Textbook - Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ સમીકરણ $2x + 3y = 4.37$ ને $2x + 3y - 4.37 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$ અને $c = -4.37$ મળે છે.
$(ii)$ સમીકરણ $x - 4 = \sqrt{3}y$ ને $x - \sqrt{3}y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -\sqrt{3}$ અને $c = -4$ મળે છે.
$(iii)$ સમીકરણ $4 = 5x - 3y$ ને $5x - 3y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = -3$ અને $c = -4$ મળે છે.
$(iv)$ સમીકરણ $2x = y$ ને $2x - y + 0 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = -1$ અને $c = 0$ મળે છે.

(N/A) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
$(i)$ $x = -5$ ને $1x + 0y = -5$ તરીકે લખી શકાય,જે $1x + 0y + 5 = 0$ થાય છે.
$(ii)$ $y = 2$ ને $0x + 1y = 2$ તરીકે લખી શકાય,જે $0x + 1y - 2 = 0$ થાય છે.
$(iii)$ $2x = 3$ ને $2x + 0y = 3$ તરીકે લખી શકાય,જે $2x + 0y - 3 = 0$ થાય છે.
$(iv)$ $5y = 2$ ને $0x + 5y = 2$ તરીકે લખી શકાય,જે $0x + 5y - 2 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે નોટબુકની કિંમત Rs. $x$ છે.
ધારો કે પેનની કિંમત Rs. $y$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,નોટબુકની કિંમત એ પેનની કિંમત કરતાં બમણી છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ આ રીતે લખી શકીએ:
$x = 2y$
આ સમીકરણને બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(ax + by + c = 0)$ માં ગોઠવતા:
$x - 2y = 0$
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણ $x - 2y = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = 9.3\overline{5}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $9.3\overline{5}$ બાદ કરતા:
$2x + 3y - 9.3\overline{5} = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a = 2$
$b = 3$
$c = -9.3\overline{5}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$1x + (-\frac{1}{5})y + (-10) = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 1$,$b = -\frac{1}{5}$ અને $c = -10$.

(A) આપેલ સમીકરણ $-2x + 3y = 6$ છે.
આ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા:
$-2x + 3y - 6 = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = -2$,
$b = 3$,
$c = -6$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = 3y$ છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $3y$ બાદ કરતા:
$x - 3y = 0$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(1)x + (-3)y + 0 = 0$
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a = 1$
$b = -3$
$c = 0$

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2x = -5y$ છે.
આ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બધા પદોને ડાબી બાજુ લાવતા:
$2x + 5y = 0$.
આને $(2)x + (5)y + (0) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 2$,$b = 5$ અને $c = 0$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $3x + 2 = 0$ છે.
આ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે તેને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$3x + 0y + 2 = 0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો નીચે મુજબ મળે છે:
$a = 3$
$b = 0$
$c = 2$

(N/A) આપેલ સમીકરણ $y - 2 = 0$ છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે તેને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$(0)x + (1)y + (-2) = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 0$,$b = 1$ અને $c = -2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $5 = 2x$ છે.
આને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીએ:
$2x - 5 = 0$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$2x + 0y + (-5) = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 2$
$b = 0$
$c = -5$

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $x + 2y = 6$ માટે ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે એક ચલને કોઈ પણ કિંમત આપીને બીજા ચલની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
$1$. ધારો કે $x = 0$. તો $0 + 2y = 6$,જે $2y = 6$ આપે છે,તેથી $y = 3$. આમ,$(0, 3)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. ધારો કે $y = 0$. તો $x + 2(0) = 6$,જે $x = 6$ આપે છે. આમ,$(6, 0)$ એક ઉકેલ છે.
$3$. ધારો કે $x = 2$. તો $2 + 2y = 6$,જે $2y = 4$ આપે છે,તેથી $y = 2$. આમ,$(2, 2)$ એક ઉકેલ છે.
$4$. ધારો કે $y = 1$. તો $x + 2(1) = 6$,જે $x + 2 = 6$ આપે છે,તેથી $x = 4$. આમ,$(4, 1)$ એક ઉકેલ છે.
તેથી,સમીકરણના ચાર અલગ-અલગ ઉકેલો $(0, 3)$,$(6, 0)$,$(2, 2)$ અને $(4, 1)$ છે.

