બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ ને એક છેદિકા $p$ છેદે છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે અંતઃકોણોના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l \parallel m$ અને છેદિકા $p$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\angle PAC$ અને $\angle ACQ$ ના દ્વિભાજકો $B$ માં છેદે છે,અને $\angle SAC$ તથા $\angle ACR$ ના દ્વિભાજકો $D$ માં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$l \parallel m$ હોવાથી અને $p$ છેદિકા હોવાથી,$\angle PAC = \angle ACR$ (યુગ્મકોણો).
તેથી,$\frac{1}{2} \angle PAC = \frac{1}{2} \angle ACR$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC = \angle ACD$.
આ રેખાઓ $AB$ અને $DC$ માટે $AC$ છેદિકા હોવાથી યુગ્મકોણોની જોડ બનાવે છે અને તે સમાન પણ છે.
તેથી,$AB \parallel DC$.
તે જ રીતે,$\angle ACB$ અને $\angle CAD$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $BC \parallel AD$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\angle PAC + \angle CAS = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle CAS = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC + \angle CAD = 90^{\circ}$,એટલે કે $\angle BAD = 90^{\circ}$.
$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી તે એક લંબચોરસ છે.