Textbook - Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ समीकरण $2x + 3y = 4.37$ को $2x + 3y - 4.37 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$ और $c = -4.37$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ समीकरण $x - 4 = \sqrt{3}y$ को $x - \sqrt{3}y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -\sqrt{3}$ और $c = -4$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ समीकरण $4 = 5x - 3y$ को $5x - 3y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 5$,$b = -3$ और $c = -4$ प्राप्त होता है।
$(iv)$ समीकरण $2x = y$ को $2x - y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 2$,$b = -1$ और $c = 0$ प्राप्त होता है।

(N/A) दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
$(i)$ $x = -5$ को $1x + 0y = -5$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $1x + 0y + 5 = 0$ है।
$(ii)$ $y = 2$ को $0x + 1y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $0x + 1y - 2 = 0$ है।
$(iii)$ $2x = 3$ को $2x + 0y = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $2x + 0y - 3 = 0$ है।
$(iv)$ $5y = 2$ को $0x + 5y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $0x + 5y - 2 = 0$ है।

(A) माना कि एक नोटबुक की कीमत Rs. $x$ है।
माना कि एक पेन की कीमत Rs. $y$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,नोटबुक की कीमत पेन की कीमत की दोगुनी है।
इसलिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = 2y$
पदों को दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप $(ax + by + c = 0)$ में व्यवस्थित करने पर:
$x - 2y = 0$
अतः,अभीष्ट रैखिक समीकरण $x - 2y = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = 9.3\overline{5}$ है।
इसे मानक रूप $ax + by + c = 0$ में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $9.3\overline{5}$ घटाने पर:
$2x + 3y - 9.3\overline{5} = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2$
$b = 3$
$c = -9.3\overline{5}$

(A) दिया गया समीकरण $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax + by + c = 0$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1x + (-\frac{1}{5})y + (-10) = 0$.
इसकी तुलना व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 1$,$b = -\frac{1}{5}$ और $c = -10$.

(A) दिया गया समीकरण $-2x + 3y = 6$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर:
$-2x + 3y - 6 = 0$.
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = -2$,
$b = 3$,
$c = -6$.

(A) दिया गया समीकरण $x = 3y$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $3y$ घटाने पर:
$x - 3y = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1)x + (-3)y + 0 = 0$
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1$
$b = -3$
$c = 0$

(N/A) दिया गया समीकरण $2x = -5y$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,सभी पदों को बाईं ओर लाने पर:
$2x + 5y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(2)x + (5)y + (0) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 2$,$b = 5$ और $c = 0$।

(N/A) दिया गया समीकरण $3x + 2 = 0$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$3x + 0y + 2 = 0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक इस प्रकार प्राप्त होते हैं:
$a = 3$
$b = 0$
$c = 2$

(N/A) दिया गया समीकरण $y - 2 = 0$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(0)x + (1)y + (-2) = 0$.
इस समीकरण की तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 0$,$b = 1$ और $c = -2$।

(A) दिया गया समीकरण $5 = 2x$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$2x - 5 = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2x + 0y + (-5) = 0$
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 2$
$b = 0$
$c = -5$

(N/A) रैखिक समीकरण $x + 2y = 6$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम एक चर को कोई भी मान देकर दूसरे चर का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. मान लीजिए $x = 0$ है। तब $0 + 2y = 6$,जिससे $2y = 6$ प्राप्त होता है,अतः $y = 3$ है। इस प्रकार,$(0, 3)$ एक हल है।
$2$. मान लीजिए $y = 0$ है। तब $x + 2(0) = 6$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$(6, 0)$ एक हल है।
$3$. मान लीजिए $x = 2$ है। तब $2 + 2y = 6$,जिससे $2y = 4$ प्राप्त होता है,अतः $y = 2$ है। इस प्रकार,$(2, 2)$ एक हल है।
$4$. मान लीजिए $y = 1$ है। तब $x + 2(1) = 6$,जिससे $x + 2 = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = 4$ है। इस प्रकार,$(4, 1)$ एक हल है।
अतः,समीकरण के चार अलग-अलग हल $(0, 3)$,$(6, 0)$,$(2, 2)$ और $(4, 1)$ हैं।

