Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$
मान रखने पर:
$= 3 \times 3.14 \times (10)^2 \, cm^2$
$= 3 \times 3.14 \times 100 \, cm^2$
$= 3 \times 314 \, cm^2$
$= 942 \, cm^2$
अतः,अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $942 \, cm^2$ है।

(D) गोलाकार गुब्बारे की प्रारंभिक त्रिज्या $(r_1) = 7 \, cm$ है।
हवा भरने के बाद गोलाकार गुब्बारे की अंतिम त्रिज्या $(r_2) = 14 \, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $\left( \frac{7}{14} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $1:4$ है।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास $(d) = 10.5 \, cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{10.5}{2} \, cm = 5.25 \, cm = \frac{21}{4} \, cm$.
अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2$.
क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{4}\right)^2 \, cm^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 11 \times 3 \times \frac{21}{4} \, cm^2 = \frac{693}{4} \, cm^2 = 173.25 \, cm^2$.
कलई कराने की दर $= Rs. 16$ प्रति $100 \, cm^2$.
कुल व्यय $= \left(\frac{173.25}{100}\right) \times 16 = 1.7325 \times 16 = Rs. 27.72$.

(B) माना गोले की त्रिज्या $r \, cm$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4 \pi r^2$ है।
दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल $154 \, cm^2$ है,इसलिए:
$4 \pi r^2 = 154$
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
$4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 154$
$r^2$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{154 \times 7}{4 \times 22}$
$r^2 = \frac{7 \times 7}{4} = \left(\frac{7}{2}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$
अतः,गोले की त्रिज्या $3.5 \, cm$ है।

(C) माना कि पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का एक-चौथाई है,इसलिए चंद्रमा की त्रिज्या भी पृथ्वी की त्रिज्या की एक-चौथाई होगी।
अतः,चंद्रमा की त्रिज्या $= \frac{R}{4}$।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ होता है।
पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi R^2$।
चंद्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi \left( \frac{R}{4} \right)^2 = 4 \pi \left( \frac{R^2}{16} \right) = \frac{\pi R^2}{4}$।
चंद्रमा के पृष्ठीय क्षेत्रफल और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात है:
$\frac{\text{चंद्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{\pi R^2}{4}}{4 \pi R^2} = \frac{1}{4 \times 4} = \frac{1}{16}$।
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $1:16$ है।

(D) आंतरिक त्रिज्या $(r) = 5 \, cm$
मोटाई $= 0.25 \, cm$
बाहरी त्रिज्या $(R) = r + \text{मोटाई} = 5 + 0.25 = 5.25 \, cm$
अर्धगोलाकार कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $2 \pi R^2$ है।
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times (5.25)^2 \, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{525}{100} \times \frac{525}{100} \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times \frac{75}{100} \times 5.25 \, cm^2$
$= 44 \times 0.75 \times 5.25 \, cm^2$
$= 173.25 \, cm^2$

(N/A) $(i)$ गोले के लिए:
त्रिज्या $= r$
$\therefore$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^{2}$
$(ii)$ लंबवृत्तीय बेलन के लिए:
चूंकि बेलन गोले को ठीक परिबद्ध करता है,इसलिए बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है।
$\therefore$ बेलन की त्रिज्या $= r$
बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास के बराबर है।
$\Rightarrow$ बेलन की ऊँचाई $(h) = 2r$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh = 2 \pi r(2r) = 4 \pi r^{2}$
$(iii)$ $(i)$ और $(ii)$ में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{4 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}} = \frac{1}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $1:1$ है।

(B) दीवार एक घनाभ है। सबसे पहले,सभी आयामों को सेंटीमीटर में बदलें:
दीवार की लंबाई $= 10\, m = 1000\, cm$.
दीवार की मोटाई $= 24\, cm$.
दीवार की ऊँचाई $= 4\, m = 400\, cm$.
दीवार का आयतन $= 1000\, cm \times 24\, cm \times 400\, cm = 9,600,000\, cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= 24\, cm \times 12\, cm \times 8\, cm = 2304\, cm^3$.
आवश्यक ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{9,600,000}{2304} \approx 4166.67$.
चूंकि हम ईंट का एक अंश नहीं ले सकते,इसलिए हम इसे निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करते हैं,जो $4167$ ईंटें हैं।