(N/A) $(i)$ $4x + 3y = 12$ માટે,જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $3y = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $y = 4$. તેથી,$(0, 4)$ એક ઉકેલ છે. જો આપણે $y = 0$ લઈએ,તો $4x = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 3$. તેથી,$(3, 0)$ બીજો ઉકેલ છે.
$(ii)$ $2x + 5y = 0$ માટે,જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $5y = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $y = 0$. તેથી,$(0, 0)$ એક ઉકેલ છે. જો આપણે $x = 1$ લઈએ,તો $2(1) + 5y = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $5y = -2$,તેથી $y = -\frac{2}{5}$. આમ,$(1, -\frac{2}{5})$ બીજો ઉકેલ છે.
$(iii)$ $3y + 4 = 0$ માટે,આપણે તેને $0x + 3y = -4$ તરીકે લખી શકીએ. $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$ ની કિંમત $-\frac{4}{3}$ રહેશે. જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $y = -\frac{4}{3}$. જો આપણે $x = 1$ લઈએ,તો $y = -\frac{4}{3}$. આમ,બે ઉકેલો $(0, -\frac{4}{3})$ અને $(1, -\frac{4}{3})$ છે.

(C) સમીકરણ $y = 3x + 5$ એ બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by + c = 0$ સ્વરૂપના બે ચલ ધરાવતા કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ માટે,$(x, y)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આનું કારણ એ છે કે $x$ ને આપવામાં આવતી દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે,આપણે $y = 3x + 5$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની અનુરૂપ અનન્ય કિંમત મેળવી શકીએ છીએ.
$x$ માટે અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$y$ માટે પણ અસંખ્ય અનુરૂપ કિંમતો મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(iii)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $2x + y = 7$ માટે ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ: $y = 7 - 2x$.
$x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકતા,આપણને $y$ ની અનુરૂપ કિંમતો મળે છે:
$1$. જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(0) = 7$. આમ,ઉકેલ $(0, 7)$ છે.
$2$. જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(1) = 5$. આમ,ઉકેલ $(1, 5)$ છે.
$3$. જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(2) = 3$. આમ,ઉકેલ $(2, 3)$ છે.
$4$. જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(3) = 1$. આમ,ઉકેલ $(3, 1)$ છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $\pi x + y = 9$ માટે ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીને $y$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
$1$. જ્યારે $x = 0$ હોય:
$\pi(0) + y = 9 \Rightarrow 0 + y = 9 \Rightarrow y = 9$.
તેથી,ઉકેલ $(0, 9)$ છે.
$2$. જ્યારે $x = 1$ હોય:
$\pi(1) + y = 9 \Rightarrow \pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - \pi$.
તેથી,ઉકેલ $(1, 9 - \pi)$ છે.
$3$. જ્યારે $x = 2$ હોય:
$\pi(2) + y = 9 \Rightarrow 2\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - 2\pi$.
તેથી,ઉકેલ $(2, 9 - 2\pi)$ છે.
$4$. જ્યારે $x = -1$ હોય:
$\pi(-1) + y = 9 \Rightarrow -\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 + \pi$.
તેથી,ઉકેલ $(-1, 9 + \pi)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $x = 4y$ માટે ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીને $x$ ની અનુરૂપ કિંમતો શોધી શકીએ છીએ.
$1$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = 4(0) = 0$. તેથી,ઉકેલ $(0, 0)$ છે.
$2$. જો $y = 1$ હોય,તો $x = 4(1) = 4$. તેથી,ઉકેલ $(4, 1)$ છે.
$3$. જો $y = -1$ હોય,તો $x = 4(-1) = -4$. તેથી,ઉકેલ $(-4, -1)$ છે.
$4$. જો $y = 2$ હોય,તો $x = 4(2) = 8$. તેથી,ઉકેલ $(8, 2)$ છે.

