Mix Examples - Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x - y = x - 1$ છે.
ચલને એક બાજુ લાવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $3x - x - y = -1$.
આનું સાદું રૂપ $2x - y = -1$ અથવા $y = 2x + 1$ થાય છે.
આ બે ચલ ($x$ અને $y$) વાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by + c = 0$ સ્વરૂપના બે ચલ વાળા સુરેખ સમીકરણને હંમેશા અનંત ઉકેલો હોય છે,કારણ કે $x$ ની દરેક કિંમત માટે,$y$ ની એક અનુરૂપ કિંમત મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આ સમીકરણને અનંત ઉકેલો છે.

(A) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ એવું સમીકરણ છે જેને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આનો અર્થ એ છે કે ચલ $x$ અથવા $y$ ના સહગુણકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સહગુણક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
જો $a = 0$ અને $b = 0$ હોય,તો સમીકરણ $c = 0$ બની જાય છે,જે બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ નથી.
તેથી,બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણ માટેની શરત $a^2 + b^2 \neq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a$ અને $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુનું સ્થાન $(x, y)$ ક્રમયુક્ત જોડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$y$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,ઉગમબિંદુથી તેનું આડું અંતર ($x$-યામ) હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,$y$-અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(0, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $y$ એ ઉગમબિંદુથી તેનું ઊભું અંતર દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x - 5y = 7$ એ બે ચલ ($x$ અને $y$) વાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by = c$ સ્વરૂપના બે ચલ વાળા કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ માટે,$(x, y)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ હોય છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લેતા,આપણને $y$ ની અનુરૂપ કિંમત મળે છે,અને તેનાથી ઉલટું પણ શક્ય છે.
તેથી,આ સમીકરણને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 7$ એ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક રેખા દર્શાવે છે,જેના વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
જો કે,જો આપણે $x$ અને $y$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$) સુધી મર્યાદિત કરીએ,તો આપણે ઉકેલ ચકાસી શકીએ છીએ:
જો $x = 1$ હોય,તો $2(1) + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.
જો $x = 2$ હોય,તો $2(2) + 5y = 7 \implies 5y = 3 \implies y = 3/5$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
જો $x \ge 2$ હોય,તો $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા મળશે નહીં.
આમ,$(1, 1)$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં એકમાત્ર ઉકેલ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 7$ માટે,આપણે એવા ઉકેલો શોધીએ છીએ જ્યાં $x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$).
જો $x = 1$ લઈએ,તો $2(1) + 5y = 7$,જે $5y = 5$ આપે છે,તેથી $y = 1$.
જો $x = 2$ લઈએ,તો $2(2) + 5y = 7$,જે $4 + 5y = 7$ આપે છે,તેથી $5y = 3$,અથવા $y = 3/5$,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
જો $x \ge 2$ હોય,તો $5y$ ની કિંમત $7 - 2x \le 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા ન હોઈ શકે.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન કરતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની એકમાત્ર જોડી $(1, 1)$ છે,જે તેને અનન્ય ઉકેલ બનાવે છે.

(C) $k$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ ઉકેલ $(x, y) = (2, 0)$ ને સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = k$ માં મૂકીશું.
સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$2(2) + 3(0) = k$
$4 + 0 = k$
$k = 4$
તેથી,$k$ ની કિંમત $4$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 0y + 9 = 0$ છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $2x = -9$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = -9/2$ મળે છે.
અહીં $y$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,$y$ ની કિંમત કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $m$ હોઈ શકે છે.
તેથી,સમીકરણનો કોઈપણ ઉકેલ $(-9/2, m)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 6$ નો આલેખ $y$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x$-યામ $0$ હોય છે.
સમીકરણ $2x + 3y = 6$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2(0) + 3y = 6$
$0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 6 / 3 = 2$
તેથી,જે બિંદુએ આલેખ $y$-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુ $(0, 2)$ છે.