(C) एक घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{भुजा}$.
यहाँ भुजा की लंबाई $3 \, cm$ दी गई है, इसलिए एक घन का आयतन $3 \, cm \times 3 \, cm \times 3 \, cm = 27 \, cm^3$ होगा।
चित्र में दी गई संरचना का अवलोकन करने पर, हम कुल घनों की संख्या गिन सकते हैं:
- स्तंभ $1$ (सबसे बाईं ओर): $5$ घन
- स्तंभ $2$: $4$ घन
- स्तंभ $3$: $3$ घन
- स्तंभ $4$: $2$ घन
- स्तंभ $5$ (सबसे दाईं ओर): $1$ घन
कुल घनों की संख्या $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ घन।
संरचना का कुल आयतन घनों की संख्या और एक घन के आयतन का गुणनफल है:
कुल आयतन $= 15 \times 27 \, cm^3 = 405 \, cm^3$।

(D) माचिस की डिब्बी (घनाभ) की विमाएँ $l = 4 \,cm$,$b = 2.5 \,cm$ और $h = 1.5 \,cm$ हैं।
एक माचिस की डिब्बी का आयतन सूत्र $V = l \times b \times h$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = 4 \,cm \times 2.5 \,cm \times 1.5 \,cm = 15 \,cm^3$.
ऐसी $12$ डिब्बियों वाले एक पैकेट का कुल आयतन $= 12 \times V$ होगा।
आयतन $= 12 \times 15 \,cm^3 = 180 \,cm^3$.

(A) दिया गया है: लंबाई $(l) = 6 \,m$,चौड़ाई $(b) = 5 \,m$,गहराई $(h) = 4.5 \,m$.
घनाभाकार टंकी की धारिता (आयतन) का सूत्र है: $\text{आयतन} = l \times b \times h$.
$\text{आयतन} = 6 \,m \times 5 \,m \times 4.5 \,m = 135 \,m^3$.
हम जानते हैं कि $1 \,m^3 = 1000 \,l$.
अतः,लीटर में धारिता $135 \times 1000 \,l = 135000 \,l$ होगी।
इस प्रकार,टंकी में $135000 \,l$ पानी आ सकता है।

(B) दिया गया है: लंबाई $(l) = 10 \, m$,चौड़ाई $(b) = 8 \, m$,आयतन $(V) = 380 \, m^3$ है।
माना घनाभाकार बर्तन की ऊँचाई $h$ है।
हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन निकालने का सूत्र: $V = l \times b \times h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $380 = 10 \times 8 \times h$।
$380 = 80 \times h$।
$h = \frac{380}{80} = \frac{38}{8} = 4.75 \, m$।
अतः,$380 \, m^3$ तरल रखने के लिए बर्तन की ऊँचाई $4.75 \, m$ होनी चाहिए।

(C) लंबाई $(l) = 8 \, m$; चौड़ाई $(b) = 6 \, m$; गहराई $(h) = 3 \, m$.
$\therefore$ घनाभाकार गड्ढे का आयतन $= l \times b \times h = 8 \times 6 \times 3 \, m^3 = 144 \, m^3$.
चूंकि गड्ढा खोदने की दर $Rs. 30$ प्रति $m^3$ है,
$\therefore$ खुदाई का कुल खर्च $= 30 \times 144 = Rs. 4320$.

(D) दिया गया है: टंकी की लंबाई $(l) = 2.5\, m$,टंकी की गहराई $(h) = 10\, m$.
टंकी की क्षमता $= 50000\, l$.
चूंकि $1000\, l = 1\, m^3$,इसलिए घन मीटर में क्षमता $= 50000 / 1000 = 50\, m^3$ है।
माना टंकी की चौड़ाई $b\, m$ है।
घनाभाकार टंकी का आयतन $V = l \times b \times h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $50 = 2.5 \times b \times 10$.
$50 = 25 \times b$.
$b = 50 / 25 = 2\, m$.
अतः,टंकी की चौड़ाई $2\, m$ है।