(B) આપેલ બિંદુ $(0, 2)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = 2$.
સમીકરણ $x - 2y = 4$ માં $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
ડા.બા. ($L$.$H$.$S$.) $= x - 2y = 0 - 2(2) = 0 - 4 = -4$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં ડા.બા. $= -4$ અને જ.બા. $= 4$ હોવાથી,ડા.બા. $\neq$ જ.બા. થાય છે.
તેથી,$(0, 2)$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(B) યામ $(2, 0)$ નો અર્થ છે કે $x=2$ અને $y=0$.
સમીકરણ $x - 2y = 4$ માં $x=2$ અને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે છે:
ડા.બા. $= 2 - 2(0) = 2 - 0 = 2$.
અહીં જ.બા. $= 4$ છે,તેથી ડા.બા. $\neq$ જ.બા.
આમ,$(2, 0)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - 2y = 4$.
બિંદુ $(4, 0)$ માટે,આપણી પાસે $x = 4$ અને $y = 0$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 4 - 2(0) = 4 - 0 = 4$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં $L$.$H$.$S$. $=$ $R$.$H$.$S$. હોવાથી,બિંદુ $(4, 0)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x - 2y = 4$.
બિંદુ $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{2}$ અને $y = 4\sqrt{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = \sqrt{2} - 2(4\sqrt{2})$
$= \sqrt{2} - 8\sqrt{2}$
$= (1 - 8)\sqrt{2} = -7\sqrt{2}$.
અહીં જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે,અને $-7\sqrt{2} \neq 4$,તેથી $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$.
આથી,બિંદુ $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $x - 2y = 4$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માટે,આપણી પાસે $x = 1$ અને $y = 1$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$. $(-1 \neq 4)$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = k$ છે.
અહીં $x = 2$ અને $y = 1$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2(2) + 3(1) = k$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$4 + 3 = k$
તેથી:
$k = 7$
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમત $7$ છે.

(D) બિંદુ $(1, 2)$ એ સુરેખ સમીકરણ $ax + by = c$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ. યામ $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા,આપણને $a(1) + b(2) = c$ અથવા $a + 2b = c$ મળે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો આપણે $a = 1$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $c = 1 + 2(1) = 3$ થાય. આમ,એક સમીકરણ $x + y = 3$ છે.
તે જ રીતે,જો આપણે $a = -1$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $c = -1 + 2(1) = 1$ થાય. આમ,બીજું સમીકરણ $-x + y = 1$ છે.
કારણ કે $a + 2b = c$ સંબંધનું સમાધાન કરતી $(a, b, c)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ શક્ય છે,તેથી બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓના સમીકરણો હોઈ શકે છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $x + y = 7$ નો આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણના ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલોની જરૂર છે.
$1$. જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $0 + y = 7$,જે આપણને $y = 7$ આપે છે. તેથી,$(0, 7)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. જો આપણે $x = 7$ લઈએ,તો $7 + y = 7$,જે આપણને $y = 0$ આપે છે. તેથી,$(7, 0)$ એક ઉકેલ છે.
આ ઉકેલોને આપણે નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:

$x$	$0$	$7$
$y$	$7$	$0$

હવે,કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $(0, 7)$ અને $(7, 0)$ ને અંકિત કરો અને તેમને એક સીધી રેખા વડે જોડો જેથી સમીકરણ $x + y = 7$ નો આલેખ મળે.

