Mix Examples - Statistics and Probability Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $50$ प्रेक्षणों का माध्य $80.4$ है।
$\text{प्रेक्षणों का योग} = \text{माध्य} \times \text{प्रेक्षणों की संख्या} = 80.4 \times 50 = 4020$.
यह पता चला कि $96$ को गलती से $69$ पढ़ लिया गया था। सही योग ज्ञात करने के लिए,हम गलत मान को घटाएंगे और सही मान को जोड़ेंगे:
$\text{सही योग} = 4020 - 69 + 96 = 4047$.
अब,सही माध्य की गणना करें:
$\text{सही माध्य} = \frac{\text{सही योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{4047}{50} = 80.94$.

(A) दिए गए प्रेक्षण $6, 14, 15, 17, x+1, 2x-13, 30, 32, 34, 43$ हैं,जो पहले से ही आरोही क्रम में हैं।
यहाँ,प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है,जो एक सम संख्या है।
जब प्रेक्षणों की संख्या सम होती है,तो माध्यक $(\frac{n}{2})$ वें पद और $(\frac{n}{2} + 1)$ वें पद का औसत होता है।
माध्यक $= \frac{5 \text{ वां पद} + 6 \text{ वां पद}}{2}$.
यहाँ $5$ वां पद $(x+1)$ है और $6$ वां पद $(2x-13)$ है,इसलिए:
माध्यक $= \frac{(x+1) + (2x-13)}{2} = \frac{3x-12}{2}$.
दिया गया है कि माध्यक $24$ है,इसलिए:
$\frac{3x-12}{2} = 24$.
$3x - 12 = 48$.
$3x = 48 + 12 = 60$.
$x = \frac{60}{3} = 20$.
अतः,$x$ का मान $20$ है।

(C) सबसे पहले,दिए गए डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$2, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 14, 17, 18, 24, 25, 27, 28, 48$
बहुलक ज्ञात करने के लिए,वह मान पहचानें जो सबसे अधिक बार आता है। मान $10$,$3$ बार आता है,जो किसी भी अन्य मान से अधिक है।
इसलिए,डेटा का बहुलक $= 10$ है।
माध्यिका ज्ञात करने के लिए,अवलोकनों की कुल संख्या गिनें,$n = 16$ (जो एक सम संख्या है)।
माध्यिका $(\frac{n}{2})$ वें मान और $(\frac{n}{2} + 1)$ वें मान का औसत होती है।
माध्यिका $= 8$ वें मान और $9$ वें मान का औसत।
$8$ वां मान $10$ है और $9$ वां मान $14$ है।
माध्यिका $= \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।
अतः,माध्यिका $12$ है और बहुलक $10$ है।

(N/A) दिए गए आयतचित्र से बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम x-अक्ष पर प्रत्येक वर्ग अंतराल के संगत स्तंभ की ऊँचाई का अवलोकन करते हैं।

वर्ग अंतराल (दैनिक वेतन रुपयों में)	बारंबारता (श्रमिकों की संख्या)
$150-200$	$50$
$200-250$	$30$
$250-300$	$35$
$300-350$	$20$
$350-400$	$10$
कुल	$145$

(N/A) दिए गए बारंबारता वितरण में,वर्ग अंतराल समान चौड़ाई के नहीं हैं। इसलिए,हमें आयतचित्र में आयतों की लंबाई में संशोधन करना होगा ताकि आयतों का क्षेत्रफल बारंबारता के समानुपाती हो। न्यूनतम वर्ग चौड़ाई $50$ है। हम समायोजित लंबाई (बारंबारता घनत्व) की गणना इस प्रकार करते हैं: $\text{आयत की लंबाई} = \frac{\text{न्यूनतम वर्ग चौड़ाई}}{\text{वर्ग चौड़ाई}} \times \text{बारंबारता}$।

अंक	बारंबारता	वर्ग की चौड़ाई	आयत की लंबाई
$100-150$	$60$	$50$	$\frac{50}{50} \times 60 = 60$
$150-200$	$100$	$50$	$\frac{50}{50} \times 100 = 100$
$200-300$	$100$	$100$	$\frac{50}{100} \times 100 = 50$
$300-500$	$80$	$200$	$\frac{50}{200} \times 80 = 20$
$500-800$	$180$	$300$	$\frac{50}{300} \times 180 = 30$

अब,हम अंतिम कॉलम में दी गई लंबाइयों के साथ आयत खींचते हैं। डेटा का आयतचित्र नीचे दिया गया है।

(32) वर्गीकृत बारंबारता बंटन बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल में छात्रों की संख्या गिनते हैं:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
$0-9$	$1$
$10-19$	$2$
$20-29$	$4$
$30-39$	$6$
$40-49$	$15$
$50-59$	$12$
$60-69$	$10$
$70-79$	$6$
$80-89$	$3$
$90-99$	$1$
कुल	$60$

$49$ से अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $50-59, 60-69, 70-79, 80-89$ और $90-99$ वर्गों की बारंबारताओं का योग करते हैं।
छात्रों की संख्या $= 12 + 10 + 6 + 3 + 1 = 32$.

वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम $0-9$ से शुरू होने वाले $10$ की वर्ग माप वाले वर्ग अंतराल निर्धारित करते हैं। ये अंतराल $0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99$ हैं।
प्रत्येक अंतराल के लिए अंकों की गणना करने पर,हमें निम्नलिखित बारंबारता बंटन सारणी प्राप्त होती है:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
$0-9$	$4$
$10-19$	$7$
$20-29$	$5$
$30-39$	$8$
$40-49$	$5$
$50-59$	$8$
$60-69$	$5$
$70-79$	$9$
$80-89$	$6$
$90-99$	$3$

(N/A) वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम $10$ की वर्ग चौड़ाई वाले प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले छात्रों की संख्या गिनते हैं। डेटा का वितरण इस प्रकार है:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
$0-10$	$4$
$10-20$	$7$
$20-30$	$5$
$30-40$	$6$
$40-50$	$5$
$50-60$	$8$
$60-70$	$5$
$70-80$	$8$
$80-90$	$5$
$90-100$	$7$

(N/A) दिए गए बारंबारता वितरण के लिए आयतचित्र खींचने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल (ऊंचाई $cm$ में) को निरूपित करें।
$2$. $y$-अक्ष पर संबंधित बारंबारता (छात्रों की संख्या) को निरूपित करें।
$3$. चूंकि वर्ग अंतराल सतत हैं,इसलिए प्रत्येक अंतराल के लिए समान चौड़ाई के आयताकार दंड खींचें,जिनकी ऊंचाई उनकी संबंधित बारंबारता के बराबर हो।
$4$. परिणामी आयतचित्र दी गई आकृति में दर्शाया गया है।

(N/A) दिया गया बारंबारता वितरण समावेशी (inclusive) रूप में है। आयतचित्र खींचने के लिए,हमें पहले इसे अपवर्जी (exclusive/continuous) रूप में बदलना होगा। इसके लिए हम समायोजन कारक (adjustment factor) की गणना करते हैं: $\frac{\text{अगले वर्ग की निचली सीमा} - \text{वर्तमान वर्ग की ऊपरी सीमा}}{2} = \frac{25-24}{2} = 0.5$। प्रत्येक निचली सीमा से $0.5$ घटाएं और प्रत्येक ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ें।

आयु (वर्षों में)	शिक्षकों की संख्या
$19.5-24.5$	$10$
$24.5-29.5$	$28$
$29.5-34.5$	$32$
$34.5-39.5$	$48$
$39.5-44.5$	$50$
$44.5-49.5$	$35$
$49.5-54.5$	$12$

अब,आयतचित्र बनाने के लिए $x$-अक्ष पर आयु और $y$-अक्ष पर शिक्षकों की संख्या को आलेखित करें।

(N/A) दी गई तालिका समावेशी (inclusive) रूप में है। आयतचित्र खींचने के लिए,हमें पहले इसे अपवर्जी (exclusive) रूप में बदलना होगा। इसके लिए,हम एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं। यहाँ,अंतर $127 - 126 = 1$ है। इसलिए,हम प्रत्येक निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और प्रत्येक ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।

लंबाई (mm में)	पत्तियों की संख्या
$117.5-126.5$	$8$
$126.5-135.5$	$10$
$135.5-144.5$	$12$
$144.5-153.5$	$17$
$153.5-162.5$	$7$
$162.5-171.5$	$5$
$171.5-180.5$	$3$

इस डेटा के लिए एक आयतचित्र आकृति में दिखाया गया है।

(N/A) यहाँ,वर्ग अंतराल की चौड़ाई असमान है। इसलिए,हम प्रत्येक वर्ग की समायोजित आवृत्ति (Adjusted frequency) की गणना करेंगे। न्यूनतम वर्ग आकार $20-10=10$ है। समायोजित आवृत्ति की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$\text{समायोजित आवृत्ति} = \frac{\text{न्यूनतम वर्ग आकार}}{\text{वर्ग आकार}} \times \text{वर्ग की आवृत्ति}$
समायोजित आवृत्तियों की गणना निम्नलिखित तालिका में की गई है:

अंक	छात्रों की संख्या (आवृत्ति)	समायोजित आवृत्ति
$10-20$	$6$	$\frac{10}{10} \times 6 = 6$
$20-30$	$17$	$\frac{10}{10} \times 17 = 17$
$30-50$	$15$	$\frac{10}{20} \times 15 = 7.5$
$50-70$	$16$	$\frac{10}{20} \times 16 = 8$
$70-100$	$26$	$\frac{10}{30} \times 26 \approx 8.67$

अब,हम वर्ग सीमाओं को आधार के रूप में और संबंधित समायोजित आवृत्तियों को ऊँचाई के रूप में लेकर आयत बनाते हैं।

(N/A) आयतचित्र और आवृत्ति बहुभुज खींचने के लिए:
$1$. $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल $(km/h)$ और $y$-अक्ष पर आवृत्ति को दर्शाएं।
$2$. वर्ग अंतराल के बराबर चौड़ाई और आवृत्ति के अनुपात में ऊंचाई वाले आयत बनाकर आयतचित्र तैयार करें।
$3$. आवृत्ति बहुभुज खींचने के लिए,आयतचित्र के प्रत्येक आयत की ऊपरी भुजा के मध्य-बिंदुओं को चिह्नित करें।
$4$. इन मध्य-बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ें। बहुभुज को पूरा करने के लिए,पहले और अंतिम मध्य-बिंदु को $x$-अक्ष पर पिछले और अगले काल्पनिक वर्ग अंतरालों (जिनकी आवृत्ति $0$ है) के मध्य-बिंदुओं से जोड़ें।

(N/A) हिस्टोग्राम के बिना आवृत्ति बहुभुज खींचने के लिए,हम पहले प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (मध्य-बिंदु) की गणना करते हैं।

वर्ग अंतराल $(km/h)$	वर्ग चिह्न	आवृत्ति
$30-40$	$35$	$3$
$40-50$	$45$	$6$
$50-60$	$55$	$25$
$60-70$	$65$	$65$
$70-80$	$75$	$50$
$80-90$	$85$	$28$
$90-100$	$95$	$14$

$1$. ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(35, 3), (45, 6), (55, 25), (65, 65), (75, 50), (85, 28)$ और $(95, 14)$ को अंकित करें।
$2$. बहुभुज को बंद करने के लिए,शून्य आवृत्ति वाले दो अतिरिक्त वर्ग अंतराल शामिल करें: $20-30$ (मध्य-बिंदु $25$) और $100-110$ (मध्य-बिंदु $105$)।
$3$. आवृत्ति बहुभुज प्राप्त करने के लिए बिंदुओं $(25, 0), (35, 3), (45, 6), (55, 25), (65, 65), (75, 50), (85, 28), (95, 14)$ और $(105, 0)$ को रेखाखंडों द्वारा जोड़ें।