(A) टंकी की लंबाई $(l) = 20 \,m$.
टंकी की चौड़ाई $(b) = 15 \,m$.
टंकी की ऊँचाई $(h) = 6 \,m$.
टंकी का आयतन $= l \times b \times h = 20 \times 15 \times 6 \,m^3 = 1800 \,m^3$.
चूँकि $1 \,m^3 = 1000 \,l$,इसलिए टंकी की क्षमता $= 1800 \times 1000 \,l = 1,800,000 \,l$.
गाँव की जनसंख्या $= 4000$.
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन आवश्यक पानी $= 150 \,l$.
प्रतिदिन आवश्यक कुल पानी $= 4000 \times 150 \,l = 600,000 \,l$.
माना कि पानी $x$ दिनों तक चलेगा।
$x$ दिनों के लिए आवश्यक कुल पानी $= 600,000 \times x$.
टंकी की कुल क्षमता और आवश्यक पानी की तुलना करने पर: $600,000 \times x = 1,800,000$.
$x = \frac{1,800,000}{600,000} = 3$.
अतः,टंकी का पानी $3$ दिनों तक चलेगा।

(B) गोदाम का आयतन $= 60 \,m \times 25 \,m \times 10 \,m = 15000 \,m^3$ (यह मानते हुए कि ऊँचाई $10 \,m$ है)।
एक क्रेट का आयतन $= 1.5 \,m \times 1.25 \,m \times 0.5 \,m = 0.9375 \,m^3$.
माना क्रेटों की संख्या $n$ है।
$n = \frac{\text{गोदाम का आयतन}}{\text{एक क्रेट का आयतन}} = \frac{60 \times 25 \times 10}{1.5 \times 1.25 \times 0.5} = \frac{15000}{0.9375} = 16000$.
अतः,गोदाम में $16000$ क्रेट रखे जा सकते हैं।

(A) दिए गए घन की भुजा $= 12 \, cm$ है।
दिए गए घन का आयतन $= (12)^3 = 1728 \, cm^3$ है।
माना प्रत्येक नए छोटे घन की भुजा $n \, cm$ है।
$8$ छोटे घनों का आयतन $= 8 \times n^3$ है।
चूंकि आयतन समान रहता है,इसलिए $8n^3 = 1728$ है।
$n^3 = \frac{1728}{8} = 216$ है।
$n = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$ है।
नए घन की भुजा $6 \, cm$ है।
दिए गए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \, cm^2$ है।
$8$ छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 8 \times (6 \times 6^2) = 8 \times 216 = 1728 \, cm^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $= \frac{864}{1728} = \frac{1}{2} = 1:2$ है।

(D) नदी में बहते पानी को एक घनाभ के रूप में माना जा सकता है।
दिया है:
गहराई $(h) = 3 \,m$
चौड़ाई $(b) = 40 \,m$
प्रवाह की दर ($1$ घंटे में लंबाई) $(l) = 2 \,km = 2000 \,m$
$1$ घंटे ($60$ मिनट) में बहने वाले पानी का आयतन = $l \times b \times h$
$= 2000 \,m \times 40 \,m \times 3 \,m = 240000 \,m^3$
$1$ मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन = $\frac{60 \text{ मिनट में बहने वाला आयतन}}{60}$
$= \frac{240000 \,m^3}{60} = 4000 \,m^3$

(A) चूँकि स्तंभों को बनाने के लिए उपयोग किया जाने वाला कंक्रीट मिश्रण स्तंभ के पूरे स्थान को घेरता है,इसलिए हमें बेलनों का आयतन ज्ञात करने की आवश्यकता है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r)$ $= 20\, cm = 0.2\, m$.
बेलनाकार स्तंभ की ऊँचाई $(h)$ $= 10\, m$.
एक बेलनाकार स्तंभ का आयतन $= \pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times (0.2)^2 \times 10\, m^3$
$= \frac{22}{7} \times 0.04 \times 10\, m^3$
$= \frac{8.8}{7}\, m^3$.
ऐसे $14$ स्तंभों का कुल आयतन $= 14 \times \text{एक स्तंभ का आयतन}$
$= 14 \times \frac{8.8}{7}\, m^3$
$= 2 \times 8.8\, m^3$
$= 17.6\, m^3$.
अतः,ऐसे $14$ स्तंभों को बनाने के लिए $17.6\, m^3$ कंक्रीट मिश्रण की आवश्यकता होगी।