(B) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ $x = 7$ ને $x - 7 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સમીકરણને બે ચલ $x$ અને $y$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ચલનો સહગુણક $0$ લઈએ છીએ.
આમ,સમીકરણ $1 \cdot x + 0 \cdot y = 7$ બને છે.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ એ આડી રેખા છે જ્યાં ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,$y$-યામ (કોટિ) હંમેશા $0$ હોય છે.
આમ,$x$-અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, 0)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $x$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(D) $y=x$ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,તેનો $x$-યામ અને $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
જો આપણે $x$-યામને $a$ લઈએ,તો $y$-યામ પણ $a$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y=x$ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $y$-યામ હંમેશા $0$ હોય છે. તેથી,$x$-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું સમીકરણ $y = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y=6$ માં $x$ ચલનો સમાવેશ થતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$ ની કિંમત હંમેશા $6$ રહે છે.
તેથી,$y=6$ નો આલેખ એક આડી રેખા છે જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
કારણ કે $y$-યામ હંમેશા $6$ રહે છે,તેથી આ રેખા $y$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $6$ એકમ જેટલા અંતરે આવેલી છે.

(C) $(x=5, y=2)$ ઉકેલ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,કિંમતોને દરેક સમીકરણમાં મૂકો:
વિકલ્પ $A$ માટે: $x + 2y = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9 \neq 7$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5x + 2y = 5(5) + 2(2) = 25 + 4 = 29 \neq 7$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x + y = 5 + 2 = 7$. આ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $5x + y = 5(5) + 2 = 25 + 2 = 27 \neq 7$.
તેથી,સાચું સમીકરણ $x + y = 7$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 6$ નો આલેખ એક રેખા છે જે $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
સમીકરણ $2x + 3y = 6$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3(0) = 6$
$2x = 6$
$x = 6 / 2 = 3$
તેથી,રેખા $x$-અક્ષને $(3, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $y = x$ છે.
આ સમીકરણના આલેખ પર કોઈ બિંદુ $(x, y)$ હોય,તો તેનો $x$-યામ અને $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $(1, 1)$ જ્યાં $x = 1$ અને $y = 1$. અહીં $1 = 1$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ સમીકરણ $y = x$ નું સમાધાન કરે છે.
$B$: $(0, 3/2)$ જ્યાં $x = 0$ અને $y = 1.5$. અહીં $0 \neq 1.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
$C$: $(3/2, -3/2)$ જ્યાં $x = 1.5$ અને $y = -1.5$. અહીં $1.5 \neq -1.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
$D$: $(-1/2, 1/2)$ જ્યાં $x = -0.5$ અને $y = 0.5$. અહીં $-0.5 \neq 0.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
તેથી,આલેખ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) જો આપણે સુરેખ સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્યતર સંખ્યા વડે ગુણીએ અથવા ભાગીએ,તો સમાનતા જળવાઈ રહે છે. કારણ કે ચલ વચ્ચેનો સંબંધ સંતુલિત રહે છે,તેથી સુરેખ સમીકરણનો ઉકેલ સમાન રહે છે.

(C) $x = 1$ અને $y = 2$ ની કિંમતો દ્વારા સંતોષાય તેવા અસંખ્ય સુરેખ સમીકરણો હોઈ શકે છે.
બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે. આપણી પાસે એક ચોક્કસ બિંદુ $(1, 2)$ હોવાથી,આપણે $a, b,$ અને $c$ સહગુણકો બદલીને આ બિંદુમાંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
ઉદાહરણ તરીકે:
$1$. $x + y = 3$ (કારણ કે $1 + 2 = 3$)
$2$. $y = 2x$ (કારણ કે $2 = 2(1)$)
$3$. $y - x = 1$ (કારણ કે $2 - 1 = 1$)
$4$. $2y - x = 3$ (કારણ કે $2(2) - 1 = 3$)
આપણે $a, b,$ અને $c$ ના અસંખ્ય સંયોજનો પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $a(1) + b(2) + c = 0$ થાય,તેથી આવા અસંખ્ય સુરેખ સમીકરણો શક્ય છે.

(D) $(a, a)$ સ્વરૂપના બિંદુઓમાં $x$ અને $y$ યામ સમાન હોય છે.
અહીં $x$-યામ એ $y$-યામ જેટલો જ હોવાથી,આ બિંદુ $y=x$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$(a, a)$ સ્વરૂપનું બિંદુ હંમેશા $y=x$ રેખા પર આવેલું હોય છે.