(N/A) बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए,हम पहले प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (मध्य-बिंदु) की गणना करते हैं:

अंक	वर्ग चिह्न	अनुभाग $A$ की बारंबारता	अनुभाग $B$ की बारंबारता
$0-15$	$7.5$	$3$	$3$
$15-30$	$22.5$	$12$	$16$
$30-45$	$37.5$	$28$	$25$
$45-60$	$52.5$	$30$	$27$
$60-75$	$67.5$	$35$	$40$
$75-90$	$82.5$	$13$	$10$

$1$. अनुभाग $A$ के लिए,हम बिंदुओं $(7.5, 3), (22.5, 12), (37.5, 28), (52.5, 30), (67.5, 35), (82.5, 13)$ को आलेखित करते हैं और उन्हें ठोस रेखा खंडों से जोड़ते हैं।
$2$. अनुभाग $B$ के लिए,हम बिंदुओं $(7.5, 3), (22.5, 16), (37.5, 25), (52.5, 27), (67.5, 40), (82.5, 10)$ को उसी ग्राफ पर आलेखित करते हैं और उन्हें बिंदुदार रेखा खंडों से जोड़ते हैं।
$3$. अवलोकन: अनुभाग $B$ का बारंबारता बहुभुज $60-75$ अंकों की सीमा में अनुभाग $A$ की तुलना में अधिक ऊँचा है,जो दर्शाता है कि अनुभाग $B$ के अधिक छात्रों ने उस सीमा में उच्च अंक प्राप्त किए हैं। कुल मिलाकर,उच्च अंकों के वर्ग में अनुभाग $B$ का प्रदर्शन बेहतर है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।
आवृत्ति सारणी बनाने पर:

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$
$10$	$17$	$170$
$30$	$5a+3$	$150a+90$
$50$	$32$	$1600$
$70$	$7a-11$	$490a-770$
$90$	$19$	$1710$
कुल	$\sum f_i = 12a + 60$	$\sum f_i x_i = 640a + 2710$

दिया गया है कि $\bar{x} = 50$,इसलिए:
$50 = \frac{640a + 2710}{12a + 60}$
$50(12a + 60) = 640a + 2710$
$600a + 3000 = 640a + 2710$
$3000 - 2710 = 640a - 600a$
$290 = 40a$
$a = \frac{290}{40} = 7.25$
$30$ की आवृत्ति $= 5(7.25) + 3 = 36.25 + 3 = 39.25$
$70$ की आवृत्ति $= 7(7.25) - 11 = 50.75 - 11 = 39.75$

(D) माना लड़कों की संख्या $n_1$ है और लड़कियों की संख्या $n_2$ है।
संयुक्त माध्य के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
यहाँ $\bar{x}_1 = 70$,$\bar{x}_2 = 73$ और संयुक्त माध्य $\bar{x} = 71$ दिया गया है:
$71 = \frac{n_1 \times 70 + n_2 \times 73}{n_1 + n_2}$
दोनों पक्षों को $(n_1 + n_2)$ से गुणा करने पर:
$71(n_1 + n_2) = 70n_1 + 73n_2$
$71n_1 + 71n_2 = 70n_1 + 73n_2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$71n_1 - 70n_1 = 73n_2 - 71n_2$
$n_1 = 2n_2$
अतः,लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का अनुपात:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{1}$
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $2 : 1$ है।

(N/A) माध्य: सभी प्रेक्षणों का योग $= 87+71+83+67+85+77+69+76+65+85+85+54+70+68+80+73+78+68+85+73+81+78+81+77+75 = 1891$
प्रेक्षणों की संख्या,$n = 25$
$\text{माध्य } (\bar{x}) = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1891}{25} = 75.64$
माध्यिका: प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$54, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 73, 73, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 80, 81, 81, 83, 85, 85, 85, 85, 87$
चूंकि $n = 25$ (विषम संख्या) है,माध्यिका $= \left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ पद है।
$\text{माध्यिका} = \left(\frac{25+1}{2}\right)^{th} = 13^{th}$ पद।
क्रमबद्ध श्रृंखला में $13^{th}$ पद $77$ है।
बहुलक: वह प्रेक्षण जो सबसे अधिक बार आता है,बहुलक कहलाता है।
$85$ कुल $4$ बार आता है,जो सबसे अधिक आवृत्ति है।
$\text{बहुलक} = 85$.
अंतिम उत्तर: $\text{माध्य} = 75.64, \text{माध्यिका} = 77, \text{बहुलक} = 85$.

(N/A) प्राथमिक आँकड़े वे आँकड़े होते हैं जिन्हें अन्वेषक द्वारा स्वयं किसी विशिष्ट उद्देश्य के लिए एकत्र किया जाता है। दैनिक जीवन से प्राथमिक आँकड़ों के पाँच उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. आपकी कक्षा में चश्मा पहनने वाले विद्यार्थियों की संख्या।
$2$. आपके पड़ोस के घरों में रहने वाले सदस्यों की संख्या।
$3$. एक सप्ताह तक आप प्रतिदिन पढ़ाई में कितने घंटे बिताते हैं,इसकी संख्या।
$4$. किसी विशिष्ट घंटे के दौरान आपकी गली से गुजरने वाले वाहनों की संख्या।
$5$. आपकी पसंदीदा फुटबॉल टीम द्वारा उनके पिछले $5$ मैचों में किए गए गोलों की संख्या।

