Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) यहाँ,त्रिज्या $(r) = 0.63 \, m$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.63)^3 \, m^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} \times \frac{63 \times 63 \times 63}{1000000} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{21} \times \frac{250047}{1000000} \, m^3$
$V = 88 \times \frac{11907}{1000000} \, m^3$
$V = \frac{1047816}{1000000} \, m^3 = 1.047816 \, m^3$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन लगभग $1.05 \, m^3$ है।

(B) किसी ठोस वस्तु द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उस वस्तु के आयतन के बराबर होती है।
गेंद का व्यास $= 28 \, cm$.
गेंद की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$.
गोलाकार गेंद का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^3 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 2 \times 14 \times 14}{3} \, cm^3 = \frac{34496}{3} \, cm^3$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $34496 \div 3 = 11498$ और शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $= 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.
इस प्रकार,विस्थापित पानी की मात्रा $11498 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(C) किसी ठोस वस्तु द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उसके आयतन के बराबर होती है।
ठोस गोलाकार गेंद का व्यास $= 0.21 \, m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.21}{2} \, m = \frac{21}{200} \, m$.
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{21}{200} \right)^3 \, m^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \, m^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 200 \times 200 \times 200} \, m^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 3 \times 21 \times 21}{3 \times 8000000} \, m^3 = \frac{88 \times 441}{8000000} \, m^3 = \frac{38808}{8000000} \, m^3 = 0.004851 \, m^3$.

(D) दिया गया है: धात्विक गेंद का व्यास $= 4.2\, cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{4.2}{2}\, cm = 2.1\, cm$.
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3\, cm^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3$.
आयतन $= 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3 = 38.808\, cm^3$.
धातु का घनत्व $= 8.9\, g/cm^3$.
गेंद का द्रव्यमान $= \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 8.9\, g/cm^3 \times 38.808\, cm^3$.
द्रव्यमान $= 345.3912\, g \approx 345.39\, g$.
अतः,गेंद का द्रव्यमान लगभग $345.39\, g$ है।

(A) माना पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है और चंद्रमा की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का $\frac{1}{4}$ है,इसलिए चंद्रमा की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की $\frac{1}{4}$ होगी,अर्थात $r = \frac{R}{4}$।
गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
पृथ्वी का आयतन $(V_E)$ $= \frac{4}{3} \pi R^3$।
चंद्रमा का आयतन $(V_M)$ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R^3}{64}\right) = \frac{1}{64} \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$।
अतः,$V_M = \frac{1}{64} V_E$।
इस प्रकार,चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का $\frac{1}{64}$ भाग है।

(B) अर्धगोले का व्यास $= 10.5\, cm$ है।
अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = \frac{10.5}{2}\, cm = 5.25\, cm$ है।
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^3\, cm^3$ है।
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25\, cm^3 = 303.1875\, cm^3$ है।
चूंकि $1000\, cm^3 = 1\, l$ होता है,इसलिए लीटर में क्षमता $= \frac{303.1875}{1000}\, l = 0.3031875\, l$ है।
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,क्षमता लगभग $0.303\, l$ है।

(C) आंतरिक त्रिज्या $(r) = 1 \,m$.
मोटाई $= 1 \,cm = 0.01 \,m$.
बाह्य त्रिज्या $(R) = 1 \,m + 0.01 \,m = 1.01 \,m$.
प्रयुक्त लोहे का आयतन अर्धगोलाकार खोल के बाह्य आयतन और आंतरिक आयतन का अंतर है।
लोहे का आयतन $= \frac{2}{3} \pi R^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times ((1.01)^3 - (1)^3) \,m^3$.
आयतन $= \frac{44}{21} \times (1.030301 - 1) \,m^3$.
आयतन $= \frac{44}{21} \times 0.030301 \,m^3 \approx 0.06348 \,m^3$.

(D) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^2$ होता है।
दिया गया है,$4 \pi r^2 = 154$.
$r^2 = \frac{154}{4 \pi} = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{7 \times 7}{4} = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
अतः,$r = \frac{7}{2} \, cm$.
अब,गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^3 \, cm^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^3$.
$V = \frac{11 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3 = \frac{539}{3} \, cm^3 = 179 \frac{2}{3} \, cm^3$.
इस प्रकार,गोले का अभीष्ट आयतन $179 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(A) सफेदी की कुल लागत $= Rs. 4989.60$
सफेदी की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$
हम जानते हैं कि,$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}}$
$\text{आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$
अतः,गुंबद का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $249.48 \, m^2$ है।

(B) सफेदी कराने का कुल खर्च $= Rs. 4989.60$; सफेदी कराने की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$.
$\therefore \text{आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$.
माना अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $r$ है।
$\therefore$ आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 249.48$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 249.48 \Rightarrow r^2 = \frac{249.48 \times 7}{2 \times 22} = 39.69$.
$r = \sqrt{39.69} = 6.3 \, m$.
गुंबद के अंदर हवा का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^3$.
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 = 523.908 \, m^3$.
अतः,गुंबद के अंदर हवा का आयतन लगभग $523.9 \, m^3$ है।