(A) $(a, -a)$ સ્વરૂપના બિંદુમાં $x$-યામ $a$ છે અને $y$-યામ $-a$ છે.
આ બિંદુ કઈ રેખા પર આવેલું છે તે શોધવા માટે,આપણે યામો વચ્ચેનો સંબંધ જોઈ શકીએ છીએ:
$x = a$
$y = -a$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$x + y = a + (-a)$
$x + y = 0$
તેથી,$(a, -a)$ બિંદુ હંમેશા $x + y = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) $(i)$ ખોટું,કારણ કે $ax + by + c = 0$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ ત્યારે જ કહેવાય જો $a$ અને $b$ બંને શૂન્ય ન હોય (એટલે કે $a^2 + b^2 \neq 0$).
$(ii)$ ખોટું,કારણ કે બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણને અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
$(iii)$ ખોટું,બિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(-3, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલા છે કારણ કે તેમના $y$-યામ $0$ છે. બિંદુ $(4, 2)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને બિંદુ $(0, 5)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) $(i)$ સાચું. $y$-અક્ષથી ડાબી બાજુ $a$ એકમ અંતરે આવેલી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = -a$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં અંતર $4$ એકમ હોવાથી,સમીકરણ $x = -4$ થાય છે.
$(ii)$ ખોટું. આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય તે માટે,યામોએ સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. $y = mx + c$ માં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા $0 = m(0) + c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$. $y = mx + c$ સ્વરૂપની તમામ રેખાઓ માટે $c$ હંમેશા $0$ હોતું નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
કોષ્ટકમાં આપેલા બિંદુઓ $(x, y)$ સમીકરણ $2x + 2 = y$ નું સમાધાન કરે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીશું:
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $2(0) + 2 = 2$ (જે $y = 2$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $2(1) + 2 = 4$ (જે $y = 4$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $2(2) + 2 = 6$ (જે $y = 6$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $2(3) + 2 = 8$ (જે $y = 8$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 4$ હોય,ત્યારે $2(4) + 2 = 10$ (જે $y = 10$ સાથે મેળ ખાય છે).
આમ,કોષ્ટકના તમામ બિંદુઓ સમીકરણ $2x + 2 = y$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી વિધાન સાચું છે.

(TRUE) બિંદુ $(0, 3)$ એ સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ ના આલેખ પર આવેલું છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 3$ મૂકીશું.
કિંમતો મૂકતા:
$3(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12$.
અહીં ડાબી બાજુની કિંમત જમણી બાજુની કિંમત જેટલી થાય છે $(12 = 12)$,તેથી બિંદુ $(0, 3)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(FALSE) સુરેખ સમીકરણ $x + 2y = 7$ નો આલેખ બિંદુ $(0, 7)$ માંથી પસાર થાય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 7$ મૂકીએ.
કિંમતો મૂકતા:
$0 + 2(7) = 7$
$0 + 14 = 7$
$14 = 7$
અહીં $14 \neq 7$ હોવાથી,બિંદુ $(0, 7)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x + y = 0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$y = -x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ એકબીજાની વિરોધી સંખ્યાઓ હોવા જોઈએ (એટલે કે,તેમની નિશાનીઓ વિરુદ્ધ હોય અને નિરપેક્ષ મૂલ્ય સમાન હોય).
આલેખ જોતા,આપણે બે બિંદુઓ ઓળખી શકીએ છીએ: $(-1, 1)$ અને $(-3, 3)$.
બિંદુ $(-1, 1)$ માટે,$x = -1$ અને $y = 1$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણ $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $-1 + 1 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.
બિંદુ $(-3, 3)$ માટે,$x = -3$ અને $y = 3$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણ $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $-3 + 3 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,બંને બિંદુઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે અને બે બિંદુઓ એક અનન્ય રેખા નક્કી કરે છે,તેથી આપેલ વિધાન ખરું છે.