(N/A) द्वितीयक आंकड़े (secondary data) उन सूचनाओं को संदर्भित करते हैं जिन्हें पहले ही किसी अन्य व्यक्ति द्वारा किसी भिन्न उद्देश्य के लिए एकत्रित किया गया हो और अब आप उनका उपयोग कर रहे हों। दैनिक जीवन से द्वितीयक आंकड़ों के पाँच उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. जनगणना वेबसाइट से प्राप्त आपके शहर की जनसंख्या संबंधी आंकड़े।
$2$. किसी खेल वेबसाइट से प्राप्त खिलाड़ियों के क्रिकेट आंकड़े (जैसे बल्लेबाजी औसत,स्ट्राइक रेट)।
$3$. समाचार पत्र या मौसम ऐप से प्राप्त पिछले सप्ताह के मौसम की रिपोर्ट और तापमान के रिकॉर्ड।
$4$. पैकेटबंद खाद्य पदार्थों के लेबल पर छपी पोषण संबंधी जानकारी (जैसे कैलोरी,वसा की मात्रा)।
$5$. वित्तीय समाचार चैनल या वेबसाइट से प्राप्त शेयर बाजार की कीमतें या मुद्रा विनिमय दरें।

डेटा को बारंबारता वितरण सारणी में प्रदर्शित करने के लिए,हम प्रत्येक अंक की आवृत्ति (कितनी बार आया है) की गणना करते हैं।

अंक	छात्रों की संख्या
$10$	$1$
$16$	$2$
$20$	$4$
$22$	$4$
$27$	$3$
$31$	$3$
$35$	$3$
$37$	$3$
$40$	$3$
$42$	$2$
$47$	$2$
कुल	$30$

(N/A) आंकड़ों को वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी में निरूपित करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले छात्रों की संख्या की गणना करते हैं। ध्यान दें कि $0-10$ जैसे अंतराल के लिए,$10$ का मान अगले अंतराल $10-20$ में शामिल किया जाता है।

अंक (वर्ग अंतराल)	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$0-10$	$2$
$10-20$	$5$
$20-30$	$6$
$30-40$	$5$
$40-50$	$4$
$50-60$	$7$
$60-70$	$8$
$70-80$	$5$
$80-90$	$5$
$90-100$	$3$
कुल	$50$

(N/A) आंकड़ों को वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी में निरूपित करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले प्रेक्षणों की संख्या गिनते हैं। ध्यान दें कि वर्ग की ऊपरी सीमा को उस वर्ग में शामिल नहीं किया जाता है (उदाहरण के लिए,$18-22$ में $18$ से $21$ तक के मान शामिल हैं)।
$1$. $18-22$ के लिए: $20, 21, 20, 20, 20$ (कुल: $5$)
$2$. $22-26$ के लिए: $22, 24, 25, 24, 25, 25$ (कुल: $6$)
$3$. $26-30$ के लिए: $27, 28, 27, 27, 29, 29, 28, 28, 27$ (कुल: $9$)
$4$. $30-34$ के लिए: $30, 30, 30, 32, 31$ (कुल: $5$)
$5$. $34-38$ के लिए: $37, 36, 36, 34, 35$ (कुल: $5$)

पुस्तकों की संख्या (वर्ग)	अलमारियों की संख्या (बारंबारता)
$18-22$	$5$
$22-26$	$6$
$26-30$	$9$
$30-34$	$5$
$34-38$	$5$

(N/A) वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले छात्रों की संख्या गिनते हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक वर्ग की ऊपरी सीमा को शामिल नहीं किया जाता है (उदाहरण के लिए,$5$ को $5-10$ में गिना जाता है,$0-5$ में नहीं)।
$1$. $0-5$: $1, 2, 2, 3, 3$ (बारंबारता: $5$)
$2$. $5-10$: $5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9$ (बारंबारता: $11$)
$3$. $10-15$: $10, 12, 12, 12, 13, 13, 13$ (बारंबारता: $7$)
$4$. $15-20$: $15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18$ (बारंबारता: $9$)
$5$. $20-25$: $20, 20, 21, 21, 23, 23, 23, 24$ (बारंबारता: $8$)
कुल बारंबारता: $5 + 11 + 7 + 9 + 8 = 40$.

अंक (वर्ग अंतराल)	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$0-5$	$5$
$5-10$	$11$
$10-15$	$7$
$15-20$	$9$
$20-25$	$8$

(A) बारंबारता बंटन सारणी तैयार करने के लिए,हम चितों की प्रत्येक संभावित संख्या $(0, 1, 2, 3)$ की बारंबारता की गणना करते हैं:
- $0$ चित: $6$ बार आता है।
- $1$ चित: $10$ बार आता है।
- $2$ चित: $9$ बार आता है।
- $3$ चित: $5$ बार आता है।
कुल योग = $6 + 10 + 9 + 5 = 30$.

चितों की संख्या	बारंबारता (उछालों की संख्या)
$0$	$6$
$1$	$10$
$2$	$9$
$3$	$5$
कुल	$30$

वर्गीकृत बारंबारता वितरण तैयार करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए बारंबारता की गणना करते हैं,जिसमें उच्च श्रेणी के छात्रों की संख्या को निचली श्रेणी से घटाया जाता है।
$1$. $0-20$ के लिए: $50 - 48 = 2$
$2$. $20-40$ के लिए: $48 - 40 = 8$
$3$. $40-60$ के लिए: $40 - 31 = 9$
$4$. $60-80$ के लिए: $31 - 10 = 21$
$5$. $80-100$ के लिए: चूंकि $10$ छात्रों ने $80$ या उससे अधिक अंक प्राप्त किए हैं,इसलिए $80-100$ के लिए बारंबारता $10$ है।

प्राप्त अंक (वर्ग)	$0-20$	$20-40$	$40-60$	$60-80$	$80-100$
छात्रों की संख्या (बारंबारता)	$2$	$8$	$9$	$21$	$10$

