$ABCD$ એક લંબચોરસ છે અને $P$,$Q$,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે ચતુષ્કોણ $PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) લંબચોરસ $ABCD$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $S$ એ $DA$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ દોરો.
$\Delta ABC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SR = \frac{1}{2} AC$ અને $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ મળે છે.
તે જ રીતે,$BD$ ને જોડતા,આપણને $PS = QR$ અને $PS \parallel QR$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\Delta PAS$ અને $\Delta PBQ$ માં:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (લંબચોરસના ખૂણા)
$AP = BP$ ($P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$AS = BQ$ (લંબચોરસની સમાન સામસામેની બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના અડધા ભાગ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
તેથી,$PS = PQ$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ $PS = PQ$ સમાન હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન થાય $(PQ = QR = RS = SP)$.
આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.