(N/A) $(i)$ $4x + 3y = 12$ के लिए,यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $3y = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 4$। अतः,$(0, 4)$ एक हल है। यदि हम $y = 0$ लेते हैं,तो $4x = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$। अतः,$(3, 0)$ दूसरा हल है।
$(ii)$ $2x + 5y = 0$ के लिए,यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $5y = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$। अतः,$(0, 0)$ एक हल है। यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $2(1) + 5y = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $5y = -2$,इसलिए $y = -\frac{2}{5}$। अतः,$(1, -\frac{2}{5})$ दूसरा हल है।
$(iii)$ $3y + 4 = 0$ के लिए,हम इसे $0x + 3y = -4$ के रूप में लिख सकते हैं। $x$ के किसी भी मान के लिए,$y$ का मान $-\frac{4}{3}$ ही रहेगा। यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $y = -\frac{4}{3}$। यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $y = -\frac{4}{3}$। अतः,दो हल $(0, -\frac{4}{3})$ और $(1, -\frac{4}{3})$ हैं।

(C) समीकरण $y = 3x + 5$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by + c = 0$ के रूप वाले दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए,$(x, y)$ के अपरिमित रूप से अनेक युग्म होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इसका कारण यह है कि $x$ के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए,हम $y = 3x + 5$ संबंध का उपयोग करके $y$ का एक संगत अद्वितीय मान ज्ञात कर सकते हैं।
चूंकि $x$ के लिए अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए $y$ के लिए भी अपरिमित रूप से अनेक संगत मान प्राप्त होते हैं।
अतः,सही विकल्प $(iii)$ है।

(N/A) समीकरण $2x + y = 7$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $y = 7 - 2x$।
$x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y$ के संगत मान प्राप्त होते हैं:
$1$. जब $x = 0$ हो,तब $y = 7 - 2(0) = 7$। अतः,हल $(0, 7)$ है।
$2$. जब $x = 1$ हो,तब $y = 7 - 2(1) = 5$। अतः,हल $(1, 5)$ है।
$3$. जब $x = 2$ हो,तब $y = 7 - 2(2) = 3$। अतः,हल $(2, 3)$ है।
$4$. जब $x = 3$ हो,तब $y = 7 - 2(3) = 1$। अतः,हल $(3, 1)$ है।

(N/A) रैखिक समीकरण $\pi x + y = 9$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $x$ के विभिन्न मान रखकर $y$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. जब $x = 0$ हो:
$\pi(0) + y = 9 \Rightarrow 0 + y = 9 \Rightarrow y = 9$.
अतः,हल $(0, 9)$ है।
$2$. जब $x = 1$ हो:
$\pi(1) + y = 9 \Rightarrow \pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - \pi$.
अतः,हल $(1, 9 - \pi)$ है।
$3$. जब $x = 2$ हो:
$\pi(2) + y = 9 \Rightarrow 2\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - 2\pi$.
अतः,हल $(2, 9 - 2\pi)$ है।
$4$. जब $x = -1$ हो:
$\pi(-1) + y = 9 \Rightarrow -\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 + \pi$.
अतः,हल $(-1, 9 + \pi)$ है।

(N/A) समीकरण $x = 4y$ के लिए हल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के विभिन्न मान रखकर $x$ के संगत मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. यदि $y = 0$ है,तो $x = 4(0) = 0$। अतः,हल $(0, 0)$ है।
$2$. यदि $y = 1$ है,तो $x = 4(1) = 4$। अतः,हल $(4, 1)$ है।
$3$. यदि $y = -1$ है,तो $x = 4(-1) = -4$। अतः,हल $(-4, -1)$ है।
$4$. यदि $y = 2$ है,तो $x = 4(2) = 8$। अतः,हल $(8, 2)$ है।