(TRUE) આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ $x = a$ નો આલેખ $y$-અક્ષને સમાંતર અને તેનાથી $|a|$ એકમના અંતરે આવેલી રેખા છે.
જો $a > 0$ હોય,તો રેખા $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ આવેલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ $3$ એકમના અંતરે છે.
તેથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(B) બિંદુઓ ઉકેલ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતોને સમીકરણ $x-y+2=0$ માં મૂકીશું.
$(0, 2)$ માટે: $0 - 2 + 2 = 0$. (સાચું)
$(1, 3)$ માટે: $1 - 3 + 2 = 0$. (સાચું)
$(2, 4)$ માટે: $2 - 4 + 2 = 0$. (સાચું)
$(3, -5)$ માટે: $3 - (-5) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \neq 0$. (ખોટું)
$(4, 6)$ માટે: $4 - 6 + 2 = 0$. (સાચું)
બિંદુ $(3, -5)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનો આલેખ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ નો સમૂહ છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી રેખા પરનું દરેક બિંદુ તે સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનું સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ હોય છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી. કાર્તેઝિયન સમતલમાં આવા સમીકરણનું ભૌમિતિક નિરૂપણ હંમેશા એક સીધી રેખા હોય છે. તેથી,એવું કહેવું ખોટું છે કે આલેખ રેખા હોવો જરૂરી નથી.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ નો આલેખ $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $3x + 4(0) = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x = 12$ થાય છે,તેથી $x = 4$.
આમ,$x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(4, 0)$ છે.
સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ નો આલેખ $y$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x = 0$ હોય.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $3(0) + 4y = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4y = 12$ થાય છે,તેથી $y = 3$.
આમ,$y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(0, 3)$ છે.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર અને ઉગમબિંદુથી $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ $x=2$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સુરેખ સમીકરણ $x+y=5$ માં $x=2$ મૂકીએ.
$2+y=5$
$y=5-2$
$y=3$
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$-યામ એ તેના $y$-યામ (કોટિ) કરતા $\frac{5}{2}$ ગણો છે,તેથી $x = \frac{5}{2}y$.
સમીકરણ $2x + 5y = 20$ માં $x = \frac{5}{2}y$ મૂકતા:
$2(\frac{5}{2}y) + 5y = 20$
$5y + 5y = 20$
$10y = 20$
$y = 2$
હવે,$x = \frac{5}{2}y$ નો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ શોધો:
$x = \frac{5}{2}(2) = 5$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(5, 2)$ છે.

(N/A) $x$-અક્ષને સમાંતર કોઈપણ સીધી રેખાનું સમીકરણ $y=k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ $x$-અક્ષથી રેખાનું અંતર છે.
અહીં,રેખા $x$-અક્ષથી $4$ એકમ ઉપર છે,તેથી $k=4$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=4$ છે.
આ સમીકરણનો આલેખ દોરવા માટે,કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $(1,4)$,$(2,4)$ અને $(3,4)$ ને અંકિત કરો અને તેમને સીધી રેખા વડે જોડો. આ રેખા એવા તમામ બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જ્યાં $y$-યામ $4$ છે.

(N/A) $y = x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ સમાન હશે. આ રેખા $(0,0), (1,1)$ અને $(-1,-1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
તે જ રીતે,$y = -x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હશે. આ રેખા $(1,-1)$ અને $(-1,1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વધુમાં,બિંદુ $(0,0)$ એ સમીકરણ $y = -x$ નું સમાધાન કરે છે.
એક જ કાર્તેઝિયન સમતલ પર સુરેખ સમીકરણો $y = x$ અને $y = -x$ ના આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે આ બંને સમીકરણોના આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુનો ભુજ $x$ છે અને કોટિ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોટિ એ ભુજ કરતાં $1 \frac{1}{2}$ ગણો છે,તેથી $y = 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x$.
આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 19$ માં $y = \frac{3}{2} x$ મૂકતા:
$2x + 5(\frac{3}{2} x) = 19$
$2x + \frac{15}{2} x = 19$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 15x = 38$
$19x = 38$
$x = 2$
હવે,$y = \frac{3}{2} x$ નો ઉપયોગ કરીને કોટિ $y$ શોધો:
$y = \frac{3}{2} (2) = 3$
આમ,બિંદુ $(2, 3)$ છે.