(N/A) दी गई जानकारी को दंड आलेख द्वारा प्रदर्शित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. दो परस्पर लंबवत अक्ष खींचिए,$X$-अक्ष (क्षैतिज) और $Y$-अक्ष (ऊर्ध्वाधर)।
$2$. $X$-अक्ष पर,'मंजिल' संख्या $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ को समान अंतराल पर अंकित कीजिए।
$3$. $Y$-अक्ष पर,'कर्मचारियों की संख्या' को दर्शाइए। एक उपयुक्त पैमाना चुनिए,उदाहरण के लिए,$1 \text{ सेमी} = 5 \text{ कर्मचारी}$।
$4$. प्रत्येक मंजिल के लिए समान चौड़ाई के दंड (bars) खींचिए,जिनकी ऊँचाई तालिका में दी गई कर्मचारियों की संख्या के अनुरूप हो।
- मंजिल $1$ के लिए,$51$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।
- मंजिल $2$ के लिए,$48$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।
- मंजिल $3$ के लिए,$42$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।
- मंजिल $4$ के लिए,$44$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।
- मंजिल $5$ के लिए,$48$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।
- मंजिल $6$ के लिए,$32$ इकाई ऊँचाई का दंड खींचिए।

(N/A) दिए गए डेटा को आयतचित्र द्वारा निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. दो लंबवत अक्ष,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष खींचें।
$2$. $X$-अक्ष पर,'प्राप्त अंक' को उपयुक्त पैमाने के साथ दर्शाएं (जैसे,$1$ सेमी = $10$ इकाई)।
$3$. $Y$-अक्ष पर,'छात्रों की संख्या' को उपयुक्त पैमाने के साथ दर्शाएं (जैसे,$1$ सेमी = $1$ इकाई)।
$4$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए आयताकार दंड (bars) बनाएं ताकि दंड की चौड़ाई वर्ग अंतराल के बराबर हो और ऊंचाई उस वर्ग की बारंबारता के समानुपाती हो।
$5$. चूंकि वर्ग अंतराल सतत हैं,इसलिए दंड एक-दूसरे से सटे हुए होंगे।
परिणामी आयतचित्र दिए गए ग्राफ में दिखाए अनुसार विभिन्न अंक श्रेणियों में छात्रों का वितरण दर्शाता है।

यहाँ,वर्ग अंतरालों की चौड़ाई असमान है। इसलिए,हमें पहले प्रत्येक वर्ग के लिए समायोजित बारंबारता (adjusted frequency) की गणना करनी होगी। न्यूनतम वर्ग माप $5 - 0 = 5$ है। समायोजित बारंबारता की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$\text{वर्ग की समायोजित बारंबारता} = \frac{\text{वर्ग की बारंबारता}}{\text{वर्ग माप}} \times \text{न्यूनतम वर्ग माप}$
समायोजित बारंबारता की गणना नीचे दी गई तालिका में की गई है:

वर्ग	बारंबारता	वर्ग माप	समायोजित बारंबारता (आयत की ऊँचाई)
$0-5$	$5$	$5$	$(5/5) \times 5 = 5$
$5-10$	$7$	$5$	$(7/5) \times 5 = 7$
$10-20$	$12$	$10$	$(12/10) \times 5 = 6$
$20-30$	$16$	$10$	$(16/10) \times 5 = 8$
$30-50$	$24$	$20$	$(24/20) \times 5 = 6$
$50-70$	$16$	$20$	$(16/20) \times 5 = 4$

इन समायोजित बारंबारताओं का उपयोग करके,हम आयतचित्र बनाते हैं जहाँ $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल और $y$-अक्ष पर समायोजित बारंबारताएँ (आयत की ऊँचाई) दर्शाई जाती हैं।

(N/A) आवृत्ति बहुभुज खींचने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (मध्य-मान) की गणना करते हैं।

वर्ग	मध्य-मान	आवृत्ति
$10-20$	$15$	$1$
$20-30$	$25$	$4$
$30-40$	$35$	$5$
$40-50$	$45$	$10$
$50-60$	$55$	$5$
$60-70$	$65$	$4$
$70-80$	$75$	$1$

बहुभुज को बंद करने के लिए,हम दो काल्पनिक वर्गों को शामिल करते हैं: $0-10$ जिसका मध्य-मान $5$ और आवृत्ति $0$ है,और $80-90$ जिसका मध्य-मान $85$ और आवृत्ति $0$ है। इन बिंदुओं $(5, 0), (15, 1), (25, 4), (35, 5), (45, 10), (55, 5), (65, 4), (75, 1), (85, 0)$ को ग्राफ पर अंकित करें और उन्हें रेखाखंडों द्वारा जोड़ें।

(N/A) दिए गए डेटा को दंड आलेख द्वारा प्रदर्शित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. दो लंबवत अक्ष खींचें: क्षैतिज अक्ष ($x$-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष)।
$2$. $x$-अक्ष पर,विद्यार्थियों के नाम (काव्या,अरीव,अहान,आर्या,आरुषि) को समान अंतराल पर अंकित करें।
$3$. $y$-अक्ष पर,प्राप्त अंकों को दर्शाने के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें। उदाहरण के लिए,$1 \text{ इकाई} = 10 \text{ अंक}$।
$4$. प्रत्येक विद्यार्थी के लिए समान चौड़ाई के दंड (bars) खींचें,जिनकी ऊँचाई उनके द्वारा प्राप्त अंकों के बराबर हो:
- काव्या: $90$
- अरीव: $80$
- अहान: $50$
- आर्या: $60$
- आरुषि: $40$
$5$. सुनिश्चित करें कि दंडों के बीच की दूरी समान हो।