(N/A) અહીં,સંકળાયેલા ચલ બળ અને પ્રવેગ છે. ધારો કે લાગતું બળ $y$ એકમ છે અને ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $x$ એકમ છે. સમપ્રમાણતાના ખ્યાલ પરથી,આપણે આ સંબંધને $y = kx$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે. (વિજ્ઞાનના તમારા અભ્યાસ પરથી,તમે જાણો છો કે $k$ એ વાસ્તવમાં પદાર્થનું દળ છે.)
આપણે $k$ ની ચોક્કસ કિંમત જાણતા નથી,તેથી આપણે $y = kx$ માટે કોઈ એક ચોક્કસ આલેખ દોરી શકતા નથી. જો કે,જો આપણે $k$ ને કોઈ ચોક્કસ કિંમત આપીએ,તો આપણે આલેખ દોરી શકીએ છીએ. ચાલો $k = 3$ લઈએ,એટલે કે,આપણે $y = 3x$ દર્શાવતી રેખા દોરીએ.
આ આલેખ દોરવા માટે,આપણે તેના બે ઉકેલો શોધીએ,ઉદાહરણ તરીકે,$(0, 0)$ અને $(2, 6)$.
આલેખ પરથી,તમે જોઈ શકો છો કે જ્યારે લાગતું બળ $3$ એકમ હોય,ત્યારે ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $1$ એકમ હોય છે. ઉપરાંત,નોંધો કે $(0, 0)$ આલેખ પર આવેલું છે,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે લાગતું બળ $0$ એકમ હોય,ત્યારે ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $0$ એકમ હોય છે.

(A-(II), B-(III), C-(IV)) આકૃતિ $(i)$ માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-1, -2)$,$(0, 0)$,$(1, 2)$ છે. નિરીક્ષણ દ્વારા,$y = 2x$ એ આ આલેખને અનુરૂપ સમીકરણ છે. તમે જોઈ શકો છો કે દરેક કિસ્સામાં $y$-યામ એ $x$-યામ કરતા બમણો છે.
$(b)$ આકૃતિ (ii) માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 4)$,$(1, 6)$ છે. તમે જાણો છો કે આલેખ (રેખા) પરના બિંદુઓના યામ $y = 2x + 4$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$y = 2x + 4$ એ આકૃતિ (ii) માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ સમીકરણ છે.
$(c)$ આકૃતિ (iii) માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-1, -6)$,$(0, -4)$,$(1, -2)$,$(2, 0)$ છે. નિરીક્ષણ દ્વારા,તમે જોઈ શકો છો કે $y = 2x - 4$ એ આપેલા આલેખ (રેખા) ને અનુરૂપ સમીકરણ છે.

(N/A) $x + y = 4$
$\Rightarrow y = 4 - x$
જો $x = 0$ લઈએ,તો $y = 4 - 0 = 4$ મળે.
જો $x = 1$ લઈએ,તો $y = 4 - 1 = 3$ મળે.
જો $x = 2$ લઈએ,તો $y = 4 - 2 = 2$ મળે.
$\therefore$ આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$3$	$2$

આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 4)$,$(1, 3)$ અને $(2, 2)$ ને અંકિત કરો. આ બિંદુઓને જોડતા,આપણને આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ રેખા $AB$ મળે છે. આમ,રેખા $AB$ એ $x + y = 4$ નો જરૂરી આલેખ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $x - y = 2$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $y = x - 2$
આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા ત્રણ ઉકેલો શોધીએ છીએ:
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0 - 2 = -2$
જો $x = 1$ હોય,તો $y = 1 - 2 = -1$
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 2 - 2 = 0$
આપણને નીચે મુજબનું મૂલ્યોનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-2$	$-1$	$0$

આ બિંદુઓ $(0, -2)$,$(1, -1)$ અને $(2, 0)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવો. આ બિંદુઓને જોડવાથી,આપણને એક સીધી રેખા $PQ$ મળે છે. આ રેખા $PQ$ એ સુરેખ સમીકરણ $x - y = 2$ નો આલેખ દર્શાવે છે.