(B) दिया गया बिंदु $(0, 2)$ है,जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 2$ है।
समीकरण $x - 2y = 4$ में $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= x - 2y = 0 - 2(2) = 0 - 4 = -4$ है।
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि बायाँ पक्ष $= -4$ और दायाँ पक्ष $= 4$ है,इसलिए बायाँ पक्ष $\neq$ दायाँ पक्ष है।
अतः,$(0, 2)$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(B) निर्देशांक $(2, 0)$ का अर्थ है कि $x=2$ और $y=0$ है।
समीकरण $x - 2y = 4$ में $x=2$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= 2 - 2(0) = 2 - 0 = 2$.
चूंकि दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $= 4$ है,इसलिए बायां पक्ष $\neq$ दायां पक्ष।
अतः,$(2, 0)$ दिए गए समीकरण का हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x - 2y = 4$ है।
बिंदु $(4, 0)$ के लिए,हमारे पास $x = 4$ और $y = 0$ है।
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में प्रतिस्थापित करने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 4 - 2(0) = 4 - 0 = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि $L$.$H$.$S$. $=$ $R$.$H$.$S$. है,इसलिए बिंदु $(4, 0)$ दिए गए समीकरण का एक हल है।

(D) दिया गया समीकरण: $x - 2y = 4$.
बिंदु $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ है,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{2}$ और $y = 4\sqrt{2}$.
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में प्रतिस्थापित करने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = \sqrt{2} - 2(4\sqrt{2})$
$= \sqrt{2} - 8\sqrt{2}$
$= (1 - 8)\sqrt{2} = -7\sqrt{2}$.
चूँकि दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है,और $-7\sqrt{2} \neq 4$,इसलिए $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$.
अतः,बिंदु $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $x - 2y = 4$ है।
बिंदु $(1, 1)$ के लिए,हमारे पास $x = 1$ और $y = 1$ है।
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में रखने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$. $(-1 \neq 4)$,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण $2x + 3y = k$ है।
चूंकि $x = 2$ और $y = 1$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) + 3(1) = k$
मानों की गणना करने पर:
$4 + 3 = k$
अतः:
$k = 7$
इस प्रकार,$k$ का अभीष्ट मान $7$ है।

(D) बिंदु $(1, 2)$ को रैखिक समीकरण $ax + by = c$ को संतुष्ट करना चाहिए। निर्देशांक $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(1) + b(2) = c$ या $a + 2b = c$ प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए,यदि हम $a = 1$ और $b = 1$ लेते हैं,तो $c = 1 + 2(1) = 3$ होता है। अतः,एक समीकरण $x + y = 3$ है।
इसी प्रकार,यदि हम $a = -1$ और $b = 1$ लेते हैं,तो $c = -1 + 2(1) = 1$ होता है। अतः,दूसरा समीकरण $-x + y = 1$ है।
चूंकि $(a, b, c)$ के ऐसे अनंत युग्म हैं जो संबंध $a + 2b = c$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरने वाले ऐसे अनंत रैखिक समीकरण हो सकते हैं।

(N/A) रैखिक समीकरण $x + y = 7$ का आलेख खींचने के लिए,हमें समीकरण के कम से कम दो हलों की आवश्यकता होती है।
$1$. यदि हम $x = 0$ रखें,तो $0 + y = 7$,जिससे $y = 7$ प्राप्त होता है। अतः,$(0, 7)$ एक हल है।
$2$. यदि हम $x = 7$ रखें,तो $7 + y = 7$,जिससे $y = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(7, 0)$ एक हल है।
हम इन हलों को निम्नलिखित तालिका में दर्शा सकते हैं:

$x$	$0$	$7$
$y$	$7$	$0$

अब,कार्तीय तल पर बिंदुओं $(0, 7)$ और $(7, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें एक सीधी रेखा से मिलाइए जिससे समीकरण $x + y = 7$ का आलेख प्राप्त हो सके।