(N/A) दिए गए डेटा को दंड आरेख द्वारा प्रदर्शित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. ग्राफ पेपर पर दो लंबवत अक्ष खींचें: एक क्षैतिज अक्ष ($X$-अक्ष) और एक ऊर्ध्वाधर अक्ष ($Y$-अक्ष)।
$2$. $X$-अक्ष पर,'स्कोर' मानों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ को समान अंतराल पर दर्शाएं।
$3$. $Y$-अक्ष पर,'आवृत्ति' को दर्शाने के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें। उदाहरण के लिए,$1 \text{ इकाई} = 2 \text{ आवृत्ति इकाइयाँ}$।
$4$. प्रत्येक स्कोर के लिए समान चौड़ाई के आयताकार दंड खींचें,जहाँ दंड की ऊँचाई उसकी संबंधित आवृत्ति के अनुरूप हो:
- स्कोर $1$ के लिए,$15$ ऊँचाई का दंड खींचें।
- स्कोर $2$ के लिए,$13$ ऊँचाई का दंड खींचें।
- स्कोर $3$ के लिए,$20$ ऊँचाई का दंड खींचें।
- स्कोर $4$ के लिए,$17$ ऊँचाई का दंड खींचें।
- स्कोर $5$ के लिए,$20$ ऊँचाई का दंड खींचें।
- स्कोर $6$ के लिए,$15$ ऊँचाई का दंड खींचें।
$5$. सुनिश्चित करें कि दंडों के बीच समान अंतराल बना रहे।

(N/A) दी गई बारंबारता बंटन के लिए आयतचित्र खींचने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. ग्राफ पेपर पर दो परस्पर लंबवत अक्ष खींचिए। क्षैतिज अक्ष ($x$-अक्ष) को 'वर्ग' और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) को 'बारंबारता' के रूप में अंकित करें।
$2$. $x$-अक्ष पर वर्ग अंतरालों को समान अंतराल $(0, 6, 12, 18, 24, 30, 36)$ पर चिह्नित करें।
$3$. $y$-अक्ष के लिए एक उपयुक्त पैमाना चुनें (उदाहरण के लिए,$1 \text{ cm} = 2 \text{ इकाई}$)।
$4$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए,एक आयत खींचिए जिसकी चौड़ाई वर्ग माप $(6)$ के बराबर हो और ऊँचाई संबंधित बारंबारता के बराबर हो।
- वर्ग $0-6$ के लिए,ऊँचाई $7$ है।
- वर्ग $6-12$ के लिए,ऊँचाई $10$ है।
- वर्ग $12-18$ के लिए,ऊँचाई $12$ है।
- वर्ग $18-24$ के लिए,ऊँचाई $15$ है।
- वर्ग $24-30$ के लिए,ऊँचाई $10$ है।
- वर्ग $30-36$ के लिए,ऊँचाई $6$ है।
$5$. चूंकि वर्ग अंतराल सतत हैं,इसलिए आयत एक-दूसरे से सटे हुए होंगे,जिससे आयतचित्र बनेगा।

(N/A) दी गई बारंबारता बंटन के लिए आयतचित्र खींचने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. ग्राफ पेपर पर दो लंबवत अक्ष खींचें: क्षैतिज अक्ष ($X$-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($Y$-अक्ष)।
$2$. $X$-अक्ष पर,वर्ग अंतराल $(0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60)$ को दर्शाएं। एक उपयुक्त पैमाना चुनें,जैसे $1 \text{ cm} = 10 \text{ इकाई}$।
$3$. $Y$-अक्ष पर,बारंबारता $(5, 7, 12, 9, 13, 5)$ को दर्शाएं। एक उपयुक्त पैमाना चुनें,जैसे $1 \text{ cm} = 2 \text{ इकाई}$।
$4$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए आयताकार दंड (bars) बनाएं ताकि दंड की चौड़ाई वर्ग की लंबाई के बराबर हो और ऊंचाई बारंबारता के समानुपाती हो।
$5$. चूंकि वर्ग अंतराल सतत हैं,इसलिए दंड एक-दूसरे से सटे हुए होंगे और उनके बीच कोई रिक्त स्थान नहीं होगा।

(N/A) असमान वर्ग लंबाई वाले आवृत्ति वितरण के लिए आयतचित्र खींचने के लिए,हमें प्रत्येक वर्ग के लिए समायोजित आवृत्ति (आयत की ऊँचाई) की गणना करनी होगी।
$1$. समायोजित आवृत्ति का सूत्र है: $\text{समायोजित आवृत्ति} = \frac{\text{न्यूनतम वर्ग आकार}}{\text{वर्ग आकार}} \times \text{आवृत्ति}$.
$2$. न्यूनतम वर्ग आकार $10$ है ($0-10$ और $10-20$ से)।
गणना तालिका:

वर्ग	आवृत्ति	वर्ग आकार	समायोजित आवृत्ति
$0-10$	$15$	$10$	$(10/10) \times 15 = 15$
$10-20$	$13$	$10$	$(10/10) \times 13 = 13$
$20-40$	$28$	$20$	$(10/20) \times 28 = 14$
$40-70$	$36$	$30$	$(10/30) \times 36 = 12$
$70-100$	$27$	$30$	$(10/30) \times 27 = 9$

अंत में,आयतचित्र खींचने के लिए $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल और $y$-अक्ष पर समायोजित आवृत्तियों को आलेखित करें।

(N/A) असमान वर्ग अंतराल वाले आयतचित्र के लिए,आयतों की ऊँचाई आवृत्ति घनत्व के समानुपाती होनी चाहिए,न कि केवल आवृत्ति के।
$1$. प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग की चौड़ाई $(w)$ ज्ञात कीजिए।
$2$. आवृत्ति घनत्व = $\frac{\text{आवृत्ति}}{\text{वर्ग की चौड़ाई}}$ की गणना कीजिए।
| वर्ग | आवृत्ति $(f)$ | चौड़ाई $(w)$ | आवृत्ति घनत्व $(f/w)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-5$ | $6$ | $5$ | $1.2$ |
| $5-10$ | $8$ | $5$ | $1.6$ |
| $10-20$ | $14$ | $10$ | $1.4$ |
| $20-30$ | $16$ | $10$ | $1.6$ |
| $30-50$ | $24$ | $20$ | $1.2$ |
| $50-70$ | $20$ | $20$ | $1.0$ |
| $70-100$ | $30$ | $30$ | $1.0$ |
$3$. $x$-अक्ष पर वर्ग अंतराल और $y$-अक्ष पर आवृत्ति घनत्व को लेकर आयतचित्र खींचिए।