(N/A) $y=3x$
જો $x=0$ હોય,તો $y=3(0) \Rightarrow y=0$
જો $x=1$ હોય,તો $y=3(1) \Rightarrow y=3$
જો $x=-1$ હોય,તો $y=3(-1) \Rightarrow y=-3$
$\therefore$ આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$-1$
$y$	$0$	$3$	$-3$

આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 0)$,$(1, 3)$ અને $(-1, -3)$ ને અંકિત કરો. આ બિંદુઓને જોડતા,આપણને સુરેખા $LM$ મળે છે.
આમ,રેખા $LM$ એ $y=3x$ નો જરૂરી આલેખ છે.

(N/A) $y = 3 - 2x$
$\therefore$ જો $x = 0$ હોય,તો $y = 3 - 2(0) \Rightarrow y = 3$
જો $x = 1$ હોય,તો $y = 3 - 2(1) \Rightarrow y = 1$
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 3 - 2(2) \Rightarrow y = -1$
$\therefore$ આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$3$	$1$	$-1$

આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 3)$,$(1, 1)$ અને $(2, -1)$ ને અંકિત કરો. આ બિંદુઓને જોડતા,આપણને રેખા $CD$ મળે છે.
આમ,રેખા $CD$ એ $3 = 2x + y$ નો જરૂરી આલેખ છે.

(A) બિંદુ $(2, 14)$ નો અર્થ છે કે $x = 2$ અને $y = 14$.
આ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો શોધવા માટે,આપણે $ax + by = c$ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $a(2) + b(14) = c$ થાય.
$(i)$ જો આપણે $a=1, b=1$ લઈએ,તો $1(2) + 1(14) = 16$ મળે. તેથી,$x + y = 16$ એ એક સમીકરણ છે.
$(ii)$ જો આપણે $a=7, b=-1$ લઈએ,તો $7(2) - 1(14) = 14 - 14 = 0$ મળે. તેથી,$7x - y = 0$ એ બીજું સમીકરણ છે.
આવી અસંખ્ય રેખાઓ હોઈ શકે છે કારણ કે સમતલમાં એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3y = ax + 7$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ આ રેખાના આલેખ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 4$ મુકતા:
$3(4) = a(3) + 7$
$12 = 3a + 7$
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$12 - 7 = 3a$
$5 = 3a$
$3$ વડે ભાગતા:
$a = 5/3$
આમ,$a$ ની જરૂરી કિંમત $5/3$ છે.

(N/A) અહીં,કુલ કાપેલું અંતર $= x \, km$
કુલ ટેક્સી ભાડું $= y$
પ્રથમ $1 \, km$ માટેનું ભાડું $= \text{રૂ}. \, 8$
બાકીનું અંતર $= (x - 1) \, km$
$\therefore (x - 1) \, km$ માટેનું ભાડું $= \text{રૂ}. \, 5(x - 1)$
કુલ ટેક્સી ભાડું $= \text{રૂ}. \, 8 + 5(x - 1)$
$\therefore$ શરત મુજબ,
$y = 8 + 5(x - 1)$
$y = 8 + 5x - 5$
$y = 5x + 3$
આ આપેલ માહિતી દર્શાવતું જરૂરી સુરેખ સમીકરણ છે.
આલેખ: આપણી પાસે $y = 5x + 3$ છે.
જ્યારે $x = 0, y = 5(0) + 3 = 3$
જ્યારે $x = -1, y = 5(-1) + 3 = -2$
જ્યારે $x = -2, y = 5(-2) + 3 = -7$
આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$-1$	$-2$
$y$	$3$	$-2$	$-7$

હવે,આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 3), (-1, -2)$ અને $(-2, -7)$ ને દર્શાવીને તેમને જોડતા,આપણને એક સીધી રેખા $PQ$ મળે છે. આમ,$PQ$ એ સુરેખ સમીકરણ $y = 5x + 3$ નો જરૂરી આલેખ છે.

