$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે વિકર્ણ $AC =$ વિકર્ણ $BD$.

(A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે.
રચના: $AB$ ને લંબાવો અને $C$ માંથી $DA$ ને સમાંતર એક રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
સાબિતી:
$1$. $AD \parallel CE$ (રચના મુજબ) અને $AE \parallel DC$ (આપેલ $AB \parallel DC$) હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ). $AD = BC$ (આપેલ) હોવાથી,આપણને $BC = CE$ મળે છે.
$3$. $\Delta BCE$ માં,$BC = CE$ હોવાથી,$\angle CBE = \angle CEB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
$4$. વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (રૈખિક જોડના ખૂણા). $\angle CEB = \angle CBE$ હોવાથી,$\angle ABC + \angle CEB = 180^\circ$ થાય.
$5$. $\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
- $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
- $AD = BC$ (આપેલ)
- $\angle DAB = \angle CBA$ (સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ).
$6$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
$7$. તેથી,$AC = BD$ ($CPCT$ મુજબ).