ લિટર એસિડ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે એસિડ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $1:2$ થાય છે.
તેથી,$\frac{x+5}{3x} = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$2(x+5) = 3x$ મળે.
$2x + 10 = 3x$.
$3x - 2x = 10$,જે આપણને $x = 10$ આપે છે.
મૂળ મિશ્રણનો જથ્થો $x + 3x = 4x = 4(10) = 40$ લિટર હતો.
$5$ લિટર એસિડ ઉમેર્યા પછી,નવા મિશ્રણનો જથ્થો $40 + 5 = 45$ લિટર થાય છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું કુલ કદ $V$ છે. શરૂઆતમાં,એસિડનું પ્રમાણ $0.8V$ અને પાણીનું પ્રમાણ $0.2V$ છે.
ધારો કે મિશ્રણનો $x$ ભાગ દૂર કરીને પાણી દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
$xV$ મિશ્રણ દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલ એસિડ $0.8V(1-x)$ છે.
$xV$ પાણી ઉમેર્યા પછી,પાણીનું નવું પ્રમાણ $0.2V(1-x) + xV$ થાય છે.
એસિડ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $4:3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{0.8V(1-x)}{0.2V(1-x) + xV} = \frac{4}{3}$
$\frac{0.8(1-x)}{0.2 + 0.8x} = \frac{4}{3}$
$2.4(1-x) = 4(0.2 + 0.8x)$
$2.4 - 2.4x = 0.8 + 3.2x$
$1.6 = 5.6x$
$x = 2/7$.

(D) શરૂઆતમાં,મિશ્રણમાં $80 \%$ એસિડ અને $20 \%$ પાણી છે,તેથી એસિડ : પાણીનો ગુણોત્તર $= 80:20 = 4:1$ છે.
ધારો કે મિશ્રણનું કુલ કદ $1$ એકમ છે. ધારો કે મિશ્રણનો $x$ ભાગ દૂર કરીને તેના બદલે પાણી ઉમેરવામાં આવે છે.
મિશ્રણનો $x$ ભાગ દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલું મિશ્રણ $(1-x)$ છે.
બાકી રહેલા એસિડનું પ્રમાણ $4(1-x)/5$ છે અને બાકી રહેલા પાણીનું પ્રમાણ $(1-x)/5$ છે.
$x$ જેટલું પાણી ઉમેર્યા પછી,પાણીનું નવું પ્રમાણ $(1-x)/5 + x$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એસિડ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $4:3$ છે:
$\frac{4(1-x)/5}{(1-x)/5 + x} = \frac{4}{3}$
$\frac{4(1-x)}{1-x+5x} = \frac{4}{3}$
$\frac{1-x}{1+4x} = \frac{1}{3}$
$3 - 3x = 1 + 4x$
$7x = 2$
$x = \frac{2}{7}$

(C) ધારો કે મિશ્રધાતુ $A$ નું વજન $1 \text{ kg}$ છે.
$\therefore$ $A$ માં સોનું $= \frac{7}{9} \text{ kg}$ અને તાંબું $= \frac{2}{9} \text{ kg}$ છે.
$1 \text{ kg}$ મિશ્રધાતુ $B$ માં,સોનું $= \frac{7}{18} \text{ kg}$ અને તાંબું $= \frac{11}{18} \text{ kg}$ છે.
સમાન જથ્થાને ભેળવવામાં આવતા,મિશ્રધાતુ $C$ માં કુલ સોનું $= \frac{7}{9} + \frac{7}{18} = \frac{14+7}{18} = \frac{21}{18} \text{ kg}$ થાય.
મિશ્રધાતુ $C$ માં કુલ તાંબું $= \frac{2}{9} + \frac{11}{18} = \frac{4+11}{18} = \frac{15}{18} \text{ kg}$ થાય.
$\therefore$ $C$ માં સોના અને તાંબાનો જરૂરી ગુણોત્તર $= \frac{21}{18} : \frac{15}{18} = 21 : 15 = 7 : 5$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ મિશ્રણ અને બીજા મિશ્રણનો ગુણોત્તર $x:y$ છે.
પ્રથમ બોટલમાં એસિડનો ભાગ $\frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ છે.
બીજી બોટલમાં એસિડનો ભાગ $\frac{7}{7+3} = \frac{7}{10}$ છે.
અંતિમ મિશ્રણમાં એસિડનો ભાગ $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
બીજા મિશ્રણ અને અંતિમ મિશ્રણ વચ્ચેનો તફાવત: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7-4}{10} = \frac{3}{10}$.
અંતિમ મિશ્રણ અને પ્રથમ મિશ્રણ વચ્ચેનો તફાવત: $\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{14-10}{35} = \frac{4}{35}$.
તેથી,ગુણોત્તર $x:y = \frac{3}{10} : \frac{4}{35}$ છે.
બંને બાજુ $70$ વડે ગુણતા,આપણને $x:y = (\frac{3}{10} \times 70) : (\frac{4}{35} \times 70) = 21 : 8$ મળે છે.

(C) પાણીની સાપેક્ષમાં દૂધનું ન્યૂનતમ પ્રમાણ ધરાવતું પાત્ર શોધવા માટે,આપણે દરેક મિશ્રણમાં દૂધનો અપૂર્ણાંક ગણીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પાત્ર: $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} = 0.625$
$2$. બીજું પાત્ર: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \approx 0.666$
$3$. ત્રીજું પાત્ર: $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5} = 0.600$
$4$. ચોથું પાત્ર: $\frac{7}{7+4} = \frac{7}{11} \approx 0.636$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.600 < 0.625 < 0.636 < 0.666$.
ન્યૂનતમ કિંમત $0.6$ છે,જે ત્રીજા પાત્ર માટે છે.