(B) बड़े बर्तन में रस का आयतन बेलन के आयतन के सूत्र $V = \pi R^2 H$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,त्रिज्या $R = 15 \, cm$ और ऊंचाई $H = 32 \, cm$ है।
अतः,रस का कुल आयतन $= \pi \times 15 \times 15 \times 32 \, cm^3$.
प्रत्येक छोटे गिलास में रस का आयतन $v = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 3 \, cm$ और ऊंचाई $h = 8 \, cm$ है।
अतः,प्रत्येक गिलास का आयतन $= \pi \times 3 \times 3 \times 8 \, cm^3$.
भरे जा सकने वाले गिलासों की संख्या रस के कुल आयतन और एक गिलास के आयतन का अनुपात है:
गिलासों की संख्या $= \frac{\pi \times 15 \times 15 \times 32}{\pi \times 3 \times 3 \times 8} = \frac{225 \times 32}{9 \times 8} = \frac{7200}{72} = 100$.
चूंकि प्रत्येक गिलास $Rs. 15$ में बेचा जाता है,इसलिए स्टॉल कीपर द्वारा प्राप्त कुल राशि है:
कुल राशि $= 100 \times 15 = Rs. 1500$.

(C) माना बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या $r \,cm$ है।
आधार की परिधि $2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
$2 \pi r = 132$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$
$r = \frac{132 \times 7}{2 \times 22} = 21 \,cm$.
बर्तन की ऊँचाई $h = 25 \,cm$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times (21)^2 \times 25$
$V = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 = 22 \times 3 \times 21 \times 25 = 34650 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,इसलिए लीटर में धारिता $\frac{34650}{1000} = 34.65 \,l$ होगी।
अतः,बर्तन में $34.65 \,l$ पानी आ सकता है।

(D) दिया है:
आंतरिक व्यास $= 24 \, cm$,इसलिए आंतरिक त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$.
बाहरी व्यास $= 28 \, cm$,इसलिए बाहरी त्रिज्या $(R) = 14 \, cm$.
पाइप की लंबाई $(h) = 35 \, cm$.
पाइप में लकड़ी का आयतन बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन का अंतर है:
$V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2) = \pi h (R + r)(R - r)$.
मान रखने पर:
$V = \frac{22}{7} \times 35 \times (14 + 12) \times (14 - 12) \, cm^3$.
$V = 22 \times 5 \times 26 \times 2 = 5720 \, cm^3$.
लकड़ी का द्रव्यमान $= \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 5720 \, cm^3 \times 0.6 \, g/cm^3$.
द्रव्यमान $= 3432 \, g$.
किलोग्राम में बदलने पर: $3432 \, g = 3.432 \, kg$.

(A) आयताकार पैक के लिए:
लंबाई $(l) = 5 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 4 \, cm$,ऊंचाई $(h) = 15 \, cm$.
आयतन $= l \times b \times h = 5 \times 4 \times 15 = 300 \, cm^3$.
आयताकार पैक की धारिता $= 300 \, cm^3$.
बेलनाकार पैक के लिए:
आधार का व्यास $= 7 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
ऊंचाई $(h) = 10 \, cm$.
आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 10 = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 10 = 385 \, cm^3$.
बेलनाकार पैक की धारिता $= 385 \, cm^3$.
दोनों की तुलना करने पर:
$385 \, cm^3 - 300 \, cm^3 = 85 \, cm^3$.
अतः,बेलनाकार पैक की धारिता $85 \, cm^3$ अधिक है।

(B) दिया है: बेलन की ऊँचाई $(h) = 5 \, cm$.
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 94.2 \, cm^2$.
माना आधार की त्रिज्या $r$ है।
बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi rh$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर ($\pi = 3.14$ लेने पर):
$2 \times 3.14 \times r \times 5 = 94.2$
$31.4 \times r = 94.2$
$r = \frac{94.2}{31.4}$
$r = 3 \, cm$.
अतः,आधार की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(C) बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = 94.2 \, cm^2$,$h = 5 \, cm$,और $\pi = 3.14$।
$94.2 = 2 \times 3.14 \times r \times 5$
$94.2 = 31.4 \times r$
$r = \frac{94.2}{31.4} = 3 \, cm$।
अब,बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = 3.14 \times (3)^2 \times 5$
$V = 3.14 \times 9 \times 5$
$V = 3.14 \times 45 = 141.3 \, cm^3$।
अतः,अभीष्ट आयतन $141.3 \, cm^3$ है।

(D) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम कुल लागत,दर और क्षेत्रफल के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं।
पेंटिंग की कुल लागत $= Rs. 2200$.
पेंटिंग की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$.
चूंकि,$\text{कुल लागत} = \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर}$,इसलिए:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$.
अतः,बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $110 \, m^2$ है।