(N/A) यहाँ,शामिल चर बल और त्वरण हैं। मान लीजिए कि लगाया गया बल $y$ इकाई है और उत्पन्न त्वरण $x$ इकाई है। सीधे समानुपात की अवधारणा से,हम इस संबंध को $y = kx$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $k$ समानुपाती स्थिरांक है। (विज्ञान के अपने अध्ययन से,आप जानते हैं कि $k$ वास्तव में पिंड का द्रव्यमान है।)
चूँकि हम $k$ का विशिष्ट मान नहीं जानते हैं,इसलिए हम $y = kx$ के लिए एक अद्वितीय आलेख नहीं खींच सकते। हालाँकि,यदि हम $k$ को एक विशिष्ट मान दें,तो हम आलेख खींच सकते हैं। आइए $k = 3$ लें,अर्थात,हम $y = 3x$ को दर्शाने वाली रेखा खींचते हैं।
इसे आलेखित करने के लिए,हम इसके दो हल ज्ञात करते हैं,उदाहरण के लिए,$(0, 0)$ और $(2, 6)$।
आलेख से,आप देख सकते हैं कि जब लगाया गया बल $3$ इकाई है,तो उत्पन्न त्वरण $1$ इकाई है। साथ ही,ध्यान दें कि $(0, 0)$ आलेख पर स्थित है,जिसका अर्थ है कि जब लगाया गया बल $0$ इकाई है,तो उत्पन्न त्वरण $0$ इकाई है।

(A-(II), B-(III), C-(IV)) चित्र $(i)$ में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, -2)$,$(0, 0)$,$(1, 2)$ हैं। निरीक्षण करने पर,$y = 2x$ इस ग्राफ के संगत समीकरण है। आप देख सकते हैं कि प्रत्येक स्थिति में $y$-निर्देशांक $x$-निर्देशांक का दोगुना है।
$(b)$ चित्र (ii) में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-2, 0)$,$(0, 4)$,$(1, 6)$ हैं। आप जानते हैं कि ग्राफ (रेखा) के बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण $y = 2x + 4$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,$y = 2x + 4$ चित्र (ii) में दिए गए ग्राफ के संगत समीकरण है।
$(c)$ चित्र (iii) में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, -6)$,$(0, -4)$,$(1, -2)$,$(2, 0)$ हैं। निरीक्षण करने पर,आप देख सकते हैं कि $y = 2x - 4$ दिए गए ग्राफ (रेखा) के संगत समीकरण है।

(N/A) $x + y = 4$
$\Rightarrow y = 4 - x$
यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $y = 4 - 0 = 4$ प्राप्त होता है।
यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $y = 4 - 1 = 3$ प्राप्त होता है।
यदि हम $x = 2$ लेते हैं,तो $y = 4 - 2 = 2$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$3$	$2$

आलेख पत्र पर क्रमित युग्मों $(0, 4)$,$(1, 3)$ और $(2, 2)$ को अंकित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर,हमें आलेख में दर्शाए अनुसार रेखा $AB$ प्राप्त होती है। अतः,रेखा $AB$ समीकरण $x + y = 4$ का अभीष्ट आलेख है।

(N/A) दिया गया समीकरण: $x - y = 2$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y = x - 2$
आलेख खींचने के लिए,हम समीकरण के लिए कम से कम तीन हल ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$ है,तो $y = 0 - 2 = -2$
यदि $x = 1$ है,तो $y = 1 - 2 = -1$
यदि $x = 2$ है,तो $y = 2 - 2 = 0$
हमें मानों की निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-2$	$-1$	$0$

इन बिंदुओं $(0, -2)$,$(1, -1)$ और $(2, 0)$ को कार्तीय तल पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर,हमें एक सीधी रेखा $PQ$ प्राप्त होती है। यह रेखा $PQ$ रैखिक समीकरण $x - y = 2$ का आलेख निरूपित करती है।

