સાબિત કરો કે જો ચતુષ્કોણના વિકર્ણો સમાન હોય અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગતા હોય,તો તે ચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ સમાન છે $(AC = BD)$ અને તેઓ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે ($AO = OC$,$BO = OD$,અને $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ}$).
$1$. $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta AOD$ અને $\Delta AOB$ માં:
$AO = AO$ (સામાન્ય)
$OD = OB$ (આપેલ છે)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$.
તેથી,$AD = AB$ $(CPCT)$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $AB = BC$,$BC = CD$,અને $CD = DA$.
આમ,$AB = BC = CD = DA$. બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. $ABCD$ ચોરસ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AC = BD$ (આપેલ છે)
$BC = AD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$AB = BA$ (સામાન્ય)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
તેથી,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$.
ચૂંક $AD \parallel BC$ અને $AB$ છેદિકા છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = \angle BAD$ હોવાથી,$2 \angle ABC = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ABC = 90^{\circ}$.
જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$ABCD$ એક ચોરસ છે.