(N/A) $x$-અક્ષને સમાંતર અને તેની નીચે $a$ એકમ અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ $y = -a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અંતર $x$-અક્ષની નીચે $3$ એકમ છે,તેથી $a = 3$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -3$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તે દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં $y$-યામ $-3$ હોય,જેમ કે $(0, -3)$,$(1, -3)$,$(-1, -3)$ વગેરે.
સમીકરણ $y = -3$ નો આલેખ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, -3)$ માંથી પસાર થતી એક આડી રેખા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(N/A) એક સુરેખ સમીકરણ જેના ઉકેલો એવા બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમના યામોનો સરવાળો $10$ એકમ હોય,તે $x+y=10$ છે.
જ્યારે $x=0$ હોય,ત્યારે $y=10$ અને જ્યારે $x=10$ હોય,ત્યારે $y=0$ મળે છે.
હવે,આ બે બિંદુઓ $(0, 10)$ અને $(10, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને એક સીધી રેખા મેળવો.
$x+y=10$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સીધી રેખા છે.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુને $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ x-યામ (abscissa) છે અને $y$ એ y-યામ (ordinate) છે.
પ્રશ્ન મુજબ,y-યામ એ x-યામ કરતા $3$ ગણો છે.
તેથી,સંબંધ $y = 3x$ થાય.
આ માંગેલું સુરેખ સમીકરણ છે.

(A) બિંદુ $(3,4)$ એ $3y = ax + 7$ ના આલેખ પર આવેલું છે.
આપેલ સમીકરણ $3y = ax + 7$ માં $x = 3$ અને $y = 4$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$3 \times 4 = a \times 3 + 7$
$12 = 3a + 7$
$3a = 12 - 7$
$3a = 5$
$a = \frac{5}{3}$

(N/A) $(i)$ સંખ્યા રેખા પર $2x + 1 = x - 3$ સમીકરણના ઉકેલની સંખ્યા $1$ છે.
સમીકરણ ઉકેલતા: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow 2x - x = -3 - 1 \Rightarrow x = -4$.
આમ,સંખ્યા રેખા પર $x = -4$ એ એકમાત્ર અનન્ય ઉકેલ છે.
$(ii)$ કાર્તેઝિયન સમતલ પર $2x + 1 = x - 3$ સમીકરણના ઉકેલની સંખ્યા અનંત છે.
કાર્તેઝિયન સમતલમાં,સમીકરણ $2x + 1 = x - 3$ ને $x + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે. આ રેખા પરના દરેક બિંદુ $( -4, y )$ જ્યાં $y$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $y$-યામ (ordinate) $0$ હોય છે.
સમીકરણ $x + 2y = 8$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + 2(0) = 8 \Rightarrow x = 8$.
આમ,$x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(8, 0)$ છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $y$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (abscissa) $0$ હોય છે.
સમીકરણ $x + 2y = 8$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
આમ,$y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(0, 4)$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ: $2x + cy = 8$.
આપણે $c$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $x = y$ થાય.
આપેલ સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$2x + c(x) = 8$
$x(2 + c) = 8$
$x = \frac{8}{2 + c}$
જો આપણે $x = y = 2$ લઈએ જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$2(2) + c(2) = 8$
$4 + 2c = 8$
$2c = 4$
$c = 2$
આમ,$c = 2$ માટે,સમીકરણ $2x + 2y = 8$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 4$ થાય છે,જેમાં $x = y = 2$ એ ઉકેલ શક્ય છે.