(N/A) बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (मध्य-बिंदु) ज्ञात करें: $\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$.
$2$. वर्ग चिह्नों की गणना करें:
- $20-30$ के लिए: $\frac{20+30}{2} = 25$
- $30-40$ के लिए: $\frac{30+40}{2} = 35$
- $40-50$ के लिए: $\frac{40+50}{2} = 45$
- $50-60$ के लिए: $\frac{50+60}{2} = 55$
- $60-70$ के लिए: $\frac{60+70}{2} = 65$
- $70-80$ के लिए: $\frac{70+80}{2} = 75$
$3$. बहुभुज को बंद करने के लिए,$0$ बारंबारता वाले दो अतिरिक्त वर्ग शामिल करें: $10-20$ (मध्य-बिंदु $15$) और $80-90$ (मध्य-बिंदु $85$)।
$4$. ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(15, 0), (25, 5), (35, 7), (45, 12), (55, 7), (65, 10), (75, 9), (85, 0)$ को आलेखित करें,जहाँ $x$-अक्ष पर वर्ग चिह्न और $y$-अक्ष पर बारंबारता दर्शाई गई है।
$5$. इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर बारंबारता बहुभुज पूर्ण करें।

(N/A) बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) ज्ञात करें: $\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$.
- $0-10$ के लिए: $\frac{0+10}{2} = 5$
- $10-20$ के लिए: $\frac{10+20}{2} = 15$
- $20-30$ के लिए: $\frac{20+30}{2} = 25$
- $30-40$ के लिए: $\frac{30+40}{2} = 35$
- $40-50$ के लिए: $\frac{40+50}{2} = 45$
$2$. (वर्ग चिह्न, बारंबारता) के निर्देशांकों की तालिका बनाएं: $(5, 6), (15, 4), (25, 10), (35, 12), (45, 5)$.
$3$. बहुभुज को बंद करने के लिए, $0$ बारंबारता वाले दो अतिरिक्त वर्ग शामिल करें: पहले वर्ग से पहले $(-10-0)$ जिसका वर्ग चिह्न $-5$ है और अंतिम वर्ग के बाद $(50-60)$ जिसका वर्ग चिह्न $55$ है।
$4$. इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करें जहाँ $x$-अक्ष पर वर्ग चिह्न और $y$-अक्ष पर बारंबारता दर्शाई गई है。
$5$. इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर बारंबारता बहुभुज पूरा करें।

(B) माध्य $\bar{x}$ की गणना सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $n$ अवलोकनों की कुल संख्या है।
यहाँ,अवलोकनों की संख्या $n = 10$ है।
अवलोकनों का योग $15 + 22 + 18 + 27 + 31 + 21 + 14 + 36 + 25 + 34 = 243$ है।
अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{243}{10} = 24.3$ है।

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक प्रविष्टि के लिए गुणनफल $f_{i} x_{i}$ की गणना करें:

अंक $(x_{i})$	छात्र $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$15$	$2$	$30$
$22$	$3$	$66$
$28$	$5$	$140$
$31$	$6$	$186$
$35$	$6$	$210$
$40$	$4$	$160$
$44$	$3$	$132$
$46$	$1$	$46$
कुल	$30$	$970$

$f_{i}$ का योग = $30$.
$f_{i} x_{i}$ का योग = $30 + 66 + 140 + 186 + 210 + 160 + 132 + 46 = 970$.
माध्य $\bar{x} = \frac{970}{30} = 32.33$.

(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$35, 36, 37, 37, 39, 40, 40, 40, 41, 42, 42$
यहाँ,प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 11$ है,जो एक विषम संख्या है।
जब $n$ विषम होता है,तो माध्यक का सूत्र $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-वां प्रेक्षण होता है।
माध्यक $= \left(\frac{11+1}{2}\right)$-वां प्रेक्षण
$= \left(\frac{12}{2}\right)$-वां प्रेक्षण
$= 6$-वां प्रेक्षण।
व्यवस्थित सूची में $6$-वां मान गिनने पर: $35(1), 36(2), 37(3), 37(4), 39(5), 40(6)$।
अतः,आंकड़ों का माध्यक $40 \ kg$ है।

(A) अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$62, 63, 67, 71, 75, 77, 82, 91$
यहाँ,अवलोकनों की कुल संख्या $n = 8$ है,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,माध्यक $M$,$\left(\frac{n}{2}\right)$ वें और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ वें अवलोकनों का औसत है।
$M = \frac{\left(\frac{8}{2}\right) \text{ वां अवलोकन} + \left(\frac{8}{2} + 1\right) \text{ वां अवलोकन}}{2}$
$M = \frac{4 \text{ था अवलोकन} + 5 \text{ वां अवलोकन}}{2}$
क्रमबद्ध सूची से,$4$ था अवलोकन $71$ है और $5$ वां अवलोकन $75$ है।
$M = \frac{71 + 75}{2} = \frac{146}{2} = 73$
अतः,दिए गए आंकड़ों का माध्यक $73$ है।

(A) बहुलक वह प्रेक्षण है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है।
दिए गए डेटा का अवलोकन करने पर: $14, 25, 28, 29, 17, 14, 19, 22, 14, 30, 16, 28, 14, 25$.
प्रत्येक प्रेक्षण की आवृत्ति की गणना करने पर:
$14$ कुल $4$ बार आता है।
$25$ कुल $2$ बार आता है।
$28$ कुल $2$ बार आता है।
$29, 17, 19, 22, 30, 16$ प्रत्येक $1$ बार आते हैं।
चूंकि $14$ की आवृत्ति सबसे अधिक है,इसलिए डेटा का बहुलक $14$ है।

(A) चरण $1$: माध्य ज्ञात करने के लिए,सभी प्रेक्षणों का योग करें और कुल संख्या से विभाजित करें।
योग $= 48 + 41 + 36 + 35 + 41 + 37 + 39 + 52 + 41 + 48 = 418$.
प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 10$.
माध्य $= \frac{418}{10} = 41.8$.
चरण $2$: माध्यिका ज्ञात करने के लिए,आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$35, 36, 37, 39, 41, 41, 41, 48, 48, 52$.
चूंकि $n = 10$ (सम संख्या) है,इसलिए माध्यिका $5$वें और $6$वें पद का औसत है।
माध्यिका $= \frac{41 + 41}{2} = 41$.
चरण $3$: बहुलक ज्ञात करने के लिए,वह प्रेक्षण पहचानें जो सबसे अधिक बार आता है।
मान $41$ कुल $3$ बार आता है,जो अन्य किसी भी मान से अधिक है।
बहुलक $= 41$.