(A) दिया गया है:
पेंटिंग की कुल लागत $= Rs. 2200$
पेंटिंग की दर $= Rs. 20 \, \text{प्रति} \, m^2$
बर्तन की गहराई (ऊंचाई) $(h)$ $= 10 \, m$
सबसे पहले, बेलनाकार बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करें:
$CSA = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi rh$ होता है।
ज्ञात मानों को रखने पर:
$110 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10$
$r$ के लिए हल करने पर:
$110 = \frac{440}{7} \times r$
$r = \frac{110 \times 7}{440}$
$r = \frac{7}{4} = 1.75 \, m$
अतः, आधार की त्रिज्या $1.75 \, m$ है।

(B) दिया गया है: बेलनाकार बर्तन की गहराई $(h) = 10\, m$. पेंटिंग का कुल खर्च = $Rs. 2200$. पेंटिंग की दर = $Rs. 20/m^2$.
सबसे पहले,बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करें:
$CSA = \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110\, m^2$.
बेलन के $CSA$ का सूत्र $2\pi rh = 110$ है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10 = 110$.
$r = \frac{110 \times 7}{2 \times 22 \times 10} = \frac{770}{440} = 1.75\, m$ या $\frac{7}{4}\, m$.
अब,बर्तन की धारिता (आयतन) ज्ञात करें:
$V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 10$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 10 = \frac{22 \times 7 \times 10}{16} = \frac{1540}{16} = 96.25\, m^3$.
चूंकि $1\, m^3 = 1\, kl$,इसलिए बर्तन की धारिता $96.25\, kl$ है।

(C) बेलनाकार बर्तन की धारिता $= 15.4 \, l$.
चूँकि $1 \, l = 1000 \, cm^{3}$,धारिता $= 15.4 \times 1000 \, cm^{3} = 15400 \, cm^{3}$.
घन मीटर में बदलने पर: $15400 \, cm^{3} = \frac{15400}{1000000} \, m^{3} = 0.0154 \, m^{3}$.
बेलन का आयतन $= \pi r^{2} h$,जहाँ $h = 1 \, m$.
$0.0154 = \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1$.
$r^{2} = \frac{0.0154 \times 7}{22} = 0.0007 \times 7 = 0.0049$.
$r = \sqrt{0.0049} = 0.07 \, m$.
बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r (h + r)$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1 + 0.07) \, m^{2}$.
$= 2 \times 22 \times 0.01 \times 1.07 \, m^{2}$.
$= 0.44 \times 1.07 \, m^{2} = 0.4708 \, m^{2}$.

(D) दिया गया है कि,$10 \,mm = 1 \,cm$,इसलिए $1 \,mm = 0.1 \,cm$.
ग्रेफाइट बेलन के लिए:
व्यास $= 1 \,mm = 0.1 \,cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.1}{2} \,cm = 0.05 \,cm$.
लंबाई $(h) = 14 \,cm$.
ग्रेफाइट का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.05)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.0025 \times 2 \,cm^3 = 0.11 \,cm^3$.
पेंसिल के लिए:
व्यास $= 7 \,mm = 0.7 \,cm$.
त्रिज्या $(R) = \frac{0.7}{2} \,cm = 0.35 \,cm$.
लंबाई $(h) = 14 \,cm$.
पेंसिल का आयतन $= \pi R^2 h = \frac{22}{7} \times (0.35)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.1225 \times 2 \,cm^3 = 5.39 \,cm^3$.
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन - ग्रेफाइट का आयतन
$= 5.39 \,cm^3 - 0.11 \,cm^3 = 5.28 \,cm^3$.
अतः,ग्रेफाइट का आयतन $0.11 \,cm^3$ है और लकड़ी का आयतन $5.28 \,cm^3$ है।

$(A)$ कटोरा बेलनाकार है।
आधार का व्यास $= 7 \, cm$.
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
ऊंचाई $(h) = 4 \, cm$.
एक कटोरे में सूप का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 4 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \, cm^3 = 11 \times 7 \times 2 \, cm^3 = 154 \, cm^3$.
$250$ मरीजों के लिए सूप का कुल आयतन $= 250 \times 154 \, cm^3 = 38500 \, cm^3$.
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में कुल आयतन $= \frac{38500}{1000} \, \text{लीटर} = 38.5 \, \text{लीटर}$.
अतः, अस्पताल को प्रतिदिन $38.5 \, \text{लीटर}$ सूप तैयार करने की आवश्यकता है।