(A) $y$ એ $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$\Rightarrow y \propto x$
$\therefore y = kx$
જ્યારે $x = 4$ હોય ત્યારે $y = 12$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$12 = k \times 4 \Rightarrow k = 12 \div 4 = 3$
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણ $y = 3x$ છે.
જ્યારે $x = 5$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત $y = 3 \times 5 = 15$ થાય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = 12$ છે. આ સમીકરણનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે આલેખ પર આવેલા ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓની જરૂર છે.
સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $y = \frac{12 - 2x}{3}$.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = \frac{12 - 0}{3} = 4$. તેથી,$(0, 4)$ બિંદુ આલેખ પર આવેલું છે.
જો $y = 0$ હોય,તો $2x = 12$,તેથી $x = 6$. તેથી,$(6, 0)$ બિંદુ આલેખ પર આવેલું છે.
હવે,બિંદુઓ $A(0, 4)$ અને $B(6, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને રેખા $AB$ મેળવો.
રેખા $AB$ એ માંગેલ આલેખ છે. આલેખ (રેખા $AB$) એ $x$-અક્ષને $(6, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, 4)$ બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) કોષ્ટક પરથી,આપણને બે બિંદુઓ $A(1, 1)$ અને $B(2, 3)$ મળે છે જે સુરેખ સમીકરણના આલેખ પર આવેલા છે. સ્વાભાવિક રીતે,આલેખ એક સીધી રેખા હશે. તેથી,આપણે પહેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ અને તેમને જોડીએ છીએ.
$(1, 1)$ અને $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે:
ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1$.
$(i)$ તે $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$0 = 2x - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
આમ,તે $x$-અક્ષને $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ બિંદુએ છેદે છે.
$(ii)$ તે $y$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$y = 2(0) - 1 \implies y = -1$.
આમ,તે $y$-અક્ષને $(0, -1)$ બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) ધારો કે કુલ અંતર $x \text{ km}$ છે અને કુલ ભાડું $Rs. y$ છે.
પ્રથમ $1 \text{ km}$ માટે ભાડું $Rs. 10$ છે.
બાકીના અંતર $(x - 1) \text{ km}$ માટે ભાડું $Rs. 4(x - 1)$ છે.
તેથી,કુલ ભાડું $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = 10 + 4(x - 1)$
$y = 10 + 4x - 4$
$y = 4x + 6$
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણ $4x - y + 6 = 0$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે રેખા પરના બે બિંદુઓ શોધીએ:
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 4(0) + 6 = 6$. બિંદુ: $(0, 6)$.
જો $x = -1$ હોય,તો $y = 4(-1) + 6 = 2$. બિંદુ: $(-1, 2)$.
આ બિંદુઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવીને તેમને જોડવાથી જરૂરી સુરેખ આલેખ મળે છે.

(N/A) કરવામાં આવેલ કાર્ય $= (\text{અચળ બળ}) \times (\text{અંતર})$
$= 3 \times (\text{અંતર})$
એટલે કે, $y = 3x$, જ્યાં $y$ (એકમ) એ કરવામાં આવેલ કાર્ય છે અને $x$ (એકમ) એ કાપેલ અંતર છે。
કારણ કે $x = 2$ એકમ (આપેલ છે), તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $= 3 \times 2 = 6$ એકમ。
સુરેખ સમીકરણ $y = 3x$ નો આલેખ દોરવા માટે, આપણને સમીકરણના ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલોની જરૂર છે。
આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 0, y = 0$ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે, અને $x = 1, y = 3$ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે。
હવે આપણે બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(1, 3)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ અને તેમને જોડીને એક રેખા બનાવીએ છીએ। સમીકરણનો આલેખ એક સીધી રેખા છે। [આપણે આખી રેખા દર્શાવી નથી કારણ કે કાર્ય ઋણ હોઈ શકે નહીં]।
આલેખ પરથી ચકાસવા માટે, $x$-અક્ષ પર બિંદુ $(2, 0)$ આગળ એક લંબ દોરો જે આલેખને બિંદુ $C$ પર મળે છે। સ્પષ્ટપણે, $C$ ના યામ $(2, 6)$ છે। આનો અર્થ એ છે કે કરવામાં આવેલ કાર્ય $6$ એકમ છે。

(N/A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સુરેખ સમીકરણ $y = 9x - 7$ ના આલેખ પર આવેલું છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે બિંદુના યામને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસવું પડશે કે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન છે કે નહીં.
બિંદુ $A(1, 2)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 9(1) - 7$
$2 = 9 - 7$
$2 = 2$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $A$ આલેખ પર આવેલું છે.
બિંદુ $B(-1, -16)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = -1$ અને $y = -16$ મૂકતા:
$-16 = 9(-1) - 7$
$-16 = -9 - 7$
$-16 = -16$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $B$ આલેખ પર આવેલું છે.
બિંદુ $C(0, -7)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = -7$ મૂકતા:
$-7 = 9(0) - 7$
$-7 = 0 - 7$
$-7 = -7$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $C$ આલેખ પર આવેલું છે.
આમ,ત્રણેય બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એ સમીકરણ $y = 9x - 7$ નું સમાધાન કરે છે અને તેથી તે તેના આલેખ પર આવેલા છે.