(N/A) $y=3x$
यदि $x=0$ है,तो $y=3(0) \Rightarrow y=0$
यदि $x=1$ है,तो $y=3(1) \Rightarrow y=3$
यदि $x=-1$ है,तो $y=3(-1) \Rightarrow y=-3$
$\therefore$ हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$-1$
$y$	$0$	$3$	$-3$

ग्राफ पेपर पर क्रमित युग्मों $(0, 0)$,$(1, 3)$ और $(-1, -3)$ को आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर,हमें सरल रेखा $LM$ प्राप्त होती है।
अतः,रेखा $LM$ समीकरण $y=3x$ का अभीष्ट आलेख है।

(N/A) $y = 3 - 2x$
$\therefore$ यदि $x = 0$ है,तो $y = 3 - 2(0) \Rightarrow y = 3$
यदि $x = 1$ है,तो $y = 3 - 2(1) \Rightarrow y = 1$
यदि $x = 2$ है,तो $y = 3 - 2(2) \Rightarrow y = -1$
$\therefore$ हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$3$	$1$	$-1$

आलेख पत्र पर क्रमित युग्मों $(0, 3)$,$(1, 1)$ और $(2, -1)$ को अंकित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर,हमें एक रेखा $CD$ प्राप्त होती है।
अतः,रेखा $CD$ समीकरण $3 = 2x + y$ का अभीष्ट आलेख है।

(A) बिंदु $(2, 14)$ का अर्थ है $x = 2$ और $y = 14$ है।
इस बिंदु से होकर जाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $ax + by = c$ रूप का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $a(2) + b(14) = c$ हो।
$(i)$ यदि हम $a=1, b=1$ लेते हैं,तो $1(2) + 1(14) = 16$ प्राप्त होता है। अतः,$x + y = 16$ एक ऐसा समीकरण है।
$(ii)$ यदि हम $a=7, b=-1$ लेते हैं,तो $7(2) - 1(14) = 14 - 14 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$7x - y = 0$ दूसरा समीकरण है।
ऐसी अनंत रेखाएँ हो सकती हैं क्योंकि एक समतल में एक बिंदु से होकर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $3y = ax + 7$ है।
चूंकि बिंदु $(3, 4)$ इस रेखा के आलेख पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4) = a(3) + 7$
$12 = 3a + 7$
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$12 - 7 = 3a$
$5 = 3a$
$3$ से भाग देने पर:
$a = 5/3$
अतः,$a$ का अभीष्ट मान $5/3$ है।

(N/A) यहाँ,कुल तय की गई दूरी $= x \, km$
कुल टैक्सी किराया $= y$
पहले $1 \, km$ का किराया $= \text{रु}. \, 8$
शेष दूरी $= (x - 1) \, km$
$\therefore (x - 1) \, km$ का किराया $= \text{रु}. \, 5(x - 1)$
कुल टैक्सी किराया $= \text{रु}. \, 8 + 5(x - 1)$
$\therefore$ शर्त के अनुसार,
$y = 8 + 5(x - 1)$
$y = 8 + 5x - 5$
$y = 5x + 3$
यह दी गई जानकारी को दर्शाने वाला आवश्यक रैखिक समीकरण है।
आलेख: हमारे पास $y = 5x + 3$ है।
जब $x = 0, y = 5(0) + 3 = 3$
जब $x = -1, y = 5(-1) + 3 = -2$
जब $x = -2, y = 5(-2) + 3 = -7$
हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$-1$	$-2$
$y$	$3$	$-2$	$-7$

अब,ग्राफ पेपर पर क्रमित युग्मों $(0, 3), (-1, -2)$ और $(-2, -7)$ को अंकित करके उन्हें मिलाने पर,हमें एक सीधी रेखा $PQ$ प्राप्त होती है। इस प्रकार,$PQ$ रैखिक समीकरण $y = 5x + 3$ का आवश्यक आलेख है।