(B, C) આકૃતિ $(i)$ માટે,રેખા $(-1, 1)$,$(0, 0)$ અને $(1, -1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(b)$ $x+y=0$ માટે,$(-1, 1)$ મૂકતા $-1+1=0$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,આકૃતિ $(i)$ માટેનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
આકૃતિ $(ii)$ માટે,રેખા $(-1, 3)$,$(0, 2)$ અને $(2, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(c)$ $y=-x+2$ માટે,$(-1, 3)$ મૂકતા $3=-(-1)+2 \Rightarrow 3=1+2 \Rightarrow 3=3$ મળે છે,જે સાચું છે.
$(0, 2)$ મૂકતા $2=-(0)+2 \Rightarrow 2=2$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,આકૃતિ $(ii)$ માટેનું સમીકરણ $y=-x+2$ છે.

(N/A) અચળ બળ $= 5$ એકમ છે. ધારો કે કપાયેલું અંતર $= x$ એકમ અને થયેલું કાર્ય $= y$ એકમ છે.
કારણ કે,$\text{કાર્ય} = \text{બળ} \times \text{સ્થાનાંતર}$
$\Rightarrow y = 5 \times x$
$\Rightarrow y = 5x$
આલેખ દોરવો:
આપણી પાસે $y = 5x$ છે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $y = 5(0) = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $y = 5(1) = 5$.
જ્યારે $x = 1.5$,ત્યારે $y = 5(1.5) = 7.5$.
તેથી,આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$1.5$
$y$	$0$	$5$	$7.5$

આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 0)$,$(1, 5)$ અને $(1.5, 7.5)$ ને દર્શાવીને બિંદુઓને જોડતા,આપણને એક સીધી રેખા મળે છે.
આલેખ પરથી:
$(i)$ જ્યારે કપાયેલું અંતર $= 2$ એકમ હોય,ત્યારે $x = 2$,જે $y = 10$ આપે છે.
તેથી,$\text{થયેલું કાર્ય} = 10$ એકમ.
$(ii)$ જ્યારે કપાયેલું અંતર $= 0$ એકમ હોય,ત્યારે $x = 0$,જે $y = 5(0) = 0$ આપે છે.
તેથી,$\text{થયેલું કાર્ય} = 0$ એકમ.

(N/A) ધારો કે યામિનીનું યોગદાન $= ₹ x$ અને ફાતિમાનું યોગદાન $= ₹ y$ છે.
$\therefore$ આપણી પાસે $x + y = 100$ છે.
$\Rightarrow y = 100 - x$
હવે,આલેખ દોરવા માટે આપણે બિંદુઓના યામ શોધીએ:
જ્યારે $x = 0, y = 100 - 0 = 100$
જ્યારે $x = 50, y = 100 - 50 = 50$
જ્યારે $x = 100, y = 100 - 100 = 0$
આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$50$	$100$
$y$	$100$	$50$	$0$

આલેખ દોરવા માટે,આલેખપત્ર પર ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(0, 100)$,$(50, 50)$ અને $(100, 0)$ ને અંકિત કરો. આ બિંદુઓને જોડતા આપણને એક રેખા મળે છે.
આમ,આ રેખા $x + y = 100$ નો આલેખ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ આપણી પાસે સમીકરણ $F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32$ છે.
જ્યારે $C = 0$,ત્યારે $F = \left(\frac{9}{5}\right) \times 0 + 32 = 32$.
જ્યારે $C = -15$,ત્યારે $F = \frac{9}{5}(-15) + 32 = -27 + 32 = 5$.
જ્યારે $C = -10$,ત્યારે $F = \frac{9}{5}(-10) + 32 = 9(-2) + 32 = 14$.
કિંમતોનું કોષ્ટક:

$C$	$0$	$-15$	$-10$
$F$	$32$	$5$	$14$

આલેખ પર બિંદુઓ $(0, 32)$,$(-15, 5)$,અને $(-10, 14)$ ને દર્શાવીને જોડતા એક સુરેખ રેખા મળે છે.
$(ii)$ $C = 30$ માટે,$F = \frac{9}{5}(30) + 32 = 9(6) + 32 = 54 + 32 = 86\,^oF$.
$(iii)$ $F = 95$ માટે,$95 = \frac{9}{5}C + 32 \implies 63 = \frac{9}{5}C \implies C = 63 \times \frac{5}{9} = 35\,^oC$.
$(iv)$ $C = 0$ માટે,$F = 32\,^oF$. $F = 0$ માટે,$0 = \frac{9}{5}C + 32 \implies -32 = \frac{9}{5}C \implies C = -\frac{160}{9} \approx -17.8\,^oC$.
$(v)$ ધારો કે $F = C = x$. તો $x = \frac{9}{5}x + 32 \implies x - \frac{9}{5}x = 32 \implies -\frac{4}{5}x = 32 \implies x = 32 \times (-\frac{5}{4}) = -40$. આમ,$-40\,^oC = -40\,^oF$.

(N/A) આપણે $2x + 1 = x - 3$ ને ઉકેલીએ તો,
$2x - x = -3 - 1$
એટલે કે,$x = -4$
$(i)$ સંખ્યા રેખા પર ઉકેલનું નિરૂપણ આકૃતિ $(i)$ માં દર્શાવેલ છે,જ્યાં $x = -4$ ને એક ચલવાળા સમીકરણ તરીકે લેવામાં આવે છે.
$(ii)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $x = -4$ ને
$x + 0y = -4$
તરીકે લખી શકાય છે,જે $x$ અને $y$ ચલોમાં એક સુરેખ સમીકરણ છે. આ એક રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. હવે $y$ ની તમામ કિંમતો શક્ય છે કારણ કે $0y$ હંમેશા $0$ થાય છે. જોકે,$x$ એ સમીકરણ $x = -4$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ. તેથી,આપેલ સમીકરણના બે ઉકેલો $(-4, 0)$ અને $(-4, 2)$ છે.
નોંધો કે આલેખ $AB$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા છે અને તેની ડાબી બાજુએ $4$ એકમ અંતરે છે (જુઓ આકૃતિ $(ii)$).

(N/A) $(i)$ $y = 3$ [એક ચલવાળું સમીકરણ]
કારણ કે $y = 3$ એ એક ચલવાળું સમીકરણ છે,તે સંખ્યા રેખા પર એક અનન્ય બિંદુ દર્શાવે છે.
આ અનન્ય ઉકેલ સંખ્યા રેખા પર $3$ આગળનું એક બિંદુ છે.
$(ii)$ $y = 3$ [બે ચલવાળું સમીકરણ]
આપણે $y = 3$ ને $0x + y = 3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,$x$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,આપણને $y = 3$ મળે છે:

$X$	$1$	$2$	$3$
$Y$	$3$	$3$	$3$

આ ક્રમયુક્ત જોડો $(1, 3)$,$(2, 3)$ અને $(3, 3)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર આલેખતા,આપણને $x$-અક્ષને સમાંતર એક રેખા $AB$ મળે છે,જે $0x + y = 3$ એટલે કે $y = 3$ નો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ $2x + 9 = 0$ [એક ચલવાળું સમીકરણ]
આપણી પાસે છે: $2x + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -4.5$ અથવા $x = -\frac{9}{2}$.
આ માત્ર એક ચલ '$x$' માં સુરેખ સમીકરણ છે. તેનો ઉકેલ સંખ્યા રેખા પર બિંદુ $-\frac{9}{2}$ છે.
$(ii)$ $2x + 9 = 0$ [બે ચલવાળું સમીકરણ]
આપણે $2x + 9 = 0$ ને $2x + 0y + 9 = 0$ અથવા $2x = -9 + 0y$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$x = \frac{-9 + 0y}{2}$.
$y$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$x$ હંમેશા $-\frac{9}{2}$ રહેશે.

$x$	$-\frac{9}{2}$	$-\frac{9}{2}$	$-\frac{9}{2}$
$y$	$1$	$2$	$3$

આ બિંદુઓ $\left(-\frac{9}{2}, 1\right)$,$\left(-\frac{9}{2}, 2\right)$,અને $\left(-\frac{9}{2}, 3\right)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવીને તેમને જોડતા,આપણને $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા મળે છે.