(N/A) $1$. माध्य: माध्य सभी प्रेक्षणों का योगफल है जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है।
योग $= 159 + 148 + 138 + 150 + 165 + 166 + 145 + 152 + 155 + 160 + 147 + 151 = 1836$.
माध्य $= 1836 / 12 = 153 \ cm$.
$2$. माध्यक: सबसे पहले,डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$138, 145, 147, 148, 150, 151, 152, 155, 159, 160, 165, 166$.
चूंकि प्रेक्षणों की संख्या $(n = 12)$ सम है,इसलिए माध्यक $6$ठे और $7$वें पदों का औसत है।
माध्यक $= (151 + 152) / 2 = 303 / 2 = 151.5 \ cm$.
$3$. बहुलक: बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। इस डेटासेट में,प्रत्येक मान केवल एक बार आता है,इसलिए कोई बहुलक नहीं है।

(D) आवृत्ति वितरण का माध्य $((\bar{x})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $(\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
चरण $1$: आवृत्तियों का योग $(sum f_i)$ ज्ञात करें:
$sum f_i = 5 + 9 + 12 + 17 + 14 + 10 + 6 = 73$।
चरण $2$: स्कोर और आवृत्तियों के गुणनफल का योग $(sum f_i x_i)$ ज्ञात करें:
$f_1 x_1 = 1 \times 5 = 5$
$f_2 x_2 = 2 \times 9 = 18$
$f_3 x_3 = 3 \times 12 = 36$
$f_4 x_4 = 4 \times 17 = 68$
$f_5 x_5 = 5 \times 14 = 70$
$f_6 x_6 = 6 \times 10 = 60$
$f_7 x_7 = 7 \times 6 = 42$
$sum f_i x_i = 5 + 18 + 36 + 68 + 70 + 60 + 42 = 299$।
चरण $3$: माध्य ज्ञात करें:
$(\bar{x}) = \frac{299}{73} \approx 4.0958... \approx 4.10$।

(N/A) $1$. माध्य ज्ञात करने के लिए,सभी प्रेक्षणों का योग करें और कुल संख्या से विभाजित करें:
योग $= 33 + 92 + 55 + 90 + 35 + 77 + 58 + 41 + 80 + 64 + 46 = 671$
प्रेक्षणों की कुल संख्या $(n) = 11$
माध्य $= \frac{671}{11} = 61$
$2$. माध्यक ज्ञात करने के लिए,आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$33, 35, 41, 46, 55, 58, 64, 77, 80, 90, 92$
चूंकि $n = 11$ (विषम) है,इसलिए माध्यक $\frac{n+1}{2}$-वें स्थान का मान होगा:
माध्यक $= \frac{11+1}{2} = 6$-ठां स्थान $= 58$
$3$. बहुलक ज्ञात करने के लिए,वह मान पहचानें जो सबसे अधिक बार आता है:
चूंकि प्रत्येक प्रेक्षण केवल एक बार आया है,इसलिए इसका कोई बहुलक नहीं है।

(A) चरण $1$: माध्य ज्ञात करने के लिए, सभी अवलोकनों का योग करें और कुल अवलोकनों की संख्या से विभाजित करें।
योग $= 72 + 15 + 28 + 31 + 32 + 51 + 44 + 43 + 62 = 378$.
कुल अवलोकनों की संख्या $(n) = 9$.
माध्य $= \frac{378}{9} = 42$.
चरण $2$: माध्यिका ज्ञात करने के लिए, अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
व्यवस्थित डेटा: $15, 28, 31, 32, 43, 44, 51, 62, 72$.
चूंकि $n = 9$ (जो एक विषम संख्या है), माध्यिका $\frac{n+1}{2}$-वें स्थान पर स्थित मान है।
माध्यिका $= \frac{9+1}{2} = 5\text{-वां स्थान}$.
व्यवस्थित सूची में $5\text{-वां}$ मान $43$ है।
अतः, माध्य $= 42$ और माध्यिका $= 43$.

(C) मान लीजिए कि $10$ प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_{10}$ हैं।
इन प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 48$ द्वारा दिया गया है।
अतः,प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 48 \times 10 = 480$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $3$ से विभाजित किया जाता है,तो नए प्रेक्षण $\frac{x_1}{3}, \frac{x_2}{3}, ..., \frac{x_{10}}{3}$ होंगे।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i / 3)}{10}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\bar{x}' = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} \right)$.
मूल माध्य का मान रखने पर,हमें $\bar{x}' = \frac{1}{3} \times 48 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,नया माध्य $16$ है।

(D) दिया गया है कि $10$ प्रेक्षणों का माध्य $16.5$ है।
$10$ प्रेक्षणों का योग = $\text{माध्य} \times \text{प्रेक्षणों की संख्या} = 16.5 \times 10 = 165$.
चूंकि एक प्रेक्षण को गलती से $75$ के स्थान पर $57$ ले लिया गया था,इसलिए गलत योग में $57$ शामिल है और $75$ छूट गया है।
सही योग = $\text{गलत योग} - \text{गलत प्रेक्षण} + \text{सही प्रेक्षण} = 165 - 57 + 75 = 183$.
सही माध्य = $\frac{\text{सही योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{183}{10} = 18.3$.