(B, C) चित्र $(i)$ के लिए,रेखा $(-1, 1)$,$(0, 0)$ और $(1, -1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(b)$ $x+y=0$ के लिए,$(-1, 1)$ रखने पर $-1+1=0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,चित्र $(i)$ के लिए समीकरण $x+y=0$ है।
चित्र $(ii)$ के लिए,रेखा $(-1, 3)$,$(0, 2)$ और $(2, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(c)$ $y=-x+2$ के लिए,$(-1, 3)$ रखने पर $3=-(-1)+2 \Rightarrow 3=1+2 \Rightarrow 3=3$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
$(0, 2)$ रखने पर $2=-(0)+2 \Rightarrow 2=2$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,चित्र $(ii)$ के लिए समीकरण $y=-x+2$ है।

(N/A) अचर बल $= 5$ इकाई है। माना तय की गई दूरी $= x$ इकाई और किया गया कार्य $= y$ इकाई है।
चूंकि,$\text{कार्य} = \text{बल} \times \text{विस्थापन}$
$\Rightarrow y = 5 \times x$
$\Rightarrow y = 5x$
आलेख खींचना:
हमारे पास $y = 5x$ है।
जब $x = 0$,तब $y = 5(0) = 0$.
जब $x = 1$,तब $y = 5(1) = 5$.
जब $x = 1.5$,तब $y = 5(1.5) = 7.5$.
अतः,हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$1.5$
$y$	$0$	$5$	$7.5$

आलेख पत्र पर क्रमित युग्मों $(0, 0)$,$(1, 5)$ और $(1.5, 7.5)$ को अंकित करके बिंदुओं को मिलाने पर,हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
आलेख से:
$(i)$ जब तय की गई दूरी $= 2$ इकाई है,तब $x = 2$,जिससे $y = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\text{किया गया कार्य} = 10$ इकाई।
$(ii)$ जब तय की गई दूरी $= 0$ इकाई है,तब $x = 0$,जिससे $y = 5(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\text{किया गया कार्य} = 0$ इकाई।

(N/A) माना यामिनी का योगदान $= ₹ x$ और फातिमा का योगदान $= ₹ y$ है।
$\therefore$ हमारे पास $x + y = 100$ है।
$\Rightarrow y = 100 - x$
अब,आलेख खींचने के लिए हम बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
जब $x = 0, y = 100 - 0 = 100$
जब $x = 50, y = 100 - 50 = 50$
जब $x = 100, y = 100 - 100 = 0$
हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$50$	$100$
$y$	$100$	$50$	$0$

आलेख खींचने के लिए,ग्राफ पेपर पर क्रमित युग्मों $(0, 100)$,$(50, 50)$ और $(100, 0)$ को अंकित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक रेखा प्राप्त होती है।
अतः,यह रेखा $x + y = 100$ का आलेख दर्शाती है।

(N/A) $(i)$ हमारे पास समीकरण $F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32$ है।
जब $C = 0$,तब $F = \left(\frac{9}{5}\right) \times 0 + 32 = 32$.
जब $C = -15$,तब $F = \frac{9}{5}(-15) + 32 = -27 + 32 = 5$.
जब $C = -10$,तब $F = \frac{9}{5}(-10) + 32 = 9(-2) + 32 = 14$.
मानों की तालिका:

$C$	$0$	$-15$	$-10$
$F$	$32$	$5$	$14$

आलेख पर बिंदुओं $(0, 32)$,$(-15, 5)$,और $(-10, 14)$ को अंकित करके जोड़ने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
$(ii)$ $C = 30$ के लिए,$F = \frac{9}{5}(30) + 32 = 9(6) + 32 = 54 + 32 = 86\,^oF$.
$(iii)$ $F = 95$ के लिए,$95 = \frac{9}{5}C + 32 \implies 63 = \frac{9}{5}C \implies C = 63 \times \frac{5}{9} = 35\,^oC$.
$(iv)$ $C = 0$ के लिए,$F = 32\,^oF$. $F = 0$ के लिए,$0 = \frac{9}{5}C + 32 \implies -32 = \frac{9}{5}C \implies C = -\frac{160}{9} \approx -17.8\,^oC$.
$(v)$ मान लीजिए $F = C = x$. तब $x = \frac{9}{5}x + 32 \implies x - \frac{9}{5}x = 32 \implies -\frac{4}{5}x = 32 \implies x = 32 \times (-\frac{5}{4}) = -40$. अतः,$-40\,^oC = -40\,^oF$.

(N/A) हम $2x + 1 = x - 3$ को हल करते हैं,तो प्राप्त होता है
$2x - x = -3 - 1$
अर्थात,$x = -4$
$(i)$ संख्या रेखा पर हल का निरूपण चित्र $(i)$ में दिखाया गया है,जहाँ $x = -4$ को एक चर वाले समीकरण के रूप में माना गया है।
$(ii)$ हम जानते हैं कि $x = -4$ को
$x + 0y = -4$
के रूप में लिखा जा सकता है,जो $x$ और $y$ चरों में एक रैखिक समीकरण है। इसे एक रेखा द्वारा निरूपित किया जाता है। अब $y$ के सभी मान स्वीकार्य हैं क्योंकि $0y$ हमेशा $0$ होता है। हालाँकि,$x$ को समीकरण $x = -4$ को संतुष्ट करना चाहिए। अतः,दिए गए समीकरण के दो हल $(-4, 0)$ और $(-4, 2)$ हैं।
ध्यान दें कि ग्राफ $AB$,$y$-अक्ष के समानांतर एक रेखा है और इससे $4$ इकाई बाईं ओर स्थित है (चित्र $(ii)$ देखें)।

(N/A) $(i)$ $y = 3$ [एक चर वाला समीकरण]
चूँकि $y = 3$ एक चर वाला समीकरण है,यह संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु को दर्शाता है।
यह अद्वितीय हल संख्या रेखा पर $3$ पर स्थित एक बिंदु है।
$(ii)$ $y = 3$ [दो चर वाला समीकरण]
हम $y = 3$ को $0x + y = 3$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$x$ के विभिन्न मानों के लिए,हमें $y = 3$ प्राप्त होता है:

$X$	$1$	$2$	$3$
$Y$	$3$	$3$	$3$

इन क्रमित युग्मों $(1, 3)$,$(2, 3)$ और $(3, 3)$ को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर,हमें $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा $AB$ प्राप्त होती है,जो $0x + y = 3$ अर्थात $y = 3$ का हल निरूपित करती है।

(N/A) $(i)$ $2x + 9 = 0$ [एक चर वाला समीकरण]
हमारे पास है: $2x + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -4.5$ या $x = -\frac{9}{2}$.
यह केवल एक चर '$x$' में एक रैखिक समीकरण है। इसका हल संख्या रेखा पर बिंदु $-\frac{9}{2}$ है।
$(ii)$ $2x + 9 = 0$ [दो चर वाला समीकरण]
हम $2x + 9 = 0$ को $2x + 0y + 9 = 0$ या $2x = -9 + 0y$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$x = \frac{-9 + 0y}{2}$.
$y$ के किसी भी मान के लिए,$x$ हमेशा $-\frac{9}{2}$ रहेगा।

$x$	$-\frac{9}{2}$	$-\frac{9}{2}$	$-\frac{9}{2}$
$y$	$1$	$2$	$3$

इन बिंदुओं $\left(-\frac{9}{2}, 1\right)$,$\left(-\frac{9}{2}, 2\right)$,और $\left(-\frac{9}{2}, 3\right)$ को कार्तीय तल पर आलेखित करके और उन्हें मिलाने पर,हमें $y$-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा प्राप्त होती है।