(C) माना कि प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और नए बड़े गोले की त्रिज्या $r^{\prime}$ है।
एक छोटे गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
$27$ छोटे गोलों का कुल आयतन $27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होगा।
जब इन्हें पिघलाकर $r^{\prime}$ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया जाता है,तो नए गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3}$ होगा।
चूंकि पिघलाने की प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है,इसलिए:
$\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3} = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(r^{\prime})^{3} = 27 r^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r^{\prime} = \sqrt[3]{27 r^{3}} = 3r$.
अतः,नए गोले की त्रिज्या $3r$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और नए बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है।
यह दिया गया है कि $27$ छोटे गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है।
$27$ छोटे गोलों का आयतन $= 27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$।
बड़े गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3$।
आयतन की तुलना करने पर: $27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$27 r^3 = R^3$,जिसका अर्थ है $R = 3r$।
छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 4 \pi R^2 = 4 \pi (3r)^2 = 4 \pi (9r^2) = 36 \pi r^2$ है।
अब,अनुपात $S : S' = \frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2} = \frac{1}{9}$।
अतः,अनुपात $1: 9$ है।

(A) गोलाकार कैप्सूल का व्यास $d = 3.5 \, mm$ है।
कैप्सूल की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, mm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{4}\right)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 7}{4 \times 4 \times 4} \, mm^3$
$V = \frac{22 \times 7 \times 7}{3 \times 4 \times 4} \, mm^3 = \frac{1078}{48} \, mm^3 \approx 22.4583 \, mm^3$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन लगभग $22.46 \, mm^3$ है।

(A) $1$. पॉलिश की जाने वाली बाहरी सतह का क्षेत्रफल:
बाहरी आयाम: $H = 110\, cm, B = 85\, cm, D = 25\, cm$.
बाहरी सतह का क्षेत्रफल (सामने के हिस्से को छोड़कर) $= 2(H \times D) + (B \times D) + 2(H \times B) = 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) = 5500 + 2125 + 18700 = 26325\, cm^2$.
सामने की सतह का क्षेत्रफल (ओपनिंग को छोड़कर) $= 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) - 3(100 \times 75) = 3825\, cm^2$.
$2$. पेंट की जाने वाली आंतरिक सतह का क्षेत्रफल:
प्रत्येक शेल्फ के आंतरिक आयाम: $H' = 30\, cm, B' = 75\, cm, D' = 20\, cm$.
$3$ शेल्फ का क्षेत्रफल $= 3 \times [2(H' \times D') + (B' \times D') + 2(H' \times B')] = 3 \times [2(30 \times 20) + (75 \times 20) + 2(30 \times 75)] = 3 \times [1200 + 1500 + 4500] = 3 \times 7200 = 21600\, cm^2$.
$3$. कुल खर्च:
पॉलिश करने का खर्च $= 3825 \times 0.20 = ₹ 765$.
पेंट करने का खर्च $= 21600 \times 0.10 = ₹ 2160$.
कुल खर्च $= 765 + 2160 = ₹ 2925$.

(N/A) $1$. गोलों के लिए:
प्रत्येक गोले का व्यास = $21 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 10.5 \, cm$ है।
एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386 \, cm^2$ है।
हालाँकि,गोले का एक छोटा हिस्सा आधार द्वारा ढका हुआ है। आधार $1.5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक बेलन है। गोले पर ढके हुए वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi \times (1.5)^2 = \frac{22}{7} \times 2.25 \approx 7.07 \, cm^2$ है।
प्रति गोला सिल्वर रंगने योग्य क्षेत्रफल = $1386 - 7.07 = 1378.93 \, cm^2$ है।
$8$ गोलों के लिए,कुल सिल्वर क्षेत्रफल = $8 \times 1378.93 = 11031.44 \, cm^2$ है।
सिल्वर पेंट की लागत = $11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$ है।
$2$. आधारों के लिए:
प्रत्येक आधार $r = 1.5 \, cm$ त्रिज्या और $h = 7 \, cm$ ऊंचाई वाला एक बेलन है।
एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66 \, cm^2$ है।
$8$ आधारों के लिए काला रंगने योग्य कुल क्षेत्रफल = $8 \times 66 = 528 \, cm^2$ है।
काले पेंट की लागत = $528 \times 0.05 = ₹ 26.40$ है।
कुल लागत = $2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$ है।

(A) माना गोले का प्रारंभिक व्यास $D_1$ है। अतः प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = D_1 / 2$ है।
प्रारंभिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r_1^2$ है।
जब व्यास को $25\%$ कम किया जाता है,तो नया व्यास $D_2 = D_1 - 0.25 D_1 = 0.75 D_1$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r_2 = D_2 / 2 = 0.75 (D_1 / 2) = 0.75 r_1$ है।
नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi (0.75 r_1)^2 = 4 \pi (0.5625 r_1^2) = 0.5625 A_1$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी $A_1 - A_2 = A_1 - 0.5625 A_1 = 0.4375 A_1$ है।
प्रतिशत कमी $((A_1 - A_2) / A_1) \times 100\% = 0.4375 \times 100\% = 43.75\%$ है।