(B) दिया है: ऊँचाई $(h) = 21 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 28 \, cm$।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करते हैं:
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{28^2 - 21^2} = \sqrt{784 - 441} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7} \, cm$।
अब,शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{7})^2 \times 21$।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 7 \times 21$।
$V = 22 \times 49 \times 7 = 7546 \, cm^3$।

(C) कैनवास का कुल क्षेत्रफल $551 \, m^2$ है। चूंकि $1 \, m^2$ बर्बादी में चला जाता है,इसलिए तंबू बनाने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $551 \, m^2 - 1 \, m^2 = 550 \, m^2$ है।
शंक्वाकार तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है। चूंकि आधार कैनवास से ढका नहीं है,इसलिए $\pi rl = 550 \, m^2$ है।
त्रिज्या $r = 7 \, m$ दी गई है,इसलिए $\frac{22}{7} \times 7 \times l = 550$।
$l$ के लिए हल करने पर,$22l = 550$,इसलिए $l = \frac{550}{22} = 25 \, m$।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊंचाई $h$ ज्ञात करते हैं: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, m$।
शंक्वाकार तंबू का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, m^3$।

(D) लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 6 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 7 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 36$
$V = 22 \times 12$
$V = 264 \, cm^3$
अतः,शंकु का आयतन $264 \, cm^3$ है।

(A) दिया गया है:
शंकु की त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm = \frac{35}{10} \, cm = \frac{7}{2} \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h) = 12 \, cm$.
लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{1}{2} \times 7 \times 6$
$V = 11 \times 14 = 154 \, cm^3$.
अतः,शंकु का आयतन $154 \, cm^3$ है।

(B) दिया है: त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 25 \, cm$ है।
सबसे पहले,हम संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, cm$ है।
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $V$ सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 24 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24 \, cm^3$
$V = 22 \times 7 \times 8 \, cm^3 = 1232 \, cm^3$ है।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, l$,इसलिए लीटर में धारिता:
$V = \frac{1232}{1000} \, l = 1.232 \, l$ है।
अतः,शंक्वाकार बर्तन की आवश्यक धारिता $1.232 \, l$ है।

(C) दिया है: ऊँचाई $(h) = 12 \,cm$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 13 \,cm$.
सबसे पहले,हम $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करते हैं।
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \,cm$.
अब,शंक्वाकार बर्तन का आयतन $(V)$ सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 12 \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12 = 22 \times 25 \times \frac{4}{7} = \frac{2200}{7} \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,इसलिए लीटर में धारिता $\frac{2200}{7 \times 1000} \,l = \frac{22}{70} \,l = \frac{11}{35} \,l$ है।
अतः,शंक्वाकार बर्तन की धारिता $\frac{11}{35} \,l$ है।

(D) दिया है,शंकु की ऊँचाई $(h) = 15 \, cm$.
शंकु का आयतन $(V) = 1570 \, cm^3$.
माना आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $1570 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times r^2 \times 15$.
समीकरण को सरल करने पर: $1570 = 3.14 \times r^2 \times 5$.
$1570 = 15.7 \times r^2$.
$r^2 = \frac{1570}{15.7} = 100$.
$r = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
अतः,आधार की त्रिज्या $10 \, cm$ है।

(A) शंकु का आयतन $= 48 \pi \, cm^3$ है।
शंकु की ऊँचाई $(h) = 9 \, cm$ है।
माना कि आधार की त्रिज्या $r$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 48 \pi$।
$3 \pi r^2 = 48 \pi$।
$r^2 = \frac{48 \pi}{3 \pi} = 16$।
$r = \sqrt{16} = 4 \, cm$।
आधार का व्यास $d = 2r = 2 \times 4 = 8 \, cm$ है।

(B) दिया गया है, शंक्वाकार गड्ढे का व्यास $= 3.5 \, m$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{3.5}{2} \, m = 1.75 \, m$ है।
गहराई $(h) = 12 \, m$ है।
शंकु का आयतन (धारिता) ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2 \times 12 \, m^3$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{20} \times \frac{35}{20} \times 12 \, m^3$ है।
$V = \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 4 \, m^3 = 38.5 \, m^3$ है।
हम जानते हैं कि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर} = 1 \, \text{किलोलीटर} (kl)$ होता है।
अतः, गड्ढे की धारिता $38.5 \, kl$ है।

(C) दिया गया है,शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$ है।
आधार का व्यास $= 28 \, cm$ है।
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{616}{3} \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{616}$.
$h = 16 \times 3 = 48 \, cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $48 \, cm$ है।

(D) शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$।
आधार का व्यास $= 28 \, cm$।
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$।
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$।
$9856 = \frac{616}{3} \times h$।
$h = \frac{9856 \times 3}{616} = 16 \times 3 = 48 \, cm$।
तिर्यक ऊँचाई $(\ell) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$।

(A) दिया है: शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$ और आधार का व्यास $= 28 \, cm$.
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 196 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 28 \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{22 \times 28} = \frac{29568}{616} = 48 \, cm$.
अब,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 14 \times 50 = 22 \times 2 \times 50 = 2200 \, cm^2$.

(B) समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $5 \, cm, 12 \, cm$ और $13 \, cm$ हैं।
चूँकि समकोण त्रिभुज को $12 \, cm$ वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है,इसलिए प्राप्त शंकु की ऊँचाई $h = 12 \, cm$ और आधार की त्रिज्या $r = 5 \, cm$ होगी।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 \, cm^3$
$V = \pi \times 25 \times 4 \, cm^3$
$V = 100 \pi \, cm^3$.
अतः,प्राप्त ठोस का आयतन $100 \pi \, cm^3$ है।

(C) $1$. जब त्रिभुज को $12 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है:
ऊंचाई $(h) = 12 \, cm$,त्रिज्या $(r) = 5 \, cm$.
आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 = 100 \pi \, cm^3$.
$2$. जब त्रिभुज को $5 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है:
ऊंचाई $(h) = 5 \, cm$,त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$.
आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times 5 = 240 \pi \, cm^3$.
$3$. आयतनों का अनुपात:
अनुपात $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{100 \pi}{240 \pi} = \frac{100}{240} = \frac{5}{12} = 5:12$.

(D) दिया है: शंक्वाकार ढेर का व्यास $= 10.5\, m$,अतः त्रिज्या $(r) = \frac{10.5}{2} = 5.25\, m$. ऊँचाई $(h) = 3\, m$.
$1$. ढेर का आयतन:
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^2 \times 3 = \frac{22}{7} \times 27.5625 = 86.625\, m^3$.
$2$. कैनवास का क्षेत्रफल:
आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\pi rl$ है।
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(5.25)^2 + 3^2} = \sqrt{27.5625 + 9} = \sqrt{36.5625} = 6.0467\, m$ (लगभग $6.05\, m$).
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = \frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.0467 = 99.825\, m^2$.
अतः,आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल $99.825\, m^2$ है।

(A) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 11.2 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (11.2)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1404.928 \, cm^3$
$V = \frac{123633.664}{21} \, cm^3$
$V \approx 5887.32 \, cm^3$.

(B) शॉट-पुट एक ठोस गोला है। गोले का द्रव्यमान उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चरण $1$: गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
यहाँ $r = 4.9 \, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.9)^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9$
$V = \frac{4}{3} \times 22 \times 0.7 \times 4.9 \times 4.9$
$V \approx 493.0 \, cm^3$.
चरण $2$: शॉट-पुट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
द्रव्यमान = आयतन $\times$ घनत्व
द्रव्यमान = $493.0 \, cm^3 \times 7.8 \, g/cm^3$
द्रव्यमान = $3845.4 \, g$.
चरण $3$: द्रव्यमान को किलोग्राम में परिवर्तित कीजिए।
चूंकि $1 \, kg = 1000 \, g$,
द्रव्यमान = $\frac{3845.4}{1000} \, kg \approx 3.85 \, kg$.

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$V = \frac{1}{3} \times 11 \times \frac{49}{2} = \frac{539}{6} \approx 89.83\, cm^{3}$.

(D) यहाँ,त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ दी गई है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \, cm^3$
$V = \frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3$
$V = \frac{4312}{3} \, cm^3$
अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:
$V = 1437 \frac{1}{3} \, cm^3$।
अतः,अभीष्ट आयतन $1437 \frac{1}{3} \, cm^3$ है।